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- 2021-05-13 发布
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河南省卫辉一中2012届高三二轮备考抓分点透析之数学(文)(升级版)专题十一 高考中填空题的解题方法与技巧
【重点知识回顾】
填空题是将一个数学真命题,写成其中缺少一些语句的不完整形式,要求学生在指定的空位上,将缺少的语句填写清楚·准确 。它是一个不完整的陈述句形式,填写的可以是一个词语·数字·符号·数学语句等。
填空题的主要作用是考查学生的基础知识、基本技能及思维能力和分析问题、解决问题的能力,填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简,结果稍有毛病,便得零分.
填空题的基本特点:
1.方法灵活,答案唯一;
2.答案简短,具体明确.
学生在解答填空题时注意以下几点;
1.对于计算型填空题要运算到底,结果要规范;
2.填空题所填结果要完整,不可缺少一些限制条件;
3.填空题所填结论要符合高中数学教材要求;
4.解答填空题平均每小题3分钟,解题时间应控制在12分钟左右.
总之,解填空题的基本原则是“小题小做”,要“准”、“活”、“灵”、“快”.
【典型例题】
(一)直接法
直接法求解就是从题设条件出发,运用定义、定理、公式、性质、法则等知识,通过变形、推理、计算等,得出正确的结论.
例1、不等式的解集是:
【解析】当时,原不等式等价于,
∴,此时应有:;
当时,原不等式等价于,
∴,此时应有:;
∴不等式的解集是:.
例2、在等差数列中,,则数列的前n项和Sn的最小值为:
【解析】设公差为d,则,
∴,∴数列为递增数列,
令,∴,∴,
∵,∴,∴前6项和均为负值,
∴Sn的最小值为.
【题后反思】
由于填空题不需要解题材过程,因此可以透过现象看本质,自觉地、有意识地采用灵活、简洁的解法,省去某些步骤,大跨度前进,也可配合心算、速算、力求快速,辟免“小题大做”.
(二)特殊值法
当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,我们只需把题材中的参变量用特殊值代替之,即可得到结论.
例3、函数在(0,2)上是一增函数,函数是偶函数,则的大小关系为: (用“<”号连接)
【解析】取,则,
例4、椭圆的焦点为,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是:
【解析】设P(x,y),则当时,点P的轨迹方程为,由此可得点P的横坐标,又当点P在x轴上时,;点P在y轴上时,为钝角,由此可得点P横坐标的取值范围是:.
【题后反思】
特殊值法一般可取特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊性点、特殊方程、特殊模型等.
(三)数形结合法
x
y
-1
1
根据题目条件,画出符合题意的图形,以形助数,通过对图形的直观分析、判断,往往可以简捷地得出正确的结果,它既是方法,也是技巧,更是基本的数学思想.
例5、已知直线与函数的图像有两个
不同的交点,则实数m的取值范围是: .
【解析】∵函数的图像如图所示,
∴由图可知:.
….
……
………
………
………
…
…
x
y
A(1,2)
(-3,1)
-2
-1
-2
a+2b+1=0
a+b+1=0
例6、设函数,若当时,可取得极大值;当时,可取得极小值,则的取值范围是:
【解析】,由条件知,的一个
根在(0,1)上,另一个根在(1,2)上,
∴,即
如图所示,在平面直角坐标系xOy中作出上述区域,得点P(a,b)在图中的阴影区域内,而的几何意义是过两点P(a,b)与A(1,2)的直线的斜率,易知.
【题后反思】
数形结合法,常用的有Venn图,三角函数线,函数图像及方程的曲线等,另一面,有些图形问题转化为数量关系,如直线垂直可转化为斜率关系或向量积等.
(四)等价转化法
通过“化复杂为简单,化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题,从而等到正确的结果.
例7、若不论k为何实数,直线与圆恒有交点,则实数a的取值范围是:
【解析】题设条件等价于直线上的定点(0,1)在圆内或圆上,或等价于点(0,1)到圆心(a,0)的距离小于或等到于圆的半径,所以
例8、计算
【解析】分别求这两个二重根式的值显然不是那么容易,不妨从整体考虑,通过解方程求之.
设,两边同时立方得:,即:,
∵,∴,即2,因此应填2.
【题后反思】
在研究解决数学问题时,常采用转化的手段将问题向有利于解答的方面转化,从而使问题转化为熟悉的、规范的、甚至模式的问题,把复杂的问题转化为简单的问题.
(五)构造法
根据题设条件与结论的特殊性,构造出一些新的数学形式,并借助于它来认识和解决问题.
例9、如果,那么角的取值范围是: .
【解析】设函数,则,所以是增函数,由题设,得出,得,所以.
A
B
C
D
C1
A1
B1
D1
P
R
Q
Q/
R/
P/
例10、P是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1内任意一点,AP与三条棱AA1,AB1,AD的夹角分别为,则
【解析】如上图,过P作平面PQQ/P/,使它们分别与平面B1C1CB
和平面C1D1DC平行,则构造一个长方体AQ/P/R/—A1QPR,故
.
【题后反思】
凡解题时需要根据题目的具体情况来设计新模式的的问题,通常要用构造法解决.
(六)分析法
根据题设条件的特征进行观察、分析、从而得出正确的结论.
例11、以双曲线的左焦点F和左准线为相应的焦点和准线的椭圆截直线,所得的弦恰好被x轴平分,则k的取值范围是: .
【解析】双曲线的左焦点为F(-2,0),左准线为
,因为椭圆截直线所得的弦恰好被x轴平分,故根据椭圆的对称性,知椭圆的中心即为直线与x轴的交点(),故,得.
例12、(2007福建)某射手射击1次,击中目标的概率为0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,有下列结论:
①他第3次击中目标的概率是0.9;②他恰好击中目标3次的概率是;③他至少击中目标1次的概率是.
【解析】①第3次击中目标意味着1、2、4次可击中,也可不击中,从而第3次击中目标的概率为;②恰好击中目标3次的概率是独立重复试验,故概率为;③运用对立事件4次射击,一次也没有击中的概率为,从而至少击中目标一次的概率为.故正确结论的序号为①、③.
【题后反思】
分析法是解答问题的常用方法,该方法需要我们从题设出发,对条件进行观察、分析,找到相应的解决方法.
(七)归纳法
例13、 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂
巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图
有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以
表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________.
【解析】找出的关系式
[解析]
【题后反思】
处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系
(1)先猜后证是一种常见题型;(2)归纳推理的一些常见形式:一是“具有共同特征型”,二是“递推型”,三是“循环型”(周期性)
(八)类比法
例14、已知正三角形内切圆的半径是高的,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是______。
【解析】从方法的类比入手
[解析]原问题的解法为等面积法,即,类比问题的解法应为等体积法, 即正四面体的内切球的半径是高
【题后反思】
(1)不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比。(2)类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类比;实数集的性质向复数集的性质类比;圆锥曲线间的类比等。
(九)推理法
例15、某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标,并通过经验公式样来计算各班的综合得分,S的值越高则评价效果越好,若某班在自测过程中各项指标显示出,则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位,而使得S的值增加最多,那么该指标应为 。(填入中的某个字母)
【解析】从分式的性质中寻找S值的变化规律 。
[解析] 因都为正数,故分子越大或分母越小时, S的值越大,而在分子都增加1的前提下,分母越小时,S的值增长越多,,所以c增大1个单位会使得S的值增加最多。
【题后反思】
此题的大前提是隐含的,需要经过思考才能得到。
【模拟演练】
(1)已知函数在上单调递减,在
上单调递增,且的导数记为,则下列结论中,正确的是:
①是方程的根; ②1是方程的根; ③有极小值;
④有极大值; ⑤
(2)设m、n是异面直线,则:①一定存在平面,使且;②一定存在平面,使且;③一定存在平面,使m、n到的距离相等;④一定存在无数对平面和,使.上述四个命题中,正确命题的序号是: .
(3)是虚单位, (用的形式表示)
(4)设,则的大小关系是: .
(5)“x、y中至少有一个小于0”是“”的 条件.
(6)若记符号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算,即,则两边均含有运算符号“*”和“+”,且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是: .
(7)设椭圆的右焦点为F1,右准线为,若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到直线的距离,则椭圆的离心率是: .
(8)设,,其中为互相垂直的单位向量,又,则实数m= .
(9)如果函数对任意实数t,都有,那么的大小关系是:
(10)过抛物线的焦点F作一直线与抛物线交于P、Q两点,若线段PF、FQ的长分别为p、q,则 .
(11)椭圆
的长轴的两端点为M、N,点P在椭圆上,则PM与PN的斜率之积为: .
(12)方程的实数解的个数是: .
(13)不等式的解集为(4,b),则a= ,b= ;
(14)已知函数在(-3,3)上的最大值与最小值分别为M、m,
则M+m= .
(15)已知集合,,如果,则实数m的取值范围是: .
(16)定义在R上的函数是奇函数,且满足,则 .
(17)设F1,F2是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且,则的面积是: .
(18)在数列中,若,则该数列的通项 .
答案:
(1)①②③④⑤;(2)①③④;(3);(4);(5)必要不充分;
(6)(答案不唯一); (7); (8)-2; (9); (10)4a; (11); (12)3; (13); (14)16; (15); (16)0; (17)1; (18) .
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