上海高考数学试卷文解析版特别好 11页

‎2015 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海•数学试卷（文史类）‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1. 函数的最小正周期为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】据题意可得，所以 ‎2. 设全集，若集合，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，可得，故.‎ ‎3. 若复数满足，其中为虚数单位，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，根据题意，有，可把化简成 ‎，对于系数相等可得出，.‎ ‎4. 若为的反函数，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用反函数与原函数的性质求解即可. 令，解得，即.‎ ‎5. 若线性方程组的增广矩阵为，解为，则 .‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组 把代入，可得，.‎ ‎6. 若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】根据正三棱柱的体积计算公式.‎ ‎7. 抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点运动到原点时，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有.‎ ‎8.方程的解为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意可得 ‎，所以或，检验后只有符合.‎ ‎9. 若满足，则目标函数的最大值为 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据题意作出可行域，如图所示：‎ 由图可知，当直线过时有 的最大值为.‎ ‎10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 .（结果用数值表示）‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3和男3、女4，‎ 所以有.‎ ‎11. 在的二项展开式中，常数项等于 .（结果用数值表示）‎ ‎【答案】240‎ ‎【解析】的二项展开式的通项公式，‎ 令，即，所以常数项为.‎ ‎12. 已知双曲线、的顶点重合，的方程为.若的一条渐近线的斜率是放入一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设的方程为，可得的一条渐近线方程为，的一条渐近线方程为. 由题意可知，故的方程为.‎ ‎13.已知平面向量满足，且，则的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，，如图所示，‎ 当与方向相同时有取最大值，又，‎ 经计算可知，当，时有的最大值为.‎ ‎14.已知函数，若存在满足，且，则的最小值为 .‎ ‎【答案】8；‎ ‎【解析】对任意的，，‎ 欲使取最小值，尽可能多的让取最值点，考虑到，，按照下图所示取值可以满足条件 所以的最小值为8；‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎15.设，则“、均为实数”是“是实数”的（ ）‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎【答案】A；‎ ‎【解析】充分性成立，“、均为实数”可以推出“是实数”；‎ 必要性不成立，采用反证法，若是实数，可设，，显然、均为虚数，选择A.‎ ‎16. 下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为恒成立，‎ 所以由不等式的性质可得，选择B.‎ ‎17.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针转至，则的纵坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知，所以、，‎ 由任意角三角比的定义可知：‎ ‎，‎ 选择D.‎ ‎18.设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（ ）‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】采用极限思想求解 ‎【法一】当时，直线趋向于，直线与圆的交点趋向于，可以理解为过点所作的圆的切线的斜率，设切线方程为，结合，即，解之，即.‎ ‎【法二】在上，可得，‎ 同【法一】可得趋向于，所以选择A.‎ 三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19. （本题满分12分）‎ P 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点. 已知，. 求三棱锥的体积，并求异面直线与所成的角的大小.‎ ‎【答案】，异面直线与所成的角为.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵为半圆弧的中点， ∴，‎ ‎ ∴，∴；‎ ‎（2）由题意可知，∴，‎ P ‎∴的大小即为异面直线与所成的角或其补角的大小， ‎ 易知，，‎ ‎，‎ 在中，由余弦定理可得：‎ ‎，‎ 即异面直线与所成的角为.‎ ‎20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 已知函数，其中为常数.‎ ‎（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）当时，为奇函数；当时，为非奇非偶函数. （2）增函数.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意可知，关于原点对称.‎ ‎①为偶函数对任意 恒成立，‎ 显然，∴不可能为偶函数；‎ ‎②为奇函数 对任意恒成立，‎ 显然有时，对任意恒成立，‎ ‎∴当时，为奇函数；‎ 综上可知，当时，为奇函数；当时，为非奇非偶函数.‎ ‎（2）在上为增函数，理由如下：‎ 任取，‎ 则，‎ 由和，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，‎ 故在上为增函数.‎ ‎21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，三地有直道相通，千米，千米，千米. 现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米），甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时，乙到达地后在原地等待，设时，乙到达地；时，乙到达地.‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米，当时，‎ 求的表达式，并判断在上的最大值是否超过？说明理由.‎ ‎【答案】（1），；（2），；最大值没有超过3.‎ ‎【解析】‎ ‎（1），‎ 此时，设甲所在位置为，则，如图所示 ‎∴ ；‎ ‎（2）在上的最大值不超过，理由如下：‎ 设甲、乙所在位置分别为、. 易知，.‎ 如图所示：，，‎ 当即时，‎ ‎，‎ 即，‎ 而函数的对称轴，且，‎ ‎∴当时有，‎ ‎∴所以在上的最大值没有超过3.‎ ‎22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.‎ 已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和，记的面积为.‎ ‎（1）设，用的坐标表示点到直线的距离，并证明 ‎；‎ ‎（2）设，，，求的值；‎ ‎（3）设与的斜率之积为，求的值，并使得无论与如何变动，面积保持不变.‎ ‎【答案】（1）到直线的距离为；证明见解析；‎ ‎（2）或；（3）时，此时面积为定值.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意可知，的一个法向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴点到直线的距离，‎ 故.‎ ‎（2）由（1）可得：，即，又 ‎∴，‎ 由此可得，即，‎ 解之或；‎ ‎（3）易知两直线的斜率分别为：，，由与的斜率之积为可得：‎ ‎，又，，‎ 所以，‎ 即，‎ 而 化简得，‎ 将代入得：‎ 欲使面积为定值，只需即可，此时面积.‎ ‎23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 已知数列与满足.‎ ‎（1）若，且，求的通项公式；‎ ‎（2）设的第项是最大项，即，求证：的第项是最大项；‎ ‎（3）设，求的取值范围，使得对任意，且.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）；‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由可得：，又，‎ 所以数列为以1为首项，6为公差的等差数列，‎ 即有.‎ ‎（2）‎ ‎【法一】由可得：‎ 将上述式子累加可得：，当时，左式也成立，‎ 所以，‎ 由此可得，‎ 由于为常数，‎ 所以当的第项是最大项时，最大，‎ 即的第项是最大项；‎ ‎【法二】任取，不妨设，‎ 由可得 即，‎ ‎∴，‎ 同理可证当时，.‎ 所以故对任意的，可得对任意的都有，‎ 故的第项是其最大项.‎ ‎（3）由和累加法可得，‎ 即，‎ 结合可得，‎ 若对任意，且，则要求数列各项符号相同，且的最大项与最小项之比属于，分三种情况进行讨论：‎ ‎①当时，则为偶数时，为奇数时，此情况不满足条件“数列各项符号相同”；‎ ‎②当时，当足够大时，中奇数项为负，偶数项为正，不满足条件“数列 各项符号相同”；‎ ‎③当时，‎ 此时为奇数时，为负，据题意要求为偶数时的也要恒为负，‎ 由于中偶数项单调递减，所以只需最大项即可，解之；‎ 又，‎ 当为奇数时，上式为正；当为偶数时，上式为负，‎ 即中数项递增，偶数项递减，‎ 又和可得：，‎ 故数列中小项为，最大项为，‎ ‎∴的最大项与最小项之比为，‎ 解之，‎ 综上可得符合条件的.‎