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- 2021-05-13 发布
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2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷)
文科数学
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.设,则( )
A.0 B. C. D.
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是( )
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.已知椭圆:的一个焦点为,则的离心率( )
A. B. C. D.
5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为,,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A. B. C. D.
6.设函数.若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7.在中,为边上的中线,为的中点,则( )
A. B.
C. D.
8.已知函数,则( )
A.的最小正周期为,最大值为3
B.的最小正周期为,最大值为4
C.的最小正周期为,最大值为3
D.的最小正周期为,最大值为4
9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到的路径中,最短路径的长度为( )
A. B. C. D.2
10.在长方体中,,与平面所成的角为,则该长方体的体积为( )
A. B. C. D.
11.已知角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有两点,,且,则( )
A. B. C. D.
12.设函数,则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数,若,则________.
14.若满足约束条件,则的最大值为________.
15.直线与圆交于两点,则 ________.
16.的内角的对边分别为,已知,,则的面积为________.
三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。)
(一)必考题:共60分。
17.(12分)已知数列满足,,设.
⑴求;
⑵判断数列是否为等比数列,并说明理由;
⑶求的通项公式.
18.(12分)如图,在平行四边形中,,,以为折痕将折起,使点到达点的位置,且.
⑴证明:平面平面;
⑵为线段上一点,为线段上一点,且,求三棱锥的体积.
19.(12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
频数
1
5
13
10
16
5
⑴在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
⑵估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;
⑶估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
20.(12分)设抛物线,点,,过点的直线与交于,两点.
⑴当与轴垂直时,求直线的方程;
⑵证明:.
21.(12分)已知函数.
⑴设是的极值点.求,并求的单调区间;
⑵证明:当,.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线的方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
⑴求的直角坐标方程;
⑵若与有且仅有三个公共点,求的方程.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知.
⑴当时,求不等式的解集;
⑵若时不等式成立,求的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷)文 数 答 案
1.A【解析】,故选A.
2.C【解析】∵,∴,∴选C
3.A【解析】由图可得,A选项,设建设前经济收入为,种植收入为.建设后经济收入则为2,种植收入则为,种植收入较之前增加.
4.C【解析】知,∴,,∴离心率.
5.B【解析】截面面积为,所以高,底面半径,所以表面积为.
6.D【解析】∵为奇函数,∴,即,∴,∴,∴切线方程为:,∴选D.
7.A【解析】由题可.
8.B【解析】,∴最小正周期为,最大值为.
9.B【解析】三视图还原几何体为一圆柱,如图,将侧面展开,最短路径为连线的距离,所以,所以选B.
10.C【解析】连接和,∵与平面所成角为,∴,∴,∴,∴.
11.B【解析】由可得,化简可得;当时,可得,,即,,此时;当时,仍有此结果.
12.D【解析】取,则化为,满足,排除A,B;
取,则化为,满足,排除C,故选D.
二、填空题
13.【解析】可得,∴,.
14.【解析】画出可行域如图所示,可知目标函数过点时取得最大值,.
15.【解析】由,得圆心为,半径为,
∴圆心到直线距离为.∴.
16.【解析】根据正弦定理有:,∴,∴.∵,∴,∴,∴.
三、解答题
17.解:(1)依题意,,,
∴,,.
(2)∵,∴,即,
∴是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)∵,∴.
18.解:(1)证明:∵为平行四边形且,∴,
又∵,∴平面,
∵平面,∴平面平面.
(2) 过点作,交于点,∵平面,∴,
又∵,∴平面,
∴,∴,
∵,
∴,又∵为等腰直角三角形,∴,∴.
19.解:(1)如图;
(2) 由题可知用水量在的频数为,所以可估计在的频数为,故用水量小于的频数为,其概率为.
(3) 未使用节水龙头时,天中平均每日用水量为:
,
一年的平均用水量则为.
使用节水龙头后,天中平均每日用水量为:
,
一年的平均用水量则为,
∴一年能节省.
20. 解:(1)当与轴垂直时,的方程为,代入,
∴或,∴的方程为:或.
(2)设的方程为,设,联立方程,
得,∴,,
∴
,
∴,∴.
21.解:(1)定义域为,.
∵是极值点,∴,∴.
∵在上增,,∴在上增.
又在上减,∴在上增.又,
∴当时,,减;当时,,增.
综上,,单调增区间为,单调减区间为.
(2)∵,∴当时有,
∴.
令,.
,同(1)可证在上增,又,
∴当时,,减;当时,,增.
∴,
∴当时,.
22.解:(1)由可得:,化为.
(2)与有且仅有三个公共点,说明直线与圆相切,圆圆心为,半径为,则,解得,故的方程为.
23.解:(1)当时,,
∴的解集为.
(2)当时,,当时,不成立.
当时,,∴,不符合题意.
当时,,成立.
当时,,∴,即.
综上所述,的取值范围为.