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- 2021-05-13 发布
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历届高考中的“导数及其应用”试题精选(理科)
一、选择题:(每小题5分,计50分)
1.(2004湖北理科)函数有极值的充要条件是( )
(A) (B) (C) (D)
2.(2007全国Ⅱ理)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )
(A)3 (B) 2 (C) 1 (D)
3.(2005湖南理)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,
则f2005(x)=( )
A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx
4.(2008广东理)设,若函数,有大于零的极值点,则( )
A. B. C. D.
5.(2001江西、山西、天津理科)函数有( )
(A)极小值-1,极大值1 (B)极小值-2,极大值3
(C)极小值-2,极大值2 (D)极小值-1,极大值3
6.(2004湖南理科)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,
>0.且,.则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
(A) (B)
(C) (D)
7.(2007海南、宁夏理)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A. B. C. D.
8. (2008湖北理)若f(x)=上是减函数,则b的取值范围是( )
A.[-1,+∞] B.(-1,+∞) C. D.(-∞,-1)
9.(2005江西理科)已知函数的图像如右图所示(其中是函数,下面四个图象中的图象大致是 ( )
A B C D
10.(2000江西、天津理科)右图中阴影部分的面积是( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题:(每小题5分,计20分)
11.(2007湖北文)已知函数的图象在M(1,f(1))处的切线方程是+2,f(1)—f’(1)=______________.
12.(2007湖南理)函数在区间上的最小值是 .
13.(2008全国Ⅱ卷理)设曲线在点处的切线与直线垂直,则 _____ .
14.(2006湖北文)半径为r的圆的面积S(r)=r2,周长C(r)=2r,若将r看作(0,+∞)上的变量,则=2r , 式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于的式子:
式可以用语言叙述为: 。
三、解答题:(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15.(2004重庆文)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格(元/吨)之间的关系式为:,且生产x吨的成本为(元)。问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本)
16.(2008重庆文) 设函数若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与
直线12x+y=6平行,求: (Ⅰ)a的值; (Ⅱ)函数f(x)的单调区间.
17.(2008全国Ⅰ卷文、理)已知函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调区间;
(Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.
18.(2004浙江理)设曲线≥0)在点M(t, )处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S(t)。 (Ⅰ)求切线的方程; (Ⅱ)求S(t)的最大值。
19.(2007海南、宁夏文)设函数
(Ⅰ)讨论的单调性; (Ⅱ)求在区间的最大值和最小值.
20..(2007安徽理)设a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0).
(Ⅰ)令F(x)=xf'(x),讨论F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值;
(Ⅱ)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-2a ln x+1.
历届高考中的“导数及其应用”试题精选(理科)
参考答案
一、选择题:(每小题5分,计50分)
二、填空题:(每小题5分,计20分)
11. 3 ; 12.; 13. 2 ; 14. ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数
三、解答题:(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15. 解:每月生产x吨时的利润为
,故它就是最大值点,且最大值为:
答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.
16. 解:(Ⅰ)因为, 所以
即当
因斜率最小的切线与平行,即该切线的斜率为-12,
所以 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
17.解:(1) 求导:
当时,,, 在上递增
当,求得两根为
即在递增, 递减, 递增
(2)要使f(x)在在区间内是减函数,当且仅当,在恒成立,
由的图像可知,只需,即, 解得。a≥2。
所以,的取值范围。
18.解:(Ⅰ)因为 所以切线的斜率为
故切线的方程为即。
(Ⅱ)令y= 0得x=t+1, x=0得
所以S(t)==
从而
∵当(0,1)时,>0, 当(1,+∞)时,<0,
所以S(t)的最大值为S(1)=。
19.解:的定义域为.
(Ⅰ).
当时,;当时,;当时,.
从而,分别在区间,单调增加,在区间单调减少.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为.
又.
所以在区间的最大值为.
20.(Ⅰ)解:根据求导法则得
故 于是
列表如下:
x
(0,2)
2
(2,+∞)
F′(x)
-
0
+
F(x)
↓
极小值F(2)
↑
故知F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,所以,在x=2处取得极小值F(2)=2-2In2+2a.
(Ⅱ)证明:由
于是由上表知,对一切
从而当
所以当
故当