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- 2021-05-13 发布
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2015年闵行区高考数学二模含答案
(满分150分,时间120分钟
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14小题,考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得0分.
1.用列举法将方程的解集表示为 .
2.若复数满足(其中为虚数单位),则 .
3.双曲线的两条渐近线的夹角的弧度数为 .
4.若,且,则 .
5.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线于、两点,则= .
6.已知等比数列满足,则= .
7. 设二项式的展开式的二项式系数的和为,各项系数的和为,且,则的值为 .
8. 是从集合中随机抽取的一个元素,记随机变量,则的数学期望 .
9.给出条件:①,②,③,④.函数,对任意,能使成立的条件的序号是 .
10.已知数列满足,则使不等式成立的所有正整数的集合为 .
A
B
D
y
x
C
P
N
M
O
11.斜率为的直线与焦点在轴上的椭圆交于不同的两点、.若点、在轴上的投影恰好为椭圆的两焦点,则该椭圆的焦距为 .
12.函数在区间内无零点,则实数的范围是 .
13.如图,已知点,且正方形内接于:,、分别为边、的中点.当正方形绕圆心旋转时,的取值范围为 .
14.已知函数,,若对任意的,均有,则实数的取值范围是 .
二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4小题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格用铅笔涂黑,选对得5分,否则一律得0分.
15.如果,那么下列不等式成立的是 ( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
16.从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单, 要求最后一个节目必须是合唱,则这个节目单的编排方法共有 ( )
(A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种.
17.函数的定义域为,值域为,则的最大值是( )
A
B
l
C
N
P
O
(A) . (B) . (C) . (D) .
18. 如图,已知直线平面,垂足为,在
中,,点是边上的动点.
该三角形在空间按以下条件作自由移动:(1),
(2).则的最大值为 ( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
P
S
A
Q
O
B
如图,已知圆锥的底面半径为,点Q为半圆弧的中点,点为母线的中点.若直线与所成的角为,求此圆锥的表面积.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分10分.
设三角形的内角所对的边长分别是,且.若不是钝角三角形,求:(1) 角的范围;(2) 的取值范围.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.
某油库的设计容量为30万吨,年初储量为10万吨,从年初起计划每月购进石油万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前个月的需求量(万吨)与的函数关系为,并且前4个月,区域外的需求量为20万吨.
(1)试写出第个月石油调出后,油库内储油量(万吨)与的函数关系式;
(2)要使16个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定的取值范围.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3) 小题满分6分.
已知两动圆和(),把它们的公共点的轨迹记为曲线,若曲线与轴的正半轴的交点为,且曲线上的相异两点满足:.
(1) 求曲线的方程;
(2)证明直线恒经过一定点,并求此定点的坐标;
(3)求面积的最大值.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分7分,第(3)小题满分7分.
各项均为正数的数列的前项和为,且对任意正整数,都有.
(1)求数列的通项公式;
(2)如果等比数列共有项,其首项与公比均为,在数列的每相邻两项与之间插入个后,得到一个新的数列.求数列中所有项的和;
(3)如果存在,使不等式 成立,求实数的范围.
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试
数学试卷参考答案与评分标准(理科)
一. 填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.4; 8.; 9.④;
10.; 11. ; 12.; 13.; 14..
二. 选择题 15. B; 16. D; 17.B; 18. C.
三. 解答题
P
S
A
Q
O
B
M
19.[解] 取OA的中点M,连接PM,又点P为母线的中点
所以,故为与所成的角.………………………2分
在中,,,………………………4分
由点Q为半圆弧的中点知 ,
在中,
故,所以,. ………………………8分
所以,………………10分
.…………………………………12分
20.[解] (1)因为, …………………………………2分
由得: …………………………………4分
(2) …………………………………6分
()……………10分
当时,
当时, …………………………………12分
所以. …………………………………14分
21.[解](1)由条件得,所以2分
,(). …………………………………6分
(2)因为,
所以恒成立 ………………………8分
恒成立 ………………………10分
设,则:
恒成立,
由恒成立得
(时取等号) ………………………12分
恒成立得(时取等号)
所以. ………………………14分
22.[解](1)设两动圆的公共点为Q,则有:.由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆,.所以曲线的方程是:.…4分
(2)证法一:由题意可知:,设,,
当的斜率不存在时,易知满足条件的直线为:过定点 ………………………6分
当的斜率存在时,设直线:,联立方程组:
,把②代入①有:……………8分
③,④,
因为,所以有,
,把③④代入整理:
,(有公因式m-1)继续化简得:
,或(舍),
综合斜率不存在的情况,直线恒过定点. ………………………10分
证法二:(先猜后证)由题意可知:,设,,
如果直线恒经过一定点,由椭圆的对称性可猜测此定点在轴上,设为;
取特殊直线,则直线的方程为,
解方程组得点,同理得点,
此时直线恒经过轴上的点(只要猜出定点的坐标给2分)……2分
下边证明点满足条件
当的斜率不存在时,直线方程为:,
点 的坐标为,满足条件;………………………8分
当的斜率存在时,设直线:,联立方程组:
,把②代入①得:
③,④,
所以
………………………10分
(3)面积==
由第(2)小题的③④代入,整理得: ……………………………12分
因在椭圆内部,所以,可设,
……………………………14分
,(时取到最大值).
所以面积的最大值为. …………………………………………16分
23. [解] (1)当时,由得 …………1分
当时,由,得
因数列的各项均为正数,所以 ………………………………3分
所以数列是首相与公差均为等差数列
所以数列的通项公式为. ………………………………4分
(2)数列的通项公式为 ……………………5分
当时,数列共有
项,其所有项的和为
………………………………8分
当时,数列共有
项,其所有项的和为
……………………………11分
(3)由得
……………………………13分
记
由
递减(或)………………………15分
得 ,
所以实数的范围为,即. ……………………………18分