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- 2021-05-13 发布
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高考极坐标与参数方程大题题型汇总
1.在直角坐标系中,圆的参数方程为参数).以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是,射线与圆的交点为、,与直线的交点为,求线段的长.
解:(1)圆的普通方程是,又;
所以圆的极坐标方程是. ---5分
(2)设为点的极坐标,则有 解得.
设为点的极坐标,则有 解得
由于,所以,所以线段的长为2.
2.已知直线的参数方程为(为参数),在直角坐标系中,以点为极点,轴的非负半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,设圆的方程为.
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)若直线截圆所得弦长为,求实数的值.
解:(1)∵,
∴圆的直角坐标方程为;(5分)
(2)把直线的参数方程(为参数)化为普通方程得:,∵直线截圆所得弦长为,且圆的圆心到直线的距离或,∴或.(10分)
3.已知曲线C的参数方程为 (为参数),以直角坐标系原点为极点,Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求曲线c的极坐标方程
(2)若直线的极坐标方程为(sinθ+cosθ)=1,求直线被曲线c截得的弦长。
解:(1)∵曲线c的参数方程为 (α为参数)
∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5
将 代入并化简得:=4cosθ+2sinθ
即曲线c的极坐标方程为=4cosθ+2sinθ
(2)∵的直角坐标方程为x+y-1=0
∴圆心c到直线的距离为d==∴弦长为2=2
4.已知曲线:,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的参数方程,直线的直角坐标方程;
(2)设是曲线上任一点,求到直线的距离的最大值.
解:(1)曲线的参数方程为(为参数),
直线的直角坐标方程为
(2)设,
到直线的距离(其中为锐角,且)
当时,到直线的距离的最大值
5.设经过点的直线交曲线C:(为参数)于A、B两点.
(1)写出曲线C的普通方程;
(2)当直线的倾斜角时,求与的值.
解:(1):.
(2)设:(t为参数)
联立得:
,
6.以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点的直角坐标为,点的极坐标为,若直线过点,且倾斜角为,圆以为圆心,为半径.
(1)求直线的参数方程和圆的极坐标方程;
(2)设直线与圆相交于两点,求.
解:(1)直线的参数方程为,(答案不唯一,可酌情给分)
圆的极坐标方程为.
(2)把代入,得,
,设点对应的参数分别为, 则,
7.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),以原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的极坐标方程为.
(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线l与圆C交于A,B两点,点P的坐标为,试求的值.
解:(1)由,展开化为
,
将代入,得,
所以,圆C的直角坐标方程是.
(2)把直线的参数方程(t为参数)代入圆的方程并整理,
可得:.
设A,B两点对应的参数分别为,
则,
所以.
∴.
8.已知曲线的极坐标方程为,曲线(为参数).
(1)求曲线的标准方程;
(2)若点在曲线上运动,试求出到曲线的距离的最小值.
解:(1)曲线的标准方程是:
(2)曲线的标准方程是:
设点,由点到直线的距离公式得:
其中
时,,此时
9.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直
线与曲线:交于,两点.
(1)求的长;
(2)在以为极点,轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,设点的极坐标为,求点到线段中点的距离.
解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),
代入曲线C的方程得.
设点A,B对应的参数分别为,则,,
所以.
(2)由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为,
所以点P在直线l上,中点M对应参数为,
由参数t的几何意义,所以点P到线段AB中点M的距离.
10.已知直线经过点,倾斜角,
(1)写出直线的参数方程。
(2)设与圆相交与两点,求点到两点的距离之积。
解:(1)直线的参数方程为,即
(2)把直线代入得
,则点到两点的距离之积为
11.从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使|OM|·|OP|=12.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设R为l上的任意一点,试求|RP|的最小值.
解:(1)设动点P的坐标为(ρ,θ),
M的坐标为(ρ0,θ),则ρρ0=12.
∵ρ0cosθ=4,∴ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程.
(2)由(1)知P的轨迹是以(,0)为圆心,半径为的圆,易得|RP|的最小值为1.
12.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:ρsin(θ-)=.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的极坐标.
解: (1)圆O:ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0.
直线l:ρsin(θ-)=,即ρsinθ-ρcosθ=1,则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.
(2)由得
故直线l与圆O公共点的极坐标为(1,).