揭阳市2014届高考数学第二次模拟考试试题目理新人民教育出版 15页

绝密★启用前 ‎ 广东省揭阳市2014届高三4月第二次模拟 数学(理科)‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项： ‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 棱锥的体积公式：．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设全集，，则 A． B． C． D． ‎ ‎2.已知是虚数单位），则实数的值为 A. B‎.1 C. 2 D. ‎ ‎3．已知等差数列中,,前7项和,则等于 A.18 B. ‎20 C.24 D. 32‎ ‎4．运行如图1的程序框图，则输出s的结果是 A. B. C. D. ‎ ‎5．已知命题：函数是最小正周期为的周期函数，命题 ‎：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是 A. B. C. D. ‎ ‎6．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：‎ x ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程中的的值为，则记忆力为14的同学的判断力约为（附：线性回归方程中，，‎ 其中，为样本平均值)‎ A．7 B． C．8 D．‎ ‎7． 若，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．已知点、的坐标满足不等式组，若，则 的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（一）必做题（9－13题）‎ ‎9．不等式的解集为 ．‎ 图 2‎ ‎10．的展开式中的系数为 ．‎ ‎11．过点(2，1)作圆的弦，其中最短的弦长为 ． ‎ ‎12．已知一棱锥的三视图如图2所示，其中侧视图和俯视图都是 等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为 ．‎ ‎13．已知函数为偶函数，且若函数 ‎，则= ．‎ 图 3‎ ‎（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．(坐标系与参数方程选做题)[在极坐标系中，过点引圆 的一条切线，则切线长为 ．‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图（3），是圆O的切线，切点为，‎ 交圆于两点，且则的长为 .‎ 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 在中，已知且．‎ ‎（1）求角B和的值；‎ ‎（2）若的边，求边AC的长．‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 下表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数（AQI）和“PM2.5”（直径小于等于2.5微米的颗粒物）24小时平均浓度的数据，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良．‎ 日期编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 空气质量指数（AQI）‎ ‎179‎ ‎40‎ ‎98‎ ‎124‎ ‎29‎ ‎133‎ ‎241‎ ‎424‎ ‎95‎ ‎89‎ ‎“PM2.5”24小时平均浓度（）‎ ‎135‎ ‎5‎ ‎80‎ ‎94‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎190‎ ‎387‎ ‎70‎ ‎66‎ ‎（1）根据上表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率；‎ ‎（2）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件M为“抽取的两个日期中，当天‘PM2.5’的24小时平均浓度不超过75”，求事件M发生的概率；‎ ‎（3）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取3天，记为“PM2.5”24小时平均浓度不超过75的天数，求的分布列和数学期望．‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 已知等比数列满足：公比，数列的前项和为，且（）.‎ ‎（1）求数列和数列的通项和；‎ ‎（2）设，证明：.‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 如图4，已知三棱柱ABC—A1B‎1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB＝90°，‎ ‎∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1‎ 的中点．‎ ‎（1）求证：PN//平面ABC；‎ ‎（2）求证：AB1⊥A1M；‎ ‎（3）求二面角C1—A B1—A1的余弦值． ‎ ‎20．（本小题满分14分） 图4‎ 已知抛物线的方程为，直线的方程为，点A关于直线的对称点在抛物线上．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知，点是抛物线的焦点，M是抛物线上的动点，求的最小值及此时点M的坐标；‎ ‎（3）设点B、C是抛物线上的动点，点D是抛物线与轴正半轴交点，△BCD是以D为直角顶点的直角三角形．试探究直线BC是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． ‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知函数（为常数）．‎ ‎（1）函数的图象在点（）处的切线与函数的图象相切，求实数的值；‎ ‎（2）若，、使得成立，求满足上述条件的最大整数；‎ ‎（3）当时，若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数，，都有 成立，求的取值范围．‎ 数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．‎ 一、选择题：CDAB DBAD 解析：‎ ‎7.因，而，故，所以选A.‎ ‎8.设，由条件知：、，、，则，当且仅当点时上式取得最小值-7，当且仅当点点时，上式取最大值7.故选D.‎ 二、填空题：9．;10．-120 ；11．；12．16，13．2014，14．，‎ ‎15. .‎ 解析： ‎ ‎12. 该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，依题意得.‎ ‎13.由函数为偶函数得，则，，故.‎ ‎14．把A点和圆化为直角坐标系下的坐标和方程得，圆 ‎，A点到圆心的距离为6，半径为2，所以切线长为．‎ ‎15由可得: ,由已知,可解得,所以圆直径为3,又由可解得．‎ 三.解答题：‎ ‎16.解（1）由，得且--------1分 可得---------------------------------------2分 ‎---------------------------------3分 ‎---------------------------------------------------------5分 ‎∵ --------------------------------------------------------6分 ‎∵在△ABC中，‎ ‎∴‎ ‎--------------------------------------------------------7分------------------------------------------------------9分 ‎（2）在△ABC中，由正弦定理得：‎ ‎，---------------------------------10分 ‎∴．------------------------------------------------12分 ‎17.解：（1）由上表数据知，10天中空气质量指数（AQI）小于100的日期有：‎ A2 、A3 、A5 、A9 、A10共5天，------------------------------------------------1分 故可估计该市当月某日空气质量优良的概率.------------------------------3分 ‎（2）由（1）知10天中表示空气质量为优良的天数为5，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75有编号为A2 、A9 、A10，共3天，-----------------------------------4分 故事件M发生的概率.---------------------------------------------6分 ‎（3）由（1）知，的可能取值为1,2,3. --------------------------------------------7分 且--------------------------------------------------------8分 ‎-----------------------------------------------------------9分 ‎，-----------------------------------------------------------10分 故的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎--------------------------------------------------------11分 的数学期望．-------------------------------------12分 ‎18.(1) 解法一：由得，‎ ‎---------------------------------------------------------------2分 由上式结合得，‎ 则当时，，-----------------4分 ‎-------------------------------------------------------5分 ‎，-------------------------------------------------------7分 ‎∵，∴，------------------------------------------------8分 ‎∴数列是首项为，公比为4的等比数列，---------------------------9分 ‎∴，∴.-----------------------------------------10分 ‎【解法二：由得，‎ ‎---------------------------------------------------------------2分 由上式结合得，‎ 则当时，，-----------------4分 ‎--------------------------------5分 ‎， ------------------------------------------------------6分 ‎∴，-----------------------------8分 ‎∵，∴，------------------------------------------------9分 ‎∴.---------------------------------------------------------------10分】‎ ‎ (2) 由得，------------------------------------------11分 ‎-----------------------------------13分 ‎【或】‎ ‎∴----------------------------------14分 ‎19．（1）证明：连结CB1，∵P是BC1的中点 ，∴CB1过点P，--1分 ‎∵N为AB1的中点，∴PN//AC,-------------------- ---------2分 又∵面，面,‎ ‎∴PN//平面ABC. ------------------------------------------3分 ‎（2）证法一：在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，‎ ‎∴ AC＝A‎1C1＝--------------------------------------------------------------4分 ‎∵棱柱ABC—A1B‎1C1的侧棱与底面垂直，且，以点C1为 原点，以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则 ‎，,, , ---------------------6分 ‎∴,-----------------7分 ‎∵-----------------------------8分 ‎∴ A‎1M⊥AB1---------------------------------------------9分 ‎【证法二：连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，‎ ‎∴ AC＝A‎1C1＝‎ ‎∵=,-----------------------------------4分 ‎∴---------------------------------5分 ‎，‎ 即AC1⊥A‎1M. -------------------------------------------6分 ‎∵B‎1C1⊥C‎1A1，CC1⊥B‎1C1，且 ‎∴B‎1C1⊥平面AA1CC1，-----------------------------------7分 ‎∴B‎1C1⊥A‎1M，又，故A‎1M⊥A B‎1C1，-------------------------------8分 面A B‎1C1， ∴ A‎1M⊥AB1. -----------------------------------------------9分】‎ ‎【证法三：连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，‎ ‎∴ AC＝A‎1C1＝-------------------------------------------------------------4‎ 分 设∠AC‎1A1＝α，∠MA‎1C1＝β ‎∵,------------------------------------------5分 ‎∴α+β＝90° 即AC1⊥A‎1M. -------------------------------------------------------6分 ‎∵B‎1C1⊥C‎1A1，CC1⊥B‎1C1，且 ‎∴B‎1C1⊥平面AA1CC1，-----------------------------------------------------------7分 ‎∴B‎1C1⊥A‎1M，又 故A1M⊥面A B1C1，-------------------------------------------------------------8分 面A B‎1C1， ∴ A‎1M⊥AB1. -----------------------------------------------9分】‎ ‎（3）解法一：∵棱柱ABC—A1B‎1C1的侧棱与底面垂直，且，‎ 以点C1为原点，以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系，‎ 依题意得，,,,,‎ ‎,------------------------------------11分 设面的一个法向量为 由得,令得.-----12分 同理可得面的一个法向量为------------------------------------13分 故二面角的平面角的余弦值为 ‎----------------------------------------------14分 ‎【解法二：过C1作C1E⊥A1B1交A1B1于点E，过E作EF⊥AB1交AB1于F，连结C1 F，‎ ‎∵平面AA1BB1⊥底面A1B‎1C1，∴ C1E⊥平面AA1BB1，‎ ‎∴ C1E⊥AB1，∴ AB1⊥平面C1EF，∴ AB1⊥C‎1F，‎ 故为二面角C1—A B1—A1的平面角，-------------11分 在中，,‎ ‎,,----------------12分 又故-----------------13分 ‎-----------------------------------------------14分】‎ ‎20.解：(1)设点A(3,-1)关于直线的对称点为坐标为(x,y),‎ 则解得---------------------------3分 把点（1，3）代入，解得a = 4，‎ 所以抛物线的方程为---------------------------4分 ‎（2）∵是抛物线的焦点，抛物线的顶点为（0，-1），‎ ‎∴抛物线的准线为，------------------------------------------------------5分 过点M作准线的垂线，垂足为A,由抛物线的定义知,‎ ‎∴=,当且仅当P、M、A三点共线时“=”成立，-------7分 即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，取最小值，‎ ‎∴，这时点M的坐标为．-------------------9‎ 分 ‎（3）BC所在的直线经过定点，该定点坐标为，‎ 令，可得D点的坐标为 设，显然，‎ 则--------------------------------------10分 ‎-------------------------------------------------11分 ‎∵，∴，即 直线BC的方程为 即--------------------------------13分 所以直线BC经过定点.---------------------------------------------------14分 ‎21.解：（1）∵，∴，，‎ ‎∴函数的图象在点（）处的切线方程为，--------------------------2分 ‎∵直线与函数的图象相切，由消去y得，‎ 则，解得-------------------------------------------4分 ‎（2）当时，∵，‎ ‎∴，--------------------------------------------------5分 当时，，∴在上单调递减，‎ ‎，-------------------------------------7分 则，‎ ‎∴,故满足条件的最大整数.----------------------------------9分 ‎（3）不妨设，∵函数在区间[1,2]上是增函数，∴，‎ ‎∵函数图象的对称轴为，且，∴函数在区间[1,2]上是减函数，‎ ‎∴，--------------------------------------------------------------10分 ‎∴等价于，‎ 即，------------------------------------------------11分 等价于在区间[1,2]上是增函数，‎ 等价于在区间[1,2]上恒成立，----------------------------------12分 等价于在区间[1,2]上恒成立，‎ ‎∴，又，∴‎ ‎.------------------------------------------------------14分