- 1.34 MB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
(1)【2015年浙江,理1】已知集合,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】,,,故选C.
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
(2)【2015年浙江,理2】某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体,由俯视图知:正方体棱长为2,正四棱锥底面边长2,高为2,所以该几何体的体积,故选C.
【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力.
(3)【2015年浙江,理3】已知是等差数列,公差不为零,前项和是,若成等比数列,
则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】因为成等比数列,所以,化简得,,故选B.
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前项和,是基础题.
(4)【2015年浙江,理4】命题“ 且的否定形式是( )
(A)且 (B)或
(C)且 (D)或
【答案】D
【解析】全称命题,的否定是,,所以命题的否定为:, 或,故选D.
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
(5)【2015年浙江,理5】如图,设抛物线的焦点为,不经过焦点的直线上有三个不同的
点,其中点在抛物线上,点在轴上,则与的面积之比是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】如图所示,抛物线的准线的方程为,又由抛物线定义知,,,,,故选A.
【点评】本题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键.
(6)【2015年浙江,理6】设是有限集,定义,其中表示有限
集A中的元素个数( )
命题①:对任意有限集,“”是“”的充分必要条件;
命题②:对任意有限集,.
(A)命题①和命题②都成立 (B)命题①和命题②都不成立
(C)命题①成立,命题②不成立 (D)命题①不成立,命题②成立
【答案】A
【解析】由题意,,命题①:
,,命题①成立.
命题②:由维恩图易知命题②成立,下面给出严格证明:
,因为
且,故命题②成立,故选A.
【点评】本题考查了,元素和集合的关系,以及逻辑关系,分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系,注意本题对充要条件的考查.集合的元素个数,体现两个集合的关系,但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系,属于基础题.
(7)【2015年浙江,理7】存在函数满足,对任意都有( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】选项A:当时,;当时,;
选项B:当时,;当时,;
选项C:当时,;当时,;或为偶函数,然而并不是偶函数;
选项D:,令得,,再令,则,,故函数可以满足要求,故选D.
【点评】本题考查函数的定义的应用,基本知识的考查,但是思考问题解决问题的方法比较难.
(8)【2015年浙江,理8】如图,已知,是的中点,沿直线将折成,
所成二面角的平面角为,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】解法一:
考查特殊值,用排除法,若,则当时,,排除D,当时,
,,排除A,C,故选B.
解法二:
①当时,;
②当时,如图,点投影在上,,连接,易得,,即.
综上所述,,故选B.
【点评】本题考查空间角的大小比较,注意解题方法的积累,属于中档题.
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
(9)【2015年浙江,理9】双曲线的焦距是 ,渐近线方程是 .
【答案】;
【解析】,,焦距,焦距为,渐近线.
【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.
(10)【2015年浙江,理10】已知函数,则 ,的最小值是 .
【答案】0;
【解析】;当时,(当时取最小值)当时取最小值,当时,,,的最小值为.
【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于基础试题.
(11)【2015年浙江,理11】函数的最小正周期是 ,单调递减区间是 .
【答案】;
【解析】,所以最小正周期;
单调递减区间:,化简得,
单调递减区间:.
【点评】本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题.
(12)【2015年浙江,理12】若,则 .
【答案】
【解析】由可知,即,所以.
【点评】本题考查对数的运算性质,是基础的计算题.
(13)【2015年浙江,理13】如图,三棱锥中,,,点分别是的中点,则异面直线所成的角的余弦值是 __.
【答案】
【解析】取的中点,因为,则为异面直线,所成的角.,,,又,,.
【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
(14)【2015年浙江,理14】若实数满足,则的最小值是 .
【答案】
【解析】,,即,
如图,直线将直线分成了两部分:
①在阴影区域内的满足,即,
此时,
利用线性规划可知在处取得最小值3;
②在阴影区域外的满足,即,
此时,
利用线性规划可知在处取得最小值3.
综上,当,时,的最小值为3.
【点评】本题考查直线和圆的位置关系,主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法,属于中档题.
(15)【2015年浙江,理15】已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意,,则 , , .
【答案】,,.
【解析】,,不妨设,,,则由题意知,,解得,,,
,,由题意,当,时,取到最小值1,此时,故.
【点评】本题考查空间向量的数量积,涉及向量的模长公式,属中档题.
三、解答题:本大题共5题,共74分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(16)【2015年浙江,理16】(本小题满分14分)在中,内角所对边分别为.已知,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若的面积为7,求的值.
解:(Ⅰ)由及正弦定理得,故.又由,即,
得,解得.
(Ⅱ)由得,,又,故,由正弦定理得,又,,故,故.
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
(17)【2015年浙江,理17】(本小题满分15分)如图,在三棱柱中,,,
,在底面的射影为的中点,为的中点.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.
解:解法一:
(Ⅰ)设为的中点,连.由题平面,故.因,故
, 从而平面.由分别的中点,得且,
从而,且,所以为平行四边形,故.又平面,
故平面.
(Ⅱ)作于,连,由题,,得.
由,,得.由,得,因此
为二面角的平面角.由,,,得,
,由余弦定理得.
解法二:
(Ⅰ)如图,以中点为原点,方向为轴正方向,为轴正方向,为轴正方
向,建立空间直角坐标系.,,,易知
,,,,,,
,,,,
,,,又,,又
,平面.
(Ⅱ)设平面的法向量为,知,,则
取,设平面的法向量为,则,
,则取,,
又知该二面角为钝角,所以其平面角的余弦值为.
【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理,考查求二面角的三角函数值,注意解题方法的积累,属于中档题.
(18)【2015年浙江,理18】(本小题满分15分)已知函数,记是在区间上的最大值.
(Ⅰ)证明:当时,;
(Ⅱ)当满足,求的最大值.
解:(Ⅰ)由,得对称轴为直线,由,得,
故在上单调,因此.
当时,,故,,即;当时,,故,,即.综上,当时,.
(Ⅱ)由得,,故,,
由,得.当,时,,且在
的最大值为2,即,故的最大值为3.
【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法;解答本题的关键是正确理解是在区间上的最大值,以及利用三角不等式变形.
(19)【2015年浙江,理19】(本小题满分15分)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称.
(Ⅰ)求实数的取值范围;
(Ⅱ)求面积的最大值(为坐标原点).
解:(Ⅰ)由题知,可设直线:,代入椭圆方程并整理得. 因直线与椭圆有两个不同的交点,故 ①.将中点代入直线方程得 ②.由①②得或.
(Ⅱ)令,则,且到的距离为,故的面积,当且仅当时,等号成立,故面积的最大值为.
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
(20)【2015年浙江,理20】(本小题满分15分)已知数列满足且,数列的前项和为,证明:
(Ⅰ);
(Ⅱ).
解:(Ⅰ)由题,即,故.
由得,
故,从而,即.
(Ⅱ)由题,故 ①.由和得,,
故,因此 ②,
由①②得.
【点评】本题是一道数列与不等式的综合题,考查数学归纳法,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.