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  • 2021-05-13 发布

高考浙江理科数学试题及答案解析

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‎2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)‎ 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.‎ ‎(1)【2015年浙江,理1】已知集合,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】,,,故选C.‎ ‎【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎(2)【2015年浙江,理2】某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体,由俯视图知:正方体棱长为2,正四棱锥底面边长2,高为2,所以该几何体的体积,故选C.‎ ‎【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力.‎ ‎(3)【2015年浙江,理3】已知是等差数列,公差不为零,前项和是,若成等比数列,‎ 则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为成等比数列,所以,化简得,,故选B.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前项和,是基础题.‎ ‎(4)【2015年浙江,理4】命题“ 且的否定形式是( )‎ ‎(A)且 (B)或 ‎(C)且 (D)或 ‎【答案】D ‎【解析】全称命题,的否定是,,所以命题的否定为:, 或,故选D.‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.‎ ‎(5)【2015年浙江,理5】如图,设抛物线的焦点为,不经过焦点的直线上有三个不同的 点,其中点在抛物线上,点在轴上,则与的面积之比是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示,抛物线的准线的方程为,又由抛物线定义知,,,,,故选A.‎ ‎【点评】本题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键.‎ ‎(6)【2015年浙江,理6】设是有限集,定义,其中表示有限 集A中的元素个数( )‎ ‎ 命题①:对任意有限集,“”是“”的充分必要条件;‎ 命题②:对任意有限集,.‎ ‎(A)命题①和命题②都成立 (B)命题①和命题②都不成立 ‎(C)命题①成立,命题②不成立 (D)命题①不成立,命题②成立 ‎【答案】A ‎【解析】由题意,,命题①:‎ ‎,,命题①成立.‎ 命题②:由维恩图易知命题②成立,下面给出严格证明:‎ ‎,因为 且,故命题②成立,故选A.‎ ‎【点评】本题考查了,元素和集合的关系,以及逻辑关系,分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系,注意本题对充要条件的考查.集合的元素个数,体现两个集合的关系,但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系,属于基础题.‎ ‎(7)【2015年浙江,理7】存在函数满足,对任意都有( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】选项A:当时,;当时,;‎ ‎ 选项B:当时,;当时,;‎ 选项C:当时,;当时,;或为偶函数,然而并不是偶函数;‎ 选项D:,令得,,再令,则,,故函数可以满足要求,故选D.‎ ‎【点评】本题考查函数的定义的应用,基本知识的考查,但是思考问题解决问题的方法比较难.‎ ‎(8)【2015年浙江,理8】如图,已知,是的中点,沿直线将折成,‎ 所成二面角的平面角为,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】解法一:‎ 考查特殊值,用排除法,若,则当时,,排除D,当时,‎ ‎,,排除A,C,故选B.‎ 解法二:‎ ‎①当时,;‎ ‎②当时,如图,点投影在上,,连接,易得,,即.‎ 综上所述,,故选B.‎ ‎【点评】本题考查空间角的大小比较,注意解题方法的积累,属于中档题.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)‎ 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分. ‎ ‎(9)【2015年浙江,理9】双曲线的焦距是 ,渐近线方程是 .‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】,,焦距,焦距为,渐近线.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.‎ ‎(10)【2015年浙江,理10】已知函数,则 ,的最小值是 .‎ ‎【答案】0;‎ ‎【解析】;当时,(当时取最小值)当时取最小值,当时,,,的最小值为.‎ ‎【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于基础试题.‎ ‎(11)【2015年浙江,理11】函数的最小正周期是 ,单调递减区间是 .‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】,所以最小正周期;‎ 单调递减区间:,化简得,‎ 单调递减区间:.‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题.‎ ‎(12)【2015年浙江,理12】若,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可知,即,所以.‎ ‎【点评】本题考查对数的运算性质,是基础的计算题.‎ ‎(13)【2015年浙江,理13】如图,三棱锥中,,,点分别是的中点,则异面直线所成的角的余弦值是 __.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取的中点,因为,则为异面直线,所成的角.,,,又,,.‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.‎ ‎(14)【2015年浙江,理14】若实数满足,则的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,即,‎ 如图,直线将直线分成了两部分:‎ ‎①在阴影区域内的满足,即,‎ 此时,‎ 利用线性规划可知在处取得最小值3;‎ ‎ ②在阴影区域外的满足,即,‎ ‎ 此时,‎ ‎ 利用线性规划可知在处取得最小值3.‎ ‎ 综上,当,时,的最小值为3.‎ ‎【点评】本题考查直线和圆的位置关系,主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法,属于中档题.‎ ‎(15)【2015年浙江,理15】已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意,,则 , , .‎ ‎【答案】,,.‎ ‎【解析】,,不妨设,,,则由题意知,,解得,,,‎ ‎,,由题意,当,时,取到最小值1,此时,故.‎ ‎【点评】本题考查空间向量的数量积,涉及向量的模长公式,属中档题.‎ 三、解答题:本大题共5题,共74分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ‎ ‎(16)【2015年浙江,理16】(本小题满分14分)在中,内角所对边分别为.已知,.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若的面积为7,求的值.‎ 解:(Ⅰ)由及正弦定理得,故.又由,即,‎ 得,解得.‎ ‎(Ⅱ)由得,,又,故,由正弦定理得,又,,故,故.‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎(17)【2015年浙江,理17】(本小题满分15分)如图,在三棱柱中,,,‎ ‎,在底面的射影为的中点,为的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.‎ 解:解法一:‎ ‎(Ⅰ)设为的中点,连.由题平面,故.因,故 ‎, 从而平面.由分别的中点,得且,‎ 从而,且,所以为平行四边形,故.又平面,‎ 故平面.‎ ‎(Ⅱ)作于,连,由题,,得.‎ 由,,得.由,得,因此 为二面角的平面角.由,,,得,‎ ‎,由余弦定理得.‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)如图,以中点为原点,方向为轴正方向,为轴正方向,为轴正方 向,建立空间直角坐标系.,,,易知 ‎,,,,,,‎ ‎,,,,‎ ‎,,,又,,又 ‎,平面.‎ ‎(Ⅱ)设平面的法向量为,知,,则 取,设平面的法向量为,则,‎ ‎,则取,,‎ 又知该二面角为钝角,所以其平面角的余弦值为.‎ ‎【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理,考查求二面角的三角函数值,注意解题方法的积累,属于中档题.‎ ‎(18)【2015年浙江,理18】(本小题满分15分)已知函数,记是在区间上的最大值.‎ ‎(Ⅰ)证明:当时,;‎ ‎(Ⅱ)当满足,求的最大值.‎ 解:(Ⅰ)由,得对称轴为直线,由,得,‎ 故在上单调,因此.‎ 当时,,故,,即;当时,,故,,即.综上,当时,. ‎ ‎(Ⅱ)由得,,故,,‎ 由,得.当,时,,且在 ‎ 的最大值为2,即,故的最大值为3. ‎ ‎【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法;解答本题的关键是正确理解是在区间上的最大值,以及利用三角不等式变形.‎ ‎(19)【2015年浙江,理19】(本小题满分15分)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称.‎ ‎(Ⅰ)求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)求面积的最大值(为坐标原点).‎ 解:(Ⅰ)由题知,可设直线:,代入椭圆方程并整理得. 因直线与椭圆有两个不同的交点,故 ①.将中点代入直线方程得 ②.由①②得或. ‎ ‎(Ⅱ)令,则,且到的距离为,故的面积,当且仅当时,等号成立,故面积的最大值为.‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎(20)【2015年浙江,理20】(本小题满分15分)已知数列满足且,数列的前项和为,证明:‎ ‎(Ⅰ);‎ ‎(Ⅱ).‎ 解:(Ⅰ)由题,即,故.‎ 由得,‎ 故,从而,即.‎ ‎(Ⅱ)由题,故 ①.由和得,,‎ 故,因此 ②,‎ 由①②得.‎ ‎【点评】本题是一道数列与不等式的综合题,考查数学归纳法,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.‎