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  • 2021-05-13 发布

Bnskdwc高考数学难点突破 难点07 奇偶性与单调性一

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七夕,古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚,世态炎凉却已看透矣。情也成空,且作“挥手袖底风”罢。是夜,窗外风雨如晦,吾独坐陋室,听一曲《尘缘》,合成诗韵一首,觉放诸古今,亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。‎ ‎-----啸之记。 ‎ 难点7 奇偶性与单调性(一)‎ 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.‎ ‎●难点磁场 ‎(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数,(1)求a的值;(2)证明: f(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ ‎●案例探究 ‎[例1]已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当00,1-x1x2>0,∴>0,‎ 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0‎ ‎∴x2-x1<1-x2x1,‎ ‎∴0<<1,由题意知f()<0, 即f(x2)3a2-2a+1.解之,得01).‎ ‎(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.‎ ‎(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.‎ ‎6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1,+∞)上是减函数.‎ ‎7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足:(i)f(x1-x2)=;‎ ‎(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证:‎ ‎(1)f(x)是奇函数.‎ ‎(2)f(x)是周期函数,且有一个周期是4a.‎ ‎8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R,且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(-)=0,当x>-时,f(x)>0.‎ ‎(1)求证:f(x)是单调递增函数;‎ ‎(2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证.‎ 参考答案 难点磁场 ‎(1)解:依题意,对一切x∈R,有f(x)=f(-x),即+aex.整理,得(a-)‎ ‎(ex-)=0.因此,有a-=0,即a2=1,又a>0,∴a=1‎ ‎(2)证法一:设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=‎ 由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1-e<0,‎ ‎∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)上是增函数 证法二:由f(x)=ex+e-x,得f′(x)=ex-e-x=e-x·(e2x-1).当x∈(0,+∞)时,e-x>0,e2x-1>0.‎ 此时f′(x)>0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数.‎ 歼灭难点训练 一、1.解析:f(-x)= =-f(x),故f(x)为奇函数.‎ 答案:C ‎2.解析:f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,图象关于原点对称.‎ 答案:C 二、3.解析:令t=|x+1|,则t在(-∞,-1上递减,又y=f(x)在R上单调递增,∴y=f(|x+1|)在(-∞,-1上递减.‎ 答案:(-∞,-1‎ ‎4.解析:∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x-x1)(x-x2)=ax3-a(x1+x2)x2+ax1x2x,‎ ‎∴b=-a(x1+x2),又f(x)在[x2,+∞单调递增,故a>0.又知0<x1<x,得x1+x2>0,‎ ‎∴b=-a(x1+x2)<0.‎ 答案:(-∞,0)‎ 三、5.证明:(1)设-1<x1<x2<+∞,则x2-x1>0, >1且>0,‎ ‎∴>0,又x1+1>0,x2+1>0‎ ‎∴>0,‎ 于是f(x2)-f(x1)=+ >0‎ ‎∴f(x)在(-1,+∞)上为递增函数.‎ ‎(2)证法一:设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则且由0<<1得0<-<1,即<x0<2与x0<0矛盾,故f(x)=0没有负数根.‎ 证法二:设存在x0<0(x0≠-1)使f(x0)=0,若-1<x0<0,则<-2,<1,∴f(x0)<-1与f(x0)=0矛盾,若x0<-1,则>0, >0,∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.‎ ‎6.证明:∵x≠0,∴f(x)=,‎ 设1<x1<x2<+∞,则.‎ ‎∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1,+∞)上是减函数.(本题也可用求导方法解决)‎ ‎7.证明:(1)不妨令x=x1-x2,则f(-x)=f(x2-x1)= ‎ ‎=-f(x1-x2)=-f(x).∴f(x)是奇函数.‎ ‎(2)要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).‎ ‎∵f(x+a)=f[x-(-a)]=.‎ ‎∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.‎ ‎8.(1)证明:设x1<x2,则x2-x1->-,由题意f(x2-x1-)>0,‎ ‎∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(-)-1=f[(x2-x1)-]>0,‎ ‎∴f(x)是单调递增函数.‎ ‎(2)解:f(x)=2x+1.验证过程略.‎