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  • 2021-05-13 发布

高考总复习数学导数大题练习详细答案

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‎1.已知函数的图象如图所示.‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(II)若函数在处的切线方程为,求函数的解析式;‎ ‎(III)在(II)的条件下,函数与的图象有三个不同的交点,求的取值范围.‎ ‎2.已知函数.‎ ‎(I)求函数的单调区间;‎ ‎(II)函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间(1,3)上不是单调函数,求m的取值范围.‎ ‎3.已知函数的图象经过坐标原点,且在处取得极大值.‎ ‎(I)求实数的取值范围;‎ ‎(II)若方程恰好有两个不同的根,求的解析式;‎ ‎(III)对于(II)中的函数,对任意,求证:.‎ ‎4.已知常数,为自然对数的底数,函数,.‎ ‎(I)写出的单调递增区间,并证明;‎ ‎(II)讨论函数在区间上零点的个数.‎ ‎5.已知函数.‎ ‎(I)当时,求函数的最大值;‎ ‎(II)若函数没有零点,求实数的取值范围;‎ ‎6.已知是函数的一个极值点().‎ ‎(I)求实数的值;‎ ‎(II)求函数在的最大值和最小值.‎ ‎7.已知函数 ‎ (I)当a=18时,求函数的单调区间;‎ ‎ (II)求函数在区间上的最小值.‎ ‎8.已知函数在上不具有单调性.‎ ‎(I)求实数的取值范围;‎ ‎(II)若是的导函数,设,试证明:对任意两个不相等正数,不等式恒成立.‎ ‎9.已知函数 ‎ (I)讨论函数的单调性;‎ ‎ (II)证明:若 ‎10.已知函数.‎ ‎(I)若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数的取值范围;‎ ‎(II)若,设,求证:当时,不等式成立.‎ ‎11.设曲线:(),表示导函数.‎ ‎(I)求函数的极值;‎ ‎(II)对于曲线上的不同两点,,,求证:存在唯一的,使直线的斜率等于.‎ ‎12.定义,‎ ‎(I)令函数,写出函数的定义域;‎ ‎(II)令函数的图象为曲线C,若存在实数b使得曲线C在处有斜率为-8的切线,求实数的取值范围;‎ III)当且时,求证.‎ 答案 ‎1.解:函数的导函数为 …………(2分)‎ ‎(I)由图可知 函数的图象过点(0,3),且 得 …………(4分)‎ ‎(II)依题意 且 ‎ ‎ 解得 所以 …………(8分)‎ ‎(III).可转化为:有三个不等实根,即:与轴有三个交点; ‎ ‎,‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎. …………(10分)‎ 当且仅当时,有三个交点,‎ 故而,为所求. …………(12分)‎ ‎2.解:(I) (2分)‎ 当 当 当a=1时,不是单调函数 (5分)‎ ‎ (II)‎ ‎(6分)‎ ‎ (8分)(10分) (12分)‎ 3. 解 ‎(I)‎ ‎ 由,因为当时取得极大值,‎ ‎ 所以,所以;‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎-‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 ‎(II)由下表:‎ ‎ 依题意得:,解得:‎ ‎ 所以函数的解析式是: ‎ ‎(III)对任意的实数都有 ‎ 在区间[-2,2]有: ‎ 函数上的最大值与最小值的差等于81,‎ ‎ 所以.‎ ‎4.解:(I),得的单调递增区间是, …………(2分)‎ ‎∵,∴,∴,即. …………(4分)‎ ‎(II),由,得,列表 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 极小值 单调递增 当时,函数取极小值,无极大值.‎ 由(I),∵,∴,∴‎ ‎, …………(8分)‎ ‎(i)当,即时,函数在区间不存在零点 ‎(ii)当,即时 ‎ 若,即时,函数在区间不存在零点 ‎ 若,即时,函数在区间存在一个零点;‎ ‎ 若,即时,函数在区间存在两个零点;‎ 综上所述,在上,我们有结论:‎ 当时,函数无零点;‎ 当 时,函数有一个零点;‎ 当时,函数有两个零点.‎ ‎ ‎ ‎5.解:(I)当时,‎ 定义域为(1,+),令, ∵当,当,‎ ‎∴内是增函数,上是减函数 ‎∴当时,取最大值 ‎ ‎(II)①当,函数图象与函数图象有公共点,‎ ‎∴函数有零点,不合要求; ‎ ‎②当, ‎ ‎ ………………(6分)‎ 令,∵,‎ ‎∴内是增函数,上是减函数,‎ ‎∴的最大值是, ‎ ‎∵函数没有零点,∴,,‎ 因此,若函数没有零点,则实数的取值范围 ‎6. 解:(I)由可得 ‎……(4分)‎ ‎∵是函数的一个极值点,∴‎ ‎∴,解得 ‎ ‎(II)由,得在递增,在递增,‎ 由,得在在递减 ‎∴是在的最小值; ……………(8分)‎ ‎, ∵‎ ‎∴在的最大值是. ‎ ‎7.解:(Ⅰ),‎ ‎ 2分 ‎ 由得,解得或 ‎ 注意到,所以函数的单调递增区间是(4,+∞)‎ ‎ 由得,解得-2<<4,‎ ‎ 注意到,所以函数的单调递减区间是.‎ ‎ 综上所述,函数的单调增区间是(4,+∞),单调减区间是 6分 ‎ (Ⅱ)在时,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 设 ‎ 当时,有△=16+4×2,‎ ‎ 此时,所以,在上单调递增,‎ ‎ 所以 8分 ‎ 当时,△=,‎ ‎ 令,即,解得或;‎ ‎ 令,即, 解得.‎ ‎ ①若≥,即≥时,‎ ‎ 在区间单调递减,所以.‎ ‎ ②若,即时间,‎ ‎ 在区间上单调递减,在区间上单调递增,‎ ‎ 所以.‎ ‎ ③若≤,即≤2时,在区间单调递增,‎ ‎ 所以 ‎ 综上所述,当≥2时,;‎ ‎ 当时,;‎ ‎ 当≤时, 14分 ‎8.解:(I), ‎ ‎∵在上不具有单调性,∴在上有正也有负也有0,‎ 即二次函数在上有零点 ………………(4分)‎ ‎∵是对称轴是,开口向上的抛物线,∴‎ 的实数的取值范围 ‎ ‎(II)由(I),‎ 方法1:,‎ ‎∵,∴,…………(8分)‎ 设,‎ 在是减函数,在增函数,当时,取最小值 ‎∴从而,∴,函数是增函数,‎ 是两个不相等正数,不妨设,则 ‎∴,∵,∴ ‎ ‎∴,即 ………………(12分)‎ 方法2: 、是曲线上任意两相异点,‎ ‎,,‎ ‎ ………(8分)‎ 设,令,,‎ 由,得由得 在上是减函数,在上是增函数,‎ 在处取极小值,,∴所以 即 ‎ ‎9. (1)的定义域为,‎ ‎(i)若,则 故在单调增加.‎ ‎(ii)若 ‎ 单调减少,在(0,a-1),‎ ‎ 单调增加.‎ ‎(iii)若单调增加.‎ ‎(II)考虑函数 ‎ ‎ 由 ‎ ‎ 由于,从而当时有 ‎ ‎ ‎ 故,当时,有 ‎ ‎10.解:(I), ‎ ‎∵函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同,‎ ‎∴当时,恒成立, 即恒成立, ‎ ‎∴在时恒成立,或在时恒成立,‎ ‎∵,∴或 ‎ ‎(II),‎ ‎∵定义域是,,即 ‎∴在是增函数,在实际减函数,在是增函数 ‎∴当时,取极大值,‎ 当时,取极小值, ‎ ‎ ∵,∴ ‎ 设,则,‎ ‎∴,∵,∴‎ ‎∴在是增函数,∴‎ ‎∴在也是增函数 ‎ ‎∴,即,‎ 而,∴‎ ‎∴当时,不等式成立. ‎ ‎11.解:(I),得 当变化时,与变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 单调递增 极大值 单调递减 ‎∴当时,取得极大值,没有极小值; ‎ ‎(II)(方法1)∵,∴,∴‎ 即,设 ‎,,是的增函数,‎ ‎∵,∴;‎ ‎,,是的增函数,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴函数在内有零点, ‎ 又∵,函数在是增函数,‎ ‎∴函数在内有唯一零点,命题成立 ‎(方法2)∵,∴,‎ 即,,且唯一 设,则,‎ 再设,,∴‎ ‎∴在是增函数 ‎∴,同理 ‎∴方程在有解 ‎ ‎∵一次函数在是增函数 ‎∴方程在有唯一解,命题成立………(12分)‎ 注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线不存在拐点,不给分.‎ ‎12.解:(I),即 ‎ 得函数的定义域是, ‎ ‎(II)‎ 设曲线处有斜率为-8的切线,‎ 又由题设 ‎①②③‎ ‎∴存在实数b使得 有解, 由①得代入③得, ‎ 有解, ……………………(8分)‎ 方法1:,因为,所以,‎ 当时,存在实数,使得曲线C在处有斜率为-8的切线 ‎………………(10分)‎ 方法2:得,‎ ‎ ‎ 方法3:是的补集,即 ‎ ‎(III)令 又令 ,‎ 单调递减. ……………………(12)分 单调递减, ‎ ‎,‎ ‎ ‎