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- 2021-05-13 发布
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高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解
一、选择题
1.(文)下列函数,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A.y=x+x3(x∈R)
B.y=3x(x∈R)
C.y=-log2x(x>0,x∈R)
D.y=-(x∈R,x≠0)
[答案] A
[解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称,排除C,若x=0在定义域内,则应有f(0)=0,排除B;又函数在定义域内单调递增,排除D,故选A.
(理)下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是( )
A.f(x)=sinx B.f(x)=-|x+1|
C.f(x)=(ax+a-x) D.f(x)=ln
[答案] D
[解析] y=sinx与y=ln为奇函数,而y=(ax+a-x)为偶函数,y=-|x+1|是非奇非偶函数.y=sinx在[-1,1]上为增函数.故选D.
2.(2010·安徽理,4)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
[答案] A
[解析] f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1,故选A.
3.(2010·河北唐山)已知f(x)与g(x)分别是定义在R上奇函数与偶函数,若f(x)+g(x)=log2(x2+x+2),则f(1)等于( )
A.- B.
C.1 D.
[答案] B
[解析] 由条件知,,
∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.
∴,∴f(1)=.
4.(文)(2010·北京崇文区)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)=-,当1≤x≤2时,f(x)=x-2,则f(6.5)=( )
A.4.5 B.-4.5
C.0.5 D.-0.5
[答案] D
[解析] ∵f(x+2)=-,∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-=f(x),∴f(x)周期为4,∴f(6.5)=f(6.5-8)=f(-1.5)=f(1.5)=1.5-2=-0.5.
(理)(2010·山东日照)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+2)=f(x),若f(x)在[-1,0]上是减函数,则f(x)在[2,3]上是( )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减的函数 D.先减后增的函数
[答案] A
[解析] 由f(x+2)=f(x)得出周期T=2,
∵f(x)在[-1,0]上为减函数,
又f(x)为偶函数,∴f(x)在[0,1]上为增函数,从而f(x)在[2,3]上为增函数.
5.(2010·辽宁锦州)已知函数f(x)是定义在区间[-a,a](a>0)上的奇函数,且存在最大值与最小值.若g(x)=f(x)+2,则g(x)的最大值与最小值之和为( )
A.0 B.2
C.4 D.不能确定
[答案] C
[解析] ∵f(x)是定义在[-a,a]上的奇函数,∴f(x)的最大值与最小值之和为0,又g(x)=f(x)+2是将f(x)的图象向上平移2个单位得到的,故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大值与最小值都大2,故其和为4.
6.定义两种运算:a⊗b=,a⊕b=|a-b|,则函数f(x)=( )
A.是偶函数
B.是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
[答案] B
[解析] f(x)=,
∵x2≤4,∴-2≤x≤2,
又∵x≠0,∴x∈[-2,0)∪(0,2].
则f(x)=,
f(x)+f(-x)=0,故选B.
7.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(log3),c=f(0.20.6),则a、b、c的大小关系是( )
A.c1,|log3|=log23>log2,0<0.20.6<1,
∴|log3|>|log47|>|0.20.6|.
又∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,且f(x)为偶函数,
∴f(x)在[0,+∞)上是减函数.
∴b0得,-22,排除D,
当x=时,y==>1,排除B,故选C.
二、填空题
11.(文)已知f(x)=,则f+f的值为________.
[答案] -2
[解析] f=f-1=f-2
=sin-2=-,
f=sin=sin=,∴原式=-2.
(理)设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________.
[答案] 0
[解析] ∵f(x)的图象关于直线x=对称,
∴f=f,对任意x∈R都成立,
∴f(x)=f(1-x),又f(x)为奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=-f(1+x)
=f(-1-x)=f(2+x),
∴周期T=2 ∴f(0)=f(2)=f(4)=0
又f(1)与f(0)关于x=对称
∴f(1)=0 ∴f(3)=f(5)=0 填0.
12.(2010·深圳中学)已知函数y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域都是[-π,π],且它们在x∈[0,π]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是________.
[答案] ∪
[解析] 依据偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称,先补全f(x)、g(x)的图象,
∵<0,∴,或,观察两函数的图象,其中一个在x轴上方,一个在x轴下方的,即满足要求,∴-0得,-2,∴0,当x∈(-1,-)时,g′(x)<0,当x∈(-,+∞)时,g′(x)>0,
∴g(x)在x=-1处取得极大值,在x=-处取得极小值.
又∵g(-1)=2,g(-)=,且方程g(x)+b=0即g(x)=-b有三个不同的实数解,∴<-b<2,
解得-20且a≠1)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的值域;
(3)当x∈(0,1]时,tf(x)≥2x-2恒成立,求实数t的取值范围.
[解析] (1)∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,即f(-x)=-f(x)恒成立,∴f(0)=0.
即1-=0,
解得a=2.
(2)∵y=,∴2x=,
由2x>0知>0,
∴-10,a>0,且f(x)为偶函数,证明F(m)+F(n)>0.
[解析] (1)因为f(x)=ax2+bx+c,所以f ′(x)=2ax+b.
又曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴,故f ′(-1)=0,
即-2a+b=0,因此b=2a.①
因为f(-1)=0,所以b=a+c.②
又因为曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),
所以c=2a+3.③
解由①,②,③组成的方程组得,a=-3,b=-6,c=-3.
从而f(x)=-3x2-6x-3.
所以F(x)=.
(2)由(1)知f(x)=-3x2-6x-3,
所以g(x)=kx-f(x)=3x2+(k+6)x+3.
由g(x)在[-1,1]上是单调函数知:
-≤-1或-≥1,得k≤-12或k≥0.
(3)因为f(x)是偶函数,可知b=0.
因此f(x)=ax2+c.
又因为mn<0,m+n>0,
可知m,n异号.
若m>0,则n<0.
则F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am2+c-an2-c
=a(m+n)(m-n)>0.
若m<0,则n>0.
同理可得F(m)+F(n)>0.
综上可知F(m)+F(n)>0.