2014高考数学一轮复习单元练习空间几何体 7页

2019 高考数学一轮复习单元练习--空间几何体 I 卷 一、选择题 1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 ，则圆台较小底面 的半径为（ ）. A． 7 B． 6 C． 5 D． 3 【答案】A 2． 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A． π B． π C． π D． π 【答案】A 3．过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的(　　) A． 1 16 B． 3 16 C． 1 12 D． 1 8 【答案】B 4．图 12－3 是底面积为 3，体积为 3的正三棱锥的正视图(等腰三角形)和俯视图(等边三角形)，此三棱 锥的侧视图的面积为(　　) A．6 B． 3 3 2 C．2 7 D． 4 21 3 图 12－3 　　　　　 图 12－4 【答案】B 5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　) 【答案】D 6．在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，沿 AC 将矩形 ABCD 折叠，其正视图和俯视图如图 12－8 所示．此 时连接顶点 B、D 形成三棱锥 B－ACD，则其侧视图的面积为(　　)[来源:Zxxk.Com] A． 12 5 B． 12 25 C． 72 25 D． 144 25 【答案】C 7．直三棱柱 ABC——A1B1C1 的体积为 V，已知点 P、Q 分别为 AA1、CC1 上的点，而且满足 AP=C1Q，则四棱 锥 B—APQC 的体积是（ ） A． V B． V 84π 19 3 16 3 19 12 4 3 1 2 1 3 C． V D． V 【答案】B 8．一个几何体的三视图如图 12－9 所示，则这个几何体的体积是(　　) A． 1 2 　　　B．1 C． 3 2 　　　D．2 【答案】A 9．高为 2 4 的四棱锥 S－ ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，点 S、A、B、C、D 均在半径为 1 的同一球 面上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为(　　) A． 2 4 B． 2 2 C．1 D． 2 【答案】C 10．正方体的内切球 和外接球的半径之比为（　 ）. A． B． C． D． 【答案】D 11．用长为 4，宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ）. A． 8 B． C． D． 【答案】B 12． 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ） A． 4 B． 8 C． 16 D． 20 【 答 案 】 C 【解析】由三视图我们易判断这个几何体是四棱锥，由左视图和俯视图我们易该棱锥底面的长和宽，及棱 锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案 解：由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥， 又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为 2，棱锥的高为 4 由俯视图我们易判断四棱锥的长 为 4 代入棱锥的体积公式，我们易得 V= ×6×2×4=16 故答案为：16 1 4 2 3 3 :1 3 : 2 2: 3 3 :3 8 π 4 π 2 π 1 3 II 卷 二、填空题 13．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该 正三棱锥的体积是________． 【答案】 3 4 14．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 3，体积为 6，则这个球的表面积是________． 【答案】16π 15．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 1：2，则它们的 高之比为 . 【答案】 16．底面边长分别为 a,b 的一个直平行六面体的侧面积是( a+b)c，则它的高为---------------------。 【答案】 2 2 : 5 2 c 三、解答题 17．如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上， BAC=30°，BM 于点 M，EA 平面 ABC，FC//EA， AC=4，EA=3，FC=1. (I）求证：EM BF； (II）求平面 BMF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】解法一 (I）∵ 平面 ABC，BM 平面 ABC，∴ BM. 又 AC，EA ∴ 平面 ACFE， 而 EM 平面 ACFE，∴ EM. ∵AC 是圆 O 的直径，∴ 又 ∵ 平面 ABC，EC//EA，∴FC 平面 ABC. ∴易知 与 都是等腰直角三角形. ∴ ∴ 即 ∵ ∴ 平面 MBF，而 BF 平面 MBF， ∴ [来源:Zxxk.Com] (II）由（I）知， 平面 ACFE，∴ 又∵ ∴ 为二面角 C—BM—F 的平面角 在 中，由（I）知 ∴平面 BMF 与水平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 18．一个多面体的直观图如图所示（其中 分别为 的中点） (1）求证： 平面 (2）求多面体 的体积 ∠ AC⊥ ⊥ ⊥ ⊥EA ⊂ ⊥EA ⊥BM ,AAC =∩ ⊥BM ⊂ ⊥BM .90o=∠ABC ,4,30 ==∠ ACBAC o ⊥EA ⊥ EAM∆ FCM∆ .45o=∠=∠ FMCEMA ,90o=∠EMF MFEM ⊥ ,MBMMF =∩ ⊥EM ⊂ .BFEM ⊥ ⊥BM ,MFBM ⊥ ,ACBM ⊥ CMF∠ CMF∆ o45=∠CMF .2 2 NM , BCAF, //MN CDEF CDEFA − [来源:1ZXXK] 【答案】由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ，且 ， ， 取 的中点 ，连 ，由 分别为 中点可得 ， 平面 平面 ， 平面 。 取 中点 ， 在直三棱柱 中，平面 平面 ，面 面 ， 面 ， 多面体 是以 为高，以 矩形 为底面的棱锥，在 中， 棱锥 的体积 。 19．如图，在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥面 ABCD，E 是 PD 的中点. (I）求证：平面 PDC⊥平面 PDA； (II）求几何体 P—ABCD 被平面 ACE 分得的两部分的体积比 ： 【答案】（I）∵ 平面 ABCD， 平面 ABCD. ∵四边形 ABCD 是矩形. ∴ ∴ 平面 PAD 又∵CD 平面 PDC，∴平面 PDC 平面 PAD ACDEV .PABCEV ⊥PA ⊂CD CDAD ⊥ ⊥CD ⊂ ⊥ (II）由已知 20．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 ，求球的表面积 和体积. [来源:学。科。网 Z。X。X。K] 【答案】作轴截面如图所示， ， ，设球半径为 ， 则 ，∴ ， 21．如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， 是 的中点． (Ⅰ）求 和平面 所成的角的大小； (Ⅱ）证明 平面 ； (Ⅲ）求二面角 的正弦值． 【答案】（Ⅰ）在四棱锥 中，因 底面 ， 平面 ，故 ． 又 ， ，从而 平面 ．故 在平面 内的射影为 ，从而 为 和平面 所成的角． 在 中， ，故 ． 所以 和平面 所成的角的大小为 ． (Ⅱ）在四棱锥 中， 因 底面 ， 平面 ，故 ． 由条件 ， ， 面 ．又 面 ， ． 由 ， ，可得 ． 是 的中点， ， ．综上得 平面 ． (Ⅲ）过点 作 ，垂足为 ，连结 ．由（Ⅱ）知， 平面 ， 在平面 内的射影是 ，则 ． 因此 是二面角 的平面角．由已知，得 ．设 ，得 在 中， ， ，则 ．在 中， ． ( ) 4 1 23 1 2 1 3 1 = ••   •⋅ = ∆ ∆ − − PAS PAS V V ACD ACD ABCDP ACDE 6 6CC′ = 2 6 2 3AC = ⋅ = R 2 2 2R OC CC′= + 2 2( 6) ( 3) 9= + = 3R = P ABCD− PA ⊥ ABCD AB AD AC CD⊥ ⊥， ， 60ABC∠ = ° PA AB BC= = E PC PB PAD AE ⊥ PCD A PD C− − P ABCD− PA ⊥ ABCD AB ⊂ ABCD PA AB⊥ AB AD⊥ PA AD A= AB ⊥ PAD PB PAD PA APB∠ PB PAD Rt PAB△ AB PA= 45APB = ∠ PB PAD 45 P ABCD− PA ⊥ ABCD CD ⊂ ABCD CD PA⊥ CD AC⊥ PA AC A= CD∴ ⊥ PAC AE ⊂ PAC AE CD∴ ⊥ PA AB BC= = 60ABC = ∠ AC PA= E PC AE PC∴ ⊥ PC CD C∴ = AE ⊥ PCD E EM PD⊥ M AM AE ⊥ PCD AM PCD EM AM PD⊥ AME∠ A PD C− − 30CAD = ∠ AC a= Rt ADP△ AM PD⊥ AM PD PA AD∴ =  2 3 2 73 721 3 a aPA ADAM aPD a = =  Rt AEM△ 14sin 4 AEAME AM = = 22．斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧面 ACC1A1⊥平面 ABC，∠ACB＝90°. (1)求证：BC⊥AA1； (2)若 M，N 是棱 BC 上的两个三等分点，求证： A1N∥ 平面 AB1M. 【答案】(1)因为∠ACB＝90°，所以 AC⊥CB. 又侧面 ACC1A1⊥平面 ABC，且平面 ACC1A1∩平面 ABC＝AC，BC⊂平面 ABC，[来源:Zxxk.Com] 所以 BC⊥平面 ACC1A1， 而 AA1⊂平面 ACC1A1，所以 BC⊥AA1. (2)连接 A1B，交 AB1 于 O 点，连接 MO， 在△A1BN 中，O、M 分别为 A1B、BN 的中点， 所以 OM∥A1N. 又 OM⊂平面 AB1M，A1N⊄平面 AB1M， 所以 A1N∥平面 AB1M.