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- 2021-05-13 发布
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2016年上海市浦东新区高考数学二模试卷(理科)
一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)
1.已知全集U=R,若集合A={x|},则∁UA= .
2.已知复数z满足z(1﹣i)=2i,其中i为虚数单位,则|z|= .
3.双曲线2x2﹣y2=6的焦距为 .
4.已知(ax+)6二项展开式的第五项系数为,则正实数a的值为 .
5.方程log2(9x+7)=2+log2(3x+1)的解为 .
6.已知函数f(x)=(a)图象与它的反函数图象重合,则实数a= .
7.在△ABC中,边a、b、c所对角分别为A、B、C,若=0,则△ABC的形状为 .
8.在极坐标系中,点A(2,)到直线ρcos()=的距离为 .
9.离散型随机变量ξ的概率分布列如图,若Eξ=1,则Dξ的值为 .
ξ
0
1
2
P
0.2
a
b
10.已知四面体ABCD中,AB=CD=2,E、F分别为BC、AD的中点,且异面直线AB与CD所成的角为,则EF= .
11.设m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数,且向量=(m,n),=(1,﹣1),则与的夹角为锐角的概率是 .
12.已知{an}的通项公式为an=(﹣1)n•n+2n,n∈N+,则前n项和Sn= .
13.任意实数a、b,定义a⊗b=,设函数f(x)=(log2x)⊗x,数列{an}是公比大于0的等比数列,且a6=1.f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a9)+f(a10)=2a1,则a1= .
14.关于x的方程=|sin|在[﹣2016,2016]上解的个数为 .
二、选择题(共4小题,每小题5分,满分20分)
15.“﹣”是“不等式|x﹣1|<1成立”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分亦非必要条件
16.给出下列命题,其中正确的命题为( )
A.若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面
B.直线a与平面α不垂直,则a与平面α内所有的直线都不垂直
C.直线a与平面α不平行,则a与平面α内的所有直线都不平行
D.异面直线a、b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直
17.抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又点A(﹣1,0),则的最小值是( )
A. B. C. D.
18.已知平面直角坐标系中两个定点E(3,2),F(﹣3,2),如果对于常数λ,在函数y=|x+2|+|x﹣2|﹣4,(x∈[﹣4,4])的图象上有且只有6个不同的点P,使得=λ成立,那么λ的取值范围是( )
A.(﹣5,﹣)B.(﹣,11)C.(﹣,﹣1)D.(﹣5,11)
三、解答题(共5小题,满分60分)
19.如图,在圆锥SO中,AB为底面圆O的直径,点C为弧的中点,SO=AB;
(1)证明:AB⊥平面SOC;
(2)若点D为母线SC的中点,求AD与平面SOC所成角;(结果用反三角函数表示)
20.如图,一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾,红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m,于是选择沿A→B→C路线清扫,已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s,忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间,10秒钟完成了清扫任务;
(1)求B、C两处垃圾之间的距离;(精确到0.1)
(2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的大小;(用反三角函数表示)
21.数列{an}满足:a1=2,a,且a1、a2+1、a3成等差数列,其中n∈N+;
(1)求实数λ的值及数列{an}的通项公式;
(2)若不等式成立的自然数n恰有4个,求正整数p的值.
22.教材曾有介绍:圆x2+y2=r2上的点(x0,y0)处的切线方程为x,我们将其结论推广:椭圆=1(a>b>0)上的点(x0,y0)处的切线方程为,在解本题时可以直接应用,已知:直线x﹣y+=0与椭圆E: =1(a>1)有且只有一个公共点;
(1)求a的值;
(2)设O为坐标原点,过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线l1、l2,且l1与l2交于点M(2,m),当m变化时,求△OAB面积的最大值;
(3)在(2)的条件下,经过点M(2,m)作直线l与该椭圆E交于C、D两点,在线段CD上存在点N,使成立,试问:点N是否在直线AB上,请说明理由.
23.(理科)已知f(x)是定义在[a,b]上的函数,如果存在常数M>0,对区间[a,b]的任意划分:a=x0<x1<…<xn﹣1<xn=b,和式≤M恒成立,则称f(x)为[a,b]上的“绝对差有界函数”,注:;
(1)证明函数f(x)=sinx+cosx在[﹣,0]上是“绝对差有界函数”;
(2)证明函数f(x)=不是[0,1]上的“绝对差有界函数”;
(3)记集合A={f(x)|存在常数k>0,对任意的x1,x2∈[a,b],有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成立},证明集合A中的任意函数f(x)均为“绝对差有界函数”,并判断g(x)=2016sin是否在集合A中,如果在,请证明并求k的最小值,如果不在,请说明理由.
2016年上海市浦东新区高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)
1.已知全集U=R,若集合A={x|},则∁UA= [0,1] .
【考点】补集及其运算.
【分析】求解不等式化简集合A,然后直接利用补集运算求解.
【解答】解:由得到x(x﹣1)>0,解得x<0或x>1,
∴A=(﹣∞,0)∪(1,+∞),
∴∁UA=[0,1],
故答案为:[0,1].
2.已知复数z满足z(1﹣i)=2i,其中i为虚数单位,则|z|= .
【考点】复数求模.
【分析】利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出.
【解答】解:∵复数z满足z(1﹣i)=2i,
∴z(1﹣i)(1+i)=2i(1+i),
∴2z=2(i﹣1),
∴z=i﹣1.
则|z|=.
故答案为:.
3.双曲线2x2﹣y2=6的焦距为 6 .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】将双曲线的方程化为标准方程,求得a,b,c,可得焦距2c的值.
【解答】解:双曲线2x2﹣y2=6即为﹣=1,
可得a=,b=,c==3,
即有焦距为2c=6.
故答案为:6.
4.已知(ax+)6二项展开式的第五项系数为,则正实数a的值为 .
【考点】二项式系数的性质.
【分析】T5=x﹣2,由已知可得: =,a>0.解出即可得出.
【解答】解:T5==x﹣2,
∴=,a>0.
解得a=.
故答案为:.
5.方程log2(9x+7)=2+log2(3x+1)的解为 x=0和x=1 .
【考点】对数的运算性质.
【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于3x的一元二次方程,求得3x的值,进一步求得x值得答案.
【解答】解:由log2(9x+7)=2+log2(3x+1),得
log2(9x+7)=log24(3x+1),
即9x+7=4(3x+1),
化为(3x)2﹣4•3x+3=0,
解得:3x=1和3x=3,
∴x=0和x=1.
故答案为:x=0和x=1.
6.已知函数f(x)=(a)图象与它的反函数图象重合,则实数a= ﹣3 .
【考点】反函数.
【分析】由y=(a),可得反函数:y=,利用函数f(x)=(a)图象与它的反函数图象重合,即为同一个函数即可得出.
【解答】解:由y=(a),解得x=(y≠3),把x与y互换可得:y==,
∵函数f(x)=(a)图象与它的反函数图象重合,
∴﹣a=3,解得a=﹣3.
故答案为:﹣3.
7.在△ABC中,边a、b、c所对角分别为A、B、C,若=0,则△ABC的形状为 等腰三角形或直角三角形 .
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦定理.
【分析】由题意可得acosA﹣bcosB=0,利用正弦定理化边为角,得到sin2A=sin2B.再由A,B为三角形的两个内角,可得A=B或A+B=,得到三角形为等腰三角形或直角三角形.
【解答】解:由=0,得a•cosA﹣b,
即acosA﹣bcosB=0,
由正弦定理可得:sinAcosA﹣sinBcosB=0,
∴sin2A=sin2B.
∵A,B为三角形的两个内角,
∴2A=2B或2A+2B=π.
即A=B或A+B=,
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.
故答案为:等腰三角形或直角三角形.
8.在极坐标系中,点A(2,)到直线ρcos()=的距离为 2 .
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【分析】先求出A(0,2),直线为x﹣y﹣2=0,由此利用点到直线的距离公式能求出点A(2,)到直线ρcos()=的距离.
【解答】解:在极坐标系中,点A(2,),
∴在平面直角坐标系中,A(2cos,2sin),即A(0,2),
∵ρcos()=ρ(cos﹣sin)=cosθ﹣sinθ=,
∴=1,
∴ρcosθ=x,ρsinθ=y,
∴直线为x﹣y﹣2=0,
点A(0,2)到直线x﹣y﹣2=0的距离:d==2,
∴点A(2,)到直线ρcos()=的距离为2.
故答案为:2.
9.离散型随机变量ξ的概率分布列如图,若Eξ=1,则Dξ的值为 0.4 .
ξ
0
1
2
P
0.2
a
b
【考点】离散型随机变量及其分布列.
【分析】利用离散型分布列的性质,先求出a,b,由此能求出Dξ的值.
【解答】解:∵Eξ=1,
∴由离散型随机变量ξ的概率分布列,得,
解得a=0.6,b=0.2,
∴Dξ=(0﹣1)2×0.2+(1﹣1)2×0.6+(2﹣1)2×0.2=0.4.
故答案为:0.4.
10.已知四面体ABCD中,AB=CD=2,E、F分别为BC、AD的中点,且异面直线AB与CD所成的角为,则EF= 1 .
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】取BD中点O,连结EO、FO,推导出EO=FO=1,,由此能求出EF.
【解答】解:取BD中点O,连结EO、FO,
∵四面体ABCD中,AB=CD=2,E、F分别为BC、AD的中点,且异面直线AB与CD所成的角为,
∴EO∥CD,且EO=,FO∥AB,且FO==1,
∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角,∴,
∴△EOF是等边三角形,∴EF=1.
故答案为:1.
11.设m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数,且向量=(m,n),=(1,﹣1),则与的夹角为锐角的概率是 .
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】由与的夹角为锐角,得到,由此能求出与的夹角为锐角的概率.
【解答】解:∵m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数,且向量=(m,n),=(1,﹣1),
与的夹角为锐角,
∴,
基本事件总数n=6×6=36,
m﹣n>0包含的基本事件个数m=15,
∴与的夹角为锐角的概率是p===.
故答案为:.
12.已知{an}的通项公式为an=(﹣1)n•n+2n,n∈N+,则前n项和Sn= .
【考点】数列的求和.
【分析】an=(﹣1)n•n+2n,n∈N+,∴a2k﹣1+a2k=﹣(2k﹣1)+22k﹣1+2k+22k=1+.当n为偶数时,则前n项和Sn=S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2k﹣1+a2k),再利用等比数列的前n项和公式即可得出.当n为奇数时,则前n项和Sn=S2k﹣2+an.
【解答】解:∵an=(﹣1)n•n+2n,n∈N+,
∴a2k﹣1+a2k=﹣(2k﹣1)+22k﹣1+2k+22k=1+.
当n为偶数时,则前n项和Sn=S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2k﹣1+a2k)=k+×=+2(4k﹣1)=+2n+1﹣2.
当n为奇数时,则前n项和Sn=S2k﹣2+an=+2n﹣2﹣n+2n=2n+1﹣2﹣.
综上可得:Sn=.
故答案为:Sn=.
13.任意实数a、b,定义a⊗b=,设函数f(x)=(log2x)⊗x,数列{an}是公比大于0的等比数列,且a6=1.f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a9)+f(a10)=2a1,则a1= 4 .
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】f(x)=(log2x)⊗x=,及其数列{an}是公比大于0的等比数列,且a6=1,对公比q分类讨论,再利用对数的运算性质即可得出.
【解答】解:∵f(x)=(log2x)⊗x=,
∵数列{an}是公比大于0的等比数列,且a6=1,
①1<q时,a1,a2,…,a5∈(0,1),a7,a8,a9,a10∈[1,+∞),=1.
∴,
分别为:,,…,,1,q,…,q4.
∵f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a9)+f(a10)=2a1,
∴++…++0+a7log2a7+…+a10log2a10=2a1,
∴+q4+…++qlog2q+…+=2×.
∴=2×.左边小于0,右边大于0,不成立,舍去.
②0<q<1时, =1,∴,
分别为:,,…,,1,q,…,q4,a1,a2,…,a5∈(1,+∞);a7,a8,a9,a10∈(0,1),
∵f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a9)+f(a10)=2a1,
∴++…++log2q+…+=2×.
∴=2×.
∴=4,
∴a1=4.
③q=1时,a1=…=a6=…=a10=1,不满足f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a9)+f(a10)=2a1,舍去.
综上可得:a1=4.
故答案为:4.
14.关于x的方程=|sin|在[﹣2016,2016]上解的个数为 4031 .
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题,作出两个函数的图象,利用数形结合进行求解即可得到结论.
【解答】解:y==,
作函数y=与y=|sinπx|在[﹣2016,2016]上的图象如下,
由图象知函数y=|sin|的周期是2,两个函数都关于x=1对称,
当x≤0时,两个函数在每个周期内都有两个交点,此时在[﹣2016,0]内有1008×2=2016个交点,
在[0,2]内两个函数只有一个交点,
当x≥2时,两个函数在每个周期内都有两个交点,此时在[2,2016]内有1007×2=2014个交点,
则在[﹣2016,2016]上解的个数为2016+1+2014=4031,
故答案为:4031
二、选择题(共4小题,每小题5分,满分20分)
15.“﹣”是“不等式|x﹣1|<1成立”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分亦非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】不等式|x﹣1|<1成立,化为﹣1<x﹣1<1,解得即可判断出结论.
【解答】解:不等式|x﹣1|<1成立,化为﹣1<x﹣1<1,解得0<x<2,
∴“﹣”是“不等式|x﹣1|<1成立”的既不充分也不必要条件.
故选:D.
16.给出下列命题,其中正确的命题为( )
A.若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面
B.直线a与平面α不垂直,则a与平面α内所有的直线都不垂直
C.直线a与平面α不平行,则a与平面α内的所有直线都不平行
D.异面直线a、b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】根据各命题条件,举出反例判断,使用排除法选出答案.
【解答】解:对于A,若b为异面直线a,c的公垂线,则a与b,b与c都相交,但a,c异面,故A错误;
对于B,若直线a⊂α,则α内有无数条直线都与直线a垂直,故B错误;
对于C,若直线a⊂α,则α内有无数条直线都与直线a平行,故C错误;
对于D,假设存在平面α,使得a⊂α,b⊥α,则b⊥a,与条件矛盾,所以假设错误,故D正确
故选:D.
17.抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又点A(﹣1,0),则的最小值是( )
A. B. C. D.
【考点】直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质.
【分析】通过抛物线的定义,转化PF=PN,要使有最小值,只需∠APN最大即可,作出切线方程即可求出比值的最小值.
【解答】解:由题意可知,抛物线的准线方程为x=﹣1,A(﹣1,0),
过P作PN垂直直线x=﹣1于N,
由抛物线的定义可知PF=PN,连结PA,当PA是抛物线的切线时,有最小值,则∠APN最大,即∠PAF最大,就是直线PA的斜率最大,
设在PA的方程为:y=k(x+1),所以,
解得:k2x2+(2k2﹣4)x+k2=0,
所以△=(2k2﹣4)2﹣4k4=0,解得k=±1,
所以∠NPA=45°,
=cos∠NPA=.
故选B.
18.已知平面直角坐标系中两个定点E(3,2),F(﹣3,2),如果对于常数λ,在函数y=|x+2|+|x﹣2|﹣4,(x∈[﹣4,4])的图象上有且只有6个不同的点P,使得=λ成立,那么λ的取值范围是( )
A.(﹣5,﹣)B.(﹣,11)C.(﹣,﹣1)D.(﹣5,11)
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】画出函数y=|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4,4]的图象,讨论若P在AB上,设P(x,﹣2x﹣4);若P在BC上,设P(x,0);若P在CD上,设P(x,2x﹣4).求得向量PE,PF的坐标,求得数量积,由二次函数的最值的求法,求得取值范围,讨论交点个数,即可得到所求范围.
【解答】解:函数y=|x+2|+|x﹣2|﹣4
=,
(1)若P在AB上,设P(x,﹣2x﹣4),﹣4≤x≤﹣2.
∴=(3﹣x,6+2x),=(﹣3﹣x,6+2x).
∴=x2﹣9+(6+2x)2=5x2+24x+27,
∵x∈[﹣4,﹣2],∴﹣≤λ≤11.
∴当λ=﹣时有一解,当﹣<λ≤11时有两解;
(2)若P在BC上,设P(x,0),﹣2<x≤2.
∴=(3﹣x,2),=(﹣3﹣x,2).
∴=x2﹣9+4=x2﹣5,
∵﹣2<x≤2,∴﹣5≤λ≤﹣1.
∴当λ=﹣5或﹣1时有一解,当﹣5<λ<﹣1时有两解;
(3)若P在CD上,设P(x,2x﹣4),2<x≤4.
=(3﹣x,6﹣2x),=(﹣3﹣x,6﹣2x),
∴=x2﹣9+(6﹣2x)2=5x2﹣24x+27,
∵2<x≤4,∴﹣≤=λ≤11.
∴当λ=﹣时有一解,当﹣<λ<11时有两解.
综上,可得有且只有6个不同的点P的情况是﹣<λ<﹣1.
故选:C.
三、解答题(共5小题,满分60分)
19.如图,在圆锥SO中,AB为底面圆O的直径,点C为弧的中点,SO=AB;
(1)证明:AB⊥平面SOC;
(2)若点D为母线SC的中点,求AD与平面SOC所成角;(结果用反三角函数表示)
【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)由圆的性质得出AB⊥OC,由SO⊥平面ABC得出SO⊥AB,故而AB⊥平面SOC;
(2)连结OD,由AB⊥平面SOC可知∠ADO为所求角,设圆锥底面半径为a,求出OD,得出tan∠ADO.
【解答】证明:(1)∵SO⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,
∴SO⊥AB,
∵C为的中点,
∴AB⊥OC,又SO⊂平面SOC,OC⊂平面SOC,SO∩OC=O,
∴AB⊥平面SOC.
(2)连结OD.
∵AB⊥平面SOC,
∴∠ADO为AD与平面SOC所成的角,
设OA=a,则OC=a,SO=AB=2a,
∴SC==a,∴OD=,
∴tan∠ADO==.
∴AD与平面SOC所成角为arctan.
20.如图,一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾,红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m,于是选择沿A→B→C路线清扫,已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s,忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间,10秒钟完成了清扫任务;
(1)求B、C两处垃圾之间的距离;(精确到0.1)
(2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的大小;(用反三角函数表示)
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】(1)设BC=x,则AB=2﹣x,AC=2.4﹣x,A=120°,利用余弦定理列方程解出x;
(2)利用(1)的结论得出三角形ABC的三边长,使用余弦定理求出cosB,得到B的大小.
【解答】解;(1)设BC=x,则AB=2﹣x,AC=2﹣x+0.4=2.4﹣x,
由题意得A=120°,
在△ABC中,由余弦定理得:cosA===﹣.
解得x=1.4.
∴BC=1.4m.
(2)由(1)知AB=0.6,AC=1,BC=1.4.
∴cosB==.
∴B=arccos.
21.数列{an}满足:a1=2,a,且a1、a2+1、a3成等差数列,其中n∈N+;
(1)求实数λ的值及数列{an}的通项公式;
(2)若不等式成立的自然数n恰有4个,求正整数p的值.
【考点】数列与不等式的综合;数列递推式.
【分析】(1)由题意和等差中项的性质列出方程求出λ,再利用累加法求出数列{an}的通项公式;
(2)结合条件对n进行分类讨论,当n≥3时利用分离常数法化简得p≤,利用取特值和做商法判断出的单调性,再判断出的单调性,根据条件即可求出正整数p的值.
【解答】解:(1)∵a1=2,an+1=an+λ•2n,
∴a2=a1+λ•2=2+2λ,a3=a2+4λ=2+6λ;
∵a1,a2+1,a3成等差数列,
∴2(2+2λ+1)=2+2+6λ,解得λ=1,即an+1﹣an=2n,
∴a2﹣a1=2,a3﹣a2=4,…,an﹣an﹣1=2n﹣1,
以上式子相加可得,an﹣a1=2+4+8+…+2n﹣1=2n﹣2,
得an﹣2=2n﹣2,则an=2n,
∴λ=1,an=2n;
(2)由(1)得,,
∵P>0,∴当n=1、2时,上式一定成立;
当n≥3时,化简得p≤=,
当n=3时,p≤==,当n=4时,p≤==4.8,
当n=5时,p≤=,当n=6时,p≤,…
设bn=,则===2(1﹣),
当n≥4时,2(1﹣)≥,则>1,
∴当n≥4时,bn随着n的增大而增大,则随着n的增大而减小,
∵等式成立的自然数n恰有4个,即n=1、2、4、5,
∴正整数p的值是3.
22.教材曾有介绍:圆x2+y2=r2上的点(x0,y0)处的切线方程为x,我们将其结论推广:椭圆=1(a>b>0)上的点(x0,y0)处的切线方程为,在解本题时可以直接应用,已知:直线x﹣y+=0与椭圆E: =1(a>1)有且只有一个公共点;
(1)求a的值;
(2)设O为坐标原点,过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线l1、l2,且l1与l2交于点M(2,m),当m变化时,求△OAB面积的最大值;
(3)在(2)的条件下,经过点M(2,m)作直线l与该椭圆E交于C、D两点,在线段CD上存在点N,使成立,试问:点N是否在直线AB上,请说明理由.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)将直线y=x+代入椭圆方程,得到x的方程,由直线和椭圆相切的条件:判别式为0,解方程可得a的值;
(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),可得切线l1:x1x+2y1y=2,l2:x2x+2y2y=2,再由M代入上式,结合两点确定一条直线,可得切点弦方程,AB的方程为x+my=1,运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,求得△OAB的面积,化简整理,运用基本不等式即可得到所求最大值;
(3)设C(x3,y3),D(x4,y4),N(x0,y0),由直线y=k(x﹣2)+m代入椭圆方程x2+2y2=2,运用韦达定理,由题意可得
,可得=,求得N的坐标,代入切点弦AB的方程,计算即可判断.
【解答】解:(1)将直线y=x+代入椭圆方程x2+a2y2=a2,
可得(1+a2)x2+2a2x+2a2=0,
由直线和椭圆相切,可得
△=12a4﹣4(1+a2)•2a2=0,
解得a=(由a>1);
(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),
可得切线l1:x1x+2y1y=2,
l2:x2x+2y2y=2,
由l1与l2交于点M(2,m),可得
2x1+2my1=2,2x2+2my2=2,
由两点确定一条直线,可得AB的方程为2x+2my=2,
即为x+my=1,原点到直线AB的距离为d=,
由消去x,可得(2+m2)y2﹣2my﹣1=0,
y1+y2=,y1y2=﹣,
可得|AB|=•=•=,
可得△OAB的面积S=d|AB|=•,
设t=(t≥1),
S==≤,
当且仅当t=1即m=0时,S取得最大值;
(3)设C(x3,y3),D(x4,y4),N(x0,y0),
由直线y=k(x﹣2)+m代入椭圆方程x2+2y2=2,
可得(1+2k2)x2+4k(m﹣2k)x+2(m﹣2k)2﹣2=0,
即有x3+x4=﹣,x3x4=,
由线段CD上存在点N,使成立,
可得=,化为x0=,
代入韦达定理,化简可得x0=,
y0=k(x0﹣2)+m=k(﹣2)+m=,
由x0+my0=+==1.
即有N在直线AB上.
23.(理科)已知f(x)是定义在[a,b]上的函数,如果存在常数M>0,对区间[a,b]的任意划分:a=x0<x1<…<xn﹣1<xn=b,和式≤M恒成立,则称f(x)为[a,b]上的“绝对差有界函数”,注:;
(1)证明函数f(x)=sinx+cosx在[﹣,0]上是“绝对差有界函数”;
(2)证明函数f(x)=不是[0,1]上的“绝对差有界函数”;
(3)记集合A={f(x)|存在常数k>0,对任意的x1,x2∈[a,b],有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成立},证明集合A中的任意函数f(x)均为“绝对差有界函数”,并判断g(x)=2016sin是否在集合A中,如果在,请证明并求k的最小值,如果不在,请说明理由.
【考点】三角函数的最值;函数的值域.
【分析】(1)利用函数在[﹣,0]是增函数,去掉绝对值,将连和符号用函数值的和表示出,求出值为,取M大于等于此值,满足“绝对差有界函数”的定义;
(2)举例说明函数f(x)对于和式= [+]≤M不成立即可;
(3)利用已知不等式,将函数值差的连和表示成自变量差的连和,去掉绝对值,将连和写成自变量差的和形式,求出连和的值,找到M,满足有界变差的定义即可.
【解答】解:(1)∵f(x)=sinx+cosx=sin(x+)在[﹣,0]上是增函数,
∴对任意划分f(xn)>f(xn﹣1),
∴|f(xi)﹣f(xi﹣1)|=f(x1)﹣f(x0)+…+f(xn)﹣f(xn﹣1)=f(0)﹣f(﹣)=2;
取常数M≥2,则和式≤M恒成立,
∴函数f(x)在[﹣,0]上是“绝对差有界函数”;
(2)证明:∵函数f(x)=,
令xi=,xi﹣1=,i∈N*,
则f(xi)﹣f(xj)=﹣﹣;
∴和式= [+]≤M不成立,
故函数f(x)不是[0,1]上的“绝对差有界函数”;
(3)∵存在常数k,使得对于任意的x1,x2∈[a,b],|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|,
∴|f(xi)﹣f(xi﹣1)|≤|xi﹣xi﹣1|=k(b﹣a);
故存在常数M=k(b﹣a),使得|f(xi)﹣f(xi﹣1)|≤M恒成立,
所以f(x)为[a,b]上的“绝对差有界函数”;
又函数g(x)=2016sin,
令x1=﹣,x2=,
∴|f(x1)﹣f(x2)|≤2016×(﹣1﹣1)=4032,
∴存在k≥4032,使g(x)=2016sin在集合A中.
2016年7月21日