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- 2021-05-13 发布
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式
P(A+B)=PA.+PB. S=4лR2
如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=PA.+PB. 球的体积公式
1+2+…+n V=
12+22+…+n2= 其中R表示球的半径
13+23++n3=
第Ⅰ卷(选择题 共55分)
一、选择题:本大题共11小题,每小题5分,共55分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中,反函数是其自身的函数为
A.
B.
C.
D.
2.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面内,“l”是lm且“ln”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若对任意R,不等式≥ax恒成立,则实数a的取值范围是
A.a<-1
B.≤1
C. <1
D.a≥1
4.若a为实数,=-i,则a等于
A.
B.—
C.2
D.—2
5.若,,则的元素个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
6.函数的图象为C,
①图象关于直线对称;
②函灶在区间内是增函数;
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.
以上三个论断中,正确论断的个数是
A.0
B.1
C.2
D.3
7.如果点在平面区域上,点在曲线上,那么 的最小值为
A.
B.
C.
D.
8.半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点,则与两点间的球面距离为
A.
B.
C.
D.
9.如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形,则双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
10.以表示标准正态总体在区间()内取值的概率,若随机变量服从正态分布,则概率等于
A.-
B.
C.
D.
11.定义在R上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为
A.0
B.1
C.3
D.5
第Ⅱ卷(非选择题 共95分)
注意事项:
请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
12.若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 。
13.在四面体O-ABC中,为BC的中点,E为AD的中点,则= (用a,b,c表示)。
14.如图,抛物线y=--x2+1与x轴的正半轴交于点A,将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线,与抛物线的交点依次为Q1,Q2,…,Qn-1,从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时,这些三角形的面积之和的极限为 。
15.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号)。
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;
④每个面都是等边三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体。
三、解答题:本大题共6小题,共79分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
已知0<a<的最小正周期,b=(cos a,2),且a·b=m。求的值。
17.(本小题满分14分)
如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2。
(Ⅰ)求证:A1C1与AC共面,B1D1与BD共面;
(Ⅱ)求证:平面A1ACC1⊥平面B1BDD1;
(Ⅲ)求二面角A-BB1-C的大小(用反三角函数值圾示)。
18.(本小题满分14分)
设a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0)。
(Ⅰ)令F(x)=xf'(x),讨论F(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值;
(Ⅱ)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-2a ln x+1。
19.(本小题满分12分)
如图,曲线G的方程为y2=2x(y≥0)。以原点为圆心,以t(t >0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B。直线AB与x轴相交于点C。
(Ⅰ)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式;
(Ⅱ)设曲线G上点D的横坐标为a+2,求证:直线CD的斜率为定值。
20.(本小题满分13分)
在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔。以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数。
(Ⅰ)写出ξ的分布列(不要求写出计算过程);
(Ⅱ)求数学期望Eξ;
(Ⅲ)求概率P(ξ≥Eξ)。
21.(本小题满分14分)
某国采用养老储备金制度。公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储务金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利。这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。
(Ⅰ)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式;
(Ⅱ)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分55分。
1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C
7.A 8.C 9.D 10.B 11.D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分。
12.7
13.
14.
15.①③④⑤
三、解答题
16.(本小题满分12分)
本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式,考查运算能力和推理能力.本小题满分12分。
解:因为为的最小正周期,故
因a·b=m,又a·b=,
故
由于,所以
=
=
17.(本小题满分14分)
本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分14分。
解法1(向量法):
以D为原点,以DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图,则有
A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),
(Ⅰ)证明:
于是与AC共面,与BD共面.
(Ⅱ)证明:
内的两条相交直线,
又平面
(Ⅲ)解:
设
于是
设
于是
解法2(综合法):
(Ⅰ)证明:
∥平面ABCD.
于是∥CD,∥DA.
设E,F分别为DA,DC的中点,连结EF,
有∥∥
∴∥
于是∥
由DE=DF=1,得EF∥AC,
故∥
与AC共面.
过点
于是
所以点O在BD上,故
(Ⅱ)证明:
又BD⊥AC(正方形的对角线互相垂直),
内的两条相交直线,
又平面
(Ⅲ)解:∵直线DB是直线
根据三垂线定理,有AC⊥
过点A在平面
则
于是
所以,∠AMC是二面角
根据勾股定理,有
二面角
18.(本小题满分14分)
本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力,本小题满分14分.
(Ⅰ)解:根据求导法则得
故
于是
列表如下:
x
(0,2)
2
(2,+∞)
F′(x)
-
0
+
F(x)
↓
极小值F(2)
↑
故知F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,所以,在x=2处取得极小值F(2)=2-2In2+2a.
(Ⅱ)证明:由
于是由上表知,对一切
从而当
所以当
故当
19.(本小题满分12分)
本小题综合考查平面解析几何知识,主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系,考查运算能力与思维能力,综合分析问题的能力.本小题满分12分.
解:
(Ⅰ)由题意知,A()
因为
由于
由点B(0,t)C(c,0)的坐标知,直线BC的方程为
又因点A在直线BC上,故有
将(1)代入上式,得
解得
(Ⅱ)因为
所以直线CD的斜率为定值.
20.(本小题满分13分)
本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算,考查分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分.
解:
(1)的分布列为
(Ⅱ)数学期望为E=
(Ⅲ)所求的概率
21.(本小题满分14分)
本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力,考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分.
解:
(Ⅰ)我们有
(Ⅱ)
= ①
在①式两端同乘1+r,得
②
②-①,得
=
即
如果记
则
其中
。
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