创新设计高考数学四川专用理科二轮专题整合数列的通项与求和问题 5页

www.ks5u.com 专题三 数列 第1讲　数列的通项与求和问题 一、选择题 ‎1．在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a4＋a5＝6，则a9＋a10等于 (　　)．‎ A．9 B．10 ‎ C．11 D．12‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，则有(a4＋a5)－(a2＋a3)＝4d＝2，所以d＝.又(a9＋a10)－(a4＋a5)＝10d＝5，所以a9＋a10＝(a4＋a5)＋5＝11.‎ 答案　C ‎2．(2014·嘉兴教学测试)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋‎2a2a6＋a‎3a7＝ (　　)．‎ A．4 B．6 ‎ C．8 D．8－4 解析　在等比数列{an}中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8.‎ 答案　C ‎3．已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为 (　　)．‎ A．n2＋1－ B．n2＋2－ ‎ C．n2＋1－ D．n2＋2－ 解析　因为an＝2n－1＋，‎ 则Sn＝＋＝n2＋1－.‎ 答案　A ‎4．(2014·烟台一模)在等差数列{an}中，a1＝－2 012，其前n项和为Sn，若－＝2 002，则S2 014的值等于 (　　)．‎ A．2 011 B．－2 012 ‎ C．2 014 D．－2 013‎ 解析　等差数列中，Sn＝na1＋d，＝a1＋(n－1)，即数列是首项为a1＝－2 012，公差为的等差数列；因为－＝2 002，所以，(2 012－10)＝2 002，＝1，所以，S2 014＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1]＝2 014，选C.‎ 答案　C ‎5．(2014·合肥质量检测)数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项积为Tn，则T2 014＝ (　　)．‎ A. B．－ ‎ C．6 D．－6‎ 解析　由an＝，得an＋1＝.‎ ‎∵a1＝2，∴a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，a6＝－3.‎ 故数列{an}具有周期性，周期为4，∵a1a2a3a4＝1，‎ ‎∴T2 014＝T2＝a1a2＝2×(－3)＝－6.‎ 答案　D 二、填空题 ‎6．(2014·衡水中学调研)已知数列{an}满足a1＝，an－1－an＝(n≥2)，则该数列的通项公式an＝________.‎ 解析　∵an－1－an＝(n≥2)，‎ ‎∴＝，∴－＝－，‎ ‎∴－＝－，－＝－，…，－＝－，‎ ‎∴－＝1－，又∵a1＝，∴＝3－，‎ ‎∴an＝.‎ 答案　 ‎7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于________．‎ 解析　由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝2，am＋1＝3，所以d＝1，‎ 因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，‎ 因为am＋am＋1＝5，‎ 故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.‎ 答案　5‎ ‎8．(2014·广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数，且a‎10a11＋a‎9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.‎ 解析　∵a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10·a11＝e5，‎ ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝10ln(a10·a11)＝10·ln e5＝50.‎ 答案　50‎ 三、解答题 ‎9．(2014·北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和．‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d＝＝＝3.‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．‎ 设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得 q3＝＝＝8，解得q＝2.‎ 所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.‎ 从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．‎ ‎(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．‎ 数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为＝2n－1.‎ 所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.‎ ‎10．(2014·江西卷)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足 anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.‎ ‎(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.‎ 解　(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，‎ 所以－＝2，即cn＋1－cn＝2.‎ 所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.‎ ‎(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，‎ 于是数列{an}前n项和Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，‎ ‎3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，‎ 相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，‎ 所以Sn＝(n－1)3n＋1.‎ ‎11．(2014·成都诊断)已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)数列{bn}满足bn＝(log‎2a2n＋1)×(log‎2a2n＋3)，求数列的前n项和．‎ 解　(1)∵，an，Sn成等差数列，∴2an＝Sn＋，‎ 当n＝1时，2a1＝S1＋，∴a1＝，‎ 当n≥2时，Sn＝2an－，Sn－1＝2an－1－，‎ 两式相减得：an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴＝2，‎ 所以数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，‎ 即an＝×2n－1＝2n－2.‎ ‎(2)∵bn＝(log‎2a2n＋1)×(log‎2a2n＋3)＝(log222n＋1－2)×(log222n＋3－2)‎ ‎＝(2n－1)(2n＋1)，‎ ‎∴＝×＝，‎ ‎∴数列的前n项和Tn＝＋＋＋…＋＝‎ ‎＝＝.‎