高考数学大一轮复习导数与积分精品试题理含2014模拟试题 67页

‎2015届高考数学大一轮复习 导数与积分精品试题 理（含2014模拟试题）‎ ‎1. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，9) 的值是（  ）‎ ‎(A) 　　　　　　　　　　(B) ‎ ‎(C) 　　　　　　　　　　(D) ‎ ‎[解析] 1.  根据定积分的意义可得，定积分的值为圆在x轴上方的面积，故.‎ ‎2. (2014山西太原高三模拟考试（一），12) 已知方程在（0，+∞）上有两个不同的解a，b（a＜b），则下面结论正确的是(   ) ‎ ‎[解析] 2.  由题意可得上有两个不同的解a，b（a＜b），结合数形结合可得直线与曲线相切于点，且，则根据导数的几何意义可得切线的斜率为，根据两点间的斜率公式可得，由此可得，即，两边同除可得sin2b=2bcos2b. 故选C.‎ ‎3. (2014山东青岛高三第一次模拟考试, 4) 曲线在处的切线方程为（    ）‎ A．   B．     C．         D．‎ ‎[解析] 3.  依题意，，所以，‎ 所以所求的切线方程为，即.‎ ‎4. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 11) 在区间[0,2]上随机取两个数, 则0≤≤2的概率是（    ）‎ A.          ‎ B.           ‎ C.           ‎ D. ‎ ‎[解析] 4.：如图，.‎ ‎5. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 9) 已知，为的导函数，则的图象是（    ）‎ ‎[解析] 5.为奇函数，排除B, D。又，所以排除C。选A ‎6. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，12) 在平面直角坐标系中，已知是函数的图象上的动点，该曲线在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点. 则的范围是（    ）‎ A．    B.     C. D. ‎ ‎[解析] 6.  设，因为，所以，‎ 所以曲线在点处的切线的方程为，即，‎ 令得，过点作的垂线，其方程为，‎ 令得，‎ 所以，因为或，‎ 所以或，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎7.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，8）设，若，则(  )‎ ‎  (A) -1    (B) 0‎ ‎  (C) l   　(D) 256‎ ‎[解析] 7.  . 令展开式中的x=1得，；令展开式中的x=0得，所以0.‎ ‎8.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，6）若，则的解集为（ 　 ）‎ ‎   A．  B．  C．   D．‎ ‎[解析] 8.  函数的定义域为. ，由且，解得.‎ ‎9.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，5）若 ‎，则=(       ) ‎ A.         B.        C.            D. ‎ ‎[解析] 9.  .‎ ‎10.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，10），数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为（    ）　　　　　　          ‎ A．　　           Ｂ．         Ｃ． 　　         Ｄ．‎ ‎[解析] 10.  ，所以，所以可得，所以（当且仅当n=2时等号成立）.‎ ‎11.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，7）把一个带+q电量的点电荷放在r轴上原点处，形成一个电场，距离原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式（其中k为常数）确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从处移动到处，与从处移动到处，电场力对它所做的功之比为（ ）‎ ‎  A．　　          B．　　        C．　　       D．‎ ‎[解析] 11.  从处移动到处电场力对它所做的功为；从处移动到处电场力对它所做的功为，其比值为3.‎ ‎12.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 8) 已知双曲线的一条渐近线与曲线相切，且右焦点F为抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为(  )‎ ‎ (A)      (B)      (C)      (D) ‎ ‎[解析] 12.  抛物线的焦点为（5,0）. 设曲线与双曲线的一条渐近线为相切与点，则根据导数的几何意义可知，解得，所以切点为（2,1），所以，又因为，所以可得，所以双曲线方程为.‎ ‎13. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），8) 若实数、、、满足. 则的最小值 为  (      )   ‎ ‎   A.       B.        C.        D. ‎ ‎[解析] 13.  , 点在曲线的图像上，点 在直线上，，‎ 要使最小，当且仅当过曲线上的点的切线与直线平行，，‎ 由得，由得，故当时，取得极小值，‎ ‎，直线的斜率为3，‎ ‎，解得或（由于，故舍去），‎ ‎，‎ 设点到直线的距离为，则，‎ ‎，，‎ 故的最小值为.‎ ‎14. (2014重庆七校联盟, 10) 已知函数在R上满足，则曲在点 处切线的斜率是  （     ）‎ ‎    A. 　　B.  　　 C. 　　 D.  ‎ ‎[解析] 14.  ，，‎ 即，解方程程组得，‎ ‎，斜率，选A.‎ ‎15. (2014重庆七校联盟, 8) （创新）若，则等于（　　）‎ ‎    A. ‎ B.  ‎ C. ‎ D.  ‎ ‎[解析] 15.  ，.‎ ‎16. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 7) 二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（    ）‎ A. 3           ‎ B.       ‎ C. 3或       ‎ D. 3或 ‎[解析] 16.二项式的展开式的的第二项系数为，解得，‎ ‎.‎ ‎17. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 5) 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ）‎ A. 3       ‎ B. 2      ‎ C. 1       ‎ D. ‎ ‎[解析] 17.设切点为，曲线的一条切线的斜率为，，解得或（舍去），故所求切点的横坐标为2.‎ ‎18. (2014兰州高三第一次诊断考试, 9) 下列五个命题中正确命题的个数是(       ) ‎ ‎①对于命题，则，均有 ‎②是直线与直线互相垂直的充要条件 ‎③  已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5) ，则回归直线方程为＝1.23x＋0.08‎ ‎④若实数，则满足的概率为 ‎⑤ 曲线与所围成图形的面积是          ‎ A. 2           ‎ B. 3                 ‎ C. 4　　  ‎ D. 5‎ ‎[解析] 18.  对①，因为命题，则，均有，故①错误；‎ 对②，由于直线与直线垂直的充要条件是或0，故②错误；‎ 对③，设线性回归方程为，由于样本点的坐标满足方程，则，解得，回归直线方程为，故③正确；‎ 对④，有几何概型知，所求概率为，故④错误；‎ 对⑤，曲线与所围成图形的面积是，正确.‎ 故正确的是③  ⑤  ，共2个.‎ ‎19. (2014福州高中毕业班质量检测, 12) 如图所示, 在边长为1的正方形中任取一点, 则点恰好取自阴影部分的概率为        . ‎ ‎[解析] 19.  依题意，阴影部分面积，，‎ 故所求的概率为.‎ ‎20. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，13) 在的展开式中含常数项的系数是60，则的值为_______. ‎ ‎[解析] 20.  常数项为，由得，‎ 所以.‎ ‎21. (2014广东广州高三调研测试，12) 已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是_______. ‎ ‎[解析] 21.  由导数的几何意义，又因为，所以，故.‎ ‎22.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，11）计算：=             ．‎ ‎[解析] 22.  =，而表示的是以原点为圆心，以2为半径且在x轴上方的半圆的面积，故其值为；，所以原式的值为.‎ ‎23.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 15) 设，则二项式展开式中的常数项是________（用数字作答）‎ ‎[解析] 23.  , 二项式展开式的通项为, 当r=4时, 得常数项为1120.‎ ‎24.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，14) 设的展开式的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为       .‎ ‎[解析] 24.  ，令，∴，所以直线为与的交点为和，∴直线与曲线围成图形的面积 ‎25.(2014湖北八市高三下学期3月联考，11) 己知，则（）6的展开式中的常数项为            .‎ ‎[解析] 25.  因为，所以（）6的展开式中的常数项为 ‎26.(2014周宁、政和一中第四次联考，11) 已知，若，则的值等于           .‎ ‎[解析] 26.  ，，解得或（舍去）.‎ ‎27. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），14) 已知函数的对称中心为，记函数的导函数为的导函数为，则有.  若函数，‎ 则=           .‎ ‎[解析] 27.   ∵，∴，，由得，，∴，故函数关于点对称. 即，‎ ‎，…，，，‎ ‎∴.‎ ‎28. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），12) 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为          . ‎ ‎[解析] 28.    联立方程组，求得交点的坐标为，因此所求的面积为.‎ ‎29.  (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 15) 曲线与直线所围成的封闭图形的面积是            . ‎ ‎[解析] 29.  由，可得交点的坐标为，，可得交点的坐标为，‎ 所以曲线曲线与直线所围成的封闭图形的面积是.‎ ‎30. (2014天津七校高三联考, 13) 曲线处切线与直线垂直，则______‎ ‎[解析] 30.   ，，当时，，‎ 故曲线在点处的切线斜率为1，与它垂直的直线的斜率，‎ ‎.‎ ‎31. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 14) 如图所示，在第一象限由直线，和曲线所围图形的面积为      . ‎ ‎[解析] 31.  依题意，解方程组的交点的坐标为，‎ 解方程组的交点的坐标为，‎ 所求的面积 ‎32. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 11) 若，则的解集为             . ‎ ‎[解析] 32.  ，令，解得 ‎，即的解集为.‎ ‎33.(2014广州高三调研测试, 12) 已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是        ．‎ ‎[解析] 33.  ，又，，即的取值范围是.‎ ‎34.(2014广州高三调研测试, 11) 如图3，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．在内随机取一点，则该点落在中的概率为       ．‎ ‎[解析] 34.  依题意，正方形的面积，阴影部分的面积，‎ 故所求的概率为.‎ ‎35. (2014湖北黄冈高三期末考试) 若，，则、的大小关系为           . ‎ ‎[解析] 35. ，，.‎ ‎36. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 若曲线在原点处的切线方程是，则实数         . ‎ ‎[解析] 36.  ，又曲线在原点处的切线方程是，‎ ‎37.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，17）设，其中，曲线在点处的切线与直线：平行。‎ ‎(1)       确定的值；‎ ‎(2)       求函数的单调区间。‎ ‎[解析] 37.  解析  (1) 由题，故。因直线的斜率为，故，从而；‎ ‎   (2) ，由得或，由得。故的单增区间为和，单减区间为。‎ ‎38. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，21) 已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．‎ ‎（1）若函数在处有极值，求的解析式；‎ ‎（2）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．‎ ‎[解析] 38.∵，∴由有，即切点坐标为，‎ ‎∴切线方程为，或 整理得或……………………4分 ‎∴，解得，∴，‎ ‎∴……………………6分 ‎（1）∵，在处有极值，∴，‎ 即，解得，∴……………………8分 ‎（2）∵函数在区间上为增函数，∴在区间上恒成立，‎ ‎∴，又∵在区间上恒成立，∴，‎ 即，∴在上恒成立，∴‎ ‎∴的取值范围是  …………14分 ‎39. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，20) 已知函数 ‎(Ⅰ) 若在区间上为减函数，求的取值范围；‎ ‎(Ⅱ) 讨论在内的极值点的个数。‎ ‎[解析] 39.解：(Ⅰ) ∵‎ ‎∴           ………………………………(2分)‎ ‎∵在区间上为减函数 ‎∴≤O在区间上恒成立         …………………………(3分)‎ ‎∵是开口向上的抛物线 ‎        ‎ ‎∴存在，使得 ‎∴在区间内有且只有一个极小值点      ……………(8分)‎ ‎　     ‎ 当≤≤时，由(Ⅰ) 可知在区间上为减函数 ‎∴在区间内没有极值点.‎ 综上可知，当时，在区间内的极值点个数为 当≤≤时，在区间内的极值点个数为   ………(12分)‎ ‎40. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，21) 设函数 ‎（1）判断函数f(x) 在(0, +∞) 上的单调性；‎ ‎（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f(x) -1< a成立．‎ ‎[解析] 40.  (1) 由题意知：  ……………2分 令h(x) =(x-1) ex+1, 则h¢(x) =x ex> 0,‎ ‎∴h(x) 在（0，+∞）上是增函数，　　          ……………3分 又h(0) =0，∴h(x) > 0, 则f¢(x) > 0,‎ ‎∴f(x) 在(0, +∞) 上是单调增函数.　　           ……………5分 ‎(2) f(x) -1=, 不等式f(x) -1< a可化为ex-(a+1) x-1< 0,‎ 令G(x) = ex-(a+1) x-1, G¢(x) =ex-(a+1),　　     ……………7分 由G¢(x) =0得：x=ln(a+1),‎ 当0< x< (ln(a+1) 时，G¢(x) < 0,‎ 当x> ln(a+1) 时，G¢(x) > 0,‎ ‎∴当x=ln(a+1) 时，G(x) min=a-(a+1) ln(a+1),　　 ……………9分 即当x=ln(a+1) 时，G(x) min=a-(a+1) ln(a+1) < 0.            ……………11分 故存在正数x=ln(a+1) ，使不等式F(x) -1< a成立．        ……………12分 ‎41. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，22) 设函数. ‎ ‎（Ⅰ）求证：当时，恒成立；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）求证：.‎ ‎[解析] 41.（Ⅰ），设，‎ 当时，，即上单调递减又，上恒有，即恒成立 . （5分）‎ ‎    （Ⅱ）令，，则有，‎ ‎，. （9分）‎ ‎（Ⅲ）上单调递增，‎ ‎，（12分）‎ 又上单调递减，‎ ‎        ‎ ‎ .   （14分）‎ ‎42.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，21）已知函数．‎ ‎（1）当时，证明对任意的；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎（3）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．‎ ‎[解析] 42.（2）根据（1）的结论，当时，，即．‎ 令，则有，　　    ………………………7分 ‎．即 ．…8分 ‎(本问也可用数学归纳法证明.)‎ ‎③当时，，设的两根分别为与，‎ 则，，不妨设 当及时，，当时，，‎ 所以函数在上递增，在上递减，‎ 而 所以时，，且 因此函数在有一个零点，而在上无零点；‎ 此时函数只有一个零点；‎ 综上，函数只有一个零点时，实数a的取值范围为R．………………………14分 ‎43.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，21）已知定义在上的函数 总有导函数, 定义.‎ 一是自然对数的底数.‎ ‎(1) 若, 且, 试分别判断函数和的单调性:‎ ‎(2) 若.‎ ‎①当时, 求函数的最小值；‎ ‎②设, 是否存在, 使得? 若存在, 请求出一组的值: 若不存在, 请说明理由。‎ ‎[解析] 43.‎ ‎44.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，22）已知函数．‎ ‎   （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎　（Ⅱ）求的单调减区间；‎ ‎   （Ⅲ）当时，设在区间上的最小值为，令，‎ ‎         求证：．‎ ‎[解析] 44.   (1) 当时，  ‎ ‎     　　　　　　  ………………2分 ‎     曲线在点处的切线方程为：‎ ‎     即  　　　　             ………………3分 ‎45. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，17) 已知函数. ‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）设函数图象上任意一点的切线的斜率为，当的最小值为1时，求此时切线的方程.‎ ‎[解析] 45.解：（I）的定义域为（）时，…………………………………………1分 当时， ……………………………2分 由得，‎ 由得，或，由得，………3分 ‎∴的单调递增区间为，；单调递减区间为…………5分 ‎∴极大值为；极小值为 ………………………7分 ‎（II）由题意知   ∴……………………9分 ‎     此时，即，∴，切点为，…………………………11分 ‎    ∴此时的切线方程为：. ………………………………………13分 ‎46. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 19) 已知函数（为常数），其图象是曲线. ‎ ‎ 　（Ⅰ）当时，求函数的单调减区间；‎ ‎    （Ⅱ）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与 同时成立，求实数的取值范围；‎ ‎    （Ⅲ）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一 点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为. 问：是否存在常数 ‎，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎[解析] 46.    解析 （Ⅰ）当时， . ‎ 令，解得，所以f(x) 的单调减区间为. （4分）‎ ‎（Ⅱ） ，由题意知消去，‎ 得有唯一解.‎ 令，则，‎ 所以在区间，上是增函数，在上是减函数，‎ 又，，‎ 故实数的取值范围是. （10分）‎ ‎（Ⅲ）设，则点处切线方程为，‎ 与曲线：联立方程组，得，即，‎ 所以点的横坐标. （12分）‎ 由题意知，，，‎ 若存在常数，使得，则，‎ 即存在常数，使得，‎ 所以解得，.‎ 故时，存在常数，使；时，不存在常数，使. （16分）‎ ‎47. (2014重庆七校联盟, 19) （创新）已知函数，其中，曲线在点处的切线垂直于轴. ‎ ‎    （Ⅰ）求的值；‎ ‎    （Ⅱ）求函数的极值.‎ ‎[解析] 47.  （Ⅰ） ,‎ ‎  ，即 .    （5分）‎ ‎      （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，‎ 令，有，由，则或；‎ 由，则或.     （9分）‎ 所以，取得极大值，‎ 时，取得极小值 .     （13分）‎ ‎48. (2014天津七校高三联考, 20) 已知函数在点处的切线方程为．‎ ‎    (Ⅰ) 求函数的解析式；‎ ‎    (Ⅱ) 若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；‎ ‎    （Ⅲ）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．‎ ‎[解析] 48.    解析  (Ⅰ) ．‎ 根据题意，得即解得，‎ 所以．　　（4分）‎ ‎    (Ⅱ) 令，即．得．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎  ‎ ‎+‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎+‎ ‎  ‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎2‎ 因为，，‎ 所以当时，，．    （ 6分）‎ 则对于区间上任意两个自变量的值，都有 ‎，所以．‎ 所以的最小值为4．‎ ‎    （Ⅲ）因为点不在曲线上，所以可设切点为．‎ 则．‎ 因为，所以切线的斜率为．         （9分）‎ 则=，‎ 即．‎ 因为过点可作曲线的三条切线，‎ 所以方程有三个不同的实数解．‎ 所以函数有三个不同的零点．‎ 则．令，则或．‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 则 ，即，解得．    （13分）‎ ‎49. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，21) 已知函数，. ‎ ‎    （Ⅰ）若，求曲线在出的切线方程；‎ ‎    （Ⅱ）若对任意的都有恒成立，求的最小值；‎ ‎     （Ⅲ）设，，若，为曲线 上的两个不同点满足，且，使得曲线在处的切线与直线平行，求证.‎ ‎[解析] 49.    解析  （Ⅰ），，.    （4分）‎ ‎    （Ⅱ）由恒成立等价于恒成立，‎ 令，，，‎ ‎①若，则恒成立. 函数在上是增函数，‎ 恒成立，又，符合条件.‎ ‎②若，由可得，解得或（舍去），‎ 当时，；当时，，‎ ‎，，这与恒成立矛盾.‎ 综上所述，，的最小值为1.           （9分）‎ ‎    （Ⅲ），，‎ 又，，，‎ 由，易知其定义域内为单调减函数，‎ 欲证，即证明，即证明，‎ 变形可得，令，，‎ 则等价于，‎ 构造函数，，‎ 则，令，‎ 当时，，在上为单调增函数，，‎ ‎，在上恒成立，‎ 成立，.    （14分）‎ ‎50. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 21) 已知函数，其中. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；‎ ‎（Ⅲ）设，求在区间上的最大值（其中为自然对的底数）.‎ ‎[解析] 50.  (Ⅰ）①（），‎ 令，则，又的定义域是，‎ ‎∴函数的单调递增区间为（0，2），递减区间为（－∞，0）和（2，＋∞）（4分）‎ ‎（Ⅱ）设切点为则   解得   ，（7分）   ‎ ‎（Ⅲ） ，  ，‎ 令，则，‎ ‎①当时，在单调增加         （9分）‎ ‎②当时，在单调减少，在单调增加；‎ ‎   若时，；‎ ‎   若时，；       （11分）‎ ‎③当时，在上单调递减，；‎ 综上所述，时，；‎ 时，.             (14分)‎ ‎51. (2014广州高三调研测试, 20) 设函数，. ‎ ‎（Ⅰ）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当，时，求函数在区间上的最小值.‎ ‎[解析] 51.        解析　（Ⅰ）因为，，‎ 所以，.‎ 因为曲线与在它们的交点处有相同切线,‎ 所以, 且。‎ 即, 且,‎ 解得.　　 （3分）‎ ‎        （Ⅱ）当时，，‎ 所以.‎ 令，解得.‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ 故在区间内单调递增，在区间内单调递减.‎ 从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当 ‎ 即解得.‎ 所以实数的取值范围是.          （8分）‎ ‎        （Ⅲ）当，时，.‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ 由于，，所以.‎ ‎①当，即时，‎ ‎.‎ ‎②当时，‎ ‎.　　         （12分）‎ ‎③当时，在区间上单调递增，‎ ‎.‎ 综上可知，函数在区间上的最小值为 ‎　　   （14分）‎ ‎52.(2014兰州高三第一次诊断考试, 21) 已知函数，，其中的函数图象在点处的切线平行于轴．‎ ‎   （Ⅰ）确定与的关系；‎ ‎   （Ⅱ）若，试讨论函数的单调性；‎ ‎   （Ⅲ）设斜率为的直线与函数的图象交于两点（）‎ ‎   证明：．‎ ‎[解析] 52.   解析  （Ⅰ）依题意得，则，‎ 由函数的图象在点处的切线平行于轴得：.‎ ‎∴ .           （3分）‎ ‎    （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎∵函数的定义域为 ‎∴当时，‎ 由得，由得，‎ 即函数在(0,1) 上单调递增，在单调递减；‎ 当时，令得或，‎ 若，即时，由得或，由得，‎ 即函数在，上单调递增，在单调递减；‎ 若，即时，由得或，由得，‎ 即函数在，上单调递增，在单调递减；‎ 若，即时，在上恒有，‎ 即函数在上单调递增，‎ 综上所述：当时，函数在(0,1) 上单调递增，在单调递减；‎ 当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递增，‎ 当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．‎ ‎          （8分）‎ ‎    （Ⅲ）依题意得，‎ 证，即证 因，即证 令（），即证（）‎ 令（）则 ‎∴在（1，+）上单调递增，‎ ‎∴=0，即（）.       ①‎ 令，‎ ‎∵，又∵，∴在单调递减，‎ ‎∴∴ ②‎ 综①②得（），即．      （12分）‎ 答案和解析 理数 ‎[答案] 1.  C ‎[解析] 1.  根据定积分的意义可得，定积分的值为圆在x轴上方的面积，故.‎ ‎[答案] 2.  C ‎[解析] 2.  由题意可得上有两个不同的解a，b（a＜b），结合数形结合可得直线与曲线相切于点，且，则根据导数的几何意义可得切线的斜率为，根据两点间的斜率公式可得，由此可得，即，两边同除可得sin2b=2bcos2b. 故选C.‎ ‎[答案] 3.  A ‎[解析] 3.  依题意，，所以，‎ 所以所求的切线方程为，即.‎ ‎[答案] 4.C ‎[解析] 4.：如图，.‎ ‎[答案] 5.A ‎[解析] 5.为奇函数，排除B, D。又，所以排除C。选A ‎[答案] 6.  A ‎[解析] 6.  设，因为，所以，‎ 所以曲线在点处的切线的方程为，即，‎ 令得，过点作的垂线，其方程为，‎ 令得，‎ 所以，因为或，‎ 所以或，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎[答案] 7.  B ‎[解析] 7.  . 令展开式中的x=1得，；令展开式中的x=0得，所以0.‎ ‎[答案] 8.  A ‎[解析] 8.  函数的定义域为. ，由且，解得.‎ ‎[答案] 9.  C ‎[解析] 9.  .‎ ‎[答案] 10.  B ‎[解析] 10.  ，所以，所以可得，所以（当且仅当n=2时等号成立）.‎ ‎[答案] 11.  D ‎[解析] 11.  从处移动到处电场力对它所做的功为；从处移动到处电场力对它所做的功为，其比值为3.‎ ‎[答案] 12.  A ‎[解析] 12.  抛物线的焦点为（5,0）. 设曲线与双曲线的一条渐近线为相切与点，则根据导数的几何意义可知，解得，所以切点为（2,1），所以，又因为，所以可得，所以双曲线方程为.‎ ‎[答案] 13.  C ‎[解析] 13.  , 点在曲线的图像上，点在直线上，，‎ 要使最小，当且仅当过曲线上的点的切线与直线平行，，‎ 由得，由得，故当时，取得极小值，‎ ‎，直线的斜率为3，‎ ‎，解得或（由于，故舍去），‎ ‎，‎ 设点到直线的距离为，则，‎ ‎，，‎ 故的最小值为.‎ ‎[答案] 14.  A ‎[解析] 14.  ，，‎ 即，解方程程组得，‎ ‎，斜率，选A.‎ ‎[答案] 15.  D ‎[解析] 15.  ，.‎ ‎[答案] 16.  B ‎[解析] 16.二项式的展开式的的第二项系数为，解得，‎ ‎.‎ ‎[答案] 17.  B ‎[解析] 17.设切点为，曲线的一条切线的斜率为，，解得或（舍去），故所求切点的横坐标为2.‎ ‎[答案] 18.  A ‎[解析] 18.  对①，因为命题，则，均有，故①错误；‎ 对②，由于直线与直线垂直的充要条件是或0，故②错误；‎ 对③，设线性回归方程为，由于样本点的坐标满足方程，则，解得，回归直线方程为，故③正确；‎ 对④，有几何概型知，所求概率为，故④错误；‎ 对⑤，曲线与所围成图形的面积是，正确.‎ 故正确的是③  ⑤  ，共2个.‎ ‎[答案] 19.‎ ‎[解析] 19.  依题意，阴影部分面积，，‎ 故所求的概率为.‎ ‎[答案] 20.‎ ‎[解析] 20.  常数项为，由得，‎ 所以.‎ ‎[答案] 21.‎ ‎[解析] 21.  由导数的几何意义，又因为，所以，故.‎ ‎[答案] 22.  ‎ ‎[解析] 22.  =，而表示的是以原点为圆心，以2为半径且在x轴上方的半圆的面积，故其值为；，所以原式的值为.‎ ‎[答案] 23.  1120‎ ‎[解析] 23.  , 二项式展开式的通项为, 当r=4时, 得常数项为1120.‎ ‎[答案] 24.  ‎ ‎[解析] 24.  ，令，∴，所以直线为与的交点为和，∴直线与曲线围成图形的面积 ‎[答案] 25.  ‎ ‎[解析] 25.  因为，所以（）6的展开式中的常数项为 ‎[答案] 26.  3‎ ‎[解析] 26.  ，，解得或（舍去）.‎ ‎[答案] 27.‎ ‎[解析] 27.   ∵，∴，，由得，，∴，故函数关于点对称. 即，‎ ‎，…，，，‎ ‎∴.‎ ‎[答案] 28.  ‎ ‎[解析] 28.    联立方程组，求得交点的坐标为，因此所求的面积为.‎ ‎[答案] 29.  ‎ ‎[解析] 29.  由，可得交点的坐标为，，可得交点的坐标为，‎ 所以曲线曲线与直线所围成的封闭图形的面积是.‎ ‎[答案] 30.  1‎ ‎[解析] 30.   ，，当时，，‎ 故曲线在点处的切线斜率为1，与它垂直的直线的斜率，‎ ‎.‎ ‎[答案] 31.  ‎ ‎[解析] 31.  依题意，解方程组的交点的坐标为，‎ 解方程组的交点的坐标为，‎ 所求的面积 ‎[答案] 32.  ‎ ‎[解析] 32.  ，令，解得 ‎，即的解集为.‎ ‎[答案] 33.  ‎ ‎[解析] 33.  ，又，，即的取值范围是.‎ ‎[答案] 34.  ‎ ‎[解析] 34.  依题意，正方形的面积，阴影部分的面积，‎ 故所求的概率为.‎ ‎[答案] 35.  ‎ ‎[解析] 35. ，，.‎ ‎[答案] 36.  2‎ ‎[解析] 36.  ，又曲线在原点处的切线方程是，‎ ‎[答案] 37.查看解析 ‎[解析] 37.  解析  (1) 由题，故。因直线的斜率为，故，从而；‎ ‎   (2) ，由得或，由得。故的单增区间为和，单减区间为。‎ ‎[答案] 38.查看解析 ‎[解析] 38.∵，∴由有，即切点坐标为，‎ ‎∴切线方程为，或 整理得或……………………4分 ‎∴，解得，∴，‎ ‎∴……………………6分 ‎（1）∵，在处有极值，∴，‎ 即，解得，∴……………………8分 ‎（2）∵函数在区间上为增函数，∴在区间上恒成立，‎ ‎∴，又∵在区间上恒成立，∴，‎ 即，∴在上恒成立，∴‎ ‎∴的取值范围是  …………14分 ‎[答案] 39.查看解析 ‎[解析] 39.解：(Ⅰ) ∵‎ ‎∴           ………………………………(2分)‎ ‎∵在区间上为减函数 ‎∴≤O在区间上恒成立         …………………………(3分)‎ ‎∵是开口向上的抛物线 ‎        ‎ ‎∴存在，使得 ‎∴在区间内有且只有一个极小值点      ……………(8分)‎ ‎　     ‎ 当≤≤时，由(Ⅰ) 可知在区间上为减函数 ‎∴在区间内没有极值点.‎ 综上可知，当时，在区间内的极值点个数为 当≤≤时，在区间内的极值点个数为   ………(12分)‎ ‎[答案] 40.查看解析 ‎[解析] 40.  (1) 由题意知：  ……………2分 令h(x) =(x-1) ex+1, 则h¢(x) =x ex> 0,‎ ‎∴h(x) 在（0，+∞）上是增函数，　　          ……………3分 又h(0) =0，∴h(x) > 0, 则f¢(x) > 0,‎ ‎∴f(x) 在(0, +∞) 上是单调增函数.　　           ……………5分 ‎(2) f(x) -1=, 不等式f(x) -1< a可化为ex-(a+1) x-1< 0,‎ 令G(x) = ex-(a+1) x-1, G¢(x) =ex-(a+1),　　     ……………7分 由G¢(x) =0得：x=ln(a+1),‎ 当0< x< (ln(a+1) 时，G¢(x) < 0,‎ 当x> ln(a+1) 时，G¢(x) > 0,‎ ‎∴当x=ln(a+1) 时，G(x) min=a-(a+1) ln(a+1),　　 ……………9分 即当x=ln(a+1) 时，G(x) min=a-(a+1) ln(a+1) < 0.            ……………11分 故存在正数x=ln(a+1) ，使不等式F(x) -1< a成立．        ……………12分 ‎[答案] 41.查看解析 ‎[解析] 41.（Ⅰ），设，‎ 当时，，即上单调递减又，‎ 上恒有，即恒成立 . （5分）‎ ‎    （Ⅱ）令，，则有，‎ ‎，. （9分）‎ ‎（Ⅲ）上单调递增，‎ ‎，（12分）‎ 又上单调递减，‎ ‎        ‎ ‎ .   （14分）‎ ‎[答案] 42.查看解析 ‎[解析] 42.（2）根据（1）的结论，当时，，即．‎ 令，则有，　　    ………………………7分 ‎．即 ．…8分 ‎(本问也可用数学归纳法证明.)‎ ‎③当时，，设的两根分别为与，‎ 则，，不妨设 当及时，，当时，，‎ 所以函数在上递增，在上递减，‎ 而 所以时，，且 因此函数在有一个零点，而在上无零点；‎ 此时函数只有一个零点；‎ 综上，函数只有一个零点时，实数a的取值范围为R．………………………14分 ‎[答案] 43.查看解析 ‎[解析] 43.‎ ‎[答案] 44.查看解析 ‎[解析] 44.   (1) 当时，  ‎ ‎     　　　　　　  ………………2分 ‎     曲线在点处的切线方程为：‎ ‎     即  　　　　             ………………3分 ‎[答案] 45.查看解析 ‎[解析] 45.解：（I）的定义域为（）时，…………………………………………1分 当时， ……………………………2分 由得，‎ 由得，或，由得，………3分 ‎∴的单调递增区间为，；单调递减区间为…………5分 ‎∴极大值为；极小值为 ………………………7分 ‎（II）由题意知   ∴……………………9分 ‎     此时，即，∴，切点为，…………………………11分 ‎    ∴此时的切线方程为：. ………………………………………13分 ‎[答案] 46.查看解析 ‎[解析] 46.    解析 （Ⅰ）当时， . ‎ 令，解得，所以f(x) 的单调减区间为. （4分）‎ ‎（Ⅱ） ，由题意知消去，‎ 得有唯一解.‎ 令，则，‎ 所以在区间，上是增函数，在上是减函数，‎ 又，，‎ 故实数的取值范围是. （10分）‎ ‎（Ⅲ）设，则点处切线方程为，‎ 与曲线：联立方程组，得，即，‎ 所以点的横坐标. （12分）‎ 由题意知，，，‎ 若存在常数，使得，则，‎ 即存在常数，使得，‎ 所以解得，.‎ 故时，存在常数，使；时，不存在常数，使. （16分）‎ ‎[答案] 47.查看解析 ‎[解析] 47.  （Ⅰ） ,‎ ‎  ，即 .    （5分）‎ ‎      （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，‎ 令，有，由，则或；‎ 由，则或.     （9分）‎ 所以，取得极大值，‎ 时，取得极小值 .     （13分）‎ ‎[答案] 48.查看解析 ‎[解析] 48.    解析  (Ⅰ) ．‎ 根据题意，得即解得，‎ 所以．　　（4分）‎ ‎    (Ⅱ) 令，即．得．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎  ‎ ‎+‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎+‎ ‎  ‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎2‎ 因为，，‎ 所以当时，，．    （ 6分）‎ 则对于区间上任意两个自变量的值，都有 ‎，所以．‎ 所以的最小值为4．‎ ‎    （Ⅲ）因为点不在曲线上，所以可设切点为．‎ 则．‎ 因为，所以切线的斜率为．         （9分）‎ 则=，‎ 即．‎ 因为过点可作曲线的三条切线，‎ 所以方程有三个不同的实数解．‎ 所以函数有三个不同的零点．‎ 则．令，则或．‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎  ‎ ‎  ‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 则 ，即，解得．    （13分）‎ ‎[答案] 49.查看解析 ‎[解析] 49.    解析  （Ⅰ），，.    （4分）‎ ‎    （Ⅱ）由恒成立等价于恒成立，‎ 令，，，‎ ‎①若，则恒成立. 函数在上是增函数，‎ 恒成立，又，符合条件.‎ ‎②若，由可得，解得或（舍去），‎ 当时，；当时，，‎ ‎，，这与恒成立矛盾.‎ 综上所述，，的最小值为1.           （9分）‎ ‎    （Ⅲ），，‎ 又，，，‎ 由，易知其定义域内为单调减函数，‎ 欲证，即证明，即证明，‎ 变形可得，令，，‎ 则等价于，‎ 构造函数，，‎ 则，令，‎ 当时，，在上为单调增函数，，‎ ‎，在上恒成立，‎ 成立，.    （14分）‎ ‎[答案] 50.查看解析 ‎[解析] 50.  (Ⅰ）①（），‎ 令，则，又的定义域是，‎ ‎∴函数的单调递增区间为（0，2），递减区间为（－∞，0）和（2，＋∞）（4分）‎ ‎（Ⅱ）设切点为则   解得   ，（7分）   ‎ ‎（Ⅲ） ，  ，‎ 令，则，‎ ‎①当时，在单调增加         （9分）‎ ‎②当时，在单调减少，在单调增加；‎ ‎   若时，；‎ ‎   若时，；       （11分）‎ ‎③当时，在上单调递减，；‎ 综上所述，时，；‎ 时，.             (14分)‎ ‎[答案] 51.查看解析 ‎[解析] 51.        解析　（Ⅰ）因为，，‎ 所以，.‎ 因为曲线与在它们的交点处有相同切线,‎ 所以, 且。‎ 即, 且,‎ 解得.　　 （3分）‎ ‎        （Ⅱ）当时，，‎ 所以.‎ 令，解得.‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ 故在区间内单调递增，在区间内单调递减.‎ 从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当 ‎ 即解得.‎ 所以实数的取值范围是.          （8分）‎ ‎        （Ⅲ）当，时，.‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ 由于，，所以.‎ ‎①当，即时，‎ ‎.‎ ‎②当时，‎ ‎.　　         （12分）‎ ‎③当时，在区间上单调递增，‎ ‎.‎ 综上可知，函数在区间上的最小值为 ‎　　   （14分）‎ ‎[答案] 52.查看解析 ‎[解析] 52.   解析  （Ⅰ）依题意得，则，‎ 由函数的图象在点处的切线平行于轴得：.‎ ‎∴ .           （3分）‎ ‎    （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎∵函数的定义域为 ‎∴当时，‎ 由得，由得，‎ 即函数在(0,1) 上单调递增，在单调递减；‎ 当时，令得或，‎ 若，即时，由得或，由得，‎ 即函数在，上单调递增，在单调递减；‎ 若，即时，由得或，由得，‎ 即函数在，上单调递增，在单调递减；‎ 若，即时，在上恒有，‎ 即函数在上单调递增，‎ 综上所述：当时，函数在(0,1) 上单调递增，在单调递减；‎ 当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递增，‎ 当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．‎ ‎          （8分）‎ ‎    （Ⅲ）依题意得，‎ 证，即证 因，即证 令（），即证（）‎ 令（）则 ‎∴在（1，+）上单调递增，‎ ‎∴=0，即（）.       ①‎ 令，‎ ‎∵，又∵，∴在单调递减，‎ ‎∴∴ ②‎ 综①②得（），即．      （12分）‎