《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)课时作业5 9页

课时作业(五)‎ ‎1．若P在Q的北偏东44°50′，则Q在P的(　　)‎ A．东偏北45°10′　　　　　　B．东偏北45°50′‎ C．南偏西44°50′ D．西偏南45°50′‎ 答案　C ‎2．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于(　　)‎ A．10° B．50°‎ C．120° D．130°‎ 答案　D ‎3．一只船速为‎2 米/秒的小船在水流速度为‎2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为(　　)‎ A．120° B．90°‎ C．60° D．30°‎ 答案　B ‎4．江岸边有一炮台高‎30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(　　)‎ A．‎10 m B．‎100 m C．‎20 m D．‎‎30 m 答案　D 解析　设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.‎ 分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，‎ 求得DB＝30，DC＝30.‎ 在△DBC中，由余弦定理，得 BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.‎ ‎5．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走‎3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为(　　)‎ A. B．2 C．2或 D．3‎ 答案　C ‎6．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)‎ A．a km B.a km C.a km D．‎2a km 答案　B ‎7．海上有A、B、C三个小岛，已知A、B相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是(　　)‎ A．10 海里 B. 海里 C．5 海里 D．5 海里 答案　D ‎8.‎ 如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为‎50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为(　　)‎ A．‎50 m B．‎50 m C．‎25 m D. m 答案　A ‎9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时(　　)‎ A．5 海里 B．5 海里 C．10 海里 D．10 海里 答案　D ‎10．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为‎2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 km，则A，B两船的距离为(　　)‎ A．‎2 km B．‎3 km C. km D. km 答案　D ‎11．一船以‎24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是________km.(精确到‎0.1 km)‎ 答案　5.2‎ ‎12．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝‎120 m，则河的宽度是________m.‎ 答案　60 ‎ ‎13．已知船在A处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B点，在B处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________海里．‎ 答案　 ‎14．A、B是海平面上的两个点，相距‎800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.‎ 解析　‎ 如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.‎ 因此，只需在△ABD中求出AD即可．‎ 在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.‎ 由＝，得 AD＝ ‎＝＝800(＋1)(m)．‎ ‎∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，‎ ‎∴CD＝AD＝800(＋1)≈2 186(m)．‎ 答：山高CD为2 ‎186 m.‎ ‎15．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？‎ 思路分析　船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与‎38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与‎38海里比较大小即可．‎ 解析　在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝135°，‎ ‎∴∠BAC＝15°.‎ 由正弦定理＝，即＝.‎ ‎∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°)‎ ‎＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(＋)．‎ ‎∴A到BC的距离d＝ACsin45°＝15(＋1)‎ ‎≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．‎ ‎1．一船以‎4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为‎2 km/h，则经过 h后，该船实际航行为(　　)‎ A．‎2 km B．‎‎6 km C. km D．‎‎8 km 答案　B ‎2.‎ 如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离‎1千米的两个观察点C、D，在某天10∶00观察到该航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为________(千米/分钟)．‎ 答案　 解析　在△BCD中，‎ ‎∠BDC＝30°＋60°＝90°，CD＝1，∠BCD＝45°，‎ ‎∴BC＝.‎ 在△ACD中，∠CAD＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°，‎ ‎∴＝，AC＝.‎ 在△ABC中，‎ AB2＝AC2＋BC2－‎2AC×BC×cos60°＝，‎ ‎∴AB＝，∴船速为＝ 千米/分钟．‎ ‎3.‎ 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距‎20 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为‎30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？‎ 答案　救船到达D点需要1小时．‎ 解析　由题意知AB＝5(3＋)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，‎ ‎∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.‎ 在△DAB中，由正弦定理，得＝.‎ ‎∴DB＝＝ ‎＝＝ ‎＝10(海里)．‎ 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，‎ 在△DBC中，由余弦定理，得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC ‎＝300＋1 200－2×10×20×＝900.‎ ‎∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．‎ 答：救援船到达D点需要1小时．‎ ‎4.‎ 如图所示，a是海面上一条南北向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方‎20 km处和‎54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是‎1.5 km/s.‎ ‎(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；‎ ‎(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果精确到‎0.01 km)‎ 答案　(1)PB＝x－‎12 km，PC＝18＋x km　 ‎(2)‎‎17.71 km