高考数学总复习抽象函数问题的题型综述 17页

抽象函数问题的题型综述 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它 是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对 教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整 理、归类，大概有以下几种题型： 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值 法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R上的函数 满足： 且 ，求 的值。 解：由 ， 以 代入，有 ， 为奇函数且有 又由 故 是周期为8的周期函数， 例2 已知函数 对任意实数 都有 ，且当 时， ，求 在 上的值域。 解：设 且 ， 则 ， 由条件当 时， f x( ) f x f x( ) ( )= −4 f x f x( ) ( )2 2 0− + − = f ( )2000 f x f x( ) ( )2 2 0− + − = t x= − 2 f t f t( ) ( )− = ∴ f x( ) f ( )0 0= f x f x( ) [ ( )]+ = − −4 4 = − = − ∴ + = − + = f x f x f x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 4 f x( ) ∴ = =f f( ) ( )2000 0 0 f x( ) x y， f x y f x f y( ) ( ) ( )+ = + x > 0 f x f( ) ( )> − = −0 1 2， f x( ) [ ]−2 1， x x1 2< x x R1 2， ∈ x x2 1 0− > x > 0 f x( ) > 0 又 为增函数， 令 ，则 又令 得 ， 故 为奇函数， ， 上的值域为 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内 的增减性，去掉“ ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作 用。 例3 已知 是定义在（ ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足 ，试确定 的取值范围。 解： 是偶函数，且在（0，1）上是增函数， 在 上是减函数， 由 得 。 （1）当 时， ，不等式不成立。 （2）当 时， ∴ − >f x x( )2 1 0 f x f x x x( ) [( ) ]2 2 1 1= − + = − + >f x x f x f x( ) ( ) ( )2 1 1 1 ∴ f x( ) y x= − f f x f x( ) ( ) ( )0 = + − x y= = 0 f ( )0 0= ∴ − = −f x f x( ) ( ) f x( ) ∴ = − =f f( ) ( )1 1 2 f f( ) ( )− = − = −2 2 1 4 ∴ −f x( ) [ ]在 ，2 1 [ ]−4 2， f f x( ) −1 1， f a f a( ) ( )− − − <2 4 02 a  f x( ) ∴ f x( ) ( )−1 0， − < − < − < − <    1 2 1 1 4 12 a a 3 5< −    < < 2 4 4 1 2 0 1 4 0 2 4 3 2 2 2 2 2 解之得， 2 5< 0 f x( ) > 2 f ( )3 5= f a a( )2 2 2 3− − < x x R1 2、 ∈ x x1 2< x x2 1 0− > ∴ − >f x x( )2 1 2 f x x( )2 1 2 0− − > ∴ = − + = − + − > ∴ > f x f x x x f x x f x f x f x f x ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 f x( ) f f f f f( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 2 1 2 3 1 4 5= + = + − = − = ∴ = ∴ − − < = − − < ∴− < < f f a a f a a a ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 3 1 2 2 1 1 3 2 2 ， 即 f a a( )2 2 2 3− − < { }a a|− < <1 3 f x( ) x f x f x f x( ) ( ) ( )= + − +1 2 f x( ) f x T f x( ) ( )+ = f x( )  f x f x f x( ) ( ) ( ) ( )= + − +1 2 1 ∴ + = + − +f x f x f x( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 ( ) ( )1 2+ f x f x( ) ( ) ( )= − + 3 3 f x f x( ) ( ) ( )+ = − +3 6 4 由（3）和（4）得 。 上式对任意 都成立，因此 是周期函数，且周期为6。 例7 已知 对一切 ，满足 ，且当 时， ，求证：（1） 时， （2） 在R上为减函数。 证明： 对一切 有 。 且 ，令 ，得 ， 现设 ，则 ， ， 而 ， 设 且 ， 则 ， 即 为减函数。 五. 综合问题求解 抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高， 解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数 符号“ ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“ ”。 例8 设函数 定义在R上，当 时， ，且对任意 ，有 ，当 时 。 f x f x( ) ( )= + 6 x R∈ f x( ) f x( ) x y， f f x y f x f y( ) ( ) ( ) ( )0 0≠ + = ⋅， x < 0 f x( ) > 1 x > 0 0 1< 0 − 1 f f x f x( ) ( ) ( )0 1= ⋅ − = ∴ − = >f x f x( ) ( ) 1 1 ∴ < <0 1f x( ) x x R1 2， ∈ x x1 2< 0 12 1< − f x f x( ) ( )1 2 f x( ) f f y f x= ( ) x > 0 f x( ) > 1 m n， f m n f m f n( ) ( ) ( )+ = ⋅ m n≠ f m f n( ) ( )≠ （1）证明 ； （2）证明： 在R上是增函数； （3）设 ， ，若 ，求 满足的条件。 解：（1）令 得 ， 或 。 若 ，当 时，有 ，这与当 时， 矛盾， 。 （2）设 ，则 ，由已知得 ，因为 ， ，若 时， ，由 （3）由 得 由 得 （2） 从（1）、（2）中消去 得 ，因为 ， 即 例9 定义在（ ）上的函数 满足（1），对任意 都有 ， f ( )0 1= f x( ) { }A x y f x f y f= ⋅ <( )| ( ) ( ) ( )， 2 2 1 B x y f ax by c a b c R a= + + = ∈ ≠{( )| ( ) }， ， ， ， ，1 0 A B = ∅ a b c， ， m n= = 0 f f f( ) ( ) ( )0 0 0= ⋅ ∴ =f ( )0 0 f ( )0 1= f ( )0 0= m ≠ 0 f m f m f( ) ( ) ( )+ = ⋅0 0 m n≠ f m f n( ) ( )≠ ∴ =f ( )0 1 x x1 2< x x2 1 0− > f x x( )2 1 1− > x1 0≥ f x( )1 1> x1 0< − > − >x f x1 10 1， ( ) f f x f x( ) ( ) ( )0 1 1= ⋅ − ∴ = − > = − ⋅ > ∴ f x f x f x f x x f x f x f x R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 1 0 在 上为增函数。 f x f y f( ) ( ) ( )2 2 1⋅ < x y2 2 1 1+ < ( ) f ax by c( )+ + = 1 ax by c+ + = 0 y ( )a b x acx c b2 2 2 2 22 0+ + + − < A B = ∅ ∴ = − + − <∆ ( ) ( )( )2 4 02 2 2 2 2ac a b c b a b c2 2 2+ < −1 1， f x( ) x y， ，∈ −( )1 1 f x f y f x y xy( ) ( ) ( )+ = + +1 （2）当 时，有 ， （1）试判断 的奇偶性；（2）判断 的单调性； （3）求证 。 抽象函数问题分类解析 我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出 现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑， 求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。 1. 求定义域 这类问题只要紧紧抓住：将函数 中的 看作一个整体，相当于 中 的x这一特性，问题就会迎刃而解。 例1.函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是__ 分析：因为 相当于 中的x，所以 ，解得 或 。 例2.已知 的定义域为 ，则 的定义域是 ______。 分析：因为 及 均相当于 中的x，所以 (1)当 时，则 (2)当 时，则 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求 与 的关系。 例3.已知 的定义域为R，且对任意实数x，y满足 ，求 证： 是偶函数。 x ∈ −( )1 0， f x( ) > 0 f x( ) f x( ) f f f n n f( ) ( ) ( ) ( )1 5 1 11 1 3 1 1 22 + + + + + >… f g x[ ( )] g x( ) f x( ) y f x= ( ) ( ]−∞，1 y f x= −[log ( )]2 2 2 log ( )2 2x2 − f x( ) log ( )2 2 2 1x − ≤ 2 2< ≤x − ≤ < −2 2x f x( ) (0 )，1 y f x a f x a a= + + − ≤( ) ( )(| | )1 2 x a+ x a− f x( ) 0 1 0 1 1 1 < + < < − <    ⇒ − < < − < < +    x a x a a x a a x a − ≤ ≤1 2 0a x a a∈ − +( )，1 0 1 2 < ≤a x a a∈ −( )，1 f x( ) f x( )− f x( ) f xy f x f y( ) ( ) ( )= + f x( ) 分析：在 中，令 ， 得 令 ，得 于是 故 是偶函数。 例4. 若函数 与 的图象关于原点对称，求证：函数 是偶函数。 证明：设 图象上任意一点为P（ ） 与 的图象关于原点对称， 关于原点的对称点 在 的图象上， 又 即对于函数定义域上的任意x都有 ，所以 是偶函数。 3. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问 题迅速获解。 例5. 如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为5，那么 在区 间 上是 A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 f xy f x f y( ) ( ) ( )= + x y= = 1 f f f f( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0= + ⇒ = x y= = −1 f f f f( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0= − + − ⇒ − = f x f x f f x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = − ⋅ = − + =1 1 f x( ) y f x f x= ≠( )( ( ) )0 y f x= − ( ) y f x= ( ) y f x= ( ) x y0 0，  y f x= ( ) y f x= − ( ) ∴ P x y( )0 0， ( )− −x y0 0， y f x= − ( ) ∴− = − − ∴ = − y f x y f x 0 0 0 0 ( ) ( ) y f x0 0= ( ) ∴ − =f x f x( ) ( )0 0 f x f x( ) ( )− = y f x= ( ) f x( ) [ ]3 7， f x( ) [ ]− −7 3， −5 −5 −5 −5 分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。 例6.已知偶函数 在 上是减函数，问 在 上是增函是减 函数，并证明你的结论。 分析：如图2所示，易知 在 上是增函数，证明如下： 任取 因为 在 上是减函数，所以 。 又 是偶函数，所以 ， 从而 ，故 在 上是增函 数。 4. 探求周期性 这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件， 通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的 解。 例7. 设函数 的定义域为R，且对任意的x，y有 ，并存在正实数c，使 。试问 是否 为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。 分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现： 满足题设条 件，且 ，猜测 是以2c为周期的周期函数。 故 是周期函数，2c是它的一个周期。 f x( ) (0 )， + ∞ f x( ) ( )−∞，0 f x( ) ( )−∞，0 x x x x1 2 1 20 0< < ⇒ − > − > f x( ) (0 )， + ∞ f x f x( ) ( )− < −1 2 f x( ) f x f x f x f x( ) ( ) ( ) ( )− = − =1 1 2 2， f x f x( ) ( )1 2< f x( ) ( )−∞，0 f x( ) f x y f x y f x f y( ) ( ) ( ) ( )+ + − = ⋅2 f c( )2 0= f x( ) y x= cos cos π 2 0= f x( )  f x c c f x c c f x c f c f x c f x f x c f x c f x [( ) ] [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + − = + = ∴ + = − ∴ + = − + = 2 2 2 2 2 2 2 0 2 f x( ) y O x 5. 求函数值 紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程 中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。 例8.已知 的定义域为 ，且 对一切正实数x，y都成 立，若 ，则 _______。 分析：在条件 中，令 ，得 ， 又令 ， 得 ， 例9. 已知 是定义在R上的函数，且满足： ， ，求 的值。 分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现 是周期函数，显然 ，于 是 ， 所以 故 是以8为周期的周期函数，从而 f x( ) R+ f x y f x f y( ) ( ) ( )+ = + f ( )8 4= f (2) = f x y f x f y( ) ( ) ( )+ = + x y= = 4 f f f f( ) ( ) ( ) ( )8 4 4 2 4 4= + = = ∴ =f ( )4 2 x y= = 2 f f f(4) (2) (2)= + = 2 ∴ =f (2) 1 f x( ) f x f x f x( )[ ( )] ( )+ − = +2 1 1 f ( )1 1997= f (2001) f x( ) f x( ) ≠ 1 f x f x f x( ) ( ) ( ) + = + −2 1 1 f x f x f x f x f x f x f x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + + − + = + + − − + − = −4 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 f x f x f x( ) ( ) ( )+ = − + =8 1 4 f x( ) f f f(2001) ( ) ( )= × + = =8 250 1 1 1997 6. 比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利 用其单调性使问题获解。 例10.已知函数 是定义域为R的偶函数， 时， 是增函数，若 ， ，且 ，则 的大小关系是_______。 分析： 且 ， 又 时， 是增函数， 是偶函数， 故 7. 讨论方程根的问题 例11.已知函数 对一切实数x都满足 ，并且 有三个 实根，则这三个实根之和是_______。 分析：由 知直线 是函数 图象的对称轴。又 有三个实根，由对称性知 必是方程的一个根，其余两根 关于直线 对称，所以 ，故 。 8. 讨论不等式的解 求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。 例12.已知函数 是定义在 上的减函数，且对一切实数x，不等式 恒成立，求k的值。 f x( ) x < 0 f x( ) x1 0< x2 0> | | | |x x1 2< f x f x( ) ( )− −1 2，  x x1 20 0< >， | | | |x x1 2< ∴ < − < ⇒ − < <0 01 2 2 1x x x x x < 0 f x( ) ∴ − −1 2 f x( ) f x f x( ) ( )1 1+ = − f x( ) = 0 f x f x( ) ( )1 1+ = − x = 1 f x( ) f x( ) = 0 x1 1= x x2 3， x = 1 x x2 3 2 1 2+ = × = x x x1 2 3 3+ + = f x( ) ( ]−∞，1 f k x f k x( sin ) ( sin )− ≥ −2 2 分析：由单调性，脱去函数记号，得 由题意知(1)(2)两式对一切 恒成立，则有 9. 研究函数的图象 这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。 例13.若函数 是偶函数，则 的图象关于直线_______对称。 分析： 的图象 的图象，而 是偶函 数，对称轴是 ，故 的对称轴是 。 例14.若函数 的图象过点（0，1），则 的反函数的图象必过定点__ 分析： 的图象过点（0，1），从而 的图象过点 ，由原函数 与其反函数图象间的关系易知， 的反函数的图象必过定点 。 10. 求解析式 例15.设函数 存在反函数， 与 的图象关于直线 对称，则函数 A. B. C. D. 分析：要求 的解析式，实质上就是求 图象上任一点 的 横、纵坐标之间的关系。 点 关于直线 的对称点 适合 ，即 k x k x k x k x k k x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 2 − ≤ − ≤ −    ⇔ ≤ + − + ≥ −    sin sin sin sin ( ) (sin ) (2) x R∈ k x k k x k 2 2 2 2 1 1 1 4 1 2 9 4 1 ≤ + = − + ≥ − =       ⇒ = − ( sin ) (sin ) min max y f x= +( )2 y f x= ( ) y f x= ( ) 右移 个单位 左移 个单位 2 2 y f x= +( )2 y f x= +( )2 x = 0 y f x= ( ) x = 2 f x( ) f x( )+ 4 f x( ) f x( )+ 4 ( )−4 1， f x( )+ 4 ( )1 4， − f x( ) g x f x h x( ) ( ) ( )= −1 ， g x( ) x y+ = 0 h x( ) = − f x( ) − −f x( ) − −f x1( ) − −−f x1( ) y h x= ( ) y h x= ( ) P x y( )0 0， P x y( )0 0， y x= − ( )− −y x0 0， y f x= −1( ) 。 又 ， 即 ，选B。 抽象函数的周期问题 2001年高考数学（文科）第22题：设 是定义在 上的偶函数，其图象关 于直线 对称。对任意 都有 。 （I）设 求 ； （II）证明 是周期函数。 （II）证明：依题设 关于直线 对称 故 又由 是偶函数知 将上式中 以 代换，得 这表明 是 上的周期函数，且2是它的一个周期 是偶函数的实质是 的图象关于直线 对称 又 的图象关于 对称，可得 是周期函数 且2是它的一个周期 由此进行一般化推广，我们得到 思考一：设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，证 明 是周期函数，且 是它的一个周期。 − = −x g y0 0( ) g x f x( ) ( )= −1 ∴− = − ⇒ − = − ⇒ = − −−x f y y f x y f x0 1 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) h x f x( ) ( )= − − f x( ) R x =1 x x1 2 0 1 2 ， ，∈[ ] f x x f x f x( ) ( ) ( )1 2 1 2+ = ⋅ f ( )1 2= ， f f( ) ( )1 2 1 4 ， f x( ) y f x= ( ) x =1 f x f x x R( ) ( )= − ∈2 ， f x( ) f x f x x R( ) ( )− = ∈， ∴ − = − ∈f x f x x R( ) ( )2 ， −x x f x f x x R( ) ( )= + ∈2 ， f x( ) R f x( ) f x( ) x = 0 f x( ) x =1 f x( ) f x( ) R x a a= ≠( )0 f x( ) 2a 证明： 关于直线 对称 又由 是偶函数知 将上式中 以 代换，得 是 上的周期函数 且 是它的一个周期 思考二：设 是定义在 上的函数，其图象关于直线 和 对 称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。 证明： 关于直线 对称 将上式的 以 代换得 是 上的周期函数 且 是它的一个周期 若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”， 还是不是周期函数？经过探 索，我们得到 思考三：设 是定义在 上的奇函数，其图象关于直线 对称。证明 是周期函数，且4是它的一个周期。， 证明： 关于 对称  f x( ) x a= ∴ = − ∈f x f a x x R( ) ( )2 ， f x( ) f x f x x R( ) ( )− = ∈， ∴ − = − ∈f x f a x x R( ) ( )2 ， −x x f x f a x x R( ) ( )= + ∈2 ， ∴ f x( ) R 2a f x( ) R x a= x b a b= ≠( ) f x( ) 2( )b a−  f x( ) x a x b= =和 ∴ = − ∈ = − ∈ ∴ − = − ∈ f x f a x x R f x f b x x R f a x f b x x R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ， ， ， −x x f a x f b x x R( ) ( )2 2+ = + ∈， ∴ + − = − + = − + = ∈f x b a f x a b f x a a f x x R[ ( )] [( ) ] [( ) ] ( )2 2 2 2 2 ， ∴ f x( ) R 2( )b a− f x( ) f x( ) R x =1 f x( )  f x( ) x =1 又由 是奇函数知 将上式的 以 代换，得 是 上的周期函数 且4是它的一个周期 是奇函数的实质是 的图象关于原点（0，0）中心对称，又 的图 象关于直线 对称，可得 是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行 一般化推广，我们得到 思考四：设 是定义在 上的函数，其图象关于点 中心对称，且其 图象关于直线 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个 周期。 证明： 关于点 对称 关于直线 对称 将上式中的 以 代换，得 ∴ = − ∈f x f x x R( ) ( )2 ， f x( ) f x f x x R f x f x x R ( ) ( ) ( ) ( ) − = − ∈ ∴ − = − − ∈ ， ，2 −x x f x f x x R f x f x f x f x f x x R ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) 2 4 2 2 2 + = − ∈ ∴ + = + + = − + = − − = ∈ ， ， ∴ f x( ) R f x( ) f x( ) f x( ) x =1 f x( ) f x( ) R M a( )，0 x b b a= ≠( ) f x( ) 4( )b a−  f x( ) M a( )，0 ∴ − = − ∈f a x f x x R( ) ( )2 ，  f x( ) x b= ∴ = − ∈ ∴ − = − − ∈ f x f b x x R f b x f a x x R ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ， ， −x x 是 上的周期函数 且 是它的一个周期 由上我们发现，定义在 上的函数 ，其图象若有两条对称轴或一个对称 中心和一条对称轴，则 是 上的周期函数。进一步我们想到，定义在 上 的函数 ，其图象如果有两个对称中心，那么 是否为周期函数呢？经 过探索，我们得到 思考五：设 是定义在 上的函数，其图象关于点 和 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。 证明： 关于 对称 将上式中的 以 代换，得 是周期函数 且 是它的一个周期 抽象函数解法例谈 f b x f a x x R f x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 + = − + ∈ ∴ + − = + + − = − + + − = − + − = + − = ∈ ， ， ∴ f x( ) R 4( )b a− R f x( ) f x( ) R R f x( ) f x( ) f x( ) R M a( )，0 N b a b( ) ( )，0 ≠ f x( ) 2( )b a−  f x( ) M a N b( ) ( )， ， ，0 0 ∴ − = − ∈ − = − ∈ ∴ − = − ∈ f a x f x x R f b x f x x R f a x f b x x R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ， ， ， −x x f a x f b x x R f x b a f b x a f a x a f x x R ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) 2 2 2 2 2 2 2 + = + ∈ ∴ + − = + − = + − = ∈ ， ， ∴ f x( ) 2( )b a− 一:函数性质法 函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象 函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化, 抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2, 利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特 殊点,布列方程等. 二:特殊化方法 1在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x换成-x或将x换成 等 2在求函数值时,可用特殊值代入 3研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对 综合题,的解答提供思路和方法. 总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难凑效,但我们如果能通过对题目的 信息分析与研究,采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效,真有 些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快感.