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  • 2021-05-13 发布

江苏高考解析几何含解析

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‎2018年-2008年江苏高考解析几何题(共20题)‎ 说明:解析几何题填空题选自最后4题,解答题考在17题或18题,是解答题的第三、四两题之一,是中档题,是学生取得优分必须要突破的题型,必须重视。做错的认真订正,并在可能的情况下多练。‎ 1. 在平面直角坐标系中,A为直线上在第一象限内的点,,以AB为直径的圆C与直线l交 于另一点D.若,则点A的横坐标为 .‎ 2. 如图,在平面直角坐标系中,椭圆C过点,焦点,圆O的直径为.‎ ‎(1)求椭圆C及圆O的方程;‎ ‎(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;‎ ‎②直线l与椭圆C交于两点.若的面积为,求直线l的方程.‎ 3. 在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取 值范围是 .‎ ‎4.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.‎ ‎5.如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆及其上一点 ‎(1)设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程;‎ ‎(2)设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程;‎ ‎(3)设点满足:存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。‎ ‎6.在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立,则是实数c的最大值为 ‎ ‎7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.‎ ‎8.如图在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左右焦点,顶点的坐标是,连接并延长交椭圆于点,过点作轴的垂线交椭圆于另一点,连接。‎ ‎(1)若点的坐标为,且,求椭圆的方程;‎ ‎(2)若,求椭圆离心率的值。‎ ‎9.在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为 .‎ ‎10.如图,在平面直角坐标系中,点,直线.设圆的半径为,圆心在上.‎ ‎(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;‎ ‎(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.‎ x y A l O 11. 在平面直角坐标系中,圆C的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 .‎ ‎12. 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线 与直线平行,与交于点P.‎ ‎(i)若,求直线的斜率; (ii)求证:是定值.‎ ‎13、设集合, , ‎ 若 则实数m的取值范围是______________‎ ‎14、如图,在平面直角坐标系中,M、N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k ‎(1)当直线PA平分线段MN时,求k的值; (2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;‎ ‎(3)对任意k>0,求证:PA⊥PB 15、 在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是_____‎ ‎16、在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m>0,。‎ ‎(1)设动点P满足,求点P的轨迹; (2)设,求点T的坐标;‎ ‎(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。‎ ‎ 17.如图,在平面直角坐标系中,为椭圆的四个顶点,为其右焦点,直线与直线相交于点T,线段与椭圆的交点恰为线段的中点,则该椭圆的离心率为 . ‎ ‎18.在平面直角坐标系中,已知圆和圆.‎ ‎(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;‎ ‎(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。‎ ‎19.在平面直角坐标系中,椭圆1( 0)的焦距为2,以O为圆心,为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率= . ‎ ‎20.设平面直角坐标系中,设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求:‎ ‎(Ⅰ)求实数b 的取值范围; (Ⅱ)求圆C 的方程;‎ ‎(Ⅲ)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论.‎ 解析如下:‎ ‎1.在平面直角坐标系中,A为直线上在第一象限内的点,,以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若,则点A的横坐标为 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】设,则由圆心为中点得,‎ 易得,与联立解得点的横坐标,所以.所以,,‎ 由得,‎ ‎,或,因为,所以.‎ ‎2.(本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,椭圆C过点,焦点,圆O的直径为.‎ ‎(1)求椭圆C及圆O的方程;‎ ‎(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;‎ ‎②直线l与椭圆C交于两点.若的面积为,‎ 求直线l的方程.‎ ‎18.【答案】(1)椭圆的方程为;圆的方程为;‎ ‎(2)①点的坐标为;②直线的方程为.‎ ‎【解析】(1)因为椭圆的焦点为,,‎ 可设椭圆的方程为.又点在椭圆上,‎ 所以,解得,因此,椭圆的方程为.‎ 因为圆的直径为,所以其方程为.‎ ‎(2)①设直线与圆相切于,则,‎ 所以直线的方程为,即.‎ 由,消去,得.(*)‎ 因为直线与椭圆有且只有一个公共点,‎ 所以.‎ 因为,,所以,.‎ 因此,点的坐标为.‎ ‎②因为三角形的面积为,所以,从而.‎ 设,,由(*)得,‎ 所以.‎ 因为,‎ 所以,即,‎ 解得(舍去),则,因此的坐标为.‎ 综上,直线的方程为.‎ 3. 在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范 是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】直线与圆,线性规划 ‎4.(本小题满分14分) 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.‎ ‎ (1)求椭圆的标准方程;‎ ‎ (2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.‎ F1‎ ‎ ‎ O ‎ ‎ F2‎ x y ‎(第17题)‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】解:(1)设椭圆的半焦距为c. ‎ 从而直线的方程:, ①‎ 直线的方程:. ②‎ 由①②,解得,所以.‎ 因为点在椭圆上,由对称性,得,即或.‎ 因此点P的坐标为.‎ ‎5. (本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆及其上一点 ‎(1)设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程;‎ ‎(2)设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程;‎ ‎(3)设点满足:存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎ (2)因为直线l||OA,所以直线l的斜率为.‎ 设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,‎ 则圆心M到直线l的距离 ‎ ‎ 因为 ‎ 而 ‎ 所以,解得m=5或m=-15. ‎ 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.‎ ‎6.在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立,则是实数c的最大值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设,因为直线平行于渐近线,所以c的最大值为直线与渐近线之间距离,为 ‎7.(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.‎ ‎ (1)求椭圆的标准方程;‎ ‎ (2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.‎ ‎【答案】(1)(2)或.‎ ‎(2)当轴时,,又,不合题意.‎ 当与轴不垂直时,设直线的方程为,,,‎ 将的方程代入椭圆方程,得,‎ 则,的坐标为,且 ‎.‎ 若,则线段的垂直平分线为轴,与左准线平行,不合题意.‎ 从而,故直线的方程为,‎ 则点的坐标为,从而.‎ 因为,所以,解得.‎ 此时直线方程为或.‎ ‎8.(满分14分)如图在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左右焦点,顶点的坐标是,连接并延长交椭圆于点,过点作轴的垂线交椭圆于另一点,连接。‎ ‎(1)若点的坐标为,且,求椭圆的方程;‎ ‎(2)若,求椭圆离心率的值。‎ ‎ ‎ ‎9.在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为 ‎,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图,l:x=,=-c=,由等面积得:=。若,则=,整理得:,两边同除以:,得:,解之得:=,所以,离心率为:.‎ y x l B F O c b a ‎10.x y A l O (本小题满分14分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,点,直线.‎ 设圆的半径为,圆心在上.‎ ‎(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,‎ ‎ 求切线的方程;‎ ‎(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐 ‎ 标的取值范围.‎ 解:(1)联立:,得圆心为:C(3,2).‎ 设切线为:,‎ d=,得:.‎ 故所求切线为:.‎ ‎(2)设点M(x,y),由,知:,‎ 化简得:,‎ 即:点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D.‎ 又因为点在圆上,故圆C圆D的关系为相交或相切.‎ 故:1≤|CD|≤3,其中.‎ 解之得:0≤a≤.‎ ‎11. 在平面直角坐标系中,圆C的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意将此化成标准形式为:,得到,该圆的圆心为半径为 ,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,只需要圆心到直线的距离,即可,所以有,化简得解得,所以k的最大值是 .‎ ‎12. (本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.‎ A B P O x y ‎(第19题)‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线 与直线平行,与交于点P.‎ ‎(i)若,求直线的斜率;‎ ‎(ii)求证:是定值.‎ ‎【命题意图】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎【解析】(1)设题设知,,由点(1,)在椭圆上,‎ 得=1,解得=1,于是,‎ 又点(,)在椭圆上,∴=1,即,解得=2,‎ ‎∴所求椭圆方程的方程是=1;‎ ‎(2)由(1)知(-1,0),(1,0), ∵∥, ‎ ‎ ∴可设直线的方程为:,直线的方程为:,‎ 设,,‎ 由,得,解得,‎ 故===, ①‎ 同理,=, ②‎ ‎(ⅰ)由①②得-=,解得=得=2,‎ ‎∵,∴,∴直线的斜率为.‎ ‎(ⅱ)∵∥, ∴, ∴, ∴,‎ 由B点在椭圆知,∴,同理,‎ ‎∴==‎ 由①②知,+=,×=,‎ ‎∴==,∴是定值.‎ ‎13、设集合, , ‎ 若 则实数m的取值范围是______________‎ 答案:‎ 解析:综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、两条直线位置关系、解不等式,难题。当时,集合A是以(2,0)为圆心,以为半径的圆,集合B是在两条平行线之间, ,因为此时无解;当时,集合A是以(2,0)为圆心,以和为半径的圆环,集合B是在两条平行线之间,必有 .又因为 N M P A x y B C ‎14、(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,M、N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k ‎(1)当直线PA平分线段MN时,求k的值;‎ ‎(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;‎ ‎(3)对任意k>0,求证:PA⊥PB ‎ ‎ 解析:(1)(2)两题主要考察直线的斜率及其方程、点到直线距离公式、‎ 解方程组,是容易题;(3)是考察学生灵活运用共线问题、点在曲线上、‎ 直线斜率、两条直线位置关系的判断、运算能力,是难题。‎ ‎(1)M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以 ‎(2)由得,,AC方程:即:‎ 所以点P到直线AB的距离 ‎(3)法一:由题意设,‎ A、C、B三点共线,又因为点P、B在椭圆上,‎ ‎,两式相减得:‎ 法二:设,‎ A、C、B三点共线,又因为点A、B在椭圆上,‎ ‎,两式相减得:,‎ ‎,‎ ‎15、在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是______▲_____[来源 ‎[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2,‎ 圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1,,的取值范围是(-13,13)。‎ ‎16、(本小题满分16分)在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m>0,。‎ ‎(1)设动点P满足,求点P的轨迹;‎ ‎(2)设,求点T的坐标;‎ ‎(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。‎ ‎[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。‎ ‎(1)设点P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。‎ 由,得 化简得。‎ 故所求点P的轨迹为直线。‎ ‎(2)将分别代入椭圆方程,以及得:M(2,)、N(,)‎ 直线MTA方程为:,即,‎ 直线NTB 方程为:,即。‎ 联立方程组,解得:,‎ 所以点T的坐标为。‎ ‎(3)点T的坐标为 直线MTA方程为:,即,‎ 直线NTB 方程为:,即。‎ 分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,‎ 解得:、。‎ ‎(方法一)当时,直线MN方程为:‎ ‎ 令,解得:。此时必过点D(1,0);‎ 当时,直线MN方程为:,与x轴交点为D(1,0)。‎ 所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。‎ ‎(方法二)若,则由及,得,‎ 此时直线MN的方程为,过点D(1,0)。‎ 若,则,直线MD的斜率,‎ 直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点。‎ 因此,直线MN必过轴上的点(1,0)。‎ 17. 如图,在平面直角坐标系中,为椭圆的四个顶点,为其右焦点,直线与直线相交于点T,线段与椭圆的交点恰为线段的中点,则该椭圆的离心率为 ▲ . ‎ ‎【解析】 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等。以及直线的方程。‎ 直线的方程为:;‎ 直线的方程为:。二者联立解得:,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 则在椭圆上,‎ ‎,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解得:‎ ‎18.(本小题满分16分) ‎ 在平面直角坐标系中,已知圆和圆.‎ ‎(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;‎ ‎(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。‎ ‎【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。‎ ‎(1)设直线的方程为:,即 由垂径定理,得:圆心到直线的距离,‎ 结合点到直线距离公式,得: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 化简得:‎ 求直线的方程为:或,即或 ‎(2) 设点P坐标为,直线、的方程分别为:‎ ‎,即:‎ 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得::圆心到直线与直线的距离相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故有:,‎ 化简得:‎ 关于的方程有无穷多解,有: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解之得:点P坐标为或。‎ ‎19.在平面直角坐标系中,椭圆1( 0)的焦距为2,以O为圆心,为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率= ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设切线PA、PB 互相垂直,又半径OA 垂直于PA,所以△OAP 是等腰直角三角形,故,解得.‎ ‎20.设平面直角坐标系中,设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求:‎ ‎(Ⅰ)求实数b 的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)求圆C 的方程;‎ ‎(Ⅲ)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论.‎ ‎【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.‎ 解:(Ⅰ)令=0,得抛物线与轴交点是(0,b);‎ 令,由题意b≠0 且Δ>0,解得b<1 且b≠0.‎ ‎(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 令=0 得这与=0 是同一个方程,故D=2,F=.‎ 令=0 得=0,此方程有一个根为b,代入得出E=―b―1.‎ 所以圆C 的方程为.‎ ‎(Ⅲ)圆C 必过定点(0,1)和(-2,1).‎ 证明如下:将(0,1)代入圆C 的方程,得左边=0+1+2×0-(b+1)+b=0,右边=0,‎ 所以圆C 必过定点(0,1).‎ 同理可证圆C 必过定点(-2,1).‎