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- 2021-05-13 发布
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2010年高考真题考点归纳 第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线2
三、解答题
1.(2010上海文)23(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知椭圆的方程为,、和为的三个顶点.
(1)若点满足,求点的坐标;
(2)设直线交椭圆于、两点,交直线于点.若,证明:为的中点;
(3)设点在椭圆内且不在轴上,如何构作过中点的直线,使得与椭圆的两个交点、满足?令,,点的坐标是(-8,-1),若椭圆上的点、满足,求点、的坐标.
解析:(1) ;
(2) 由方程组,消y得方程,
因为直线交椭圆于、两点,
所以D>0,即,
设C(x1,y1)、D(x2,y2),CD中点坐标为(x0,y0),
则,
由方程组,消y得方程(k2-k1)x=p,
又因为,所以,
故E为CD的中点;
(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上,所以点F在椭圆Γ内,可以求得直线OF的斜率k2,由知F为P1P2的中点,根据(2)可得直线l的斜率,从而得直线l的方程.
,直线OF的斜率,直线l的斜率,
解方程组,消y:x2-2x-48=0,解得P1(-6,-4)、P2(8,3).
2.(2010湖南文)19.(本小题满分13分)
为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过A、B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图4)。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。
(I) 求考察区域边界曲线的方程:
(II) 如图4所示,设线段 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍。问:经过多长时间,点A恰好在冰川边界线上?
3.(2010浙江理)(21) (本题满分15分)已知m>1,直线,椭圆,分别为椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线过右焦点时,求直线的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,,的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内,求实数的取值范围.
解析:本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
(Ⅰ)解:因为直线经过,所以,得,
又因为,所以,
故直线的方程为。
(Ⅱ)解:设。
由,消去得
则由,知,
且有。
由于,
故为的中点,
由,
可知
设是的中点,则,
由题意可知
即
即
而
所以
即
又因为且
所以。
所以的取值范围是。
4.(2010全国卷2理)(21)(本小题满分12分)
己知斜率为1的直线l与双曲线C:相交于B、D两点,且BD的中点为.
(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.
【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质,考查直线与圆的关系,既考查考生的基础知识掌握情况,又可以考查综合推理的能力.
【参考答案】
【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目,命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查,如向量问题、三角形问题、函数问题等等,试题的难度相对比较稳定.
5.(2010陕西文)20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设n 为过原点的直线,l是与n垂直相交与点P,与椭圆相交于A,B两点的直线 立?若存在,求出直线l的方程;并说出;若不存在,请说明理由。
6.(2010辽宁文)(20)(本小题满分12分)
设,分别为椭圆的左、右焦点,过的直线与椭圆 相交于,两点,直线的倾斜角为,到直线的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的焦距;
(Ⅱ)如果,求椭圆的方程.
解:(Ⅰ)设焦距为,由已知可得到直线l的距离
所以椭圆的焦距为4.
(Ⅱ)设直线的方程为
联立
解得
因为
即
得
故椭圆的方程为
7.(2010辽宁理)(20)(本小题满分12分)
设椭圆C:的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60o,.
(I) 求椭圆C的离心率;
(II) 如果|AB|=,求椭圆C的方程.
解:
设,由题意知<0,>0.
(Ⅰ)直线l的方程为 ,其中.
联立得
解得
因为,所以.
即
得离心率 . ……6分
(Ⅱ)因为,所以.
由得.所以,得a=3,.
椭圆C的方程为. ……12分
8.(2010全国卷2文)(22)(本小题满分12分)
已知斜率为1的直线1与双曲线C:相交于B、D两点,且BD的中点为M(1.3)
(Ⅰ)(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|·|BF|=17证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切。
【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识,考查学生运用所学知识解决问题的能力。
(1)由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程,直线与双曲线交于BD两点的中点为(1,3),可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B的关系式即求得离心率。
(2)利用离心率将条件|FA||FB|=17,用含A的代数式表示,即可求得A,则A点坐标可得(1,0),由于A在X轴上所以,只要证明2AM=BD即证得。
(2010江西理数)21. (本小题满分12分)
设椭圆,抛物线。
(1) 若经过的两个焦点,求的离心率;
(2) 设A(0,b),,又M、N为与不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为,且△QMN的重心在上,求椭圆和抛物线的方程。
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。
(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得:,由
。
(2)由题设可知M、N关于y轴对称,设,由的垂心为B,有
。
由点在抛物线上,,解得:
故,得重心坐标.
由重心在抛物线上得:,,又因为M、N在椭圆上得:,椭圆方程为,抛物线方程为。
9.(2010安徽文数)17、(本小题满分12分)
椭圆经过点,对称轴为坐标轴,
焦点在轴上,离心率。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。
【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质,直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的距离公式等基础知识;考查解析几何的基本思想、综合运算能力.
【解题指导】(1)设椭圆方程为,把点代入椭圆方程,把离心率用表示,再根据,求出,得椭圆方程;(2)可以设直线l上任一点坐标为,根据角平分线上的点到角两边距离相等得.
解:(Ⅰ)设椭圆E的方程为
【规律总结】对于椭圆解答题,一般都是设椭圆方程为,根据题目满足的条件求出,得椭圆方程,这一问通常比较简单;(2)对于角平分线问题,利用角平分线的几何意义,即角平分线上的点到角两边距离相等得方程.
10.(2010重庆文数)(21)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分. )
已知以原点为中心,为右焦点的双曲线的离心率.
(Ⅰ)求双曲线的标准方程及其渐近线方程;
(Ⅱ)如题(21)图,已知过点的直线:与过点(其中)的直线:的交点在双曲线上,直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点,求的值.
11.(2010浙江文)(22)、(本题满分15分)已知m是非零实数,抛物线(p>0)
的焦点F在直线上。
(I)若m=2,求抛物线C的方程
(II)设直线与抛物线C交于A、B,△A,△的重心分别为G,H
求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。
12.(2010重庆理)(20)(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分)
已知以原点O为中心,
为右焦点的双曲线C的离心率。
(I) 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;
(II) 如题(20)图,已知过点的直线与过点(其中)的直线的交点E在双曲线C上,直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点,求的面积。
13.(2010北京文)(19)(本小题共14分)
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是,,离心率是,直线y=t椭圆C交与不同的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;
(Ⅲ)设Q(x,y)是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值。
解:(Ⅰ)因为,且,所以
所以椭圆C的方程为
(Ⅱ)由题意知
由 得
所以圆P的半径为
解得 所以点P的坐标是(0,)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆P的方程。因为点在圆P上。所以
设,则
当,即,且,取最大值2.
14.(2010北京理)(19)(本小题共14分)
在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
(I)解:因为点B与A关于原点对称,所以点得坐标为.
设点的坐标为
由题意得
化简得 .
故动点的轨迹方程为
(II)解法一:设点的坐标为,点,得坐标分别为,.
则直线的方程为,直线的方程为
令得,.
于是得面积
又直线的方程为,,
点到直线的距离.
于是的面积
当时,得
又,
所以=,解得。
因为,所以
故存在点使得与的面积相等,此时点的坐标为.
解法二:若存在点使得与的面积相等,设点的坐标为
则.
因为,
所以
所以
即 ,解得
因为,所以
故存在点S使得与的面积相等,此时点的坐标为.
15.(2010四川理)(20)(本小题满分12分)
已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.
本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识,考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.
解:(1)设P(x,y),则
化简得x2-=1(y≠0)………………………………………………………………4分
(2)①当直线BC与x轴不垂直时,设BC的方程为y=k(x-2)(k≠0)
与双曲线x2-=1联立消去y得
(3-k)2x2+4k2x-(4k2+3)=0
由题意知3-k2≠0且△>0
设B(x1,y1),C(x2,y2),
则
y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]
=k2(+4)
=
因为x1、x2≠-1
所以直线AB的方程为y=(x+1)
因此M点的坐标为()
,同理可得
因此
=
=0
②当直线BC与x轴垂直时,起方程为x=2,则B(2,3),C(2,-3)
AB的方程为y=x+1,因此M点的坐标为(),
同理可得
因此=0
综上=0,即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分
16.(2010天津文)(21)(本小题满分14分)
已知椭圆(a>b>0)的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标为(-a,0).
(i)若,求直线l的倾斜角;
(ii)若点Q在线段AB的垂直平分线上,且.求的值.
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查综合分析与运算能力.满分14分.
(Ⅰ)解:由e=,得.再由,解得a=2b.
由题意可知,即ab=2.
解方程组得a=2,b=1.
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)(i)解:由(Ⅰ)可知点A的坐标是(-2,0).设点B的坐标为,直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k(x+2).
于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理,得
.
由,得.从而.
所以.
由,得.
整理得,即,解得k=.
所以直线l的倾斜角为或.
(ii)解:设线段AB的中点为M,由(i)得到M的坐标为.
以下分两种情况:
(1)当k=0时,点B的坐标是(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是
由,得。
(2)当时,线段AB的垂直平分线方程为。
令,解得。
由,,
,
整理得。故。所以。
综上,或
17.(2010天津理)(20)(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设直线与椭圆相交于不同的两点,已知点的坐标为(),点在线段的垂直平分线上,且,求的值
【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质,直线的方程,平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算和推理能力,满分12分
(1)解:由,得,再由,得
由题意可知,
解方程组 得 a=2,b=1
所以椭圆的方程为
(2)解:由(1)可知A(-2,0)。设B点的坐标为(x1,,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),
于是A,B两点的坐标满足方程组
由方程组消去Y并整理,得
由得
设线段AB是中点为M,则M的坐标为
以下分两种情况:
(1)当k=0时,点B的坐标为(2,0)。线段AB的垂直平分线为y轴,于是
(2)当K时,线段AB的垂直平分线方程为
令x=0,解得
由
整理得
综上
18.(2010广东理) 21.(本小题满分14分)
设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点,先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为.
当且仅当时等号成立,即三点共线时等号成立.
(2)当点C(x, y) 同时满足①P+P= P,②P= P时,点是线段的中点. ,即存在点满足条件。
19.(2010广东理)20.(本小题满分为14分)
一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2,点,
是双曲线上不同的两个动点。
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式;
(2)若过点H(0, h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且 ,求h的值。
故,即。
(2)设,则由知,。
将代入得
,即,
由与E只有一个交点知,,即
。
同理,由与E只有一个交点知,,消去得,即,从而,即。
20.(2010广东文)21.(本小题满分14分)
已知曲线,点是曲线上的点,
21.(2010福建文)19.(本小题满分12分)
已知抛物线C:过点A (1 , -2)。
(I)求抛物线C 的方程,并求其准线方程;
(II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线L,使得直线L与抛物线C有公共点,且直线OA与L的距离等于?若存在,求直线L的方程;若不存在,说明理由。
22.(2010全国卷1理)(21)(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为F,过点的直线与相交于、两点,点A关于轴的对称点为D.
(Ⅰ)证明:点F在直线BD上;
(Ⅱ)设,求的内切圆M的方程 .
23.(2010湖北文)20.(本小题满分13分)
已知一条曲线C在y轴右边,C上没一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1。
(Ⅰ)求曲线C的方程
(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。
24.(2010山东理)(21)(本小题满分12分)
如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为和.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线、的斜率分别为、,证明;
(Ⅲ)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为,得,又,所以可解得,,所以,所以椭圆的标准方程为;所以椭圆的焦点坐标为(,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为
。
【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题(3)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,
25.(2010湖南理)19.(本小题满分13分)
为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形,以过A,B两点的直线为x轴,线段AB的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图6)在直线x=2的右侧,考察范围为到点B的距离不超过
km区域;在直线x=2的左侧,考察范围为到A,B两点的距离之和不超过km区域。
(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程;
(Ⅱ)如图6所示,设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。
化
融
区
域
P3(8,6)
已
冰
B(4,0)
A(-4,0)
x
(,-1)P1
26.(2010湖北理)19(本小题满分12分)
已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都
是1.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。
27.(2010安徽理数)19、(本小题满分13分)
已知椭圆经过点,对称轴为坐标轴,焦点
在轴上,离心率。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程;
(Ⅲ)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点?
若存在,请找出;若不存在,说明理由。
28.(2010江苏卷)18、(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m>0,。
(1)设动点P满足,求点P的轨迹;
(2)设,求点T的坐标;
(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。
[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
(1)设点P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。
由,得 化简得。
故所求点P的轨迹为直线。
(2)将分别代入椭圆方程,以及得:M(2,)、N(,)
直线MTA方程为:,即,
直线NTB 方程为:,即。
联立方程组,解得:,
所以点T的坐标为。
(3)点T的坐标为
直线MTA方程为:,即,
直线NTB 方程为:,即。
分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,
解得:、。
(方法一)当时,直线MN方程为:
令,解得:。此时必过点D(1,0);
当时,直线MN方程为:,与x轴交点为D(1,0)。
所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。
(方法二)若,则由及,得,
此时直线MN的方程为,过点D(1,0)。
若,则,直线MD的斜率,
直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点。
因此,直线MN必过轴上的点(1,0)。