2020年高考真题——数学（江苏卷） Word版 4页

- 1 - 一、填空。 1.已知集合 A＝{－1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，则 A∩B＝ 。 2.已知 i 是虚数单位，则复数 z＝(1＋i)(2－i)的实部是 。 3.已知一组数据 4，2a，3－a，5，6 的平均数为 4，则 a 的值为 。 4.将一块质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，两点数和为 5 的概率 是 。 5.右图是一个算法流程图，若输出 y 的值为－2，则输入 x 的值是 。 6.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 2 2 1( 0)5 x y aa    的一条渐近线为 y＝ 5 2 x，则双曲 线的离心率为 。 7.已知 f(x)是奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝ 2 3x ，则 f(－8)的值是 。 8.已知 sin2( 4  ＋α)＝ 2 3 ，则 sin2α的值是 。 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的。已知螺帽的底面正六边形边 长为 2cm，高为 2cm，内孔半径为 0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3。 10.将函数 y＝3sin(2x＋ 4  )的图像向右平移 6  个单位长度，则平移后的图像中与 y 轴最近的对 称轴方程是 。 11.设{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列。已知数列{an＋bn}的前 n 项和 - 2 - Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则 d＋q 的值是 。 12.已知 5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则 x2＋y2 的最小值是 。 13.在△ABC 中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP＝9， 若 3( )2PA mPB m PC   (m 为常数)，则 CD 的长度是 。 14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P( 3 2 ，0)，A，B 是圆 C：x2＋(y－ 1 2 )2＝36 上的两个动 点，满足 PA＝PB，则△PAB 面积的最大值是 。 二、解答题。 15.在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点。 (1)求证：EF//平面 AB1C1； (2)求证：平面 AB1C⊥平面 ABB1。 16.在△ABC 中，角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，已知 a＝3，c＝ 2 ，B＝45°。 (1)求 sinC 的值； (2)在边 BC 上取一点 D，使得 cos∠ADC＝－ 4 5 ，求 tan∠DAC 的值。 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上， 桥 AB 与 MN 平行，OO'为铅垂线(O'在 AB 上)。经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的 距离 h1(米)与 D 到 OO'的距离 a(米)之间满足关系式 h1＝ 1 40 a2；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 - 3 - MN 的距离 h2(米)与 F 到 OO'的距离 b(米)之间满足关系式 h2＝－ 1 800 b3＋6b。已知点 B 到 OO' 的距离为 40 米。 (1)求桥 AB 的长度； (2)计划在谷底两侧建造平行于 OO'的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上(不 包括端点)，桥墩 EF 每米造价 k(万元)，桥墩 CD 每米造价 3 2 k(万元)(k>0)，问 O'E 为多少米时， 桥墩 CD 和 EF 的总造价最低? 18.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E： 2 2 14 3 x y  的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B。 (1)求△AF1F2 的周长； (2)在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求 OP QP 的最小值； (3)设点 M 在椭圆 E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S2＝3S1，求点 M 的坐 标。 19.已知关于 x 的函数 y＝f(x)，y＝g(x)与 h(x)＝kx＋b(k，b∈R)在区间 D 上恒有 f(x)≥h(x)≥ g(x)。 (1)若 f(x)＝x2＋2x，g(x)＝－x2＋2x，D＝(－∞，＋∞)，求 h(x)的表达式； (2)若 f(x)＝x2－x＋1，g(x)＝klnx，h(x)＝kx－k，D＝(0，＋∞)，求 k 的取值范围； - 4 - (3)若 f(x)＝x4－2x2，g(x)＝4x2－8，h(x)＝4(t3－t)x－3t4＋2t2(0<|t|≤ 2 )，D＝[m，n]  [－ 2 ， 2 ]，求证：n－m≤ 7 。 20.已知数列{an}(n∈N*)的首项 a1＝1，前 n 项和为 Sn，设λ与 k 是常数。若对一切正整数 n， 均有 1 1 1 1 1 k k k n n nS S a   成立，则称此数列为“λ－k”数列。 (1)若等差数列是“λ－1”数列，求λ的值； (2)若数列{an}是“ 3 3 －2”数列，且 an>0，求数列{an}的通项公式； (3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{an}为“λ－3”数列，且 an≥0?若存在，求λ的取值 范围；若不存在，说明理由。