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  • 2021-05-13 发布

C数学高考数学计算试题分类汇编

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‎2010年高考数学试题分类汇编——立体几何 ‎(2010上海文数)20.(本大题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.‎ 如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用‎9.6米铁丝,再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).‎ ‎(1)当圆柱底面半径取何值时,取得最大值?并求出该 最大值(结果精确到‎0.01平方米);‎ ‎(2)若要制作一个如图放置的,底面半径为‎0.3米的灯笼,请作出 用于灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素). ‎ 解析:(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l,则l=1.2-2r(00,所以“在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“在(-∞,+∞)内恒成立”。‎ 由(*)式得。‎ 又 解 得 即的取值范围 ‎(2010北京理数)(16)(本小题共14分)‎ ‎ 如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;‎ ‎(Ⅲ)求二面角A-BE-D的大小。‎ ‎ ‎ 证明:(I) 设AC与BD交与点G。‎ ‎ 因为EF//AG,且EF=1,AG=AC=1.‎ ‎ 所以四边形AGEF为平行四边形.‎ ‎ 所以AF//平面EG,‎ ‎ 因为平面BDE,AF平面BDE,‎ ‎ 所以AF//平面BDE.‎ ‎ (II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 ‎ 相互垂直,且CEAC,‎ ‎ 所以CE平面ABCD.‎ ‎ 如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-.‎ ‎ 则C(0,0,0),A(,,0),B(0,,0).‎ ‎ 所以,,‎ ‎.‎ ‎ 所以,‎ ‎ 所以,.‎ ‎ 所以BDE.‎ ‎(III) 由(II)知,是平面BDE的一个法向量.‎ ‎ 设平面ABE的法向量,则,.‎ ‎ 即 所以且 ‎ 令则.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 从而。‎ ‎ 因为二面角为锐角,‎ ‎ 所以二面角的大小为.‎ ‎(2010四川理数)(18)(本小题满分12分)‎ 已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,点M是棱AA'的中点,点O是对角线BD'的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA'和BD'的公垂线;‎ ‎(Ⅱ)求二面角M-BC'-B'的大小;‎ ‎(Ⅲ)求三棱锥M-OBC的体积. ‎ 本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识,并考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力。‎ 解法一:(1)连结AC,取AC中点K,则K为BD的中点,连结OK 因为M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点 所以AM 所以MO 由AA’⊥AK,得MO⊥AA’‎ 因为AK⊥BD,AK⊥BB’,所以AK⊥平面BDD’B’‎ 所以AK⊥BD’‎ 所以MO⊥BD’‎ 又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线 ‎(2)取BB’中点N,连结MN,则MN⊥平面BCC’B’‎ 过点N作NH⊥BC’于H,连结MH 则由三垂线定理得BC’⊥MH 从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角 MN=1,NH=Bnsin45°=‎ 在Rt△MNH中,tan∠MHN=‎ 故二面角M-BC’-B’的大小为arctan2‎ ‎(3)易知,S△OBC=S△OA’D’,且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内 点O到平面MA’D’距离h=‎ VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h=‎ 解法二:‎ 以点D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系D-xyz 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)‎ ‎(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点 所以M(1,0, ),O(,,)‎ ‎,=(0,0,1),=(-1,-1,1) ‎ ‎=0, +0=0‎ 所以OM⊥AA’,OM⊥BD’‎ 又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.………………………………4分 ‎(2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z)‎ ‎=(0,-1,), =(-1,0,1)‎ ‎ 即 取z=2,则x=2,y=1,从而=(2,1,2) ‎ 取平面BC'B'的一个法向量为=(0,1,0)‎ cos 由图可知,二面角M-BC'-B'的平面角为锐角 故二面角M-BC'-B'的大小为arccos………………………………………………9分 ‎(3)易知,S△OBC=S△BCD'A'=‎ 设平面OBC的一个法向量为=(x1,y1,z1) ‎ ‎=(-1,-1,1), =(-1,0,0)‎ ‎ 即 取z1=1,得y1=1,从而=(0,1,1)‎ 点M到平面OBC的距离d=‎ VM-OBC=…………………………………………12分 ‎(2010天津文数)(19)(本小题满分12分)‎ 如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=,∠BAD=∠CDA=45°.‎ ‎(Ⅰ)求异面直线CE与AF所成角的余弦值; ‎ ‎(Ⅱ)证明CD⊥平面ABF;‎ ‎(Ⅲ)求二面角B-EF-A的正切值。‎ ‎【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查空间想象能力,运算能力和推理论证能力.满分12分.‎ ‎(I)解:因为四边形ADEF是正方形,所以FA//ED.故为异面直线CE与AF所成的角.‎ 因为FA平面ABCD,所以FACD.故EDCD.‎ 在Rt△CDE中,CD=1,ED=,CE==3,故cos==.‎ 所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.‎ ‎(Ⅱ)证明:过点B作BG//CD,交AD于点G,则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.‎ ‎(Ⅲ)解:由(Ⅱ)及已知,可得AG=,即G为AD的中点.取EF的中点N,连接GN,则GNEF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NMEF,交BC于M,则为二面角B-EF-A的平面角。‎ 连接GM,可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知,可得GM=.由NG//FA,FAGM,得NGGM.‎ 在Rt△NGM中,tan,‎ 所以二面角B-EF-A的正切值为.‎ ‎(2010天津理数)(19)(本小题满分12分)‎ 如图,在长方体中,、分别是棱,‎ 上的点,,‎ (1) 求异面直线与所成角的余弦值;‎ (2) 证明平面 (3) 求二面角的正弦值。‎ ‎【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,满分12分。‎ 方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,‎ 点A为坐标原点,设,依题意得,‎ ‎,,‎ (1) 解:易得,‎ 于是 ‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为 (2) 证明:已知,,‎ 于是·=0,·=0.因此,,,又 所以平面 ‎(3)解:设平面的法向量,则,即 不妨令X=1,可得。由(2)可知,为平面的一个法向量。‎ 于是,从而 所以二面角的正弦值为 方法二:(1)解:设AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=‎ 链接B‎1C,BC1,设B‎1C与BC1交于点M,易知A1D∥B‎1C,由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角,易知BM=CM=,所以 ‎ ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为 ‎(2)证明:连接AC,设AC与DE交点N 因为,所以,从而,又由于,所以,故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且,所以DE⊥平面ACF,从而AF⊥DE.‎ 连接BF,同理可证B‎1C⊥平面ABF,从而AF⊥B‎1C,所以AF⊥A1D因为,所以AF⊥平面A1ED ‎(3)解:连接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角 易知,所以,又所以,在 连接A‎1C1,A‎1F 在 ‎。所以 所以二面角A1-DE-F正弦值为 ‎(2010广东理数)18.(本小题满分14分)‎ 如图5,是半径为a的半圆,AC为直径,点E为的中点,点B和点C为线段AD的三等分点.平面AEC外一点F满足,FE=a .‎ ‎ 图5‎ ‎ (1)证明:EB⊥FD;‎ ‎(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得,求平面 与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎(2)设平面与平面RQD的交线为.‎ 由BQ=FE,FR=FB知, .‎ 而平面,∴平面,‎ 而平面平面= ,‎ ‎∴.‎ 由(1)知,平面,∴平面,‎ 而平面, 平面,‎ ‎∴,‎ ‎∴是平面与平面所成二面角的平面角.‎ 在中,,‎ ‎,.‎ ‎.‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值是.‎ ‎ (2010广东文数)18.(本小题满分14分)‎ 如图4,弧AEC是半径为的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=‎ ‎(1)证明:EBFD ‎(2)求点B到平面FED的距离. ‎ ‎(1)证明:点E为弧AC的中点 ‎(2010福建文数)20. (本小题满分12分)‎ 如图,在长方体ABCD – A1B‎1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D‎1C1上的点(点E与B1不重合),且EH//A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G。‎ ‎ (I)证明:AD//平面EFGH;‎ ‎ (II)设AB=2AA1=‎2a。在长方体ABCD-A1B‎1C1D1内随机选取一点,记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH内的概率为p。当点E,F分别在棱A1B1‎ ‎, B1B上运动且满足EF=a时,求p的最小值。‎ ‎(2010全国卷1理数)(19)(本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .‎ ‎(Ⅰ)证明:SE=2EB;‎ ‎(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 .‎ ‎(2010四川文数)(18)(本小题满分12分)‎ 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;‎ ‎(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小;‎ ‎(2010湖北文数)18.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA。OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1‎ ‎(Ⅰ)设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ,证明:PQ⊥OA;‎ ‎(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。‎ ‎(2010山东理数)(19)(本小题满分12分)‎ 如图,在五棱锥P—ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC, ABC=45°,AB=2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小;‎ ‎(Ⅲ)求四棱锥P—ACDE的体积.‎ ‎【解析】(Ⅰ)证明:因为ABC=45°,AB=2,BC=4,所以在中,由余弦定理得:,解得,‎ 所以,即,又PA⊥平面ABCDE,所以PA⊥,‎ 又PA,所以,又AB∥CD,所以,又因为 ‎,所以平面PCD⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面PCD⊥平面PAC,所以在平面PAC内,过点A作于H,则 ‎,又AB∥CD,AB平面内,所以AB平行于平面,所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离,过点B作BO⊥平面于点O,则为所求角,且,又容易求得,所以,即=,所以直线PB与平面PCD所成角的大小为;‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知,所以,又AC∥ED,所以四边形ACDE是直角梯形,又容易求得,AC=,所以四边形ACDE的面积为,所以四棱锥P—ACDE的体积为=。‎ ‎(2010湖南理数)‎ ‎(2010湖北理数)18. (本小题满分12分)‎ 如图, 在四面体ABOC中, , 且 ‎(Ⅰ)设为为的中点, 证明: 在上存在一点,使,并计算的值;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值。‎ ‎(2010福建理数)‎ 概率为。‎ ‎(i)当点C在圆周上运动时,求的最大值;‎ ‎(ii)记平面与平面所成的角为,当取最大值时,求的值。‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概型等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为平面ABC,平面ABC,所以,‎ 因为AB是圆O直径,所以,又,所以平面,‎ 而平面,所以平面平面。‎ ‎(Ⅱ)(i)设圆柱的底面半径为,则AB=,故三棱柱的体积为 ‎=,又因为,‎ 所以=,当且仅当时等号成立,‎ 从而,而圆柱的体积,‎ 故=当且仅当,即时等号成立,‎ 所以的最大值是。‎ ‎(ii)由(i)可知,取最大值时,,于是以O为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图),则C(r,0,0),B(0,r,0),(0,r,2r),‎ 因为平面,所以是平面的一个法向量,‎ 设平面的法向量,由,故,‎ 取得平面的一个法向量为,因为,‎ 所以。‎ ‎(2010安徽理数)18、(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,在多面体中,四边形是正方形,∥,,,,,为的中点。‎ ‎ (Ⅰ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的大小。‎ ‎(2010江苏卷)16、(本小题满分14分)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。‎ (1) 求证:PC⊥BC;‎ (2) 求点A到平面PBC的距离。‎ ‎[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。‎ ‎(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以PD⊥BC。‎ 由∠BCD=900,得CD⊥BC,‎ 又PDDC=D,PD、DC平面PCD,‎ 所以BC⊥平面PCD。‎ 因为PC平面PCD,故PC⊥BC。‎ ‎(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:‎ 易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。‎ 由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,‎ 因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F。‎ 易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎(方法二)体积法:连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。‎ 因为AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。‎ 从而AB=2,BC=1,得的面积。‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积。‎ 因为PD⊥平面ABCD,DC平面ABCD,所以PD⊥DC。‎ 又PD=DC=1,所以。‎ 由PC⊥BC,BC=1,得的面积。‎ 由,,得,‎ 故点A到平面PBC的距离等于。‎