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- 2021-05-13 发布
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08 届高考数学综合训练(八)
一。选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的)
1.在由正数组成的等比数列 中, ,则 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
2.如果复数 的实部与虚部互为相反数,则 的值等于 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知函数 在点 处连续,则 ( )
A.11 B. C.3 D.
4.已知函数 满足 ,且 时, ,则
与 的图像的交点的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.函数 的图像是中心对称图形,其对称中心的坐标是 ( )
A. B. C. D.
7.已知等比数列 中, ,公比为 ,且该数列各项的和为 , 表示该数列的前 项和,且
,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
8.已知函数 在 R 上可导且满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
9.设函数 的定义域为 ,若函数 满足: (1) 在 内单调递增,(2)方程 在 内有
两个不等的实根,则称 为递增闭函数.若 是递增闭函数,则实数 的取值范围是
( )
A. B. C. D
{ }na 1 2 3 41, 4a a a a+ = + = 4 5a a+ =
2 ( )1
ai a Ri
+ ∈+ a
3 2 3,( 1)( ) 1
1, ( 1)
x x xf x x
ax x
+ − >= −
+ ≤
1x = [ ( 1)]f f − =
3− 11−
( )( )y f x x R= ∈ ( 1) ( 1)f x f x+ = − [ 1,1]x∈ − 2( )f x x=
( )y f x= 5logy x=
4a = ( ) ln( 1)f x a x x= − − [2,4]
3( ) ( 2) 1f x x x= + − +
( 1,1)− ( 2,3)− (0,9) (2, 3)−
{ }na 1 1a = q S nS n
lim( )nn
S aS q→∞
− = a
3[ ,3)4
3( ,3)4
3[ ,1) (1,3)4
3[ ,1) (1,3]4
( )f x ( ) ( ), ( 4) ( )f x f x f x f x− = + = (2006)f ′ =
1
2006
− 0 1
2006 2006
( )f x M ( )f x ( )f x M ( )f x x= M
( )f x ( ) 2f x k k x= − + k
( ,0]−∞ [2, )+∞ ( , 2]−∞ − [ 2,0)−
10.已知集合 ,若集合 ,则实
数 的取值范围是
A. B. C. D.
二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上)
11.函数 的反函数 的图像与 轴交于点 ,则方程 在 上的根是
12.数列 是等差数列, ,其中 ,则通项公式
13 . 已 知 函 数 在 单 调 递 增 , 且 对 任 意 实 数 恒 有 , 若
,则 的取值范围是
14.若 表示 的各位上的数字之和,如 ,所以 ,
记 ,则
15 . 函 数 , 且 满 足 , 若 , 则 集 合
中最小的元素是
三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本题满分 12 分)已知:命题 是 的反函数,且 ;
命题 集合 ,且 ,试求实数 的取值范围使得
命题 有且只有一个真命题
2 2{( , ) | 1 1}, {( , ) | ( 1) ( 1) 1}A x y x a y B x y x y= − + − ≤ = − + − ≤ A B φ≠
a
[0,2] [ 1 2, 2]− − [ 3,1]− [ 1,3]−
( )y f x= 1( )y f x−= y (0,2)P ( ) 0f x = [1,4]
{ }na 1 2 3
5( 1), , ( 1)2a f x a a f x= + = = − ( ) 2xf x = na =
( )f x [2, )+∞ x (2 ) (2 )f x f x+ = −
2 2(1 2 ) (1 2 )f x f x x− < + − x
( )f n 2 *1( )n n N+ ∈ 214 1 197,1 9 7 17+ = + + = (14) 17f =
*
1 2 1 1( ) ( ), ( ) [ ( )], , ( ) [ ( )],k kf n f n f n f f n f n f f n k N+= = = ∈ 2007 (17)f =
( )( )y f x x R+= ∈ (3 ) 3 ( )f x f x= ( ) 1 2 (1 3)f x x x= − − ≤ ≤
{ | ( ) (99)}M x f x f= =
1: ( )p f x− ( ) 1 2f x x= − 1| ( ) | 2f a− <
:q 2{ | 1 0, }, { | 0}A x x ax x R B x x= + + = ∈ = > A B φ= a
,p q
17.(本题满分 12 分)已知函数 同时满足:○1 不等式 的解集有且只
有一个元素;○2 在定义域内存在 ,使得不等式 成立.设数列 的前 项和为
(1)求数列 的通项公式;
(2)设各项均不为零的数列 中,所有满足 的正整数 的个数称为这个数列 的变号数,
令 ( 为正整数),求数列 的变号数
18.(本题满分 12 分)函数 是定义域为 的奇函数,且对任意的 ,都有 成
立,当 时, .
(1)当 时,求函数 的解析式;
(2)求不等式 的解集.
2( ) ( )f x x ax a a R= − + ∈ ( ) 0f x ≤
1 20 x x< < 1 2( ) ( )f x f x> { }na n
( )nS f n=
{ }na
{ }nc 1 0i ic c +⋅ < i { }nc
1n
n
ac a
= − n { }nc
( )y f x= R x R∈ ( 4) ( )f x f x+ =
( )2,0∈x 2( ) 1f x x= − +
( ) Z)(k24,24 ∈+−∈ kkx ( )f x
( ) 1f x > −
19.(本题满分 12 分)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,
根据经验知道,其次品率 与日产量 (万件)之间大体满足关系:
(其中 为小于 6 的正常数)
(注:次品率=次品数/生产量,如 表示每生产 10 件产品,有 1 件为次品,其余为合格品)
已知每生产 1 万件合格的仪器可以盈利 2 万元,但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元,故厂方希望定出合适的
日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 (万元)表示为日产量 (万件)的函数
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
20.(本题满分 13 分)已知正项数列 中, ,点 在抛物线 上;数列
中,点 在过点 ,以 为方向向量的直线 上.
(1)求数列 , 的通项公式;
(2)若 ,问是否存在 ,使 成立,若存在,求出 的值;
若不存在,请说明理由.
(3)证明不等式: , ,……
21.(本题满分 14 分)已知函数 ( 为常数且 )
(1)当 时,求 的单调区间
(2)若 在 处取得极值,且 ,而 在 上恒成立,求实数
的取值范围(其中 为自然对数的底数)
P x
1 ,1 ,6
2 ,3
x cxP
x c
≤ ≤ −=
>
c
0.1P =
T x
{ }na 1 6a = 1( , )n n nA a a +
2 1y x= + { }nb
( , )n nB n b (0,1) (1,2) l
{ }na { }nb
,( ) ,
n
n
a nf n b n
=
为奇数
为偶数
*k N∈ ( 27) 4 ( )f k f k+ = k
1 2
1 1 1(1 )(1 ) (1 ) 4 5
152
n
n
b b b
n a
+ + +
≥
− +
1,2,3n =
2
( ) ln( 2) 2
xf x x a
= − − a 0a ≠
0a > ( )f x
( )f x 0x 2
0 [ 2, 2]x e e∉ + + ( ) 0f x ≥ 2[ 2, 2]e e+ + a
e
2008 届高三年级十月联考数学试题参考答案
一.选择题
1~10 BADDA BCBCD
二.填空题
11.2 12. 13. 14.8 15.45
三.解答题
16.解:因为 ,所以 ………………………………(1 分)
由 得 ,解得 ………………………………(3 分)
因为 ,故集合 应分为 和 两种情况
(1) 时, …………………………………(6 分)
(2) 时, ……………………………………(8 分)
所以 得 …………………………………………………(9 分)
若 真 假,则 …………………………………………………………(10 分)
若 假 真,则 ……………………………………………………………(11 分)
故实数 的取值范围为 或 ………………………………………(12 分)
17.解:(1)由○1 的解集有且只有一个元素知
或 ………………………………………(2 分)
当 时,函数 在 上递增,此时不满足条件○2
综上可知 …………………………………………(3 分)
……………………………………(6 分)
(2)由条件可知 ……………………………………(7 分)
当 时,令 或
所以 或 ……………………………………………………………(9 分)
荆州中学
宜昌一中
11 3
2
n−
( 2,0)−
( ) 1 2f x x= − 1 1( ) 2
xf x− −=
1| ( ) | 2f a− < 1| | 22
a− < 3 5a− < <
A B φ= A A φ= A φ≠
A φ= 2 4 0 2 2a a∆ = − < ⇒ − < <
A φ≠
2
1 2
4 0 2
0
a a
x x a
∆ = − ≥ ⇒ ≥ + = − <
A B φ= 2a > −
p q 3 2a− < ≤ −
p q 5a ≥
a 3 2a− < ≤ − 5a ≥
( ) 0f x ≤
2 4 0 0a a a∆ = − = ⇒ = 4a =
0a = 2( )f x x= (0, )+∞
24, ( ) 4 4a f x x x= = − +
2 1, 14 4, 2 5, 2n n
nS n n a n n
=∴ = − + ∴ = − ≥
3, 1
41 , 22 5
n
n
c
nn
− == − ≥ −
2n ≥ 1
2 9 2 7 3 50 02 5 2 3 2 2n n
n nc c nn n+
− −⋅ < ⇒ ⋅ < ⇒ < <− −
7 9
2 2n< <
2n = 4n =
又 时,也有 ……………………………(11 分)
综上可得数列 的变号数为 3……………………………………………(12 分)
18.解:(1)当 时, ………………………(1 分)
当 时, ……………………(2 分)
由 ,知 又是周期为 4 的函数,所以
当 时
…………………………(4 分)
当 时
…………………………(6 分)
故当 时,函数 的解析式为
………………………………(7 分)
(2)当 时,由 ,得
或 或
解上述两个不等式组得 …………………………………………(10 分)
故 的解集为 …………………(12 分)
19.解:(1)当 时, , ……………………(2 分)
当 时, ,
综上,日盈利额 (万元)与日产量 (万件)的函数关系为:
…………………………………………………………(4 分)
(2)由(1)知,当 时,每天的盈利额为 0……………………………(6 分)
当 时,
1 23, 5, 1c c n= − = ∴ = 1 2 0c c⋅ <
{ }nc
0x = (0) (0), (0) 0f f f= − ∴ =
( )0,2−∈x 2(0,2], ( ) ( ) 1x f x f x x− ∈ = − − = −
( 4) ( )f x f x+ = ( )y f x=
)4,24( kkx −∈
2( 4 ) [ 2,0) ( ) ( 4 ) ( 4 ) 1x k f x f x k x k− ∈ − ∴ = − = − −
)24,4( +∈ kkx
2( 4 ) (0,2] ( ) ( 4 ) ( 4 ) 1x k f x f x k x k− ∈ ∴ = − = − − +
( ) Z)(k24,24 ∈+−∈ kkx ( )f x
( ) )(
)24,4(1)4(
20
)4,24(1)4(
2
2
Zk
kkxkx
kx
kkxkx
xf ∈
+∈+−−
=
−∈−−
=
( )2,2−∈x ( ) 1f x >
−>−
<<−
11
02
2x
x
−>+−
<<
11
20
2x
x
0x =
22 <<− x
( ) 1f x > − { | 4 2 4 2}( )x k x k k Z− < < + ∈
x c> 2
3P = 1 22 1 03 3T x x∴ = ⋅ − ⋅ =
1 x c≤ ≤ 1
6P x
= −
21 1 9 2(1 ) 2 ( ) 16 6 6
x xT x xx x x
−∴ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =− − −
T x
29 2 ,16
0,
x x x cT x
x c
− ≤ ≤= −
>
x c>
1 x c≤ ≤
29 2
6
x xT x
−= −
915 2[(6 ) ]6x x
= − − + − 15 12 3≤ − =
当且仅当 时取等号
所以 当 时, ,此时 ……………………………(8 分)
当 时,由 知
函数 在 上递增, ,此时 ……(10 分)
综上,若 ,则当日产量为 3 万件时,可获得最大利润
若 ,则当日产量为 万件时,可获得最大利润…………(12 分)
20.解:(1)将点 代入 得
因为直线 ,所以 ……………………………………(3 分)
(2) ,
当 为偶数时, 为奇数, ……………(5 分)
当 为奇数时, 为偶数, (舍去)
综上,存在唯一的 符合条件…………………………………………………(7 分)
(3)证明不等式 即证明
成立,下面用数学归纳法证明
○1 当 时,不等式左边= ,原不等式显然成立………………………(8 分)
○2 假设 时,原不等式成立,即
当 时
=
,即 时,原不等式也成立 ………………(11 分)
根据○1 ○2 所得,原不等式对一切自然数都成立 ……………………………(13 分)
3x =
( )i 3 6c≤ < max 3T = 3x =
( )ii 1 3c≤ <
2
2 2
2 24 54 2( 3)( 9)
(6 ) (6 )
x x x xT x x
− + − −′ = =− −
29 2
6
x xT x
−= − [1,3]
2
max
9 2
6
c cT c
−∴ = − x c=
3 6c≤ <
1 3c≤ < c
1( , )n n nA a a +
2 1y x= + 1 1n na a+ = + 5na n∴ = +
: 2 1l y x= + 2 1nb n= +
5,( ) 2 1,
n nf n n n
+= +
为奇数
为偶数
k 27k + 27 5 4(2 1) 4k k k∴ + + = + ⇒ =
k 27k + 352( 27) 1 4( 5) 2k k k∴ + + = + ⇒ =
4k =
1 2
1 1 1(1 )(1 ) (1 ) 4 5
152
n
n
b b b
n a
+ + +
≥
− +
1 2
1 1 1(1 )(1 ) (1 ) 4 5
152 3
nb b b
n
+ + +
≥
+
1n = 4 5
15
n k= ( *)k N∈ 1 2
1 1 1(1 )(1 ) (1 ) 4 5
152 3
kb b b
k
+ + +
≥
+
1n k= +
1 2 1
1 1 1 1(1 )(1 ) (1 )(1 )
2 5
k kb b b b
k
+
+ + + +
+
1 2
1 1 1 1(1 )(1 ) (1 ) 2 3(1 )2 3
2 3 2 5
k
kb b b k
k k
+ + + + + +⋅
+ +
4 5
15
≥ 2 5
2 3
k
k
+
+
4 5
15
> 1n k= +
21.解:(1)由 得 ……………………(1 分)
又 的定义域为 ,所以
当 时,
当 时, , 为减函数
当 时, , 为增函数………………………(5 分)
所以当 时, 的单调递增区间为
单调递减区间为 …………………(6 分)
(2)由(1)知当 时, , 递增无极值………(7 分)
所以 在 处有极值,故 且
因为 且 ,所以 在 上单调
当 为增区间时, 恒成立,则有
………………………………………(9 分)
当 为减区间时, 恒成立,则有
无解 ……………………(13 分)
由上讨论得实数 的取值范围为 …………………………(14 分)
2
( ) ln( 2) 2
xf x x a
= − − 1( ) 2
xf x x a
′ = −−
1( ) 2
xf x x a
′ = −−
2
22 1 [( 1) ( 1)]( 2) ( 2)
x x a x aa x a x
− −= − = − − − +− −
( )f x (2, )+∞ 2 0x − >
0a > ( )f x′ = 1 ( 1 1)( 1 1)( 2) x a x aa x
− − + + − − +−
2, 1 1 0, ( 2) 0x x a a x> ∴ − + + > − >
1 1x a≥ + + ( ) 0f x′ ≤ ( )f x
2 1 1x a≤ ≤ + + ( ) 0f x′ ≥ ( )f x
0a > ( )f x (2,1 1)a+ +
(1 1, )a+ + +∞
0a < 1( ) 2
xf x x a
′ = −− 0> ( )f x
( )f x 0x 0a > 0 1 1x a= + +
2
0 [ 2, 2]x e e∉ + + 2 2e + > ( )f x 2[ 2, 2]e e+ +
2[ 2, 2]e e+ + ( ) 0f x ≥
2
4 22 1 1 2
( 2) 0
e a a e e
f e
+ < + + ⇒ > + + ≥
2[ 2, 2]e e+ + ( ) 0f x ≥
2
4 2
2
22 1 1
4 4( 2) 0
4
a e ee a
e ef e a
< + + > + + ⇒ + ++ ≥ ≥
a 4 22a e e> +