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- 2021-05-13 发布
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圆锥曲线
1.已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.
(Ⅰ)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;
(Ⅱ)若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.
2. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3. (1)求椭圆的标准方程;
B
A
O
x
y
l
P
C
(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于
点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.
3..已知椭圆E:过点,且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设直线交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.
4.已知椭圆上两个不同的点,关于直线对称.
(1)求实数的取值范围;
(2)求面积的最大值(为坐标原点).
5.平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是,以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆,为椭圆上任意一点,过点的直线交椭圆 于两点,射线 交椭圆于点. ( i )求的值; (ii)求面积的最大值.
6.设椭圆E的方程为,点O为坐标原点,点A的坐标为,点B的坐标为,点M在线段AB上,满足,直线OM的斜率为.
(I)求E的离心率e;
(II)设点C的坐标为,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求
E的方程.
7.已知椭圆的左焦点为,离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线被圆截得的线段的长为c,.
(I)求直线的斜率;(II)求椭圆的方程;
(III)设动点在椭圆上,若直线的斜率大于,求直线(为原点)的斜率的取值范围.
8.如图,椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点,且
(1)若,求椭圆的标准方程
(2)若求椭圆的离心率
9.如图,椭圆E:的离心率是,过点P(0,1)的动直线与椭圆相交于A,B两点,当直线平行与轴时,直线被椭圆E截得的线段长为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)在平面直角坐标系中,是否存在与点P不同的定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
10.一种作图工具如图1所示.是滑槽的中点,短杆可绕转动,长杆通过处铰链与连接,上的栓子可沿滑槽AB滑动,且,.当栓子在滑槽AB内作往复运动时,带动绕转动一周(不动时,也不动),处的笔尖画出的曲线记为.以为原点,所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
x
D
O
M
N
y
(Ⅱ)设动直线与两定直线和分别交于两点.若直线总与曲线有且只有一个公共点,试探究:的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
11.已知椭圆()的半焦距为,原点到经过两点,的直线的距离为.
(I)求椭圆的离心率;
(II)如图,是圆的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的
方程.
12.在直角坐标系中,曲线C:y=与直线(>0)交与M,N两点,
(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
13.已知椭圆:的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.
(Ⅰ)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);
(Ⅱ)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.
14.已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点,与的公共弦的长为.
(1)求的方程;
(2)过点的直线与相交于,两点,与相交于,两点,且与同向
(ⅰ)若,求直线的斜率
(ⅱ)设在点处的切线与轴的交点为,证明:直线绕点旋转时,总是钝角三角形
15.已知椭圆,过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、,记得到的平行四边形的面积为.
(1)设,,用、的坐标表示点到直线的距离,并证明;
(2)设与的斜率之积为,求面积的值.
1.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)能,或.
【解析】(Ⅰ)设直线,,,.
将代入得,故,
.解得,.因为,,,所以当的斜率为
或时,四边形为平行四边形.
2.【答案】(1)(2)或.(1)由题意,得且,解得,,则,所以椭圆的标准方程为.(2)当轴时,,又,不合题意.当与轴不垂直时,设直线的方程为,,,将的方程代入椭圆方程,得,
则,的坐标为,且
若,则线段的垂直平分线为轴,与左准线平行,不合题意.
3.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) G在以AB为直径的圆外.
【解析】解法一:(Ⅰ)由已知得
解得,所以椭圆E的方程为.
(Ⅱ)设点AB中点为.
由所以从而.
所以.
,
故
所以,故G在以AB为直径的圆外.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设点,则由所以从而
所以不共线,所以为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.
4.【答案】(1)或;(2).(1)由题意知,可设直线AB的方程为,由,消去,得,∵直线与椭圆有两
个不同的交点,∴,①,将AB中点代入直线方程解得,②。由①②得或;(2)令
,则,且O到直线AB的距离为,设的面积为,
∴,当且仅当时,等号成立,故面积的最大值为.
5.【答案】(I);(II)( i )2;(ii) . (I)由题意知 ,则 ,又 可得 ,所以椭圆C的标准方程为. (II)由(I)知椭圆E的方程为,
(i)设, ,由题意知 因为,又 ,即 ,所以 ,即 .(ii)设 将代入椭圆E的方程,
可得由 ,可得 …①则有 所以 因为直线与轴交点的坐标为 所以的面积
令 ,将 代入椭圆C的方程可得 由 ,可得 …②由①②可知 因此 ,故 当且仅当 ,即 时取得最大值 由(i)知, 面积为 ,所以面积的最大值为 .
6.【答案】(I);(II).
7.【答案】(I) ; (II) ;(III) .
【解析】(I) 由已知有,又由,可得,,设直线的斜率为,则直线的方程为,由已知有,解得.
(II)由(I)得椭圆方程为,直线的方程为,两个方程联立,消去,整理得
,解得或,因为点在第一象限,可得的坐标为,由,解得,所以椭圆方程为
(III)设点的坐标为,直线的斜率为,得,即,与椭圆方程联立,消去,整理得,又由已知,得,解得或,
设直线的斜率为,得,即,与椭圆方程联立,整理可得.
①当时,有,因此,于是,得
②当时,有,因此,于是,得
综上,直线的斜率的取值范围是
8.【答案】(1);(2)
(1) 由椭圆的定义,设椭圆的半焦距为c,由已知,
因此即从而
故所求椭圆的标准方程为.(2)解法一:如图(21)图,设点P在椭圆上,且,则
求得由,得,从而
由椭圆的定义,,从而由,有
又由,知,因此
于是解得.
9.【答案】(1);(2)存在,Q点的坐标为.
【解析】(1)由已知,点在椭圆E上.
因此,解得.所以椭圆的方程为.学优高考网
(2)当直线与轴平行时,设直线与椭圆相交于C、D两点.如果存在定点Q满足条件,则,即.所以Q点在y轴上,可设Q点的坐标为.
当直线与轴垂直时,设直线与椭圆相交于M、N两点.则,
由,有,解得或.所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点的坐标只可能为.下面证明:对任意的直线,均有.当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立.当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,A、B的坐标分别为.
联立得.其判别式,所以,.因此.
易知,点B关于y轴对称的点的坐标为.
10.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在最小值8.(Ⅰ)设点,,依题意,
,且,所以,且即且
由于当点不动时,点也不动,所以不恒等于0,
于是,故,代入,可得,即所求的曲线的方程为
(Ⅱ)(1)当直线的斜率不存在时,直线为或,都有.
(2)当直线的斜率存在时,设直线, 由 消去,可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点,
所以,即. ①
又由 可得;同理可得.由原点到直线的距离为和,可得
11.【答案】(I);(II).(I)过点,的直线方程为,学优高考网
则原点到直线的距离,由,得,解得离心率.
(II)解法一:由(I)知,椭圆的方程为. (1)依题意,圆心是线段的中点,且.
易知,不与轴垂直,设其直线方程为,代入(1)得
设则
由,得解得.
从而.于是.
由,得,解得.故椭圆的方程为.
12. 【答案】(Ⅰ)或(Ⅱ)存在(Ⅰ)由题设可得,,或,.∵,故在=处的到数值为,C在处的切线方程为,即.故在=-处的到数值为-,C在处的切线方程为,即. 故所求切线方程为或.
(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为复合题意得点,,,直线PM,PN的斜率分别为.将代入C得方程整理得.
∴. ∴==.
当时,有=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,
故∠OPM=∠OPN,所以符合题意.
13.【答案】(1),,(2)存在点
14.【答案】(1);(2)(i),(ii)详见解析.
(1)由:知其焦点的坐标为,∵也是椭圆的一焦点,
∴ ①,又与的公共弦的长为,与都关于轴对称,且的方程为,由此易知与的公共点的坐标为,∴②,联立①,②,得,,故的方程为;(2)如图,,,,,
(i)∵与同向,且,∴,从而,即,于是③,设直线的斜率为,则的方程为,由得,而
,是这个方程的两根,∴,④,由
15.【答案】(1)详见解析(2)
【解析】证明:(1)直线,点到的距离.
,
所以.
解:(2)设,则.设
,.
由,得.
同理.
由,,
整理得.
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