北大附中高考数学专题复习导数与微分知识拓展二 13页

学科：数学 教学内容：导数与微分知识拓展（二）‎ ‎5．什么是泰勒公式？怎样求函数的泰勒公式？‎ 对于一些较复杂的函数，为了便于研究函数的性态和函数值的近似计算，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达．由于多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算，便能求出它们的函数值，因此我们经常用多项式近似代替一般函数，那一个函数具有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？如果一个函数能用多项式近似代替，这个多项式的系数与这个函数有什么样的关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎样呢？‎ 首先讨论若p（x）是一个n次多项式 ‎……‎ 由此可知，将n次多项式函数p（x）按着的幂展开，它的多项式的系数 由多项式p（x）所确定，即 对于任意的函数（不必是多项式函数），只要函数f（x）在点存在直到n阶导数，总能写出一个相应的n次多项式 多项式称为f（x）在的n次泰勒多项式．若用n次泰勒多项式近似代替f（x），所产生的误差怎样表示呢？一般地，我们有：‎ 若函数f（x）在含有点的某开区间（a，b）内有直到n＋1阶导数，则对任意的点x∈（a，b），有 其中称为拉格朗日余项，记作，即 上面的公式称为泰勒（Taglor）公式，也称为具有高阶导数的中值定理，在这里令n＝1，‎ 即是拉格朗日中值定理．‎ 在上式中，若用泰勒多项式近似代替f（x），所产生的误差是 特别地，若在（a，b）上有界，设M>0,对，有则误差可表示：‎ 从上面可以求出，要求f（x）的泰勒公式，只要求出泰勒多项式的系数，而因此只须求f（x）在的直到n阶的导数即可．‎ 思路启迪 x＋1可以写成x－（－1），故只需求出f（x）有－1点的各级导数即可．‎ 这个公式称为马克劳林（Maclaurin）公式．‎ 例2 将f（x）＝ln（1＋x）展开为x的幂式（即马克劳林公式）．‎ 思路启迪 首先求出f（x）在0点的各阶导数，然后代入公式即可．‎ 规范解法 当x>－1时，f（x）是连续函数，并有连续的各阶导数：‎ 例4 利用ln（1＋x）展开式的前五项计算ln1.2之值．‎ ‎6．怎样判别曲线的凹凸性及拐点？‎ 由导数的符号，可知函数f（x）的单调性，但还不能完全反映它的变化规律，如函数与（图3－17）在（0，＋∞）都是单调增加的，但增加的方式却不同，是向上弯曲的，而是向下弯曲的．因此，研究函数图像时，考察它们的弯曲方向是很有必要的．‎ 由图3－18（a）、图3－18（b）我们可以直观地看到，当动点P沿着曲线滑动时，曲线上的切线随着点P而变化．当每一点的切线位于曲线下方时，曲线是向上弯曲的，此时称曲线是向下凹的；当每一点切线位于曲线的上方时，曲线是向下弯曲的，此时称曲线是向上凸的．‎ 如果一条曲线y＝f（x）在区间（a，b）上是向下凹或是向上凸的，我们就说曲线y＝f（x）在（a，b）上具有凸凹性，曲线向下凹与向上凸的分界点称为曲线的拐点．‎ 下面我们给出判断曲线的凸凹性的一个方法．‎ 设f（x）在的邻域内存在连续的一阶导数和二阶导数，曲线y＝f（x）在点的切线为 因而切线上横坐标为x的点的纵坐标为：‎ 曲线上横坐标为x的点的纵坐标为：‎ AC表示点x处曲线上的点与切线上的点之间的距离(如图3—19)．‎ ‎(1)当时，则在点的充分小邻域内也大于0，因此AC>O，于是C在A之上，换句话说，在M的充分小邻域内，曲线弧落在切线之上，故曲线在M点附近是向下凹的．‎ ‎(2)当则在点的充分小邻域内也小于0，因此AC<0，即点C在A之下，换句话说，在点M的充分小邻域内，曲线弧落在切线之下，故曲线在M点附近是向上凸的．‎ ‎(3)当时，可能是正数也可能是负数．‎ ‎①若x由小于变为大于,不变号，则曲线在点M附近仍为向下凹的或向上凸的；②若x由小于变为大于，变号，则在点M处曲线将从切线的一侧穿过切线进入另一侧，即曲线在点M附近两侧，其中一侧是向下凹的，则另一侧是向上凸的．此时，点M是曲线向下凹与向上凸的分界点，即是拐点．‎ 从上面(3)中的②可以看出，若是使得的点，则可能是拐点．‎ 根据以上的讨论，我们可以给出判别曲线y＝f(x)凸凹性的步骤：‎ ‎(1)求出y＝f(x)的定义域D．‎ ‎(2)求出，并求出方程的根等．‎ ‎(3)用等点将D分成若干个区域，在每个区间上判别的符号．若，则在此区间上的曲线是向下凹的；若，则在此小区间上是向上凸的(此步骤通常列表完成)．‎ x ‎（－∞，0）‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f（x）‎ 向下凹 ‎1‎ 向上凸 向下凹 拐点 ‎（0，1）‎ 由上表可知，曲线在（－∞，0）与是向下凹的，在是向上凸的，拐点是（0，1）和，如图3－21．‎ ‎7．怎样求曲线的渐近线？‎ 我们知道双曲线的渐近线有两条：．在作双曲线的图象时，如果能先把两条渐近线作出来，再画曲线的图象，就较准确地画出它的图象．因此如果一条曲线存在渐近线，先把它的渐近线求出来，对于准确描绘函数y＝f（x）的图象是非常必要的．‎ 一般地，当曲线y＝f（x）上的动点P沿着曲线y＝f（x）无限地运离原点时，若动点P到某一定直线的距离无限地趋于0（如图3－22），则称直线的曲线y＝f（x）的渐近线．‎ 下面我们将分三种情况讨论曲线的渐近线．‎ ‎（1）垂直渐近线．‎ 若或则直线是曲线y＝f（x）的垂直渐近线（垂直于x轴）．‎ 思路启迪 求曲线的垂直线渐近线，首先找出使分母为零的点，然后检查函数在这些点两侧附近函数的变化趋势，若当无限接近该点时，函数趋于∞，则即为垂直渐近线．‎ 故直线x＝－3与x＝4都是曲线的垂直渐近线．‎ ‎（2）水平渐近线．‎ 则直线y＝b为曲线y＝f（x）的渐近线，称为水平渐近线．‎ 思路启迪 曲线y＝f（x）是否存在水平渐近线，就是看当x→＋∞（或x→＋∞）时，f（x）是否有有限极限b，若有有限极限b，则y＝b即为该曲线的水平渐近线．否则，就不存在水平渐近线．‎ 所以y＝0是曲线的水平渐近线．‎ 点评 由以上的几个例题可以看到，对于有理分式函数R（x）来说，当分子的最高指数不超过分母的最高指数时，曲线y＝R（x）有水平渐近线，当分子的最高指数大于分母的最高指数时，曲线y＝R（x）不存在水平渐近线．‎ ‎（3）斜渐近线．‎ 如图3－22，设曲线y＝f（x）的渐近线方程是y＝kx＋b，下面我们来确定常数k和b．‎ 设曲线y＝f（x）上任意点P（x，f（x））到直线y＝kx＋b的距离是|PM|，则由点到直线的距离公式有：‎ 直线y＝kx＋b是曲线y＝f（x）的渐近线，当且仅当当且仅当当且仅当．‎ 若k知道，则b可由上式求出，怎样求k？‎ 于是，直线y＝kx＋b是曲线y＝f（x）的渐近线当且仅当 因此，若上面两个极限都存在，则曲线y＝f（x）有斜渐近线y＝kx＋b；若上面两个极限至少有一个不存在，则曲线y＝f（x）不存在斜渐近线．‎ 思路启迪 检验一条曲线y＝f（x）是否存在斜渐近线，首先应检验是否为有限数值，若为有限值k，则再检验是否为有限值b，若b为有限值，则曲线y＝f（x）存在斜渐近线y＝kx＋b．‎ 所以，x＝1是曲线的垂直渐近线．‎ 即x-4y-5=0是曲线的斜渐近线．‎ 例5 求曲线y＝arctanx的渐近线．‎ ．‎ 则x＝0（即y轴）是曲线的垂直渐近线．‎ 所以y＝2x＋1是曲线的斜渐近线．‎ ‎8．怎样作函数的图象？‎ 在中学数学中，我们利用描点法描绘了一些简单函数的图象．但是，描点法有缺陷，因为描点法中我们所选的点不可能很多，而一些关键性的点，如极值点、拐点等可能漏掉；而曲线的重要性态如单调性，凸凹性也没有掌握．因此，描点法所描绘的函数图象往往与真实的图象相差甚远．现在，我们已经掌握了借助于导数的符号，可以确定函数图象在哪个区间上升，在哪个区间下降，什么地方是极值点；借助于二阶导数的符号，可以确定函数图象在哪个区间向下凹，在那个区间向上凸，在什么地方是拐点．而我们知道了函数图象的升降、凸凹以及极值点和拐点后，由此也可以掌握函数的性态，并由此可以把函数的图象画得比较准确．‎ 一般地，利用导数描点绘函数的图象可按照下列的步骤来进行？‎ ‎（1）确定函数的定义域．‎ ‎（2）观察函数y＝f（x）是否具有某些特性（如奇偶性、周期性）．‎ ‎（3）求出函数y＝f（x）的渐近线（如果有的话）‎ ‎（4）求出函数 ‎（5）求出方程及的全部实根，并用这些根把函数的定义域分成若干个区间（列表）．‎ ‎（6）判别曲线在第5步所分成区间内的单调性、凸凹性，并确定极值点与拐点（列表）．‎ ‎（7）确定一些特殊点，如与坐标轴的交点及某些易算出的点（x，f（x））等．‎ ‎（8）画出渐近线，并根据以上所讨论的函数的性态描绘出曲线的图象．‎ 规范解法 （1）定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）．‎ ‎（2）渐近线：‎ 因所以y＝－2是水平渐近线；又因，所以x＝0是垂直渐近线．‎ ‎（4）描出几个特殊点：A（－1，－2），B（1，6），C（2，1），．‎ ‎（5）描绘函数的图象（如图3－23）．‎ ‎[注：表中的符号“”表示递减向下凹，“”表示递减向上凸，“”表示递增向下凹，“”表示递增向上凸．]‎ 规范解法 定义域（－∞，1）∪（1，＋∞）．‎ 所以x＝1是曲线的垂直渐近线．‎ 列表如下：‎ 描绘出函数的图象（如图3－24）．‎