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- 2021-05-13 发布
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机密☆启用前
山东省2013年普通高校招生(春季)考试
数学试题
注意事项:
1. 本试卷分卷一(选择题)和卷二(非选择题)两部分.满分120分,考试时间120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
2. 本次考试允许使用函数型计算机,凡使用计算器的题目,最后结果精确到0.01.
卷一(选择题,共60分)
一、选择题(本题25个小题,每小题3分,共75分)
1.若集合,则下列关系式中正确的是( )
A. B. C. D.
2.若p是假命题,q是真命题,则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
3. 过点p(1,2)且与直线平行的直线方程是( )
A. B. C. D.
4.“”是“a,b,c”成等差数列的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 函数的定义域是( )
A. B. C. D.
7. 若函数的最小正周期为,则的值为( )
A. 1 B. 2 C. D. 4
8. 已知点M(-1,6),N(3,2),则线段MN的垂直平分线方程为( )
A. B. C. D.
9. 五边形ABCDE为正五边形,以A,B,C,D,E为顶点的三角形的个数是( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
10. 二次函数的对称轴是( )
A. B. C. D.
11. 已知点在第一象限,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 在同一坐标系中,二次函数与指数函数的图象
可能的是 ( )
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
1
1
A. B. C. D.
13. 将卷号为1至4的四卷文集按任意顺序排放在书架的同一层上,则自左到右卷号顺序恰为1,2,3,4的概率等于( )
A. B. C. D.
14. 已知抛物线的准线方程为 ,则抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
15. 已知,则等于( )
A. B. C. D.
16. 在下列函数图象中,表示奇函数且在上为增函数的是( )
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
.
A. B. C. D.
17. 的二项展开式中的系数是( )
A. -80 B. 80 C. -10 D. 10
18. 下列四个命题:
(1)过平面外一点,有且只有一条直线与已知平面平行;
(2)过平面外一点,有且只有一条直线与已知平面垂直;
(3)平行于同一个平面的两个平面平行;
(4)垂直于同一个平面的两个平面平行。
其中真命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
19. 设,那么与的大小关系( )
A. B.
C. D. 无法确定
0
2
2
x
y
20. 满足线性约束条件的可行域如图所示,则线性目标函数
取得最大值时的最优解是( )
A.(0,0) B.(1,1)
C.(2,0) D. (0,2)
21. 若则下列关系式中正确的是( )
A. B. C. D.
22. 在中已知,,,则的面积是( )
A. B. C. 2 D. 3
23. 若点关于原点的对称点为则与的值分别为( )
A. ,2 B. 3,2 C. ,-2 D. -3,-2
24. 某市2012年的专利申请量为10万件,为了落实“科教兴鲁”战略,该市计划2017年专利申请量达到20万件,其年平均增长率最少为( )
A. 12. B. 13. C. 14. D. 18.
p
A1
A2
y
x
o
25. 如图所示,点是等轴双曲线上除顶点外的任意一点,是双曲线的顶点,则直线与的斜率之积为( )
A. 1 B. -1 C. 2 D.-2
卷二(非选择题,共60分)
二、填空题(本题5个小题,每小题4分,共20分)
26. 已知函数,则______________.
27. 某射击运动员射击5次,命中的环数为9,8,6,8,9则这5个数据的方差为______________.
28. 一个球的体积与其表面积的数值恰好相等,该球的直径是______________.
29. 设直线与圆的两个交点为A,B,则线段AB的长度为_________.
30. 已知向量,若取最大值,则的坐标为_________ .
三、解答题(本题5个小题,共55分,请在答题卡的相应的题号处写出解答过程)
31. (本题9分)在等比数列中,,。求:
(1)该数列的通向公式;
(2)该数列的前10项和。
32. (本题11分)已知点(4,3)是角终边上一点,如图所示。
0
y
x
P(4,3)
求的值。
33. (本题11分)如图所示,已知棱长为1的正方体
F
D1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
(1) 求三棱锥的体积;
(2) 求证:平面平面.
34. (本题12分)某市为鼓励居民节约用电,采取阶梯电价的收费方式,居民当月用电量不超过100度的部分,按基础电价收费;超过100度不超过150度的部分,按每度0.8元收费;超过150度的部分按每度1.2元收费.该居民当月的用电量(度)与应付电费(元)的函数图象如图所示。
(1)求该市居民用电的基础电价是多少?
(2)某居民8月份的用电量为210度,求应付电费多少元?
(3)当时,求与的函数关系式(为自变量)
0
x(度)
150
100
50
50
90
150
y(元)
35. (本题12分)已知椭圆的一个焦点为,其离心率为。
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)圆的任一条切线与椭圆均有两个交点A,B,
求证:(O为坐标原点)。
山东省2013年普通高校招生(春季)考试答案
一、选择题(本题25个小题,每小题3分,共75分)
1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 6.A 7.B 8.B 9.B 10.D
11.A 12.C 13.D 14.B 15.D 16.A 17.B 18.B 19.C 20.C 21.D 22.D 23.A 24.C 25.A
二、填空题(本题5个小题,每小题4分,共20分)
26. 或 27. 或1.2 28.6 29.8 30.(0,1)
三、解答题(本题5个小题,共55分,请在答题卡的相应的题号处写出解答过程)
31.(本题9分)
(1)解法一:由等比数列的定义可知:公比 2分
由,得 2分
因此,所求等比数列的通项公式为 1分
解法二:设等比数列的通项公式为
由已知列方程组 2分
解之得 2分
因此,所求等比数列的通项公式为 1分
(2)由等比数列的前和公式,得
2分
=2046 1分
即:该数列的前10项和为2046.
32. (本题11分)
解:由(4,3)是角终边上一点,知
得 1分
所以, 2分
所以 2分
2分
所以 2分
2分
33. (本题11分)
解:(1)由正方体的棱为1,可得的面积为 2分
所以, 2分
(2)证明:由平面,又平面,得 2分
又正方形中, 1分
且,平面,平面
所以平面 2分
平面
所以,平面平面 2分
34. (本题12分)
解:(1)设该市居民用电的基础电价是每度元,
则所用电量(度)与应付电费(元)的函数关系是 1分
由函数图象过点(100,50),得,即 1分
所以,既基础电价为每度0.5元。 1分
(2)由阶梯电价曲线可知,在210度电中,
其中,100度的电费为(元); 1分
50度的电费为(元); 1分
60度的电费为(元); 1分
所以,该居民8月份应付电费50+40+72=162元。 1分
(3)设函数的解析式为 1分
由题意可知 1分
由因为函数图象过点(150,90),因此 1分
解得 1分
所以,所求函数的解析式为。 1分
35. (本题12分)
解:(1)由椭圆的一个焦点坐标为。得 1分
由椭圆的离心率为,得 1分
因此得 1分
从而 1分
由已知得焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为 1分
(2)证明:当圆的切线斜率存在时,
设其方程为 1分
将其代人,整理得 1分
设,由韦达定理得,
所以 1分
由点到直线的距离公式知,原点到切线的距离为
即,得 1分
因此
所以 ,即 1分
当圆的切线斜率不存在时,切线方程为
此时其中一条切线与椭圆的交点
显然,即
同理可得,另一条切线也具有此性质。
所以,切线斜率不存在时,也成立。
综上,。 1分