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【3 年高考 2 年模拟】第八章 解析几何第一部分 三年高考荟萃
2012 年高考数学（1） 直线方程与圆的方程
一、选择题
1 ．（2012 陕西理）已知圆 2 2: 4 0C x y x ,l 过点 (3,0)P 的直线,则 （ ）
A．l 与C 相交 B．l 与C 相切 C．l 与C 相离 D．以上三个选项均有可能
2 ．（2012 天津理）设 m , n R ,若直线 ( 1) +( 1) 2=0m x n y 与圆 2 2( 1) +(y 1) =1x 相
切,则 +m n 的取值范围是 （ ）
A．[1 3,1+ 3] B． ( ,1 3] [1+ 3,+ )
C．[2 2 2,2+2 2] D． ( ,2 2 2] [2+2 2,+ )
3 ．（2012 重庆文）设 A,B 为直线 y x 与圆 2 2 1x y 的两个交点,则| |AB （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
4 ．（2012 陕西文）已知圆 2 2: 4 0C x y x ,l 过点 (3,0)P 的直线,则 （ ）
A．l 与C 相交 B．l 与C 相切 C．l 与C 相离 D．以上三个选项均有可能
5 ．（2012 山东文）圆 2 2( 2) 4x y 与圆 2 2( 2) ( 1) 9x y 的位置关系为 （ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
6 ．（2012 辽宁文）将圆 x2+y2 -2x-4y+1=0 平分的直线是 （ ）
A．x+y-1=0 B．x+y+3=0 C．x-y+1=0 D．x-y+3=0
7 ．（2012 湖北文）过点 (1,1)P 的直线,将圆形区域 2 2( , ) | 4x y x y 分两部分,使得这两
部分的面积之差最大,则该直线的方程为 （ ）
A． 2 0x y B． 1 0y C． 0x y D． 3 4 0x y
8 ．（2012 广东文）(解析几何)在平面直角坐标系 xOy 中,直线3 4 5 0x y 与圆 2 2 4x y
相交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长等于 （ ）
A． 3 3 B． 2 3 C． 3 D．1
9 ．（2012 福建文）直线 2 2 0x y 与圆 2 2 4x y 相交于 ,A B 两点,则弦 AB 的长度
等于 （ ）
A． 2 5 B． 2 3 . C． 3 D．1
10 ．（2012 大纲文）正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上, 1
3AB BF
动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,
当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 （ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
11．（2012 安徽文）若直线 1 0x y 与圆 2 2( ) 2x a y 有公共点,则实数 a 取值范围是
（ ）
A．[ 3, 1] B．[ 1,3] C．[ 3,1] D． ( , 3] [1, )
12 ．（2012 重庆理）对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 222 yx 的位置关系一定是
（ ）
A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直
线过圆心
二、填空题
13．（2012 浙江文）定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离,
已知曲线 C1:y=x2+a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离,
则实数 a=_______.
14．（2012 天津文）设 ,m n R ,若直线 : 1 0l mx ny 与 x 轴相交于点 A ,与 y 轴相交于 B ,
且 l 与圆 2 2 4x y 相交所得弦的长为 2, O 为坐标原点,则 AOB 面积的最小值为
_________.
15．（2012 上海文）若 )1,2(n 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为__________(结
果用反三角
函数值表示).
16．（2012 山东文）如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置
在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动
到圆心位于(2,1)时, OP
的坐标为____.
17．（2012 江西文）过直线 2 2 0x y 上点 P 作圆 2 2 1x y 的两条切线，
若两条切线的夹角是 60 ,则点 P 的坐标是__________。
18．（2012 北京文）直线 y x 被圆 2 2( 2) 4x y 截得的弦长为_____________
19 ．（2012 天津理）如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦.过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线
相 交 于 点 D , 过 点 C 作 BD 的 平 行 线 与 圆 相 交 于 点 E , 与 AB 相 交 于 点
F , =3AF , =1FB , 3= 2EF ,则线段CD 的长为______________.
20 ．（2012 浙江理）定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C
到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y=x 的距离等于 C2:x 2+(y+4)
2 =2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a=______________.
21．（2012 江苏）在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为 2 2 8 15 0x y x ,若直线 2y kx 上
至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆C 有公共点,则 k 的最大值是____.
考答案
一、选择题
1. 解析: 2 23 0 4 3 3 0 ,所以点 (3,0)P 在圆 C 内部,故选 A.
2. 【答案】D
【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要不等式,
一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.
【解析】∵直线 ( 1) +( 1) 2=0m x n y 与圆 2 2( 1) +(y 1) =1x 相切,∴圆心 (1,1) 到直线
的距离为
2 2
|( 1)+( 1) 2|= =1
( 1) +( 1)
m nd
m n
,所以 21 ( )2
m nmn m n ,设 =t m n ,
则 21 +14 t t ,解得 ( ,2 2 2] [2+2 2,+ )t .
3. 【答案】:D
【解析】:直线 y x 过圆 2 2 1x y 的圆心 (0,0)C 则| |AB 2
【考点定位】本题考查圆的性质,属于基础题.
4. 解析: 2 23 0 4 3 3 0 ,所以点 (3,0)P 在圆 C 内部,故选 A.
5. 解 析 : 两 圆 心 之 间 的 距 离 为 17)10(22 22 d , 两 圆 的 半 径 分 别 为
3,2 21 rr ,
则 drr 112 521 rr ,故两圆相交. 答案应选 B.
6. 【答案】C
【解析】圆心坐标为(1,2),将圆平分的直线必经过圆心,故选 C
【点评】本题主要考查直线和圆的方程,难度适中.
7. A【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点 P 的圆的弦长达
到最小,所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点 (1,1)P ,则 1OPk ,故所求直线的斜
率为-1.又所求直线过点 (1,1)P ,故由点斜式得,所求直线的方程为 1 1y x ,即
2 0 x y .故选 A.
【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用,数形结合思想.本题的解题关键是通
过观察图形发现当面积之差最大时,所求直线应与直线OP 垂直,利用这一条件求出斜率,
进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.
8. 解析:B.圆心到直线的距离为
2 2
5 1
3 4
d
,所以弦 AB 的长等于 2 22 2 3r d .
9. 【答案】B
【解析】圆心 (0,0) ,半径 2r ,弦长 2 2
2
| 2 || | 2 2 ( ) 2 3
1 3
AB
【考点定位】该题主要考查直线和圆的位置关系,考查计算求解能力.
10. 答案 B
【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用.通
过相似三角形,来确定反射后的点的落的位置,结合图像分析反射的次
数即可.
【解析】解:结合已知中的点 E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的
过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到 EA 点时,
需要碰撞 8 次即可.
11. 【解析】选C 圆 2 2( ) 2x a y 的圆心 ( ,0)C a 到直线 1 0x y 的
距离为 d
则 12 2 1 2 3 1
2
ad r a a
12. 【答案】C
【解析】圆心 (0,0)C 到直线 1 0kx y 的距离为
2
1 1 211
d r
k
,且圆心
(0,0)C 不在该直线上.
法二:直线 1 0kx y 恒过定点 (0,1) ,而该点在圆 C 内,且圆心不在该直线上,故选 C.
【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆
的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用 d 与 r 的大小为判断.当
0 d r 时,直线与圆相交,当 d r 时,直线与圆相切,当 d r 时,直线与圆相离.
二、填空题
13. 【答案】 7
4
【命题意图】本题主要考查了曲线到直线的距离问题,利用单数综合解决曲线到直线的距
离转为点到直线的距离.
【解析】C2:x 2+(y+4) 2 =2,圆心(0,—4),圆心到直线 l:y=x 的距离为: 0 ( 4) 2 2
2
d
,
故曲线 C2 到直线 l:y=x 的距离为 2 2d d r d .
另一方面:曲线 C1:y=x 2+a,令 2 0y x ,得: 1
2x ,曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y=x 的距离的
点为( 1
2
, 1
4 a ),
1 1 1( ) 72 4 42 42 2
a a
d a
.
14. 【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为 )0,1(),1,0( mBnA ,直线与圆相交所得的弦长为 2,
圆心到直线的距离 d 满足 3141222 rd ,所以 3d ,即圆心到直线的距离
31
22
nm
d ,所以
3
122 nm .三角形的面积为
mnnmS 2
111
2
1 ,又
31
2
1
22
nmmnS ,当且仅当
6
1 nm 时取等号,所以最小值为 3.
15. [解析] 2
1lk ,所以l 的倾斜角的大小为 2
1arctan .
16.答案: (2 sin 2,1 cos2) 解析:根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长,点 P 旋转
了 2 弧度,此时点 P 的坐标为
)2cos1,2sin2(
,2cos1)22sin(1
,2sin2)22cos(2
OP
y
x
P
P
.
另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程
为
sin1
cos2
y
x ,且 22
3,2 PCD ,
则点 P 的坐标为
2cos1)22
3sin(1
2sin2)22
3cos(2
y
x
,即 )2cos1,2sin2( OP .
17. 【答案】( 2, 2 )
【解析】本题主要考查数形结合的思想,设 p(x,y),则由已知可得 po(0 为原点)与切线的
夹角为 030 ,则|po|=2,由
2 2 4
2 2
x y
x y
可得 2
2
x
y
.
【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,直角三角形的性质,以及切线的性质,已知
切线往往连接圆心与切点,借助图形构造直角三角形解决问题,培养了学生数形结合的思
想,分析问题,解决问题的能力.
18. 【答案】 2 2
【 解 析 】 将 题 目 所 给 的 直 线 与 圆 的 图 形 画 出 , 半 弦 长 为
2
l , 圆 心 到 直 线 的 距 离
2 2
2 2
1 ( 1)
d
, 以 及 圆 半 径 2r 构 成 了 一 个 直 角 三 角 形 , 因 此
2 2 2 2( ) 4 2 2 8 2 22
l r d l l .
【考点定位】本小题涉及到的是直线与圆的知识,由于北京的考卷多年没有涉及直线和圆,
对于二生来说,可能能些陌生,直线与圆相交求弦长,利用直角三角形解题,也并非难题.
19. 【答案】 4
3
C
D
【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定
理,相似三角形的概念、判定与性质.
【解析】∵ =3AF , =1FB , 3= 2EF ,由相交弦定理得 =AF FB EF FC ,所以 =2FC ,又
∵BD∥CE,∴ =AF FC
AB BD
, 4= = 23
ABBD FCAF
= 8
3
,设 =CD x ,则 =4AD x ,再由切割线
定理得 2 =BD CD AD ,即 284 =( )3x x ,解得 4= 3x ,故 4= 3CD .
20. 【答案】 9
4
【解析】C2:x 2+(y+4) 2 =2,圆心(0,—4),圆心到直线 l:y=x 的距离为: 0 ( 4) 2 2
2
d
,
故曲线 C2 到直线 l:y=x 的距离为 2 2d d r d .
另一方面:曲线 C1:y=x 2+a,令 2 0y x ,得: 1
2x ,曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y=x 的距离的
点为( 1
2
, 1
4 a ),
1 1 1( ) 92 4 42 42 2
a a
d a
.
21. 【答案】 4
3
.
【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离
【解析】∵圆C 的方程可化为: 2 24 1x y ,∴圆 C 的圆心为 (4,0) ,半径为 1.
∵由题意,直线 2y kx 上至少存在一点 0 0( , 2)A x kx ,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆
C 有
公共点;
∴存在 0x R ,使得 1 1AC 成立,即 min 2AC .
∵ minAC 即为点C 到直线 2y kx 的距离
2
4 2
1
k
k
,∴
2
4 2 2
1
k
k
,解得 40 3k .
∴ k 的最大值是 4
3
.
2012 年高考数学（2）圆锥曲线与方程
一、选择题
22 ．（2012 山东理）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心学率为 3
2
.双曲线 2 2 1x y
的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆C 的方
程为 （ ）
A．
2 2
18 2
x y B．
2 2
112 6
x y C．
2 2
116 4
x y D．
2 2
120 5
x y
23 ．（ 2012 山 东 文 ） 已 知 双 曲 线 1C :
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的 离 心 率 为 2. 若 抛 物 线
2
2 : 2 ( 0)C x py p 的焦点到双曲线 1C 的渐近线的距离为 2,则抛物线 2C 的方程为
（ ）
A． 2 8 3
3x y B． 2 16 3
3x y
C． 2 8x y D． 2 16x y
24 ．（2012 浙江文）如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N
是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离
心率的比值是
A．3 B．2
C． 3 D． 2
25 ．（2012 浙江理）如图,F1,F2 分别是双曲线 C:
2 2
2 2 1x y
a b
(a,b>0)的左右
焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,
线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是
A． 2 3
3
B． 6
2
C． 2 D． 3
26 ．（2012 辽宁文）已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, 2,过 P,Q 分
别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 （ ）
A．1 B．3 C． 4 D． 8
27 ．（2012 四川文）已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点 0(2, )M y .
若点 M 到该抛物线焦点的距离为3,则| |OM （ ）
A． 2 2 B． 2 3 C． 4 D． 2 5
28 ．（2012 课标文）等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 2 16y x 的准线
交于 A 、 B 两点,| |AB = 4 3 ,则C 的实轴长为 （ ）
A． 2 B． 2 2 C．4 D．8
29 ．（2012 课标文）设 1F , 2F 是椭圆 E :
2 2
2 2
x y
a b
=1( a >b >0)的左、右焦点, P 为直线 3
2
ax
上一点,△ 2 1F PF 是底角为 030 的等腰三角形,则 E 的离心率为 （ ）
A． 1
2
B． 2
3
C． 3
4
D． 4
5
30 ．（2012 江西文）椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是
F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 （ ）
A． 1
4
B． 5
5
C． 1
2
D． 5-2
31 ．（2012 湖南文）已知双曲线 C :
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,
则 C 的方程为 （ ）
A．
2
20
x -
2
5
y =1 B．
2
5
x -
2
20
y =1 C．
2
80
x -
2
20
y =1 D ．
2
20
x -
2
80
y =1[w~ 、
ww.zz&st^ep.com@]
32 ．（2012 福建文）已知双曲线
2
2
x
a
-
2
5
y =1 的右焦点为 (3,0) ,则该双曲线的离心率等于
A 3 14
14
B． 3 2
4
C． 3
2
D． 4
3
33 ．（ 2012 大 纲 文 ） 已 知 1 2,F F 为 双 曲 线 2 2 2x y 的 左 , 右 焦 点 , 点 P 在 C
上, 1 2| | 2 | |PF PF ,则 1 2cos F PF （ ）
A． 1
4
B． 3
5
C． 3
4
D． 4
5
34．（2012 大纲文）椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 4x ,则该椭圆的方程为（ ）
A．
2 2
116 12
x y B．
2 2
112 8
x y C．
2 2
18 4
x y D．
2 2
112 4
x y
35 ．（2012 新课标理）等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 xy 162 的准
线交于 ,A B 两点, 4 3AB ;则C 的实轴长为 （ ）
A． 2 B． 2 2 C． D．
36 ．（2012 新课标理）设 1 2F F 是椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的左、右焦点, P 为直线
3
2
ax 上一点, 2 1F PF 是底角为30 的等腰三角形,则 E 的离心率为 （ ）
A． 1
2
B． 2
3
C．
D．
37 ．（2012 四川理）已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 0(2, )M y .
若点 M 到该抛物线焦点的距离为3 ,则| |OM （ ）
A． 2 2 B． 2 3 C． 4 D． 2 5
38 ．（2012 上海春）已知椭圆
2 2 2 2
1 2: 1, : 1,12 4 16 8
x y x yC C 则 [答]
（ ）
A． 1C 与 2C 顶点相同. B． 1C 与 2C 长轴长相同.
C． 1C 与 2C 短轴长相同. D． 1C 与 2C 焦距相等.
39 ．（2012 湖南理）已知双曲线 C :
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,
则 C 的方程为 （ ）
A．
2
20
x -
2
5
y =1 B．
2
5
x -
2
20
y =1 C．
2
80
x -
2
20
y =1 D．
2
20
x -
2
80
y =1
40 ．（2012 福建理）已知双曲线
2 2
2 14
x y
b
的右焦点与抛物线 2 12y x 的焦点重合,则该双
曲线的焦点到其渐近线的距离等于 （ ）
A． 5 B． 4 2 C．3 D．5
41 ．（ 2012 大 纲 理 ） 已 知 1 2,F F 为 双 曲 线 2 2: 2C x y 的 左 右 焦 点 , 点 P 在 C
上, 1 2| | 2 | |PF PF ,则 1 2cos F PF （ ）
A． 1
4
B． 3
5
C． 3
4
D． 4
5
42．（2012 大纲理）椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 4x ,则该椭圆的方程为
（ ）
A．
2 2
116 12
x y B．
2 2
116 8
x y C．
2 2
18 4
x y D．
2 2
112 4
x y
43．（2012 安徽理）过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的直线交抛物线于 ,A B 两点,点O 是原点,若
3AF ;则 AOB 的面积为 （ ）
A． 2
2
B． 2 C． 3 2
2
D． 2 2
二、填空题
44．（2012 天津文）已知双曲线 )0,0(1: 2
2
2
2
1 ba
b
y
a
xC 与双曲线 1164:
22
2 yxC 有
相同的渐近线,且 1C 的右焦点为 ( 5,0)F ,则 a ______,b _______.
45．（2012 重庆文）设 P 为直线
3
by xa
与双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
左支的交点, 1F
是左焦点, 1PF 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ___
46．（2012 四川文）椭圆
2 2
2 1(5
x y aa
为定值,且 5)a 的的左焦点为 F ,直线 x m 与椭
圆相交于点 A 、 B , FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______.
47．（2012 陕西文）右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4
米,水位下降 1 米后,水面宽 米.
48．（2012 辽宁文）已知双曲线 x2 y2 =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 P
F1⊥P
F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.
49．（2012 安徽文）过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 ,A B 两点,若| | 3AF ,
则| |BF =______
50．（2012 天津理）己知抛物线的参数方程为
2=2 ,
=2 ,
x pt
y pt
( t 为参数),其中 >0p ,焦点为 F ,准
线为 l ,过抛物线上一点 M 作的垂线,垂足为 E ,若 | |=| |EF MF ,点 M 的横坐标是 3,则
=p _______.
51 ．（ 2012 重 庆 理 ） 过 抛 物 线 2 2y x 的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 ,A B 两 点 , 若
25 , ,12AB AF BF 则 AF =_____________________.
52．（2012 四川理）椭圆
2 2
14 3
x y 的左焦点为 F ,直线 x m 与椭圆相交于点 A 、 B ,当
FAB 的周长最大时, FAB 的面积是____________.
53．（2012 上海春）抛物线 2 8y x 的焦点坐标为_______.
54．（2012 陕西理）右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下
降 1 米后,水面宽____米.
55．（2012 辽宁理）已知 P,Q 为抛物线 2 2x y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, 2,
x
y
过 P、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________.
56．（2012 江西理）椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.
若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
57．（2012 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线
2 2
2 14
x y
m m
的离
心率为 5 ,则 m 的值为____.
58．（2012 湖北理）如图,双曲线
2 2
2 2 1 ( , 0)x y a ba b
的两顶点为 1A , 2A ,
虚轴两端点为 1B , 2B ,两焦点为 1F , 2F . 若以 1 2A A 为直径的圆内切于
菱形 1 1 2 2F B F B ,切点分别为 , , ,A B C D . 则
(Ⅰ)双曲线的离心率 e ________;
(Ⅱ) 菱 形 1 1 2 2F B F B 的 面 积 1S 与 矩 形 ABCD 的 面 积 2S 的 比 值
1
2
S
S
________.
59．（2012 北京理）在直角坐标系 xoy 中,直线l 过抛物线 2 4y x 的焦点 F,且与该抛物线相较
于 A、B 两点,其中点 A 在 x 轴上方,若直线l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为________.
三、解答题
60．（2012 重庆文）(本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分)
已知椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,上顶
点 为 A , 左 、 右 焦 点 分 别 为 1 2,F F , 线 段
1 2,OF OF 的中点分别为 1 2,B B ,且△ 1 2AB B
是面积为 4 的直角三角形.(Ⅰ)求该椭圆的离心
率 和 标 准 方 程 ;( Ⅱ ) 过 1B 作 直 线 交 椭 圆 于
,P Q , 2 2PB QB ,求△ 2PB Q 的面积
61．（2012 浙江文）（本题满分 14 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P（1，1
2
）到抛物线 C：
2y =2px（P＞0）的准线的距离为 5
4
。点 M（t，1）是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动点，
且线段 AB 被直线 OM 平分。
（1）求 p,t 的值。
（2）求△ABP 面积的最大值。
A A
y
B
B
A
O
B
C D
F F x
62．（2012 天津文）已知椭圆
2 2
2 2+ =1x y
a b ( > >0)a b ,点 5 2( , )5 2P a a 在椭圆上.
(I)求椭圆的离心率.
(II)设 A 为椭圆的右顶点, O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足 | | | |AQ AO ,求直线
OQ 的斜率的值.
63．（2012 四川文）如图,动点 M 与两定点 ( 1,0)A 、 (1,0)B 构成 MAB ,且直线 MA MB、
的斜率之积为 4,设动点 M 的轨迹为C .
(Ⅰ)求轨迹C 的方程;
( Ⅱ ) 设 直 线 ( 0)y x m m 与 y 轴 交 于 点 P , 与 轨 迹 C 相 交 于 点 Q R、 , 且
| | | |PQ PR ,求 | |
| |
PR
PQ
的取值范围.
64．（2012 上海文）在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 12: 22 yxC .
(1)设 F 是 C 的左焦点,M 是 C 右支上一点. 若|MF|=2 2 ,求过 M 点的坐标;(2)过 C 的左顶
点作 C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的
面积;
(3)设斜率为 )2|(| kk 的直线 l 交 C 于 P、Q 两点,若 l 与圆 122 yx 相切,
求证:OP⊥OQ;
65．（2012 陕西文）已知椭圆
2
2
1 : 14
xC y ,椭圆 2C 以 1C 的长轴为短轴,且与 1C 有相同的离
心率.
(1)求椭圆 2C 的方程;
(2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 1C 和 2C 上, 2OB OA ,求直线 AB 的方程.
66．（2012 山东文）如图,椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yM a ba b
的离心率为 3
2
,直线 x a 和 y b 所
围成的矩形 ABCD 的面积为 8.
(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程;
(Ⅱ) 设直线 : ( )l y x m m R 与椭圆 M 有两个不同的交点
, ,P Q l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 ,S T .求 | |
| |
PQ
ST
的最大值
及取得最大值时 m 的值.
67．（2012 课标文）设抛物线C : 2 2x py ( p >0)的焦点为 F ,准线为l , A 为C 上一点,已知
以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交l 于 B , D 两点.
(Ⅰ)若 090BFD , ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程;
(Ⅱ)若 A , B , F 三点在同一条直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与C 只有一个公共点,求
坐标原点到 m , n 距离的比值.
68．（2012 江西文）已知三点 (0,0), ( 2,1), (2,1)O A B ,曲线 C 上任意一点 ( , )M x y 满足
| | ( ) 2MA MB OM OA OB 。
(1)求曲线C 的方程;
(2)点 0 0 0( , )( 2 2)Q x y x 是曲线 C 上动点,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l ,点 P 的坐标
是 (0, 1),l 与 ,PA PB 分别交于点 ,D E ,求 QAB 与 PDE 的面积之比。
69．（2012 湖南文）在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 1
2
的椭圆 E 的一个焦点为
圆 C:x2+y2-4x+2=0 的圆心.
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
(Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 1
2
的直线 l1,l2.当直线 l1,l2 都与圆 C 相
切时,求 P 的坐标.
70．（2012 湖北文）设 A 是单位圆 2 2 1x y 上任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线, D 是
直线l 与 x 轴的交点,点 M 在直线l 上,且满足| | | | ( 0, 1)DM m DA m m 且 ,当点 A
在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C .
(1)求曲线C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标.
(2)过原点斜率为 k 的直线交曲线C 于 ,P Q 两点,其中 P 在第一象限,且它在 y 轴上的射
影为点 N ,直线 QN 交曲线 C 于另一点 H ,是否存在 m ,使得对任意的 0k ,都有
PQ PH ?若存在,请说明理由.
71．（2012 广东文）(解析几何)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 1C :
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )
的左焦点为 1 1,0F 且点 0,1P 在 1C 上.
(Ⅰ)求椭圆 1C 的方程;
(Ⅱ)设直线l 同时与椭圆 1C 和抛物线 2C : 2 4y x 相切,求直线l 的方程.
72．（2012 福建文）如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线
: 2 ( 0)E x py p 上.
(1)求抛物线 E 的方程;
(2)设动直线l 与抛物线 E 相切于点 P ,与直线 1y 相较于点Q .证明以
PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.
73．（2012 大纲文）已知抛物线 C: 2( 1)y x 与圆 M : 2 2 21( 1) ( ) ( 0)2x y r r 有一个
公共点 A ,且在 A 处两曲线的切线为同一直线上.
(Ⅰ)求 r ;
(Ⅱ)设 ,m n 是异于l 且与C 及 M 都切的两条直线, ,m n 的交点为 D ,求 D 到l 的距离.
74．（2012 北京文）已知椭圆C :
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的一个顶点为 (2,0)A ,离心率为 2
2
.
直线 ( 1y k x ）与椭圆C 交于不同的两点 M,N.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)当△AMN 得面积为 10
3
时,求 k 的值.
75 ．（ 2012 安 徽 文 ） 如 图 , 21FF 分 别 是 椭 圆
C : 2
2
a
x + 2
2
b
y =1( 0 ba )的左、右焦点, A 是椭圆C 的顶点, B 是直线 2AF 与椭圆C
的另一个交点, 1 2 60F AF .
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)已知 1AF B 面积为 40 3 ,求 ,a b 的值
76．（2012 天津理）设椭圆
2 2
2 2+ =1x y
a b ( > >0)a b 的左、右顶点分别为 ,A B ,点 P 在椭圆上且异
于 ,A B 两点,O 为坐标原点.
(Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 1
2
,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若| |=| |AP OA ,证明直线OP 的斜率 k 满足| |> 3k .
77．（2012 新课标理）设抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 的焦点为 F ,准线为l , A C ,已知以 F
为圆心,
FA 为半径的圆 F 交l 于 ,B D 两点;
(1)若 090BFD , ABD 的面积为 24 ;求 p 的值及圆 F 的方程;
(2)若 , ,A B F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与C 只有一个公共点,
求坐标原点到 ,m n 距离的比值.
78．（2012 浙江理）如图,椭圆 C:
2 2
2 2+ 1x y
a b
(a>b>0)的离心率为 1
2
,其左焦点到点 P(2,1)的距
离为 10 .不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被
直线 OP 平分.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ) 求 ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.
79．（2012 重庆理）(本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5
分(Ⅱ)小问 7 分)
如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上
顶 点 为 A, 左 右 焦 点 分 别 为 21, FF , 线 段
1 2,OF OF 的中点分别为 21, BB ,且△ 21BAB 是面积为 4 的直角三角形.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过 1B 做直线l 交椭圆于 P,Q 两点,使 22 QBPB ,求直线l 的方程
80 ．（ 2012 四 川 理 ） 如 图 , 动 点 M 到 两 定 点 ( 1,0)A 、 (2,0)B 构 成 MAB , 且
2MBA MAB ,设动点 M 的轨迹为C .
(Ⅰ)求轨迹C 的方程;
(Ⅱ)设直线 2y x m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹C 相交于点 Q R、 ,且| | | |PQ PR ,求
| |
| |
PR
PQ
的取值范围.
81．（2012 上海理）在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 12: 22
1 yxC .
(1)过 1C 的左顶点引 1C 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成
的三角形的面积;
(2)设斜率为 1 的直线 l 交 1C 于 P、Q 两点,若 l 与圆 122 yx 相切,求证:
OP⊥OQ;
(3)设椭圆 14: 22
2 yxC . 若 M、N 分别是 1C 、 2C 上的动点,且 OM⊥ON,
求证:O 到直线 MN 的距离是定值.
82．（2012 上海春）本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
已知双曲线
2
2
1 : 1.4
yC x
(1)求与双曲线 1C 有相同的焦点,且过点 (4, 3)P 的双曲线 2C 的标准方程;
(2)直线 :l y x m 分别交双曲线 1C 的两条渐近线于 A B、 两点.当 3OA OB
时,
求实数 m 的值.
83．（2012 陕西理）已知椭圆
2
2
1 : 14
xC y ,椭圆 2C 以 1C 的长轴为短轴,且与 1C 有相同的离
心率.
(1)求椭圆 2C 的方程;
(2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 1C 和 2C 上, 2OB OA ,求直线 AB 的方程.
84．（2012 山东理）在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 的焦点, M 是
抛物线C 上位于第一象限内的任意一点,过 , ,M F O 三点的圆的圆心为Q ,点Q 到抛物线
C 的准线的距离为 3
4
.
(Ⅰ)求抛物线 C 的方程;
(Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;
若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 1: 4l y kx 与抛物线C 有两个不同的交点 ,A B ,l 与
圆Q 有两个不同的交点 ,D E ,求当 1 22 k 时, 2 2AB DE 的最小值.
85 ．（ 2012 辽 宁 理 ） 如 图 , 椭 圆 0C :
2 2
2 2 1( 0x y a ba b
,a,b 为 常 数 ), 动 圆
2 2 2
1 1:C x y t , 1b t a .点 1 2,A A 分别为 0C 的左,右顶点, 1C 与 0C 相交于 A,B,C,D 四
点.
(Ⅰ)求直线 1AA 与直线 2A B 交点 M 的轨迹方程;
(Ⅱ)设动圆 2 2 2
2 2:C x y t 与 0C 相交于 / / / /, , ,A B C D 四点,其中 2b t a ,
1 2t t .若矩形 ABCD 与矩形 / / / /A B C D 的面积相等,证明: 2 2
1 2t t 为定值.
86．（2012 江西理）已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 C 上任意
一点 M(x,y)满足 ( ) 2MA MB OM OA OB .
(1) 求曲线 C 的方程;
(2)动点 Q(x0,y0)(-20),则焦点坐标为( 0,2
p ),准线方程为 x=
2
p ,
32)22(2||
22,2
22,1
32
p22
p-2
22
0
22
0
2
OM
M
yp
y
M
M
有：），根据两点距离公式（点
解得：
）（）（
线的距离，即到焦点的距离等于到准
在抛物线上，
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦
点,d 为点 M 到准线的距离).
28. 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题.
【解析】由题设知抛物线的准线为: 4x ,设等轴双曲线方程为: 2 2 2x y a ,将 4x 代
入等轴双曲线方程解得 y = 216 a ,∵| |AB = 4 3 ,∴ 22 16 a = 4 3 ,解得 a =2,
∴C 的实轴长为 4,故选 C.
29. 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想,是简单题.
【解析】∵△ 2 1F PF 是底角为 030 的等腰三角形,
∴ 0
2 60PF A , 2 1 2| | | | 2PF F F c , ∴ 2| |AF = c , ∴
32 2c a ,∴ e = 3
4
,故选 C.
30. 【答案】B[]
【解析】 1 1 2 1| | ,| | 2 ,| |AF a c F F c F B a c ,由 1 1 2 1| |,| |,| |AF F F F B 成等比数列得
2 2 2 5(2 ) ( )( ) 5 5c a c a c a c e .
【考点定位】本题主要考查椭圆和等比数列的知识,根据等比中项的性质可得结果.
31. 【答案】A
【解析】设双曲线 C :
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1 的半焦距为 c ,则 2 10, 5c c .
又 C 的渐近线为 by xa
,点 P (2,1)在 C 的渐近线上, 1 2b
a
,即 2a b .
又 2 2 2c a b , 2 5, 5a b ,C 的方程为
2
20
x -
2
5
y =1.
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思
想和基本运算能力,是近年来常考题型.
32. 【答案】C
【解析】由 2 2 35 3 2 2
ca a e a
,C 答案正确.
【考点定位】本题主本考查双曲线的方程与基本性质,属于基础题.
33. 答案 C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用.
首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可.
【 解 析 】 解 : 由 题 意 可 知 , 2 , 2a b c , 设 1 2| | 2 ,| |PF x PF x , 则
1 2| | | | 2 2 2PF PF x a ,故 1 2| | 4 2,| | 2 2PF PF , 1 2 4F F ,利用余弦定理可
得
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
(4 2) (2 2) 4 3cos 2 42 2 2 4 2
PF PF F FF PF PF PF
.
34. 答案 C
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置,
然后借助于焦距和准线求解参数 , ,a b c ,从而得到椭圆的方程.
【解析】因为 2 4 2c c ,由一条准线方程为 4x 可得该椭圆的焦点在 x 轴上县
2
24 4 8a a cc
,所以 2 2 2 8 4 4b a c .故选答案 C
35. 【 解 析 】 选 C 设 2 2 2: ( 0)C x y a a 交 xy 162 的 准 线 : 4l x 于
( 4,2 3)A ( 4, 2 3)B 得: 2 2 2( 4) (2 3) 4 2 2 4a a a
36. 【 解 析 】 选 C 2 1F PF 是 底 角 为 30 的 等 腰 三 角 形
2 2 1
3 32( ) 22 4
cPF F F a c c e a
37. [答案]B
[解析]设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则焦点坐标为( 0,2
p ),准线方程为 x=
2
p ,
32)22(2||
22,2
22,1
32
p2,32
p-2
.
22
0
22
0
2
OM
M
yp
y
M
M
）（点
解得：
）（且）（
线的距离到焦点的距离等于到准
在抛物线上，
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦
点,d 为点 M 到准线的距离).
38. D
39. 【答案】A
【解析】设双曲线 C :
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1 的半焦距为 c ,则 2 10, 5c c .
又C 的渐近线为 by xa
,点 P (2,1)在 C 的渐近线上, 1 2b
a
,即 2a b .
又 2 2 2c a b , 2 5, 5a b ,C 的方程为
2
20
x -
2
5
y =1.
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思
想和基本运算能力,是近年来常考题型.
40. 【答案】A
【 解 析 】 ∵ 抛 物 线 的 焦 点 是 (3,0)F ,∴ 双 曲 线 的 半 焦 距
3c , 2 24 3 5, 4b b a ,故双曲线的渐近线的方程为 5
2y x
【考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关
系.考查推理谁能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想.
41. 答案 C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用.
首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可.
【 解 析 】 解 : 由 题 意 可 知 , 2 , 2a b c , 设 1 2| | 2 ,| |PF x PF x , 则
1 2| | | | 2 2 2PF PF x a ,故 1 2| | 4 2,| | 2 2PF PF , 1 2 4F F ,利用余弦定理可
得
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
(4 2) (2 2) 4 3cos 2 42 2 2 4 2
PF PF F FF PF PF PF
.
42.答案 C
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置,
然后借助于焦距和准线求解参数 , ,a b c ,从而得到椭圆的方程.
【解析】因为 2 4 2c c ,由一条准线方程为 4x 可得该椭圆的焦点在 x 轴上县
2
24 4 8a a cc
,所以 2 2 2 8 4 4b a c .故选答案 C
43. 【解析】选C
设 (0 )AFx 及 BF m ;则点 A 到准线 : 1l x 的距离为3
得: 13 2 3cos cos 3
又 2 32 cos( ) 1 cos 2m m m
AOB 的面积为 1 1 3 2 2 3 2sin 1 (3 )2 2 2 3 2S OF AB
二、填空题
44. 【解析】双曲线的 1164
22
yx 渐近线为 xy 2 ,而 12
2
2
2
b
y
a
x 的渐近线为 xa
by ,
所以有 2
a
b , ab 2 ,又双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x 的右焦点为 )0,5( ,所以 5c ,又
222 bac ,即 222 545 aaa ,所以 2,1,12 baa .
45. 【答案】 3 2
4
【解析】由
2 2
2 2
3 2
3 4
21
4
by x x aa
x y y ba b
,又 1PF 垂直于 x 轴,所以 3 2 3 2
4 4a c e
【考点定位】本题考查了双曲线的焦点、离心率,考查了两条直线垂直的条件,考查了方
程思想.
46. [答案]
3
2
[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又 522 ca
3
2,2
a
cec
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理
念.
47. 解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为 2 2x y=- ,当 3y =- 时,
6x = ± ,所以水面宽 2 6 米。
48. 【答案】 2 3
x
y
【解析】由双曲线的方程可知 1 21, 2, 2 2,a c PF PF a
2 2
1 1 2 22 4PF PF PF PF
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
, (2 ) 8, 2 4,
( ) 8 4 12, 2 3
PF PF PF PF c PF PF
PF PF PF PF
【点评】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力,难度适中.
解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理,实现差—积—和的转化.
49. 【解析】| |BF 3
2
设 (0 )AFx 及 BF m ;则点 A 到准线 : 1l x 的距离为3
得: 13 2 3cos cos 3
又 2 32 cos( ) 1 cos 2m m m
50. 【答案】2
【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义,抛物线的定义及其几何性
质.
【解析】∵
2=2 ,
=2 ,
x pt
y pt
可得抛物线的标准方程为 2 =2y px ( >0)p ,∴焦点 ( ,0)2
pF ,∵点
M 的 横 坐 标 是 3, 则 (3, 6 )M p , 所 以 点
( , 6 )2
pE p , 2 2 2=( ) +(0 6 )2 2
p pEF p
由抛物线得几何性质得 = +32
pMF ,∵ =EF MF ,∴ 2 21+6 = +3 +94p p p p ,解得 =2p .
51. 【答案】 5
6
【 解 析 】 设 | | ,| |AF m BF n , 则 有 1 1 1
m n p
, 又 25| | 12AB , 所 以
25 25 5 5, ,12 24 6 4m n mn m n .
【考点定位】本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系,当遇到抛物线焦
点弦问题时,常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立,把韦达定理和抛物线定义相结
合解决问题,属于难题.
52. [答案]
3
2
[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又 522 ca
3
2,2
a
cec
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理
念.
53. (2,0)
54.解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为 2 2x y=- ,当 3y =- 时,
6x = ± ,所以水面宽 2 6 米.
55. 【答案】 4
【解析】因为点 P,Q 的横坐标分别为 4, 2,代人抛物线方程得 P,Q 的纵坐标分别为 8,2.
由 2 212 , , ,2x y y x y x 则 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, 2,所以
过 点 P,Q 的 抛 物 线 的 切 线 方 程 分 别 为 4 8, 2 2,y x y x 联 立 方 程 组 解 得
1, 4,x y 故点 A 的纵坐标为 4
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,
属于中档题.
曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写
出切线方程的关键.
56. 5
5
【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函
数与方程,转化与化归思想.
利 用 椭 圆 及 等 比 数 列 的 性 质 解 题 . 由 椭 圆 的 性 质 可
知: 1AF a c , 1 2 2F F c , 1F B a c .又已知 1AF , 1 2F F , 1F B 成等比数列,故
2( )( ) (2 )a c a c c ,即 2 2 24a c c ,则 2 25a c .故 5
5
ce a
.即椭圆的离心率为
5
5
.
【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 ,a c 的方程,然后化为有关 ,a c
的齐次式方程,进而转化为只含有离心率 e 的方程,从而求解方程即可. 体现考纲中要求
掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等.
57. 【答案】2.
【考点】双曲线的性质.
【解析】由
2 2
2 14
x y
m m
得 2 2= = 4 = 4a m b m c m m ， ， .
∴
2 4= = = 5c m me a m
,即 2 4 4=0m m ,解得 =2m .
58.考点分析:本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义,以及一般平面几何图形的面
积计算.
解析:(Ⅰ)由于以 1 2A A 为直径的圆内切于菱形 1 1 2 2F B F B ,因此点 O 到直线 22 BF 的距离为
a ,又由于虚轴两端点为 1B , 2B ,因此 2OB 的长为b ,那么在 22OBF 中,由三角形的面积
公式知, 2
22 )(2
1||2
1
2
1 cbaFBabc ,又由双曲线中存在关系 222 bac 联立可
得出 222 )1( ee ,根据 ),1( e 解出 ;2
15 e
(Ⅱ)设 22OBF ,很显然知道 222 AOBOAF , 因此 )2sin(2 2
2 aS .在
22OBF 中 求 得 ,cos,sin 2222 cb
c
cb
b
故
22
2
2
2
4cossin4
cb
bcaaS
;
菱形 1 1 2 2F B F B 的面积 bcS 21 ,再根据第一问中求得的 e 值可以解出
2
52
2
1
S
S .
59. 【答案】 3
【解析】由 2 4y x ,可求得焦点坐标为 (1,0)F ,因为倾斜角为 60 ,所以直线的斜率为
tan 60 3k ,利用点斜式,直线的方程为 3 3y x ,将直线和曲线方程联立
2
3 3 1 2 3(3,2 3), ( , )3 34
y x
A B
y x
, 因 此
1 1 1 2 3 32 2OAF AS OF y .
【考点定位】 本题考查的是解析几何中抛物线的问题,根据交点弦问题求围成的面积.此题把
握住抛物线的基本概念,熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标、方程是成功的关键.当
然还要知道三角形面积公式.
三、解答题
60. 【答案】:(Ⅰ)
2
20
x +
2
4
y =1(Ⅱ)16 10
9
【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
,右焦点为 2 ( ,0)F c
由 1 2AB B 是直角三角形且 1 2| | | |AB AB ,故 1 2 90B AB ,从而 2| | | |OA OB ,即
2
cb ,结合 2 2 2 2 25c a b a b , 2 24c b ,所以椭圆的离心率 2 5
5
ce a
,在
1 2Rt AB B 中, 1 2OA B B
故
1 2
2
1 2
1 | || | | || |2 2AB B
cS BB OA OB OA b b ,由题设条件
1 2
24 4 2AB BS b b ,
从而 2 25 20a b ,因此所求椭圆的标准方程为
2 2
120 4
x y .
(2) 由 (1) 可 知 1 2( 2,0), (2,0)B B , 由 题 意 , 直 线 PQ 的 倾 斜 角 不 为 0, 故 可 设 直 线
: 2PQ x my ,代入椭圆的方程可得 2 2( 5) 4 16 0m y my (*)
设 1 1 2 2( , ), ( , ),P x y Q x y 则 1 2,y y 是上面方程的两根,因此 1 2 2
4 ,5
my y m
1 2 2
16
5y y m
又 1 1 1 2 2 2( 2, ), ( 2, )B P x y B P x y , 所 以
1 2 1 2( 2)( 2)B P B P x x
1 2y y 1 2 1 2( 4)( 4)my my y y 2
1 2( 1)m y y 1 24 ( ) 16m y y
2 2
2 2
16( 1) 16 165 5
m m
m m
2
2
16 64
5
m
m
由 2 2PB QB ,知 2 2 0B P B Q ,即 216 64 0m ,解得 2m
当 2m 时,方程(*)化为: 29 8 16 0y y
故 1 2
4 4 10 4 4 10,9 9y y , 1 2
8 10| | 9y y
2PB Q 的面积 1 2 1 2
1 16 10| || |2 9S B B y y 当 2m 时,同理可得(或由对称性
可得) 2PB Q 的面积 16 10
9S 综上所述, 2PB Q 的面积为16 10
9
.
61. 【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查
解析几何的基本思想方法和运算求解能力.
（1）由题意得
2 1
51 2 4
pt
p
，得
1
2
1
p
t
.
（2）设 1 1 2 2( , ), ,A x y B x y ，线段 AB 的中点坐标为 ( , )Q m m
由题意得，设直线 AB 的斜率为 k（k 0 ）.
由
2
1 1
2
2 2
2px
2px
y
y
，得 2 1 1 2 2 1( )( ) ( )y y y y k x x ，得 2 1k m
所以直线的方程为 1 ( )2y m x mm
，即 22 2 0x my m m .
由
2
2
2 2 0x my m m
y x
，整理得 2 22 2 0y my m m ，
所以 24 4m m ， 1 2 2y y m ， 2
1 2 2y y m m .从而得
2 2
1 22
11 1 4 4 4AB y y m m mk
，
设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则
2
2
1 2 2
1 4
m m
d
m
，设 ABP 的面积为 S，则 2 21 1 2( )2S AB d m m m m .
由 24 4 0m m ，得 0 1m .
令 2t m m ， 10 2t ，则 2(1 2 )S t t .
设 2(1 2 )S t t ， 10 2t ，则 21 6S t .
由 21 6 0S t ，得 6 10,6 2t
，所以 max
6
9S ，故 ABP 的面积的最大值为
6
9
.
62. 解 : 因 为 点 5 2( , )5 2P a a 在 椭 圆 上 , 故
2 2 2
2 2 2
515 2 8
a a a
a b b
, 于 是
2 2 2
2
2 2
31 8
a b be a a
,所以椭圆的离心率 6
4e
(2)设直线OQ 的斜率为 k ,则其方程为 y kx ,设点Q 的坐标为 0 0( , )x y
63. [解析](1)设 M 的坐标为(x,y),当 x=-1 时,直线 MA 的斜率不存在;当 x=1 时,直线 MB 的斜
率不存在.
于是 x≠1 且 x≠-1.此时,MA 的斜率为
1X
y ,MB 的斜率为
1x
y .
由题意,有
1X
y ·
1x
y =4
化简可得,4x2-y2-4=0
故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2-y2-4=0(x≠1 且 x≠-1)
(2)由
044 22 yx
mxy 消去 y,可得 3x2-2mx-m2-4=0. (﹡)
对于方程(﹡),其判别式 =(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0
而当 1 或-1 为方程(*)的根时,m 的值为-1 或 1.
结合题设(m>0)可知,m>0,且 m≠1
设 Q、R 的坐标分别为(XQ,YQ),(XR,YR),则为方程(*)的两根.
因为 PRPQ ,所以 XX RQ ,
3
32
,3
32 22
mXmX mm
PQ
所以
1312
21
1312
1312
2
2
2
m
m
X
X
m
PQ
PR
R
P .
此时 231,131 22
mm
且
所以
3
5
1312
21,3
1312
211
m22
且
m
所以
3
5,31
X
X
X
X
P
R
P
R
PQ
PR
PQ
PR 且
综上所述, ），（），的取值范围是（ 33
5
3
51
PQ
PR
[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算
能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性.
64. [解](1)双曲线 1: 2
2
1
2 yC x ,左焦点 )0,( 2
6F .
设 ),( yxM ,则 2
2
222
2
62 )3()(|| xyxMF ,
由 M 是右支上一点,知 2
2x ,所以 223|| 2
2 xMF ,得 2
6x .
所以 )2,( 2
6 M
(2)左顶点 )0,( 2
2A ,渐近线方程: xy 2 .
过 A 与渐近线 xy 2 平行的直线方程为: )(2 2
2 xy ,即 12 xy .
解方程组
12
2
xy
xy ,得
2
1
4
2
y
x
所求平行四边形的面积为 4
2|||| yOAS
(3)设直线 PQ 的方程是 bkxy .因直线与已知圆相切,故 11
||
2 k
b ,
即 122 kb (*).
由
12 22 yx
bkxy ,得 012)2( 222 bkbxxk .
设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则
2
2
2
2
1
21
2
2
21
k
b
k
kb
xx
xx .
))(( 2121 bkxbkxyy ,所以
2
2121
2
2121 )()1( bxxkbxxkyyxxOQOP
2
22
2
22
2
22
2
1
2
2
2
)1)(1(
k
kb
k
bk
k
bk
.
由(*)知 0OQOP ,所以 OP⊥OQ
65.
66. 解:(I)
2 2
2
3 3
2 4
c a be a a
①
矩形 ABCD 面积为 8,即 2 2 8a b ②
由①②解得: 2, 1a b ,∴椭圆 M 的标准方程是
2
2 14
x y .
(II)
2 2
2 24 4, 5 8 4 4 0
,
x y x mx m
y x m
,
设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ,则
2
1 2 1 2
8 4 4,5 5
mx x m x x ,
由 2 264 20(4 4) 0m m 得 5 5m .
2 2
28 4 4 4 2| | 2 4 55 5 5
mPQ m m
.
线段 CD 的方程为 )22(1 xy ,线段 AD 的方程为 )11(2 yx .
(1)不妨设点 S 在 AD 边上,T 在 CD 边上,可知 )1,2(),2,2(,51 DmSm .
所以 )3(2)]2(1[22 mmSDST ,则 2
2
)3(
5
5
4
m
m
ST
PQ
,
令 ]2,53(,3),51(3 ttmmmt ,则 )4
53,2
1[1
t
所以
4
5)4
31(45
4)3(5
5
4
2
2
tt
t
ST
PQ ,
当且仅当
3
4t 时
ST
PQ 取得最大值 2 55
,此时 5
3m ;
(2)不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 CD 边上,此时 11 m ,
因此 222 ADST ,此时 255
2 mST
PQ ,
当 0m 时
ST
PQ 取得最大值 2 55
;
(3)不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 BC 边上,可知 ,15 x
由椭圆和矩形的对称性可知当 5
3m 时
ST
PQ 取得最大值 2 55
;
综上所述当 5
3m 和 0 时, | |
| |
PQ
ST
取得最大值 2 55
.
67. 【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到
直线距离公式、线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力.
【解析】(1)由对称性知: BFD 是等腰直角 ,斜边 2BD p
点 A 到准线l 的距离 2d FA FB p ,所以圆 F 的半径为 p2 ,
又 22222
1
2
124 pppdBDS ABD ,所以 2p ,
进而圆心 1,0F ,所以圆 F 的方程为 2 2( 1) 8x y
(2)∵ FBA 、、 三点共线于 m ,所以 AB 为⊙ F 的直径,所以 090ADB ,由抛物
线 定 义 知 : ABAFAD 2
1 , 所 以 030ABD , 可 取 直 线 m 的 倾 斜 角 为
030ABD ,又直线 m 过焦点
2,0 pF ,所以直线 m 的方程为:
23
3 pxy ; m
的纵截距为
2
pbm
因直线 m ∥直线 n ,
所以可设直线 n 的方程为 bxy
3
3 ,联立
pyx
bxy
2
3
3
2
,消去 y 得:
(*)023
322 bppxx
已知直线 n 与抛物线 C 只有一个公共点,所以(*)的判别式等于 0,即有:
02143
32
2
bpp , 求得:
6
pb ;即直线 n 的纵截距为
6
pbn ,
所以:坐标原点到 m , n 距离的比为:
1
3
6
2 p
p
b
b
n
m
解法二:由对称性设
2
0
0 0( , )( 0)2
xA x xp
,则 (0, )2
pF
由点 ,A B 关于点 F 对称得:
2 2
2 20 0
0 0( , ) 32 2 2
x x pB x p p x pp p
得: 3( 3 , )2
pA p ,直线
3
32 2: 3 02 23
p p
p pm y x x y
p
2
2 3 32 2 3 3
x xx py y y x pp p
切点 3( , )3 6
p pP
直线 3 3 3: ( ) 3 06 3 3 6
p pn y x x y p
坐标原点到 ,m n 距离的比值为 3 3: 32 6
p p .
68. 【解析】(1) ( 2 ,1 )MA x y , (2 ,1 )MB x y , ( , )OM x y , (0,2)OA OB
代入式子可得 2 24 4(1 ) 2 2x y y 整理得 2 4x y
69. 【解析】(Ⅰ)由 2 2 4 2 0x y x ,得 2 2( 2) 2x y .故圆 C 的圆心为点
(2,0), 从而可设椭圆 E 的方程为
2 2
2 2 1( 0),x y a ba b
其焦距为 2c ,由题设知
2 2 212, , 2 4, 12.2
cc e a c b a ca
故椭圆 E 的方程为:
2 2
1.16 12
x y
( Ⅱ ) 设 点 p 的 坐 标 为 0 0( , )x y , 1 2,l l 的 斜 分 率 分 别 为 1 2, .k k 则 1 2,l l 的 方 程 分 别 为
1 0 1 0 2 0 2 0: ( ), : ( ),l y y k x x l y y k x x 且 1 2
1 .2k k 由 1l 与圆 2 2:( 2) 2c x y
相切,得
1 0 1 0
2
1
2 2
1
k y k x
k
,
即 2 2 2
0 1 0 0 2 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0.x k x y k y
同理可得 2 2 2
0 2 0 0 2 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0x k x y k y .
从而 1 2,k k 是方程 0 2 2
0 0 0 0(2 ) 2 2(2 ) 2 0x k x y k y 的两个实根,于是
2
0
2 2
0 0
(2 ) 2 0,
8 (2 ) 2 0,
x
x y
①
且
2
0
1 2 2
2
2 2.(2 ) 2
yk k x
由
2 2
0 0
2
0
2
0
1,16 12
2 1
(2 ) 2 2
x y
y
x
得 2
0 05 8 36 0.x x 解得 0 2,x 或 0
10.5x
由 0 2x 得 0 3;y 由 0
18
5x 得 0
57 ,5y 它们满足①式,故点 P 的坐标为
( 2,3) ,或 ( 2, 3) ,或 18 57( , )5 5
,或 18 57( , )5 5
.
【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思
想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出 , ,c a b 即得椭圆
E 的方程,第二问设出点 P 坐标,利用过 P 点的两条直线斜率之积为 1
2
,得出关于点 P 坐标
的一个方程,利用点 P 在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点 P 坐标.
70. 考点分析:本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理
解椭圆的标准方程及其几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有较
高要求.
解析:
(Ⅰ)如图 1,设 ( , )M x y , 0 0( , )A x y ,则由| | | | ( 0, 1)DM m DA m m 且 ,
可得 0x x , 0| | | |y m y ,所以 0x x , 0
1| | | |y ym
. ①
因为 A 点在单位圆上运动,所以 2 2
0 0 1x y . ②
将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为
2
2
2 1 ( 0, 1)yx m mm
且 .
因为 (0, 1) (1, )m ,所以
当 0 1m 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为 2( 1 , 0)m , 2( 1 , 0)m ;
当 1m 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为 2(0, 1)m , 2(0, 1)m .
(Ⅱ)解法 1:如图 2、3, 0k ,设 1 1( , )P x kx , 2 2( , )H x y ,则 1 1( , )Q x kx , 1(0, )N kx ,
直线 QN 的方程为 12y kx kx ,将其代入椭圆 C 的方程并整理可得
2 2 2 2 2 2 2
1 1( 4 ) 4 0m k x k x x k x m .
依题意可知此方程的两根为 1x , 2x ,于是由韦达定理可得
2
1
1 2 2 2
4
4
k xx x m k
,即
2
1
2 2 24
m xx m k
.
因为点 H 在直线 QN 上,所以
2
1
2 1 2 2 2
22 4
km xy kx kx m k
.
于是 1 1( 2 , 2 )PQ x kx ,
2 2
1 1
2 1 2 1 2 2 2 2
4 2( , ) ( , )4 4
k x km xPH x x y kx m k m k
.
而 PQ PH 等价于
2 2 2
1
2 2
4(2 ) 04
m k xPQ PH m k
,
即 22 0m ,又 0m ,得 2m ,
故存在 2m ,使得在其对应的椭圆
2
2 12
yx 上,对任意的 0k ,都有 PQ PH .
解法 2:如图 2、3, 1 (0, 1)x ,设 1 1( , )P x y , 2 2( , )H x y ,则 1 1( , )Q x y , 1(0, )N y ,
因为 P , H 两点在椭圆 C 上,所以
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2
2 2
,
,
m x y m
m x y m
两式相减可得
2 2 2 2 2
1 2 1 2( ) ( ) 0m x x y y . ③
依题意,由点 P 在第一象限可知,点 H 也在第一象限,且 P , H 不重合,
故 1 2 1 2( )( ) 0x x x x . 于是由③式可得
21 2 1 2
1 2 1 2
( )( )
( )( )
y y y y mx x x x
. ④
又Q , N , H 三点共线,所以 QN QHk k ,即 1 1 2
1 1 2
2y y y
x x x
.
于是由④式可得
2
1 1 2 1 2 1 2
1 1 2 1 2 1 2
( )( )1
2 ( )( ) 2PQ PH
y y y y y y y mk k x x x x x x x
.
而 PQ PH 等价于 1PQ PHk k ,即
2
12
m ,又 0m ,得 2m ,
故存在 2m ,使得在其对应的椭圆
2
2 12
yx 上,对任意的 0k ,都有 PQ PH .
【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思
想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨
论,不要漏解;对于探讨性问题一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需
要求解的条件,对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.
71. 解析:(Ⅰ)由左焦点 1 1,0F 可知 2 1c ,点 0,1P 在 1C 上,所以
2 2
2 2
0 1 1a b
,即 2 1b ,所
以 2 2 2 2a b c ,于是椭圆 1C 的方程为
2
2 12
x y .
(Ⅱ)显然直线l 的斜率存在,假设其方程为 y kx b .
联 立
2
2 12
x y
y kx b
, 消 去 y , 可 得 2 2 22 1 4 2 2 0k x kbx b , 由
2 2 24 4 2 1 2 2 0kb k b 可得 2 22 1 0k b ①.联立
2 4y x
y kx b
,消去 y ,可得
2 2 22 4 0k x kb x b , 由 2 2 22 4 4 0kb b k 可 得 1kb ② . 由 ① ② , 解 得
2
2
2
k
b
或
2
2
2
k
b
,所以直线方程为 2 22y x 或 2 22y x .
72. 【考点定位】 本题主要考察抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系
等基本指导,考查运用求解能力、推理论证能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊
与一般思想.
【解析】(1)依题意 8 3OB , 30BOY 设点 B(x,y),则 x=8 3 ·sin30 = 4 3
Y=8 3 · cos30 =12 ,∴B( 4 3 ,12)在抛物线上,∴ 2(4 3) =2p×12,∴p=2,
抛物线 E 的方程为 2X =4y
(2)设点 P( 0X , 0Y ), 0X ≠0. ∵Y= 21
4 X , ' 1
2Y x ,
切线方程:y- 0y = 0 0
1 ( )2 x x x ,即 y= 2
0 0
1 1
2 4x x x
由
2
0 0
1 1
2 4
1
y x x x
Y
2
0
0
x -4x= 2x
Y= 1
得 ∴Q( 2
0
0
x 4
2x
,-1)
设 M(0, 1y )∴
2
0
0 0 1 1
0
x 4(x y y = 1 y2xMP MQ ， ）， （ ， ）,∵ MP
· MQ
=0
2
0
0
x 4
2x
- 0y - 0 1y y + 1y + 2
1y =0,又 2
0 0 0
1y = x x 04
（ ）,∴联立解得 1y =1
故以 PQ 为直径的圆过 y 轴上的定点 M(0,1)
73. 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,
并在此基础上求解点到直线的距离.
解 :(1) 设 2
0 0( ,( 1) )A x x , 对 2( 1)y x x 求 导 得 2( 1)y x , 故 直 线 l 的 斜 率
02( 1)k x ,当 0 1x 时,不合题意,所心 0 1x
圆心为 1(1, )2M , MA 的斜率
2
0
0
1( 1) 2
1
x
k x
由l MA 知 1kk ,即
2
0
0
0
1( 1) 22( 1) 11
x
x x
,解得 0 0x ,故 (0,1)A
所以 2 21 5| | (1 0) ( 1)2 2r MA
(2)设 2( ,( 1) )a a 为C 上一点,则在该点处的切线方程为 2( 1) 2( 1)( )y a a x a 即
22( 1) 1y a x a
若 该 直 线 与 圆 M 相 切 , 则 圆 心 M 到 该 切 线 的 距 离 为 5
2
, 即
2
2 2
1| 2( 1) 1 1| 52
2[2( 1)] ( 1)
a a
a
,化简可得 2 2( 4 6) 0a a a
求解可得 0 1 20, 2 10, 2 10a a a
抛物线C 在点 2( ,( 1) )( 0,1,2)i ia a i 处的切线分别为 , ,l m n ,其方程分别为
2 1y x ① 2
1 12( 1) 1y a x a ② 2
2 22( 1) 1y a x a ③
②-③得 1 2 22
a ax ,将 2x 代入②得 1y ,故 (2, 1)D
所以 D 到直线l 的距离为
2 2
| 2 2 ( 1) 1| 6 5
52 ( 1)
d
.
【点评】该试题出题的角度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要
研究两曲线在公共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新处.
另外对于在第二问中更是难度加大了,出现了另外的两条公共的切线,这样的问题对于我
们以后的学习也是一个需要练习的方向.
74. 【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度确实不大,从形式到条件的设计都
是非常熟悉的,相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的.
解:(1)由题意得
2 2 2
2
2
2
a
c
a
a b c
解得 2b .所以椭圆 C 的方程为
2 2
14 2
x y .
(2)由 2 2
( 1)
14 2
y k x
x y
得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x k x k .
设 点 M,N 的 坐 标 分 别 为 1 1( , )x y , 2 2( , )x y , 则
1 1( 1)y k x , 2 2( 1)y k x ,
2
1 2 2
4
1 2
kx x k
,
2
1 2 2
2 4
1 2
kx x k
.
所 以
|MN|= 2 2
2 1 2 1( ) ( )x x y y = 2 2
1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]k x x x x =
2 2
2
2 (1 )(4 6 )
1 2
k k
k
.
由因为点 A(2,0)到直线 ( 1y k x ）的距离
2
| |
1 2
kd
k
,
所以△AMN 的面积为
2
2
1 | | 4 6| |2 1 2
k kS MN d k
. 由
2
2
| | 4 6 10
1 2 3
k k
k
,解得
1k .
75. 【解析】(I) 1 2
160 2 2
cF AF a c e a
(Ⅱ)设 2BF m ;则 1 2BF a m
在 1 2BF F 中, 2 2 2
1 2 1 2 2 1 22 cos120BF BF F F BF F F
2 2 2 3(2 ) 5a m m a am m a
1AF B 面 积
2 1
1 1 3 3sin60 ( ) 40 3 10, 5, 5 32 2 5 2S F F AB a a a a c b
76. 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点
间的距离公式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.以及数形结合的数学思
想方程,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.
解：（1）取 (0, )P b ， ( ,0), ( ,0)A a B a ；则 2 21( ) 22AP BP
b bk k a ba a
2 2
2
2
1 2
2 2
a be ea
（2）设 ( cos , sin )(0 2 )P a b ；则线段OP 的中点 ( cos , sin )2 2
a bQ
| |=| |AP OA 1AQAQ OP k k
sin sin cos 22 cosAQ AQ AQ
bk b ak aka a
2 2 2 2 32 1 33AQ AQ AQ AQak b a k a k k k
方法二:依题意,直线 OP 的方程为 y kx ,可设点 0 0( , )P x kx ,由点 P 在椭圆上,有
2 2 2
0 0
2 2 1x k x
a b
,因为 00, 0a b kx ,所以
2 2 2
0 0
2 2 1x k x
a b
即 2 2 2
0(1 )k x a ③
由 | | | |, ( ,0)AP OA A a ,得 2 2 2 2
0 0( )x a k x a 整理得 2 2
0 0(1 ) 2 0k x ax ,于是
0 2
2
1
ax k
,代入③得
2
2 2 2
2
4(1 ) 3 | | 31
ak a k kk
.
77. 【解析】(1)由对称性知: BFD 是等腰直角 ,斜边 2BD p
点 A 到准线l 的距离 2d FA FB p
14 2 4 2 22ABDS BD d p
圆 F 的方程为 2 2( 1) 8x y
(2)由对称性设
2
0
0 0( , )( 0)2
xA x xp
,则 (0, )2
pF
点 ,A B 关于点 F 对称得:
2 2
2 20 0
0 0( , ) 32 2 2
x x pB x p p x pp p
得: 3( 3 , )2
pA p ,直线
3
32 2: 3 02 23
p p
p pm y x x y
p
2
2 3 32 2 3 3
x xx py y y x pp p
切点 3( , )3 6
p pP
直线 3 3 3: ( ) 3 06 3 3 6
p pn y x x y p
坐标原点到 ,m n 距离的比值为 3 3: 32 6
p p .
78. 【解析】
(Ⅰ)由题: 1
2
ce a
; (1)
左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: 2 2(2 ) 1d c 10 . (2)
由(1) (2)可解得: 2 2 24 3 1a b c ， ， .
∴所求椭圆 C 的方程为:
2 2
+ 14 3
x y .
(Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= 1
2
x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= 1
2
x0.
∵A,B 在椭圆上,
∴
2 2
0
2 2
0
+ 1 23 3 34 3
4 4 2 2+ 14 3
A A
A B A B
AB
A B A BB B
x y
xy y x xk x x y y yx y
.
设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ 3
2 x m (m≠0),
代入椭圆:
2 2
2 2
+ 14 3 3 3 3 0
3
2
x y
x mx m
y x m
＝-
.
显然 2 2 2(3 ) 4 3( 3) 3(12 ) 0m m m .
∴﹣ 12 0, 0y .
当∠MBA=90°时,点 M 的坐标为(2,, ±3)
当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
有 tan∠MBA=
MAB
MAB
2tan1
tan2 ,即 2)1
||(1
1
||2
2
||
x
y
x
y
x
y
化简得:3x2-y2-3=0,而又经过(2,,±3)
综上可知,轨迹 C 的方程为 3x2-y2-3=0(x>1)
(II)由方程
033
2
22 yx
mxy 消去 y,可得 034 22 mmxx .(*)
由题意,方程(*)有两根且均在(1,+ )内,设 34)( 22 mmxxxf
所以
0)3(4)4(
0341)1(
12
4
22
22
mm
mmf
m
解得,m>1,且 m 2
设 Q、R 的坐标分别为 ),(),,( 00 RR yxyx ,由 PRPQ 有
)1(32,)1(32 2
0
2 mmxmmxR
所以
)11(32
41
)11(32
)11(32
)1(32
)1(32
22
2
2
2
mm
m
mm
mm
x
x
PQ
PR
Q
R
由 m>1,且 m 2,有
.7
m
1132
41,347
)11(32
411
22
）（
且
m
所以
PQ
PR 的取值范围是 )347,7(7,1
[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算
能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性.
81. [解](1)双曲线 1: 2
1 2
1
2 yC x ,左顶点 )0,( 2
2A ,渐近线方程: xy 2 .
过点 A 与渐近线 xy 2 平行的直线方程为 )(2 2
2 xy ,即 12 xy .
解方程组
12
2
xy
xy ,得
2
1
4
2
y
x
所以所求三角形的面积 1 为 8
2
2
1 |||| yOAS
(2)设直线 PQ 的方程是 bxy .因直线与已知圆相切,
故 12
|| b ,即 22 b
由
12 22 yx
bxy ,得 012 22 bbxx .
设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则
1
2
2
21
21
bxx
bxx .
又 ))(( 2121 bxbxyy ,所以
2
21212121 )(2 bxxbxxyyxxOQOP
022)1(2 222 bbbbb ,
故 OP⊥OQ
(3)当直线 ON 垂直于 x 轴时,
|ON|=1,|OM|= 2
2 ,则 O 到直线 MN 的距离为 3
3 .
当直线 ON 不垂直于 x 轴时,
设直线 ON 的方程为 kxy (显然 2
2|| k ),则直线 OM 的方程为 xy k
1 .
由
14 22 yx
kxy ,得
2
2
2
4
2
4
12
k
k
k
y
x ,所以 2
2
4
12|| k
kON
.
同理
12
12
2
2
||
k
kOM
设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为 22222 ||||)|||(| ONOMdONOM ,
所以 31
33
||
1
||
11
2
2
222
k
k
ONOMd
,即 d= 3
3 .
综上,O 到直线 MN 的距离是定值
82. 解 (1) 双 曲 线 1C 的 焦 点 坐 标 为 ( 5,0),( 5,0) , 设 双 曲 线 2C 的 标 准 方 程 为
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
, 则
2 2
2
2
2 2
5 4
16 3 1 1
a b a
ba b
, 所 以 双 曲 线 2C 的 标 准 方 程 为
2
2 14
x y .
(2)双曲线 1C 的渐近线方程为 2y x ,设 1 1 2 2( ,2 ), ( , 2 )A x x B x x
由
2
2
2 204 3 2 0
yx
x mx m
y x m
,由 216 0 0m m
又因为
2
1 2 3
mx x ,而 1 2 1 2 1 22 ( 2 ) 3OA OB x x x x x x
所以 2 3 3m m .
83.解析:(1)由已知可设椭圆 2C 的方程为
2 2
2 1 ( 2)4
y x aa
其离心率为 3
2
,故
2 4 3
2
a
a
,则 4a
故椭圆的方程为
2 2
116 4
y x
(2)解法一 ,A B 两点的坐标分别记为 ( , ), ( , )A A B Bx y x y
由 2OB OA 及(1)知, , ,O A B 三点共线且点 A , B 不在 y 轴上,
因此可以设直线 AB 的方程为 y kx
将 y kx 代入
2
2 14
x y 中,得 2 2(1 4 ) 4k x ,所以 2
2
4
1 4Ax k
将 y kx 代入
2 2
116 4
y x 中,则 2 2(4 ) 16k x ,所以 2
2
16
4Bx k
由 2OB OA ,得 2 24B Ax x ,即 2 2
16 16
4 1 4k k
解得 1k ,故直线 AB 的方程为 y x 或 y x
解法二 ,A B 两点的坐标分别记为 ( , ), ( , )A A B Bx y x y
由 2OB OA 及(1)知, , ,O A B 三点共线且点 A , B 不在 y 轴上,
因此可以设直线 AB 的方程为 y kx
将 y kx 代入
2
2 14
x y 中,得 2 2(1 4 ) 4k x ,所以 2
2
4
1 4Ax k
由 2OB OA ,得 2
2
16
4Bx k
,
2
2
2
16
1 4B
ky k
将 2 2,B Bx y 代入
2 2
116 4
y x 中,得
2
2
4 11 4
k
k
,即 2 24 1 4k k
解得 1k ,故直线 AB 的方程为 y x 或 y x .
84.解析:(Ⅰ)F 抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点 F )2,0( p ,设 M )0)(2,( 0
2
0
0 xp
xx , ),( baQ ,由题意
可知
4
pb ,则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 ppppb 4
3
242
3
4
,解得 1p ,
于是抛物线 C 的方程为 yx 22 .
(Ⅱ)假设存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M,
而 )2,(),0,0(),2
1,0(
2
0
0
xxMOF , )4
1,(aQ , QFOQMQ ,
16
1)4
1
2()( 22
2
02
0 axax , 0
3
0
8
3
8 xxa ,
由 yx 22 可得 xy ,
0
3
0
2
0
0
8
5
8
24
1
xx
x
xk
,则 2
0
2
0
4
0 2
1
4
1
8
5
8
1 xxx ,
即 022
0
4
0 xx ,而 00 x ,解得 20 x ,点 M 的坐标为 )1,2( .
(Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,则点 M )1,2( , )4
1,8
25(Q .
由
4
1
22
kxy
yx
可得 02
122 kxx , 024 2 k .设 ),(),,( 2211 yxByxA ,
]4))[(1( 21
2
21
22 xxxxkAB )24)(1( 22 kk
圆
32
27
16
1
64
50)4
1()8
25(: 22 yxQ ,
22 18
25
1
8
25
k
k
k
k
D
)1(8
227]
)1(32
25
32
27[4 2
2
2
2
2
k
k
k
kDE
,
于是
)1(8
227)24)(1( 2
2
2222
k
kkkDEAB
,令 ]5,4
5[1 2 tk
4
1
8
25248
252)24(
)1(8
227)24)(1( 2
2
2
2222
tttt
ttt
k
kkkDEAB
,设
4
1
8
2524)( 2
ttttg , 28
2528)(
t
ttg ,
当 ]5,4
5[t 时, 0
8
2528)( 2
t
ttg ,
即当
2
1,4
5 kt 时
2
164
1
4
58
25
4
5216
254)( min
tg .
故当
2
1k 时,
2
16)( min
22 DEAB .
85. 【答案及解析】
【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查
转化与化归能力、运算求解能力，是难题.
【解析】设 1 1 1 1, , ,-A x y B x y ，又知 1 2- ,0 , ,0A a A a ，则
直线 1A A 的方程为 1
1
= ++
yy x ax a
①
直线 2A B 的方程为 1
1
-= --
yy x ax a
②
由①②得 2
2 2 21
2 2
1
-= --
yy x ax a
③
由点 1 1,A x y 在椭圆 0C 上，故可得
2 2
1 1
2 2+ =1x y
a b
，从而有
2
2 2 1
1 2= 1- xy b a
，代入③得
2 2
2 2- =1 <- , <0x y x a ya b
……6 分
（2）证明：设 2 2' ,A x y ，由矩形 ABCD 与矩形 ' ' ' 'ABC D 的面积相等，得
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 24 =4 , =x y x y x y x y ， 因 为 点 , 'A A 均 在 椭 圆 上 ， 所 以
2 2
2 2 2 21 2
1 22 21- = 1-x xb x b xa a
由 1 2t t ，知 1 2x x ，所以 2 2 2
1 2+ =x x a 。从而 2 2 2
1 2+ =y y b ，因而 2 2 2 2
1 2+ = +t t a b 为定值…12
分
【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、
直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用.本题考查综合性较强,运算量较大.
在求解点 M 的轨迹方程时,要注意首先写出直线 1AA 和直线 BA2 的方程,然后求解.属于
中档题,难度适中.
86. 【解析】
解:(1)依题意可得 ( 2 ,1 ), (2 ,1 )MA x y MB x y ,
2 2| | ( 2 ) (2 2 ) , ( ) ( , ) (0,2) 2MA MB x y OM OA OB x y y ,
由已知得 2 2( 2 ) (2 2 ) 2 2x y y ,化简得曲线 C 的方程: 2 4x y
(2)假设存在点 P(0,t)(t<0)满足条件,则直线 PA 的方程是 1
2
ty x t ,直线 PB 的方程
是 1
2
ty x t ,曲线 C 在点 Q 处的切线 l 的方程为
2
0 0 ,2 4
x xy x 它与 y 轴的交点为
2
0(0, )4
xF ,由于 02 2x ,因此 01 12
x
①当 1 0t 时, 1 11 2 2
t ,存在 0 ( 2,2)x ,使得 0 1
2 2
x t ,即 l 与直线 PA 平
行,故当 1 0t 时不符合题意
②当 1t 时, 0 01 11 , 12 2 2 2
x xt t ,所以 l 与直线 PA,PB 一定相交,分别联立方
程组 2 2
0 0 0 0
1 1
2 2,
2 4 2 4
t ty x t y x t
x x x xy x y x
,
解得 D,E 的横坐标分别是
2 2
0 0
0 0
4 4,2( 1 ) 2( 1)D E
x t x tx xx t x t
则
2
0
2 2
0
4(1 ) ( 1)E D
x tx x t x t
,又
2
0| | 4
xFP t ,
有
2 2
0
2 2
0
( 4 )1 1| | | |2 8 ( 1)PDE E D
x ttS FP x x t x
,又
2 2
0 041 4 (1 )2 4 2QAB
x xS
于是
2 2 2 4 2 2 2
0 0 0 0
2 2 4 2 2
0 0 0
( 4)[ ( 1) ] [4 ( 1) ] 4( 1)4 4
1 ( 4 ) 1 8 16
QAB
PDE
S x x t x t x t
S t x t t x tx t
对 任 意 0 ( 2,2)x , 要 使 △QAB 与 △PDE 的 面 积 之 比 是 常 数 , 只 需 t 满 足
2
2 2
4 ( 1) 8
4( 1) 16
t t
t t
,
解得 t=-1,此时△QAB 与△PDE 的面积之比为 2,故存在 t=-1,使△QAB 与△PDE 的面积之比
是常数 2.
【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类
讨论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准
方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探
讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申
出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综
合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内
容.
87. 【答案】解:(1)由题设知, 2 2 2= = ca b c e a
， ,由点 (1 )e， 在椭圆上,得
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 11 =1 = = =1e c b c a b a a b b
a b a a b
,∴ 2 2= 1c a .
由点 3
2e
， 在椭圆上,得
2 2
2 2 2
4 2 2
2 2 4 4
3 3
2 2 1 31 1 1 4 4=0 =21 4
e c a a a a
a b a a
∴椭圆的方程为
2
2 12
x y .
(2)由(1)得 1( 1 0)F ， , 2 (1 0)F ， ,又∵ 1AF ∥ 2BF ,
∴设 1AF 、 2BF 的方程分别为 = 1 = 1my x my x ， , 1 1 2 2 1 20 0A x y B x y y > y >， ， ， ， ， .
∴
2
221 2 21
1 1 1 2
1 1
2 21 2 2 1=0 =2 2= 1
x m my m y my y
mmy x
.
∴ 2 22
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 2
2 1 12 2= 1 0 = = 1 2 2
m m mm mAF x y my y m m m
.①
同理, 2 2
2 2
2 1 1
= 2
m m m
BF m
.②
(i)由①②得,
2
1 2 2
2 1
2
m mAF BF m
.解
2
2
2 1 6=2 2
m m
m
得 2m =2.
∵注意到 0m > ,∴ = 2m .
∴直线 1AF 的斜率为 1 2= 2m
.
(ii)证明:∵ 1AF ∥ 2BF ,∴ 2
1 1
BFPB
PF AF
,即 2 1 2 1
1 1 1 1
1 1BF PB PF BF AFPB
PF AF PF AF
.
∴ 1
1 1
1 2
= AFPF BFAF BF
.
由点 B 在椭圆上知, 1 2 2 2BF BF ,∴ 1
1 2
1 2
= 2 2AFPF BFAF BF
.
同理. 2
2 1
1 2
= 2 2BFPF AFAF BF
.
∴ 1 2 2
1 2 2 1
1 2 1 2 1 2
2+ = 2 2 2 2 2 2AF BF AF BFPF PF BF AFAF BF AF BF AF BF
由①②得, 2
1 2
2 2 1
=
2
m
AF BF
m
,
2
2
1=
2
mAF BF
m
,
∴ 1 2
2 3+ =2 2 = 22 2PF PF .
∴ 1 2PF PF 是定值.
【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式.
【解析】(1)根据椭圆的性质和已知 (1 )e， 和 3
2e
， 都在椭圆上列式求解.
(2)根据已知条件 1 2
6
2AF BF ,用待定系数法求解.
88. 【解析】(Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ( , )x y ,由已知得
2 22 ( 5) 3x x y ,
易知圆 2C 上的点位于直线 2x 的右侧.于是 2 0x ,所以
2 2( 5) 5x y x .
化简得曲线 1C 的方程为 2 20y x .
解法 2 :由题设知,曲线 1C 上任意一点 M 到圆心 2C (5,0) 的距离等于它到直线 5x 的距
离,因此,曲线 1C 是以 (5,0) 为焦点,直线 5x 为准线的抛物线,故其方程为 2 20y x .
(Ⅱ)当点 P 在直线 4x 上运动时,P 的坐标为 0( 4, )y ,又 0 3y ,则过 P 且与圆
2C 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为
0 ( 4),y y k x 0即kx-y+y +4k=0 .于是
0
2
5 4 3.
1
k y k
k
整理得
2 2
0 072 18 9 0.k y k y ①
设过 P 所作的两条切线 ,PA PC 的斜率分别为 1 2,k k ,则 1 2,k k 是方程①的两个实根,故
0 0
1 2
18 .72 4
y yk k ②
由 1 0 1
2
4 0,
20 ,
k x y y k
y x
得 2
1 0 120 20( 4 ) 0.k y y y k ③
设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 1 2 3 4, , ,y y y y ,则是方程③的两个实根,所以
0 1
1 2
1
20( 4 ) .y ky y k
④
同理可得
0 2
3 4
2
20( 4 ) .y ky y k
⑤
于是由②,④,⑤三式得
0 1 0 2
1 2 3 4
1 2
400( 4 )( 4 )y k y ky y y y k k
2
0 1 2 0 1 2
1 2
400 4( ) 16y k k y k k
k k
2 2
0 0 1 2
1 2
400 16
6400
y y k k
k k
.
所以,当 P 在直线 4x 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6400.
【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思
想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问
设出切线方程,把直线与曲线方程联立,由一元二次方程根与系数的关系得到 , , ,A B C D
四点纵坐标之积为定值,体现“设而不求”思想.
89.考点分析:本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理解
椭圆的标准方程及其几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有较高
要求.
解析:
(Ⅰ)如图 1,设 ( , )M x y , 0 0( , )A x y ,则由| | | | ( 0, 1)DM m DA m m 且 ,
可得 0x x , 0| | | |y m y ,所以 0x x , 0
1| | | |y ym
. ①
因为 A 点在单位圆上运动,所以 2 2
0 0 1x y . ②
将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为
2
2
2 1 ( 0, 1)yx m mm
且 .
因为 (0, 1) (1, )m ,所以
当 0 1m 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为 2( 1 , 0)m , 2( 1 , 0)m ;
当 1m 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为 2(0, 1)m , 2(0, 1)m .
(Ⅱ)解法 1:如图 2、3, 0k ,设 1 1( , )P x kx , 2 2( , )H x y ,则 1 1( , )Q x kx , 1(0, )N kx ,
直线 QN 的方程为 12y kx kx ,将其代入椭圆 C 的方程并整理可得
2 2 2 2 2 2 2
1 1( 4 ) 4 0m k x k x x k x m .
依题意可知此方程的两根为 1x , 2x ,于是由韦达定理可得
2
1
1 2 2 2
4
4
k xx x m k
,即
2
1
2 2 24
m xx m k
.
因为点 H 在直线 QN 上,所以
2
1
2 1 2 2 2
22 4
km xy kx kx m k
.
于是 1 1( 2 , 2 )PQ x kx ,
2 2
1 1
2 1 2 1 2 2 2 2
4 2( , ) ( , )4 4
k x km xPH x x y kx m k m k
.
而 PQ PH 等价于
2 2 2
1
2 2
4(2 ) 04
m k xPQ PH m k
,
即 22 0m ,又 0m ,得 2m ,
故存在 2m ,使得在其对应的椭圆
2
2 12
yx 上,对任意的 0k ,都有 PQ PH .
解法 2:如图 2、3, 1 (0, 1)x ,设 1 1( , )P x y , 2 2( , )H x y ,则 1 1( , )Q x y , 1(0, )N y ,
因为 P , H 两点在椭圆 C 上,所以
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2
2 2
,
,
m x y m
m x y m
两式相减可得
2 2 2 2 2
1 2 1 2( ) ( ) 0m x x y y . ③
依题意,由点 P 在第一象限可知,点 H 也在第一象限,且 P , H 不重合,
故 1 2 1 2( )( ) 0x x x x . 于是由③式可得
21 2 1 2
1 2 1 2
( )( )
( )( )
y y y y mx x x x
. ④
又Q , N , H 三点共线,所以 QN QHk k ,即 1 1 2
1 1 2
2y y y
x x x
.
于是由④式可得
2
1 1 2 1 2 1 2
1 1 2 1 2 1 2
( )( )1
2 ( )( ) 2PQ PH
y y y y y y y mk k x x x x x x x
.
而 PQ PH 等价于 1PQ PHk k ,即
2
12
m ,又 0m ,得 2m ,
故存在 2m ,使得在其对应的椭圆
2
2 12
yx 上,对任意的 0k ,都有 PQ PH
90.解析:(Ⅰ)因为 2
3e ,所以
2
2
2
3
c
a
,于是 2 23a b .设椭圆 C 上任一点 ,P x y ,则
2
2 2 22 2 2 2
22 1 2 2 4 4 3yPQ x y a y y y bb
( b y b ).
当 0 1b 时, 2PQ 在 y b 时取到最大值,且最大值为 2 4 4b b ,由 2 4 4 9b b 解
得 1b ,与假设 0 1b 不符合,舍去.
P
O x
y
N
Q
图 2 (0 1)m
H P
O x
y
N
Q
图 3 ( 1)m
H
图 1
O D x
y
A
M
当 1b 时, 2PQ 在 1y 时取到最大值,且最大值为 23 6b ,由 23 6 9b 解得 2 1b .于
是 2 3a ,椭圆 C 的方程是
2
2 13
x y .
(Ⅱ)圆心到直线 l 的距离为
2 2
1d
m n
,弦长 22 1AB d ,所以 OAB 的面积为
21 12S AB d d d ,于是
2
2 2 2 2 1 11 2 4S d d d
.而 ,M m n 是椭圆上的
点,所以
2
2 13
m n ,即 2 23 3m n ,于是 2
2 2 2
1 1
3 2d m n n
,而 1 1n ,所以
20 1n , 21 3 2 3n ,所以 21 13 d ,于是当 2 1
2d 时, 2S 取到最大值 1
4
,此时 S 取
到最大值 1
2
,此时 2 1
2n , 2 3
2m .
综上所述,椭圆上存在四个点 6 2,2 2
、 6 2,2 2
、 6 2,2 2
、 6 2,2 2
,
使得直线与圆相交于不同的两点 A、 B ,且 OAB 的面积最大,且最大值为 1
2
.
点评:此题与 2012 年南海区高三 8 月摸底考试的试题相似度极高.
(2012 年南海区高三 8 月摸底考试)已知椭圆C 的两焦点为 1 1,0F 、 2 1,0F ,并且经过
点 31, 2M
.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)已知圆 O : 2 2 1x y ,直线 l : 1mx ny ,证明:当点 ,P m n 在椭圆 C 上运动时,直
线l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围.
91. 【考点定位】本题考查椭圆的性质、圆的性质、直线与圆的位置关系、平面向量等基础
知识,考查运算求解能力、推理论证能力、考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与
方程的思想、特殊与一般的思想.
【解析】因为 2 2| | | | | | 8AB AF BF ,即 1 1 2 2| | | | | | | | 8AF F B AF BF
而 1 2 1 2| | | | | | | | 2AF AF FB BF a , 所 以 4 8 2a a , 而
2 2 21 1 1 32 2
ce c a b a ca
所求椭圆方程为
2 2
14 3
x y
(2)由 2 2 2
2 2 (4 3) 8 4 12 0
14 3
y kx m
k x kmx mx y
2 2 2 2 2 264 4(4 3)(4 12) 0 4 3 0k m k m k m
0 02
4 4 3,4 3
km kx yk m m
, 4 3( , )kP m m
,由 (4,4 )
4
y kx m
Q k m
x
设存在 1( ,0)M x ,则由 0MP MQ 可得 21
1 1
416 124 3 0kxk kx xm m m
2
1 1 1(4 4) 4 3 0kx x xm
,由于对任意 ,m k 恒成立,所以联立解得 1 1x .
故存在定点 (1,0)M ,符合题意.
92. 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,
并在此基础上求解点到直线的距离.
解 :(1) 设 2
0 0( ,( 1) )A x x , 对 2( 1)y x x 求 导 得 2( 1)y x , 故 直 线 l 的 斜 率
02( 1)k x ,当 0 1x 时,不合题意,所心 0 1x
圆心为 1(1, )2M , MA 的斜率
2
0
0
1( 1) 2
1
x
k x
由l MA 知 1kk ,即
2
0
0
0
1( 1) 22( 1) 11
x
x x
,解得 0 0x ,故 (0,1)A
所以 2 21 5| | (1 0) ( 1)2 2r MA
(2)设 2( ,( 1) )a a 为 C 上一点,则在该点处的切线方程为 2( 1) 2( 1)( )y a a x a 即
22( 1) 1y a x a
若 该 直 线 与 圆 M 相 切 , 则 圆 心 M 到 该 切 线 的 距 离 为 5
2
, 即
2
2 2
1| 2( 1) 1 1| 52
2[2( 1)] ( 1)
a a
a
,化简可得 2 2( 4 6) 0a a a
求解可得 0 1 20, 2 10, 2 10a a a
M
抛物线C 在点 2( ,( 1) )( 0,1,2)i ia a i 处的切线分别为 , ,l m n ,其方程分别为
2 1y x ① 2
1 12( 1) 1y a x a ② 2
2 22( 1) 1y a x a ③
②-③得 1 2 22
a ax ,将 2x 代入②得 1y ,故 (2, 1)D
所以 D 到直线l 的距离为
2 2
| 2 2 ( 1) 1| 6 5
52 ( 1)
d
.
法二:(Ⅰ)设 0 0( , ),A x y 对于抛物线C 的切线方程为 0
0( 1)( 1)2
y y x x ①;
对于圆 M 的切线方程为 2
0 0 1 1( 1)( 1) ( )( )2 2x x y y r ②.
因为①②是共点公切线, 0
0
0
12( 1) 1
2
xx
y
(斜率相等),结合 2
0 0( 1)y x .解之得 (0,1)A .
代入②得 5
2r .
(Ⅱ)数形结合知,抛物线 C 与圆 M 应有三条公切线(如图).
由(Ⅰ)知,公切线 l 方程为: 2 1 0x y .
今设另两公切线 ,m n 与抛物线 C 切于点 2( ,( 1) ) ( 0, 1,2)i i iB x x x i ,
则切线方程为
2
2( 1) ( 1)( 1) 2( 1) 1 02
i
i i i
y x x x x x y x 即 .
又直线 ,m n 与 M 相切应有
2
2
1|2( 1) 1 1| 52
24( 1) 1
i i
i
x x
x
, 0ix Q 整理得 2 4 6 0i ix x
记 2
1 1:2( 1) 1 0m x x y x , 2
2 2:2( 1) 1 0n x x y x .则 1 2 4x x
联立 m n与 的方程得 (2, 1)D .故 (2, 1)D 到l 的距离为 |2 2 ( 1) 1| 6 5
55d .
【点评】该试题出题的角度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要
研究两曲线在公共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新处.
另外对于在第二问中更是难度加大了,出现了另外的两条公共的切线,这样的问题对于我
们以后的学习也是一个需要练习的方向.
93. 【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度不太大,从形式到条件的设计都具
有一般性,相信平时对曲线的复习程度不错的学生做起来应该是得心应手.
解 :(1) 原 曲 线 方 程 可 化 简 得 :
2 2
18 8
5 2
x y
m m
, 由 题 意 可 得 :
8 8
5 2
8 05
8 02
m m
m
m
, 解
得: 7 52 m
(2) 由 已 知 直 线 代 入 椭 圆 方 程 化 简 得 : 2 2(2 1) 16 24 0k x kx , 2=32(2 3)k , 解
得: 2 3
2k
由韦达定理得: 2
16
2 1M N
kx x k
①, 2
24
2 1M Nx x k
,②
设 ( , 4)N NN x k x , ( , 4)M MM x kx , ( 1)GG x ，
MB 方程为: 6 2M
M
kxy xx
,则 3 16
M
M
xG kx
， ,
3 16
M
M
xAG x k
， , 2N NAN x x k ， ,
欲证 A G N， ， 三点共线,只需证 AG
, AN
共线
即 3 ( 2)6
M
N N
M
x x k xx k
成立,化简得: (3 ) 6( )M N M Nk k x x x x
将①②代入易知等式成立,则 A G N， ， 三点共线得证.
94. 【解析】(I)点 1 1( , )( 0)P c y y 代入
2 2
2 2 1x y
a b
得:
2
1
by a
2
1 2
0 4 0 14
b
aPF QF c c c
①
又
2
4a
c
② 2 2 2 ( , , 0)c a b a b c ③
由①②③得: 2, 1, 3a c b 既椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y
(II)设
2
2( , )aQ yc
;则
2
2
1 2 22
0 0 1 2
b
yaPF QF y aac c cc
得:
2
2
2
PQ
ba cak a acc
2
2 2 2 22 2
2 2 2 2
2 2
2
1
b xx y b ay b x ya b a bb xa
过点 P 与椭圆C 相切的直线斜率 x c PQ
ck y ka
得:直线 PQ 与椭圆C 只有一个交点.
2011 年高考题
一、选择题
1.（重庆理 8）在圆 06222 yxyx 内，过点 E（0，1）的最长弦和最短弦分别是 AC
和 BD，则四边形 ABCD 的面积为
A． 25 B． 210 C．15 2 D． 220
【答案】B
2.（浙江理 8）已知椭圆
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
＞ ＞
与双曲线
2
2
1 : 14
yC x
有公共的焦点， 1C
的一条渐近线与以 1C 的长轴为直径的圆相交于 ,A B 两点，若 1C 恰好将线段 AB 三等分，则
A．
2 13
2a
B． 2 13a C．
2 1
2b
D． 2 2b
【答案】C
3.（四川理 10）在抛物线
2 5( 0)y x ax a ≠ 上取横坐标为 1 4x ， 2
2x
的两点，过
这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆
2 25 5 36x y 相切，则抛
物线顶点的坐标为
A． ( 2, 9) B． (0, 5) C． (2, 9) D． (1, 6)
【答案】C
【解析】由已知的割线的坐标 ( 4,11 4 ),(2,2 1), 2a a K a ,设直线方程为
( 2)y a x b ，则
2
2
36
5 1 (2 )
b
a
又
2 5 6 4 ( 2, 9)
( 2)
y x ax b a
y a x b
4.（陕西理 2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为 2x ，则抛物线的方程是
A．
2 8y x B．
2 8y x C．
2 4y x D．
2 4y x
【答案】B
5.（山东理 8）已知双曲线
2 2
2 2 1( 0 b 0)x y aa b
＞ ， ＞
的两条渐近线均和圆
C:
2 2 6 5 0x y x 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为
A．
2 2
15 4
x y
B．
2 2
14 5
x y
C．
2 2
13 6
x y
D．
2 2
16 3
x y
【答案】A
6.（全国新课标理 7）已知直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于
A，B 两点，| |AB 为 C 的实轴长的 2 倍，C 的离心率为
（A） 2 （B） 3 （C） 2 （D） 3
【答案】B
7.（全国大纲理 10）已知抛物线 C：
2 4y x 的焦点为 F，直线 2 4y x 与 C 交于 A，B 两点．则
cos AFB =
A．
4
5 B．
3
5 C．
3
5
D．
4
5
【答案】D
8.（江西理 9）若曲线 1C ：
2 2 2 0x y x 与曲线 2C ： ( ) 0y y mx m 有四个不同的交
点，则实数 m 的取值范围是
A．（
3
3
，
3
3 ） B．（
3
3
，0）∪（0，
3
3 ）
C．[
3
3
，
3
3 ] D．（ ，
3
3
）∪（
3
3 ，+ ）
【答案】B
9.（湖南理 5）设双曲线
2 2
2 1 09
x y aa
的渐近线方程为3 2 0x y ，则 a 的值为
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
10.（湖北理 4）将两个顶点在抛物线
2 2 ( 0)y px p 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三
角形个数记为 n，则
A．n=0 B．n=1 C． n=2 D．n 3
【答案】C
11.（福建理 7）设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 r 上存在点 P 满足
1 1 2 2: :PF F F PF =4:3:2，则曲线 r 的离心率等于
A．
1 3
2 2
或
B．
2
3 或 2 C．
1
2
或
2 D．
2 3
3 2
或
【答案】A
12.（北京理 8）设 0,0A , 4,0B ， 4,4C t , ,4D t t R .记 N t 为平行四边形 ABCD
内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 N t 的值
域为
A． 9,10,11 B． 9,10,12
C． 9,11,12 D． 10,11,12
【答案】C
13.（安徽理 2）双曲线 82 22 yx 的实轴长是
（A）2 （B） 2 2 （C） 4 （D）4 2
【答案】C
14.（辽宁理 3）已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点， =3AF BF ，
则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为
（A）
3
4 （B）1 （C）
5
4 （D）
7
4
【答案】C
15.在极坐标系中，点
( , ) 到圆 2cos 的圆心的距离为
（A）2 (B)
2
4 9
(C)
2
1 9
（D) 3
答案 D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距
离.
【解析】极坐标
( , ) 化为直角坐标为
(2cos ,2sin )3 3
，即 (1, 3) .圆的极坐标方程
2cos 可化为
2 2 cos ，化为直角坐标方程为
2 2 2x y x ，
即
2 2( 1) 1x y ，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式
2 2(1 1) ( 3 0) 3d .故选 D.
二、填空题
15.（湖北理 14）如图，直角坐标系 xOy 所在的平面为 ，直角坐标系
' 'x Oy （其中
'y 轴一与
y 轴重合）所在的平面为 ， ' 45xOx 。
（Ⅰ）已知平面 内有一点
' (2 2,2)P ，则点 'P 在平面 内的射影 P 的
坐标为 ；
（Ⅱ）已知平面 内的曲线 'C 的方程是
' 2 '2( 2) 2 2 0x y ，则曲线 'C 在平面 内的
射影 C 的方程是 。
【答案】（2，2）
2 2( 1) 1x y
16.（浙江理 17）设 1 2,F F 分别为椭圆
2
2 13
x y
的左、右焦点，点 ,A B 在椭圆上，若
1 25F A F B
;则点 A 的坐标是 ．
【答案】 (0, 1)
17.（上海理 3）设 m 为常数，若点 (0,5)F 是双曲线
2 2
19
y x
m
的一个焦点，则
m 。
【答案】16
18.（江西理 14）若椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
的焦点在 x 轴上，过点（1，
1
2 ）作圆
2 2+ =1x y 的切线，
切点分别为 A,B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
【答案】
2 2
15 4
x y
19.（北京理 14）曲线 C 是平面内与两个定点 F1（-1，0）和 F¬2（1，0）的距离的积等于常
数 )1(2 aa 的点的轨迹.给出下列三个结论：
① 曲线 C 过坐标原点；
② 曲线 C 关于坐标原点对称；
③若点 P 在曲线 C 上，则△F 1 PF 2 的面积大于 2
1
a 2 。
其中，所有正确结论的序号是 。
【答案】②③
20.（四川理 14）双曲线
2 2x y =1 P 464 36
上一点 到双曲线右焦点的距离是 ，那么点
P 到左
准线的距离是 ．
【答案】
56
5
【解析】 8, 6, 10a b c ，点 P 显然在双曲线右支上，点 P 到左焦点的距离为 14，所以
14 5 56
4 5
c dd a
21.（全国大纲理 15）已知 F1、F2 分别为双曲线 C:
2
9
x
-
2
27
y
=1 的左、右焦点，点 A∈C，点
M 的坐标为（2，0），AM 为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ．
【答案】6
22.（辽宁理 13）已知点（2，3）在双曲线 C：
)0,0(12
2
2
2
bab
y
a
x
上，C 的焦距为 4，则
它的离心率为 ．
【答案】2
23.（重庆理 15）设圆 C 位于抛物线
2 2y x 与直线 x=3 所围成的封闭区域（包含边界）内，
则圆 C 的半径能取到的最大值为__________
【答案】 6 1
24.（全国新课标理 14）（14） 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 1 2,F F 在
x 轴上，离心率为
2
2 ．过点 1F 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且 2ABF 的周长为 16，那么 C
的方程为_________．
【答案】
2 2
116 8
x y
25.（安徽理 15）在平面直角坐标系中，如果 x 与 y 都是整数，就称点 ( , )x y 为整点，
下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果 k 与b 都是无理数，则直线 y kx b 不经过任何整点
③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点
④直线 y kx b 经过无穷多个整点的充分必要条件是： k 与b 都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
【答案】①，③，⑤
三、解答题
26.（江苏 18）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，M、N 分别是椭圆
124
22
yx
的顶点，过
坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连
接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k
（1）当直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值；
（2）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d；
（3）对任意 k>0，求证：PA⊥PB
本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离
等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分 16 分.
解：（1）由题设知， ),2,0(),0,2(,2,2 NMba 故 所以线段 MN 中点的坐标为
)2
2,1(
，由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线 PA 过坐标
原点，所以
.2
2
1
2
2
k
（2）直线 PA 的方程
2 2
2 1,4 2
x yy x 代入椭圆方程得
解得
).3
4,3
2(),3
4,3
2(,3
2 APx 因此
于是
),0,3
2(C
直线 AC 的斜率为
.03
2,1
3
2
3
2
3
40
yxAB的方程为故直线
.3
22
11
|3
2
3
4
3
2|
, 21
d因此
（3）解法一：
将直线 PA 的方程 kxy 代入
2 2
2 2
2 21, , ,4 2 1 2 1 2
x y x
k k
解得 记
则 )0,(),,(),,( CkAkP 于是
故直线 AB 的斜率为
,2
0 kk
其方程为
,0)23(2)2(),(2
22222 kxkxkxky 代入椭圆方程得
解得
2 2 3
2 2 2
(3 2) (3 2)( , )
2 2 2
k k kx x B
k k k
或 因此
.
于是直线 PB 的斜率
.1
)2(23
)2(
2
)23(
2
22
23
2
2
2
3
1 kkk
kkk
k
k
k
k
k
k
因此 .,11 PBPAkk 所以
解法二：
设 )0,(),,(,,0,0),,(),,( 11121212211 xCyxAxxxxyxByxP 则 .
设直线 PB，AB 的斜率分别为 21,kk 因为 C 在直线 AB 上，所以
.22)(
)(0
1
1
11
1
2
k
x
y
xx
yk
从而
1)(
)(2121
12
12
12
12
211
xx
yy
xx
yykkkk
.044)2(122
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
xxxx
yx
xx
yy
因此 .,11 PBPAkk 所以
27.（安徽理 21）设 ，点 A 的坐标为（1,1），点 B 在抛物线 y x 上运动，点 Q 满足
QABQ ，经过Q 点与 M x 轴垂直的直线交抛物线于点 M ，点 P 满足 MPQM ,求点
P 的轨迹方程。
本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，
考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.
解：由 MPQM 知 Q，M，P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上，故可设
.)1(),(),,(),,(),,( 2
0
2
0
22
0 yxyxyyxxxMyxQyxP 则则 ①
再设 ),1,1().(,),,( 010111 yxyyxxQABQyxB 即由
解得
.)1(
,)1(
01
1
yy
xx
②
将①式代入②式，消去 0y ，得
.)1()1(
,)1(
22
1
1
yxy
xx
③
又点 B 在抛物线
2xy 上，所以
2
11 xy ，再将③式代入
2
11 xy ，得
.012),1(,0
.0)1()1()1(2
,)1(2)1()1()1(
,))1(()1()1(
22222
222
yx
yx
xxyx
xyx
得两边同除以因
故所求点 P 的轨迹方程为 .12 xy
28.
（北京理 19）
已知椭圆
2
2: 14
xG y
.过点（m,0）作圆
2 2 1x y 的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点.
（I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；
（II）将 AB 表示为 m 的函数，并求 AB 的最大值.
（19）（共 14 分）
解：（Ⅰ）由已知得 ,1,2 ba
所以 .322 bac
所以椭圆 G 的焦点坐标为 )0,3(),0,3(
离心率为
.2
3
a
ce
（Ⅱ）由题意知， 1|| m .
当 1m 时，切线 l 的方程 1x ，点 A、B 的坐标分别为
),2
3,1(),2
3,1(
此时 3|| AB
当 m=－1 时，同理可得 3|| AB
当 1|| m 时，设切线 l 的方程为 ),( mxky
由
0448)41(
.14
),(
22222
2
2
mkmxkxk
yx
mxky
得
设 A、B 两点的坐标分别为 ),)(,( 2211 yxyx ，则
2
22
212
2
21 41
44,
41
8
k
mkxx
k
mk
xx
又由 l 与圆
.1,1
1
||,1 222
2
22
kkm
k
kmyx 即得相切
所以
2
12
2
12 )()(|| yyxxAB
]
41
)44(4
)41(
64)[1( 2
22
22
4
2
k
mk
k
mkk
.
3
||34
2
m
m
由于当 3m 时， ,3|| AB
所以
),1[]1,(,
3
||34|| 2
m
m
mAB
.
因为
,2
||
3||
34
3
||34|| 2
mmm
mAB
且当 3m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为 2.
29.（福建理 17）已知直线 l：y=x+m，m∈R。
（I）若以点 M（2,0）为圆心的圆与直线 l 相切与点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程；
（II）若直线 l 关于 x 轴对称的直线为l ，问直线l与抛物线 C：x2=4y 是否相切？说明理由。
本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、
数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13 分。
解法一：
（I）依题意，点 P 的坐标为（0，m）
因为 MP l ，所以
0 1 12 0
m ，
解得 m=2，即点 P 的坐标为（0，2）
从而圆的半径
2 2| | (2 0) (0 2) 2 2,r MP
故所求圆的方程为
2 2( 2) 8.x y
（II）因为直线l 的方程为 ,y x m
所以直线 'l 的方程为 .y x m
由
2
2
' ,
4 4 0
4
y x m
x x m
x y
得
24 4 4 16(1 )m m
（1）当 1, 0m 即 时，直线 'l 与抛物线 C 相切
（2）当 1m ，那 0 时，直线 'l 与抛物线 C 不相切。
综上，当 m=1 时，直线 'l 与抛物线 C 相切；
当 1m 时，直线 'l 与抛物线 C 不相切。
解法二：
（I）设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为
2 2( 2) .x y r
依题意，所求圆与直线 : 0l x y m 相切于点 P（0，m），
则
2 24 ,
| 2 0 | ,
2
m r
m r
解得
2,
2 2.
m
r
所以所求圆的方程为
2 2( 2) 8.x y
（II）同解法一。
30.（广东理 19）
设圆 C 与两圆
2 2 2 2( 5) 4,( 5) 4x y x y 中的一个内切，另一个外切。
（1）求 C 的圆心轨迹 L 的方程;
（2）已知点 M
3 5 4 5( , ), ( 5,0)5 5 F
，且 P 为 L 上动点，求 MP FP 的最大值及此时点 P
的坐标．
（1）解：设 C 的圆心的坐标为 ( , )x y ，由题设条件知
2 2 2 2| ( 5) ( 5) | 4,x y x y
化简得 L 的方程为
2
2 1.
4
x y
（2）解：过 M，F 的直线l 方程为 2( 5)y x ，将其代入 L 的方程得
215 32 5 84 0.x x
解得 1 2 1 2
6 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5, , ( , ), ( , ).5 15 5 5 15 15x x l L T T 故 与 交点为
因 T1 在线段 MF 外，T2 在线段 MF 内，故 1 1| | | | | | 2,MT FT MF
2 2| | | | | | 2.MT FT MF ，若 P 不在直线 MF 上，在 MFP 中有
| | | | | | 2.MP FP MF
故 | | | |MP FP 只在 T1 点取得最大值 2。
31.（湖北理 20）
平面内与两定点 1( ,0)A a ， 2( ,0)A a ( 0)a 连续的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹，加
上 1A 、 2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线．
（Ⅰ）求曲线 C 的方程，并讨论C 的形状与 m 值得关系；
（Ⅱ）当 1m 时，对应的曲线为
1C
；对给定的 ( 1,0) (0, )m U ，对应的曲线为 2C ，
设
1F
、 2F 是 2C 的两个焦点。试问：在
1C
撒谎个，是否存在点 N ，使得△
1F
N 2F 的面积
2| |S m a 。若存在，求 tan 1F
N 2F 的值；若不存在，请说明理由。
本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与
整合和数形结合的思想。（满分 14 分）
解：（I）设动点为 M，其坐标为 ( , )x y ，
当 x a 时，由条件可得 1 2
2
2 2 ,MA MA
y y yk k mx a x a x a
即
2 2 2 ( )mx y ma x a ，
又 1 2( ,0), ( ,0)A a A A 的坐标满足
2 2 2 ,mx y ma
故依题意，曲线 C 的方程为
2 2 2 .mx y ma
当 1 ,m 时 曲线 C 的方程为
2 2
2 2 1,x y Ca ma
是焦点在 y 轴上的椭圆；
当 1m 时，曲线 C 的方程为
2 2 2x y a ，C 是圆心在原点的圆；
当 1 0m 时，曲线 C 的方程为
2 2
2 2 1x y
a ma
，C 是焦点在 x 轴上的椭圆；
当 0m 时，曲线 C 的方程为
2 2
2 2 1,x y
a ma
C 是焦点在 x 轴上的双曲线。
（II）由（I）知，当 m=-1 时，C1 的方程为
2 2 2;x y a
当 ( 1,0) (0, )m 时，
C2 的两个焦点分别为 1 2( 1 ,0), ( 1 ,0).F a m F a m
对于给定的 ( 1,0) (0, )m ，
C1 上存在点 0 0 0( , )( 0)N x y y 使得
2| |S m a 的充要条件是
2 2 2
0 0 0
2
0
, 0,
1 2 1 | | | | .2
x y a y
a m y m a
①
②
由①得 00 | | ,y a 由②得
0
| || | .
1
m ay
m
当
| | 1 50 , 0,21
m a a m
m
即
或
1 50 2m
时，
存在点 N，使 S=|m|a2；
当
| | 1 5, ,21
m a a
m
即-10）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16 相切，则 p
的值为
（A）
1
2 （B）1 （C）2 （D）4
【答案】 C
解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系
法一：抛物线 y2＝2px（p>0）的准线方程为 2
px
，因为抛物线 y2＝2px（p>0）的准线与
圆（x－3）2＋y2＝16 相切，所以
2,423 pp
法二：作图可知，抛物线 y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16 相切与点（-1,0）
所以
2,12
pp
12.（2010 辽宁文）（9）设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该
双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
（A） 2 （B） 3 （C）
3 1
2
（D）
5 1
2
【答案】D
解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在 x 轴上，设其方程为：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
，
则一个焦点为 ( ,0), (0, )F c B b
一条渐近线斜率为：
b
a ，直线 FB 的斜率为：
b
c
，
( ) 1b b
a c
， 2b ac
2 2 0c a ac ，解得
5 1
2
ce a
.
13.（2010 辽宁文）（7）设抛物线
2 8y x 的焦点为 F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ，
A 为垂足，如果直线 AF 斜率为 3 ，那么 PF
（A） 4 3 （B） 8 （C） 8 3 （D） 16
【答案】 B
解析：选 B.利用抛物线定义，易证 PAF 为正三角形，则
4| | 8sin30PF
14.（2010 辽宁理） (9)设双曲线的—个焦点为 F；虚轴的—个端点为 B，如果直线 FB 与该双
曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A) 2 (B) 3 (C)
3 1
2
(D)
5 1
2
【答案】D
【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条
件，考查了方程思想。
【解析】设双曲线方程为
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
，则 F（c,0）,B(0,b)
直线 FB：bx+cy-bc=0 与渐近线 y=
b xa 垂直，所以
1b b
c a
，即 b2=ac
所以 c2-a2=ac,即 e2-e-1=0,所以
1 5
2e
或
1 5
2e
（舍去）
15.（2010 辽宁理）(7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为
垂足．如果直线 AF 的斜率为 - 3 ,那么|PF|=
(A) 4 3 (B)8 (C) 8 3 (D) 16
【答案】B
【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，
考查了等价转化的思想。
【解析】抛物线的焦点 F（2，0），直线 AF 的方程为 3( 2)y x ，所以点 ( 2,4 3)A 、
(6,4 3)P ，从而|PF|=6+2=8
16.（2010 全国卷 2 文）（12）已知椭圆 C：
2 2
2 2 1x y
a b
（a>b>0）的离心率为
3
2 ，过右焦点
F 且斜率为 k（k>0）的直线于 C 相交于 A、B 两点，若 3AF FB
。则 k =
（A）1 （B） 2 （C） 3 （D）2
【答案】B
【 解 析 】 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， ∵ 3AF FB
， ∴ 1 23y y ， ∵
3
2e
， 设
2 , 3a t c t ，b t ，∴
2 2 24 4 0x y t ，直线 AB 方程为 3x sy t 。代入消去 x ，
∴
2 2 2( 4) 2 3 0s y sty t ，∴
2
1 2 1 22 2
2 3 ,4 4
st ty y y ys s
，
2
2
2 22 2
2 32 , 34 4
st ty ys s
，解得
2 1
2s
， 2k
17.（2010 浙江文）（10）设 O 为坐标原点， 1F , 2F 是双曲线
2 2
2 2
x y 1a b
（a＞0，b＞0）的焦
点，若在双曲线上存在点 P，满足∠ 1F P 2F =60°，∣OP∣= 7a ,则该双曲线的渐近线方程为
（A）x± 3 y=0 （B） 3 x±y=0
（C）x± 2y =0 （D） 2x ±y=0
【答案】 D
解析：选 D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何
图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题
18.（2010 重庆理）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平
行于另一条直线的平面内的轨迹是
A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
【答案】 D
解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除 A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除 B
19.（2010 山东文）（9）已知抛物线
2 2 ( 0)y px p ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线
与 A 、 B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为
（A） 1x (B) 1x
(C) 2x (D) 2x
【答案】B
20.（2010 四川理）（9）椭圆
2 2
2 2 1( )x y a ba b
的右焦点 F ，其右准线与 x 轴的交点为 A，
在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是
（A）
20, 2
（B）
10,2
（C） 2 1,1 （D）
1,12
解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F ，
即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等
而|FA|＝
2 2a bcc c
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是
2b
c ∈[a－c,a＋c]
即 ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
2 2 2
2 2 2
ac c a c
a c ac c
1
11 2
c
a
c c
a a
或
又 e∈(0,1)
故 e∈
1,12
【答案】D
21.（2010 天津理）(5)已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的一条渐近线方程是 y= 3x ,它
的一个焦点在抛物线
2 24y x 的准线上，则双曲线的方程为
（A）
2 2
136 108
x y
（B）
2 2
19 27
x y
（C）
2 2
1108 36
x y
（D）
2 2
127 9
x y
【答案】B
【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。
依题意知
2 2
2 2 2
3
6 9, 27
b
a
c a b
c a b
，所以双曲线的方程为
2 2
19 27
x y
【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内
容也是高考的热点内容之一，在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。
22.（2010 广东文）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离
心率是
A. 5
4
B. 5
3
C. 5
2
D. 5
1
【答案】B
23.（2010 福建文）11．若点 O 和点 F 分别为椭圆
2 2
14 3
x y
的中心和左焦点，点 P 为椭圆
上的任意一点，则 OP FP
的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由题意，F（-1，0），设点 P 0 0( , )x y ，则有
2 2
0 0 14 3
x y
,解得
2
2 0
0 3(1 )4
xy
，
因为 0 0( 1, )FP x y
， 0 0( , )OP x y
，所以
2
0 0 0( 1)OP FP x x y
= 0 0( 1)OP FP x x
2
03(1 )4
x
=
2
0
0 34
x x
，此二次函数对应的抛物线的对称轴为
0 2x ，因为 02 2x ，所以当 0 2x 时， OP FP
取得最大值
22 2 3 64
，选 C。
【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的
单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
24.（2010 全国卷 1 文）（8）已知 1F 、 2F 为双曲线 C:
2 2 1x y 的左、右焦点，点 P 在 C 上，
∠ 1F P 2F = 060 ，则
1 2| | | |PF PF
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8
【答案】B
【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通
过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.
【解析 1】.由余弦定理得
cos∠ 1F P 2F =
2 2 2
1 2 1 2
1 2
| | | | | |
2 | || |
PF PF F F
PF PF
22 2 2
1 21 2 1 2 1 20
1 2 1 2
2 2 2 22 1cos60 2 2 2
PF PFPF PF PF PF F F
PF PF PF PF
1 2| | | |PF PF 4
【解析 2】由焦点三角形面积公式得：
1 2
0
2 2 0
1 2 1 2
60 1 1 3cot 1 cot 3 sin 602 2 2 2 2F PFS b PF PF PF PF
1 2| | | |PF PF 4
25.（2010 全国卷 1 理）(9)已知 1F 、 2F 为双曲线 C:
2 2 1x y 的左、右焦点，点 P 在 C 上，
∠ 1F P 2F = 060 ，则 P 到 x 轴的距离为
(A)
3
2 (B)
6
2 (C) 3 (D) 6
【答案】 B
26.（2010 四川文）（10）椭圆
2 2
2 2 1 0x y aa b
＞b＞
的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点
为 A ．在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是
（A）（0，
2
2 ] （B）（0，
1
2 ] （C）[ 2 1 ，1） （D）[
1
2 ，1）
【答案】D
【解析】由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F ，
即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等
而|FA|＝
2 2a bcc c
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是
2b
c ∈[a－c,a＋c]
即 ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
2 2 2
2 2 2
ac c a c
a c ac c
1
11 2
c
a
c c
a a
或
又 e∈(0,1)
故 e∈
1,12
27.（2010 四川文）(3)抛物线
2 8y x 的焦点到准线的距离是
(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8
【答案】C
【解析】由 y2＝2px＝8x 知 p＝4
又交点到准线的距离就是 p
21.（2010 湖北文）9.若直线 y x b 与曲线
23 4y x x 有公共点，则 b 的取值范围是
A.[1 2 2 ,1 2 2 ] B.[1 2 ,3]
C.[-1,1 2 2 ] D.[1 2 2 ,3]
28.（2010 山东理）(7)由曲线 y= 2x ,y= 3x 围成的封闭图形面积为
（A）
1
12 (B)
1
4 (C)
1
3 (D)
7
12
【答案】A
【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为
1 2 3
0 x -x )dx=（
1 1 11- 1=3 4 12
,故选 A。
【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。
29.（2010 安徽理）5、双曲线方程为
2 22 1x y ，则它的右焦点坐标为
A、
2 ,02
B、
5 ,02
C、
6 ,02
D、 3,0
【答案】C
【解析】双曲线的
2 2 11, 2a b
，
2 3
2c
，
6
2c
，所以右焦点为
6 ,02
.
【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用 2 2 2c a b
求出 c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为 2 1b 或 2 2b ，从而
得出错误结论.
30.（2010 湖北理数）9.若直线 y=x+b 与曲线
23 4y x x 有公共点，则 b 的取值范围是
A. 1,1 2 2
B. 1 2 2,1 2 2
C. 1 2 2,3
D. 1 2,3
【答案】C
【解析】曲线方程可化简为
2 2( 2) ( 3) 4(1 3)x y y ，即表示圆心为（2，3）半径为 2
的半圆，依据数形结合，当直线 y x b 与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线 y=x+b
距离等于 2，解得 1 2 2 1 2 2b b 或 ，因为是下半圆故可得 1 2 2b （舍），当直线过
（0，3）时，解得 b=3,故1 2 2 3,b 所以 C 正确.
31.（2010 福建理）
A． ①④ B． ②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】经分析容易得出②④正确，故选 C。
【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。
32.（2010 福建理）7．若点 O 和点 ( 2,0)F 分别是双曲线
2
2
2 1(a>0)a
x y
的中心和左焦点,
点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP
的取值范围为 ( )
A．[3-2 3, ) B．[3 2 3, ) C．
7[- , )4
D．
7[ , )4
【答案】B
【解析】因为 ( 2,0)F 是已知双曲线的左焦点，所以 2 1 4a ，即 2 3a ，所以双曲线方程
为
2
2 13
x y
，设点 P 0 0( , )x y ，则有
2
20
0 01( 3)3
x y x
，解得
2
2 0
0 01( 3)3
xy x
，
因 为 0 0( 2, )FP x y
， 0 0( , )OP x y
， 所 以
2
0 0 0( 2)OP FP x x y
= 0 0( 2)x x
2
0 13
x
2
0
0
4 2 13
x x
，此二次函数对应的抛物线
的 对 称 轴 为 0
3
4x
， 因 为 0 3x ， 所 以 当 0 3x 时 ， OP FP
取 得 最 小 值
4 3 2 3 13
3 2 3 ，故OP FP
的取值范围是[3 2 3, ) ，选 B。
【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次
函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运
算能力。
33.（2010 福建理数）2．以抛物线
2 4y x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A．
2 2x +y +2x=0 B．
2 2x +y +x=0 C．
2 2x +y -x=0 D．
2 2x +y -2x=0
【答案】D
【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半
径为 r=1，故所求圆的方程为
2 2x-1) +y =1（ ，即
2 2x -2x+y =0 ，选 D。
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。
二、填空题
34.（2010 上海文）7.圆
2 2: 2 4 4 0C x y x y 的圆心到直线 3 4 4 0x y 的距离
d 。
【答案】3
解析：考查点到直线距离公式
圆心（1,2）到直线 3 4 4 0x y 距离为
35
42413
35.（2010 湖南文）14.若不同两点 P,Q 的坐标分别为（a，b），（3-b，3-a），则线段 PQ 的垂
直平分线 l 的斜率为 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1 关于直线对称的圆的方程为
【答案】-1
36.（2010 全国卷 2 理）（16）已知球O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆， AB 为
圆 M 与圆 N 的公共弦， 4AB ．若 3OM ON ，则两圆圆心的距离 MN ．
【答案】3
【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.
【 解 析 】 设 E 为 AB 的 中 点 ， 则 O ， E ， M ， N 四 点 共 面 ， 如 图 ， ∵ 4AB ， 所 以
2
2 ABOE R 2 32
，∴ ME= 3 ，由球的截面性质，有 OM ME,ON NE ，∵
3OM ON ，所以 MEO 与 NEO 全等，所以 MN 被 OE 垂直平分，在直角三角形中，由
面积相等，可得，
ME MOMN=2 3OE
37.（2010 全国卷 2 文）（16）已知球O 的半径为 4，圆 M 与
圆 N 为该球的两个小圆， AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦，
4AB ， 若 3OM ON ， 则 两 圆 圆 心 的 距 离
MN 。
【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识
∵ ON=3，球半径为 4，∴小圆 N 的半径为 7 ，∵小圆 N
O M
N E
A
B
中弦长 AB=4，作 NE 垂直于 AB，∴ NE= 3 ，同理可得 3ME ，在直角三角形 ONE 中，∵
NE= 3 ，ON=3，∴ 6EON
，∴ 3MON
，∴ MN=3
38.（2010 山东文） 已知圆 C 过点（1,0），且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l： 1y x 被该
圆所截得的弦长为 2 2 ，则圆 C 的标准方程为 .
答案：
39.（2010 四川理）（14）直线 2 5 0x y 与圆
2 2 8x y 相交于 A、B 两点，则
AB .
解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为 2 2
圆心到直线 2 5 0x y 的距离为 d＝
2 2
| 0 0 5| 5
1 ( 2)
故
2| AB|
得|AB|＝2 3
答案：2 3
40.（2010 天津文）（14）已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0
相切。则圆 C 的方程为 。
【答案】
2 2( 1) 2x y
本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。
令 y=0 得 x=-1，所以直线 x-y+1=0,与 x 轴的交点为（-1.0）
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
| 1 0 3| 2
2
r
，所以圆 C 的
方程为
2 2( 1) 2x y
【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。
41.（2010 广东理）12.已知圆心在 x 轴上，半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x+y=0
相切，则圆 O 的方程是
12．
2 2( 5) 5x y ．设圆心为 ( ,0)( 0)a a ，则 2 2
| 2 0 | 5
1 2
ar
，解得 5a ．
42. （ 2010 四 川 文 ） (14) 直 线 2 5 0x y 与 圆
2 2 8x y 相 交 于 A 、 B 两 点 ， 则
AB .
【答案】2 3
解 析 ： 方 法 一 、 圆 心 为(0,0) ， 半 径 为 2 2 圆 心 到 直 线 2 5 0x y 的 距 离 为 d ＝
2 2
| 0 0 5| 5
1 ( 2)
故
2| AB|
得|AB|＝2 3
43.（2010 山东理）
【解析】由题意，设所求的直线方程为 x+y+m=0 ，设圆心坐标为 (a,0) ，则由题意知：
2 2| a-1|( ) +2=(a-1)
2 ，解得 a=3或-1，又因为圆心在 x 轴的正半轴上，所以 a=3，故圆心坐标
为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0 ，即 m=-3，故所求的直
线方程为 x+y-3=0 。
【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解
决直线与圆问题的能力。
44.（2010 湖南理）
45.（2010 江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 422 yx 上有且仅有四个点到直线
12x-5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是___________
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2，
圆心（0，0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1，
| | 113
c
， c 的取值范围是（-13，13）。
46.（2010 上海文）8.动点 P 到点 (2,0)F 的距离与它到直线 2 0x 的距离相等，则 P 的轨
迹方程为 。
【答案】y28x
【解析】考查抛物线定义及标准方程
定义知 P 的轨迹是以 (2,0)F 为焦点的抛物线，p=2 所以其方程为 y28x
47.（2010 浙江理）（13）设抛物线
2 2 ( 0)y px p 的焦点为 F ，点 (0,2)A .若线段 FA 的中
点 B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为_____________。
【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为 2 ，B 点坐标为（
14
2 ，
）所以点
B 到抛物线准线的距离为
3 24 ，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题
48.（2010 全国卷 2 理）（15）已知抛物线
2: 2 ( 0)C y px p ＞ 的准线为l ，过 (1,0)M 且斜率
为 3 的直线与l 相交于点 A ，与 C 的一个交点为 B ．若 AM MB
，则 p ．
【答案】2
【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.
【解析】过 B 作 BE 垂直于准线l 于 E，∵ AM MB
，∴M 为中点，∴
1BM AB2
，又斜
率为 3 ， 0BAE 30 ，∴
1BE AB2
，∴ BM BE ，∴M 为抛物线的焦点，∴ p 2.
49.（2010 全国卷 2 文）(15)已知抛物线 C：y2=2px（p>0）的准线 l，过 M（1,0）且斜率为
的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若 ，则 p=_________
【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质
设直线 AB： 3 3y x ，代入
2 2y px 得
23 ( 6 2 ) 3 0x p x ，又∵ AM MB
，
∴
1 22x p
，解得
2 4 12 0p P ，解得 2, 6p p （舍去）
50.（2010 江西理）15.点 0 0( )A x y， 在双曲线
2 2
14 32
x y
的右支上，若点 A 到右焦点的距离
等于 02x ，则 0x =
【答案】 2
【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取 a=2.c=6,
r ed
3r d ,
2
0 0 02 3( ) 2ax x xc
51.（2010 安徽文）(12)抛物线
2 8y x 的焦点坐标是
答案： (2,0)
【解析】抛物线
2 8y x ，所以 4p ，所以焦点 (2,0) .
【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求 p ，或求出 p 后，误认为焦点 ( ,0)p ，
还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论.
52.（2010 重庆文）（13）已知过抛物线
2 4y x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A 、 B 两点，
2AF ，则 BF ____________ .
【答案】 2
解析：由抛物线的定义可知 1 2AF AA KF
AB x 轴 故 AF BF 2
53.（2010 重庆理）(14)已知以 F 为焦点的抛物线
2 4y x 上的两点 A、B 满足 3AF FB
,则
弦 AB 的中点到准线的距离为___________.
解析：设 BF=m,由抛物线的定义知
mBBmAA 11 ,3
ABC 中，AC=2m,AB=4m, 3ABk
直线 AB 方程为 )1(3 xy
与抛物线方程联立消 y 得 03103 2 xx
所以 AB 中点到准线距离为 3
813
512
21 xx
54.（2010 北京文）（13）已知双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
的离心率为 2，焦点与椭圆
2 2
125 9
x y
的焦
点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
答案：( 4,0 ) 3 0x y
55.（2010 北京理）（13）已知双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
的离心率为 2，焦点与椭圆
2 2
125 9
的
焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。
【答案】（ 4 ，0） 3 0x y
56.（2010 天津文）（13）已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的一条渐近线方程是 3y x ，
它的一个焦点与抛物线
2 16y x 的焦点相同。则双曲线的方程为 。
【答案】
2 2
14 12
x y
【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。
由渐近线方程可知
3b
a
①
因为抛物线的焦点为（4，0），所以 c=4 ②
又 2 2 2c a b ③
联立①②③，解得
2 24, 12a b ，所以双曲线的方程为
2 2
14 12
x y
【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中 c 最大。
57.（2010 福建文数）13． 若双曲线
2x
4 -
2
2
y
b =1(b>0)的渐近线方程式为 y=
1 x2
，则ｂ等
于 。
【答案】1
【解析】由题意知
1
2 2
b
，解得 b=1。
【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。
58.（2010 全国卷 1 文数）(16)已知 F是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF
的延长线交 C 于点 D ， 且 BF 2FD
uur uur
，则 C 的离心率为 .
【答案】
3
3
【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数
形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻
求到简化问题的捷径.
【解析 1】如图，
2 2| |BF b c a ,
作 1DD y 轴于点 D1,则由 BF 2FD
uur uur
，得
1
| | | | 2
| | | | 3
OF BF
DD BD
,所以 1
3 3| | | |2 2DD OF c
,
即
3
2D
cx
,由椭圆的第二定义得
2 23 3| | ( )2 2
a c cFD e ac a
又由| | 2 | |BF FD ,得
232 ,ca a a
3
3e
【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式
2 2
2 2 1x y
a b
，设 2 2,D x y ，F 分 BD 所成的比为 2，
2 2
2 2
30 2 23 3 3 0;1 2 2 2 1 2 2 2 2
c
c c c
y bx b y b bx x x c y y ，代入
2 2
2 2
9 1 14 4
c b
a b
，
3
3e
59.（2010 全国卷 1 理）
60. （ 2010 湖 北 文 ） 15. 已 知 椭 圆
2
2: 12
xc y
的 两 焦 点 为 1 2,F F , 点 0 0( , )P x y 满 足
2
20
00 12
x y
,则| 1PF |+ 2PF |的取值范围为_______，直线
0
0 12
x x y y
与椭圆 C 的公共
点个数_____。
【答案】 2,2 2 ,0
【解析】依题意知，点 P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当 P 在原点处时
1 2 max(| | | |) 2 PF PF ，当 P 在椭圆顶点处时，取到 1 2 max(| | | |)PF PF 为
( 2 1) ( 2 1) =2 2 ，故范围为 2,2 2 .因为 0 0( , )x y 在椭圆
2
2 12
x y
的内部，则直线
0
0 12
x x y y
上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为 0 个.
61.（2010 江苏卷）6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
1124
22
yx
上一点 M，点 M 的横坐
标是 3，则 M 到双曲线右焦点的距离是__________
【解析】考查双曲线的定义。
4 22
MF ed
，d 为点 M 到右准线 1x 的距离，d =2，MF=4。
三、解答题
62.（2010 上海文）23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题
满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.
已知椭圆 的方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
， (0, )A b 、 (0, )B b 和 ( ,0)Q a 为 的三个顶点.
（1）若点 M 满足
1 ( )2AM AQ AB
，求点 M 的坐标；
（ 2 ） 设 直 线 1 1:l y k x p 交 椭 圆 于 C 、 D 两 点 ， 交 直 线 2 2:l y k x 于 点 E . 若
2
1 2 2
bk k a
，证明： E 为CD 的中点；
（3）设点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上，如何构作过 PQ 中点 F 的直线l ，使得l 与椭圆 的
两个交点 1P 、 2P 满足 1 2PP PP PQ
1 2PP PP PQ
？令 10a ， 5b ，点 P 的坐标是
（-8，-1），若椭圆 上的点 1P 、 2P 满足 1 2PP PP PQ
，求点 1P 、 2P 的坐标.
解析：(1)
( , )2 2
a bM
；
(2) 由方程组
1
2 2
2 2 1
y k x p
x y
a b
，消 y 得方程
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1( ) 2 ( ) 0a k b x a k px a p b ，
因为直线 1 1:l y k x p 交椭圆 于C 、 D 两点，
所以>0，即
2 2 2 2
1 0a k b p ，
设 C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD 中点坐标为(x0,y0)，
则
2
1 2 1
0 2 2 2
1
2
0 1 0 2 2 2
1
2
x x a k px a k b
b py k x p a k b
，
由方程组
1
2
y k x p
y k x
，消 y 得方程(k2k1)xp，
又因为
2
2 2
1
bk a k
，所以
2
1
02 2 2
2 1 1
2
2 02 2 2
1
a k ppx xk k a k b
b py k x ya k b
，
故 E 为 CD 的中点；
(3) 因为点 P 在椭圆Γ内且不在 x 轴上，所以点 F 在椭圆Γ内，可以求得直线 OF 的斜率 k2，
由 1 2PP PP PQ
知 F 为 P1P2 的中点，根据(2)可得直线 l 的斜率
2
1 2
2
bk a k
，从而得直线 l
的方程．
1(1, )2F
，直线 OF 的斜率 2
1
2k
，直线 l 的斜率
2
1 2
2
1
2
bk a k
，
解方程组
2 2
1 12
1100 25
y x
x y
，消 y：x22x480，解得 P1(6,4)、P2(8,3)．
63.（2010 湖南文）19.（本小题满分 13 分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、B 两点各建一个考察基地，
视冰川面为平面形，以过 A、B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直
角坐标系（图 4）。考察范围到 A、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域。
求考察区域边界曲线的方程：
如图 4 所示，设线段 1 2PP 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线
沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km，以后每年移动的距离为前一年的
2 倍。问：经过多长时间，点 A 恰好在冰川边界线上？
64.（2010 浙江理）(21) （本题满分 15 分）已知 m＞1，直线
2
: 02
ml x my
，椭圆
2
2
2: 1xC ym
， 1, 2F F 分别为椭圆 C 的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线l 过右焦点 2F 时，求直线l 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于 ,A B 两点， 1 2AF FV ， 1 2BF FV 的重
心分别为 ,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数 m
的取值范围.
解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考
察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
（Ⅰ）解：因为直线 :l
2
02
mx my
经过
2
2 ( 1,0)F m ，所以
2
2 1 2
mm
,得
2 2m ，
又因为 1m ，所以 2m ，
故直线l 的方程为
2
22 02x y
。
（Ⅱ）解：设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 。
由
2
2
2
2
2
1
mx my
x ym
，消去 x 得
2
22 1 04
my my
则由
2
2 28( 1) 8 04
mm m
，知 2 8m ，
且有
2
1 2 1 2
1,2 8 2
m my y y y
。
由于 1 2( ,0), ( ,0),F c F c ，
故O 为 1 2F F 的中点，
由 2 , 2AG GO BH HO
，
可知
1 1 2 1( , ), ( , ),3 3 3 3
x y x yG h
2 2
2 1 2 1 2( ) ( )
9 9
x x y yGH
设 M 是GH 的中点，则
1 2 1 2( , )6 6
x x y yM
，
由题意可知 2 ,MO GH
即
2 2
2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )4[( ) ( ) ]6 6 9 9
x x y y x x y y
即 1 2 1 2 0x x y y
而
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( )( )2 2
m mx x y y my my y y
2
2 1( 1 ( )8 2
mm ）
所以
2 1 08 2
m
即 2 4m
又因为 1m 且 0
所以1 2m 。
所以 m 的取值范围是 (1,2) 。
65.（2010 全国卷 2 理）（21）（本小题满分 12 分）
己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C：
2 2
2 2 1 0 0x y a ba b
＞ ， ＞
相交于 B、D 两点，且 BD
的中点为 1,3M ．
（Ⅰ）求 C 的离心率；
（Ⅱ）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F， 17DF BF ，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x
轴相切．
【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础
知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.
【参考答案】
【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为
背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.
66.（2010 陕西文）（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
(Ⅱ)设 n 为过原点的直线，l 是与 n 垂直相交与点 P，与椭圆相交于
A,B 两 点 的 直 线
立？若存在，求出直线 l 的方程；并说出；若不存在，请说明理由。
67.（2010 辽宁文）（20）（本小题满分 12 分）
设 1F ， 2F 分别为椭圆
2 2
2 2: 1x yC a b
( 0)a b 的左、右焦点，过 2F 的直线 l 与椭圆C 相
交于 A , B 两点，直线l 的倾斜角为 60 ， 1F 到直线l 的距离为 2 3 .
（Ⅰ）求椭圆C的焦距；
（Ⅱ）如果 2 22AF F B
,求椭圆C的方程.
解：（Ⅰ）设焦距为 2c ，由已知可得 1F 到直线 l 的距离 3 2 3, 2.c c 故
所以椭圆 C 的焦距为 4.
（Ⅱ）设 1 1 2 2 1 2( , ), ( , ), 0, 0,A x y B x y y y 由题意知 直线 l 的方程为 3( 2).y x
联立
2 2 2 2 42 2
2 2
3( 2),
(3 ) 4 3 3 0.
1
y x
a b y b y bx y
a b
得
解得
2 2
1 22 2 2 2
3 (2 2 ) 3 (2 2 ), .3 3
b a b ay ya b a b
因为 2 2 1 22 , 2 .AF F B y y 所以
即
2 2
2 2 2 2
3 (2 2 ) 3 (2 2 )2 .3 3
b a b a
a b a b
得
2 23. 4, 5.a a b b 而 所以
故椭圆C 的方程为
2 2
1.9 5
x y
68.（2010 辽宁理）(20)（本小题满分 12 分）
设椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，
直线 l 的倾斜角为 60o, 2AF FB
.
求椭圆 C 的离心率；
如果|AB|=
15
4 ，求椭圆 C 的方程.
解：
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由题意知 1y ＜0， 2y ＞0.
（Ⅰ）直线 l 的方程为 3( )y x c ，其中 2 2c a b .
联立
2 2
2 2
3( ),
1
y x c
x y
a b
得
2 2 2 2 4(3 ) 2 3 3 0a b y b cy b
解得
2 2
1 22 2 2 2
3 ( 2 ) 3 ( 2 ),3 3
b c a b c ay ya b a b
因为 2AF FB
，所以 1 22y y .
即
2 2
2 2 2 2
3 ( 2 ) 3 ( 2 )23 3
b c a b c a
a b a b
得离心率
2
3
ce a
. ……6 分
（Ⅱ）因为
2 1
11 3AB y y
，所以
2
2 2
2 4 3 15
3 43
ab
a b
.
由
2
3
c
a
得
5
3b a
.所以
5 15
4 4a
，得 a=3， 5b .
椭圆 C 的方程为
2 2
19 5
x y
. ……12 分
69.（2010 全国卷 2 文）（22）（本小题满分 12 分）
已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
相交于 B、D 两点，且 BD 的中点
为 M（1.3）
（Ⅰ）（Ⅰ）求 C 的离心率；
（Ⅱ）（Ⅱ）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|·|BF|=17 证明：过 A、B、D 三点的圆与 x
轴相切。
【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。
（1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BD 两点的中点为（1，3），
可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 a,b 的关系式即求得离心率。
（2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含 a 的代数式表示，即可求得 a，则 A 点坐标可得（1，
0），由于 A 在 x 轴上所以，只要证明 2AM=BD 即证得。
70.（2010 江西理数）（本小题满分 12 分）
设椭圆
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
，抛物线
2 2
2 :C x by b 。
若 2C 经过 1C 的两个焦点，求 1C 的离心率；
设 A（0，b），
53 3 4Q
，
,又 M、N 为 1C 与 2C 不在 y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为
3
4B b
0，
，且△QMN 的重心在 2C 上，求椭圆 1C 和抛物线 2C 的方程。
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。
（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得： 2 2c b ，由
2
2 2 2 2
2
1 22 , 2 2
ca b c c ea
有
。
(2)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称，设
1 1 1 1 1( , ), ( , )( 0)M x y N x y x ,由 AMN 的垂心为 B，有
2
1 1 1
30 ( )( ) 04BM AN x y b y b
。
由点 1 1( , )N x y 在抛物线上，
2 2
1 1x by b ，解得： 1 1 ( )4
by y b 或 舍去
故 1
5 5 5, ( , ), ( , )2 2 4 2 4
b bx b M b N b
，得 QMN 重心坐标
( 3, )4
b
.
由重心在抛物线上得：
2
23 , =24
b b b 所以
，
1 1( 5, ), ( 5, )2 2M N
，又因为 M、
N 在椭圆上得：
2 16
3a
，椭圆方程为
2 2
16
3
14
x y
，抛物线方程为
2 2 4x y 。
71.（2010 安徽文数）17、（本小题满分 12 分）
椭圆 E 经过点 2,3A ，对称轴为坐标轴，
焦点 1 2,F F 在 x 轴上，离心率
1
2e
。
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程；
(Ⅱ)求 1 2F AF 的角平分线所在直线的方程。
【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与
一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.
【解题指导】（1）设椭圆方程为
2 2
2 2 1x y
a b
，把点 2,3A 代入椭圆方程，把离心率
1
2e
用
,a c 表示，再根据 2 2 2a b c ，求出
2 2,a b ，得椭圆方程；（2）可以设直线 l 上任一点坐标
为 ( , )x y ，根据角平分线上的点到角两边距离相等得
| 3 4 6 | | 2 |5
x y x
.
解：（Ⅰ）设椭圆 E 的方程为
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 2 1
2 1 2
1.
1 1, , 3 , 1.2 2 4 3
1 3 1, 2,
1.16 12
3( ) ( 2,0), (2,0), ( 2),4
3 4 6 0. 2.
x y
a b
c x ye b a c ca c c
A c Ec c
x y
F AF x
x y AF x E AF
由 得
将（2，3）代入，有 解得： 椭圆 的方程为
由（ ）知F 所以直线 的方程为y=
即 直线 的方程为 由椭圆 的图形知， F 的角平分线所在直线的斜率为正
1 2
1 2
3 4 6 25
3 4 6 5 10, 2 8 0,
x yAF x
x y x x y
AF
数。
设P（x,y）为 F 的角平分线所在直线上任一点，则有
若 得 其斜率为负，不合题意，舍去。
于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-y-1=0.
所以， F 的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.
【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为
2 2
2 2 1x y
a b
，根据题目满足的条件求
出
2 2,a b ，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何
意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程.
72.（2010 重庆文数）（21）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分. ）
已知以原点O 为中心， ( 5,0)F 为右焦点的双曲线C 的离心率
5
2e
.
（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如题（21）图，已知过点 1 1( , )M x y 的直线 1l ： 1 14 4x x y y 与过点 2 2( , )N x y （其中
2 1x x ）的直线 2l ： 2 24 4x x y y 的交点 E 在双曲线C 上，直线 MN 与双曲线的两条渐近
线分别交于G 、 H 两点，求OG OH
的值.
73.（2010 浙江文）（22）、（本题满分 15 分）已知 m 是非零实数，抛物线
2: 2C y ps （p>0）
的焦点 F 在直线
2
: 02
ml x my
上。
（I）若 m=2，求抛物线 C 的方程
（II）设直线l 与抛物线 C 交于 A、B，△A 2A F ,
△ 1BB F 的重心分别为 G,H
求证：对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与 x
轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外。
74.（2010 重庆理）（20）（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
已知以原点 O 为中心， 5,0F 为右焦点的双曲线 C 的离心率
5
2e
。
求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程；
如题（20）图，已知过点 1 1,M x y 的直线
1 1 1: 4 4l x x y y 与过点 2 2,N x y （其中
2x x ）的直线 2 2 2: 4 4l x x y y 的交点 E
在双曲线 C 上，直线 MN 与两条渐近线分别交
与 G、H 两点，求 OGH 的面积。
75.（2010 北京文）（19）（本小题共 14 分）
已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ( 2,0) ，( 2,0) ，离心率是
6
3 ，直线 y=t 椭圆 C 交
与不同的两点 M，N，以线段为直径作圆 P,圆心为 P。
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标；
（Ⅲ）设 Q（x，y）是圆 P 上的动点，当 t 变化时，求 y 的最大值。
解：（Ⅰ）因为
6
3
c
a
，且 2c ，所以
2 23, 1a b a c
所以椭圆 C 的方程为
2
2 13
x y
（Ⅱ）由题意知 (0, )( 1 1)p t t
由
2
2 13
y t
x y
得
23(1 )x t
所以圆 P 的半径为
23(1 )t
解得
3
2t
所以点 P 的坐标是（0，
3
2
）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆 P 的方程
2 2 2( ) 3(1 )x y t t 。因为点 ( , )Q x y 在圆 P 上。所以
2 2 23(1 ) 3(1 )y t t x t t
设 cos , (0, )t ，则
23(1 ) cos 3sin 2sin( )6t t
当 3
，即
1
2t
，且 0x ， y 取最大值 2.
76.（2010 北京理）（19）（本小题共 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP
的斜率之积等于
1
3
.
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面
积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。
（I）解：因为点 B 与 A( 1,1) 关于原点O 对称，所以点 B 得坐标为 (1, 1) .
设点 P 的坐标为 ( , )x y
由题意得
1 1 1
1 1 3
y y
x x
化简得
2 23 4( 1)x y x .
故动点 P 的轨迹方程为
2 23 4( 1)x y x
（II）解法一：设点 P 的坐标为 0 0( , )x y ，点 M ， N 得坐标分别为 (3, )My , (3, )Ny .
则直线 AP 的方程为
0
0
11 ( 1)1
yy xx
，直线 BP 的方程为
0
0
11 ( 1)1
yy xx
令 3x 得
0 0
0
4 3
1M
y xy x
，
0 0
0
2 3
1N
y xy x
.
于是 PMN 得面积
2
0 0 0
0 2
0
| | (3 )1 | | (3 )2 | 1|PMN M N
x y xS y y x x
又直线 AB 的方程为 0x y ，| | 2 2AB ，
点 P 到直线 AB 的距离
0 0| |
2
x yd
.
于是 PAB 的面积
0 0
1 | | | |2PABS AB d x y
当 PAB PMNS S 时，得
2
0 0 0
0 0 2
0
| | (3 )| | | 1|
x y xx y x
又 0 0| | 0x y ，
所以
2
0(3 )x =
2
0| 1|x ，解得 0
5| 3x
。
因为
2 2
0 03 4x y ，所以 0
33
9y
故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等，此时点 P 的坐标为
5 33( , )3 9
.
解法二：若存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等，设点 P 的坐标为 0 0( , )x y
则
1 1| | | | sin | | | | sin2 2PA PB APB PM PN MPN
.
因为sin sinAPB MPN ,
所以
| | | |
| | | |
PA PN
PM PB
所以
0 0
0
| 1| | 3 |
| 3 | | 1|
x x
x x
即
2 2
0 0(3 ) | 1|x x ，解得 0x
5
3
因为
2 2
0 03 4x y ，所以 0
33
9y
故存在点 P S 使得 PAB 与 PMN 的面积相等，此时点 P 的坐标为
5 33( , )3 9
.
77.（2010 四川理）（20）（本小题满分 12 分）
已知定点 A(－1，0)，F(2，0)，定直线 l：x＝
1
2 ，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到
直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直线 AB、AC 分别
交 l 于点 M、N
（Ⅰ）求 E 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由.
本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理
运算能力.
解：(1)设 P(x,y)，则
2 2 1( 2) 2 | |2x y x
化简得 x2－
2
3
y
=1(y≠0)………………………………………………………………4 分
(2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时，设 BC 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)
与双曲线 x2－
2
3
y
=1 联立消去 y 得
(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0
由题意知 3－k2≠0 且△＞0
设 B(x1,y1),C(x2,y2)，
则
2
1 2 2
2
1 2 2
4
3
4 3
3
kx x k
kx x k
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝k2(
2 2
2 2
4 3 8
3 3
k k
k k
＋4)
＝
2
2
9
3
k
k
因为 x1、x2≠－1
所以直线 AB 的方程为 y＝
1
1 1
y
x (x＋1)
因此 M 点的坐标为(
1
1
31 ,2 2( 1)
y
x )
1
1
33( , )2 2( 1)
yFM x
,同理可得
2
2
33( , )2 2( 1)
yFN x
因此
2 1 2
1 2
93( )2 2( 1)( 1)
y yFM FN x x
＝
2
2
2 2
2 2
81
4 3
4 3 49 4( 1)3 3
k
k
k k
k k
＝0
②当直线 BC 与 x 轴垂直时，起方程为 x＝2，则 B(2,3),C(2,－3)
AB 的方程为 y＝x＋1,因此 M 点的坐标为(
1 3,2 2 )，
3 3( , )2 2FM
同理可得
3 3( , )2 2FN
因此
23 3 3( ) ( )2 2 2FM FN
＝0
综上 FM FN
＝0，即 FM⊥FN
故以线段 MN 为直径的圆经过点 F………………………………………………12 分
78.（2010 天津文）（21）（本小题满分 14 分）
已知椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
（a>b>0）的离心率 e=
3
2 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）.
（i）若
4 2AB 5
| |=
，求直线 l 的倾斜角；
（ii）若点 Q y0（0， ）在线段 AB 的垂直平分线上，且 QA QB=4
.求 y0 的值.
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直
线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，
考查综合分析与运算能力.满分 14 分.
（Ⅰ）解：由 e=
3
2
c
a
，得 2 23 4a c .再由 2 2 2c a b ，解得 a=2b.
由题意可知
1 2 2 42 a b
，即 ab=2.
解方程组
2 ,
2,
a b
ab
得 a=2，b=1.
所以椭圆的方程为
2
2 14
x y
.
(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为 1 1( , )x y ，直线 l 的斜率为
k.则直线 l 的方程为 y=k（x+2）.
于是 A、B 两点的坐标满足方程组
2
2
( 2),
1.4
y k x
x y
消去 y 并整理，得
2 2 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0k x k x k .
由
2
1 2
16 42 1 4
kx k
，得
2
1 2
2 8
1 4
kx k
.从而 1 2
4
1 4
ky k
.
所以
2 22 2
2 2 2
2 8 4 4 1| | 2 1 4 1 4 1 4
k k kAB k k k
.
由
4 2| | 5AB
，得
2
2
4 1 4 2
1 4 5
k
k
.
整理得 4 232 9 23 0k k ，即
2 2( 1)(32 23) 0k k ，解得 k= 1 .
所以直线 l 的倾斜角为 4
或
3
4
.
（ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到 M 的坐标为
2
2 2
8 2,1 4 1 4
k k
k k
.
以下分两种情况：
（1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0），线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是
0 02, , 2, .QA y QB y
由 4QA QB
，得 y 2 2 0 。
（2）当 0k 时，线段 AB 的垂直平分线方程为
2
2 2
2 1 8
1 4 1 4
k ky xk k k
。
令 0x ，解得 0 2
6
1 4
ky k
。
由 02,QA y
， 1 1 0,QB x y y
，
2
1 0 1 0 2 2 2 2
2 2 8 6 4 62 1 4 1 4 1 4 1 4
k k k kQA QB x y y y k k k k
4 2
22
4 16 15 1
4
1 4
k k
k
，
整理得 27 2k 。故
14
7k
。所以 0
2 14
5y
。
综上， 0 2 2y 或 0
2 14
5y
79.（2010 天津理）（20）（本小题满分 12 分）
已知椭圆
2 2
2 2 1( 0x y a ba b
）
的离心率
3
2e
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
4。
求椭圆的方程；
设直线l 与椭圆相交于不同的两点 ,A B ，已知点 A 的坐标为（ ,0a ），点 0(0, )Q y 在线段 AB
的垂直平分线上，且 4QA QB
，求 0y 的值
【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，
考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分 12 分
（1）解：由
3e 2
c
a
，得 2 23 4a c ，再由 2 2 2c a b ，得 2a b
由题意可知，
1 2 2 4, 22 a b ab 即
解方程组
2
2
a b
ab
得 a=2,b=1
所以椭圆的方程为
2
2 14
x y
(2)解：由（1）可知 A（-2,0）。设 B 点的坐标为（x1,,y1）,直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的
方程为 y=k(x+2),
于是 A,B 两点的坐标满足方程组
2
2
( 2)
14
y k x
x y
由方程组消去 Y 并整理，得
2 2 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0k x k x k
由
2
1 2
16 42 ,1 4
kx k
得
2
1 12 2
2 8 4, ,1 4 1 4
k kx yk k
从而
设线段 AB 是中点为 M，则 M 的坐标为
2
2 2
8 2( , )1 4 1 4
k k
k k
以下分两种情况：
（1）当 k=0 时，点 B 的坐标为（2,0）。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是
0 0 0( 2, y ), (2, = 2QA QB y QA QB y
）由 4，得 = 2
（2）当 K 0 时，线段 AB 的垂直平分线方程为
2
2 2
2 1 8( )1 4 1 4
k kY xk k k
令 x=0，解得 0 2
6
1 4
ky k
由 0 1 1 0( 2, y ), ( ,QA QB x y y
）
2
1 0 1 0 2 2 2 2
2(2 8 ) 6 4 62 ( ( )1 4 1 4 1 4 1 4
k k k kQA QB x y y y k k k k
）=
4 2
2 2
4(16 15 1) 4(1 4 )
k k
k
=
整理得
2
0
14 2 147 2, =7 5k k y 故 所以
综上 0 0
2 14= 2 2 = 5y y 或
80.（2010 广东理） 21．（本小题满分 14 分）
设 A( 1 1,x y ),B( 2 2,x y )是平面直角坐标系 xOy 上的两点，先定义由点 A 到点 B 的一种折线距离
p(A,B)为 2 1 2 1( , ) | | | |P A B x x y y .
当且仅当 1 2 1 2( )( ) 0,( )( ) 0x x x x y y y y 时等号成立，即 , ,A B C 三点共线时等号成
立.
（2）当点 C(x, y) 同时满足①P( , )A C +P ( , )C B = P ( , )A B ，②P ( , )A C = P ( , )C B 时，点C
是线段 AB 的中点.
1 2 1 2,2 2
x x y yx y
，即存在点
1 2 1 2( , )2 2
x x y yC
满足条件。
81.（2010 广东理）20．（本小题满分为 14 分）
一条双曲线
2
2 12
x y
的左、右顶点分别为 A1,A2，点 1 1( , )P x y ， 1 1( , )Q x y 是双曲线上不
同的两个动点。
（1）求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式；
（2）若过点 H(0, h)（h>1）的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点，且 1 2l l ,
求 h 的值。
故
2 21 ( 2)2y x
，即
2
2 12
x y
。
（2）设 1 :l y kx h ，则由 1 2l l 知， 2
1:l y x hk
。
将 1 :l y kx h 代入
2
2 12
x y
得
2
2( ) 12
x kx h
，即
2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x khx h ，
由 1l 与 E 只有一个交点知，
2 2 2 216 4(1 2 )(2 2) 0k h k h ，即
2 21 2k h 。
同理，由 2l 与 E 只有一个交点知，
2
2
11 2 hk
，消去 2h 得
2
2
1 kk
，即 2 1k ，从而
2 21 2 3h k ，即 3h 。
82.（2010 广东文）21.（本小题满分 14 分）
已知曲线
2: nxyCn ,点 ),( nnn yxP )0,0( nn yx 是曲线 nC 上的点 ,...)2,1( n ，
83.（2010 福建文）19．（本小题满分 12 分）
已知抛物线 C：
2 2 ( 0)y px p 过点 A （1 , -2）。
（I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于 OA（O 为坐标原点）的直线 L，使得直线 L 与抛物线 C 有公共点，且直
线 OA 与 L 的距离等于
5
5 ？若存在，求直线 L 的方程；若不存在，说明理由。
84.（2010 全国卷 1 理）（21）(本小题满分 12 分)
已知抛物线
2: 4C y x 的焦点为 F，过点 ( 1,0)K 的直线l 与C 相交于 A 、 B 两点，点 A 关
于 x 轴的对称点为 D.
（Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上；
（Ⅱ）设
8
9FA FB
，求 BDK 的内切圆 M 的方程 .
85.（2010 湖北文）20.（本小题满分 13 分）
已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上没一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1。
（Ⅰ）求曲线 C 的方程
（Ⅱ）是否存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都有 FA·FB
＜0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
86.（2010 山东理）（21）（本小题满分 12 分）
如图，已知椭圆
2 2
2 2
1( 0)x y a ba b
＞ ＞
的离心率为
2
2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
1 2,F F 为顶点的三角形的周长为 4( 2 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双
曲线上异于顶点的任一点，直线 1PF 和 2PF 与椭圆的交点分别为 BA、 和 C D、 .
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线 1PF 、 2PF 的斜率分别为 1k 、 2k ，证明 1 2· 1k k ；
（Ⅲ）是否存在常数 ，使得 ·AB CD AB CD 恒成立？若存在，求 的值；若不存
在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为
c
a
2
2 ，得 2a c ，又 2 2a c 4( 2 1) ，所
以可解得 2 2a ， 2c ，所以 2 2 2 4b a c ，所以椭圆的标准方程为
2 2
18 4
x y
；所
以椭圆的焦点坐标为（ 2 ，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该
双曲线的标准方程为
2 2
14 4
x y
。
【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线
的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）
是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，
87.（2010 湖南理）19.（本小题满分 13 分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A,B 两点各建一个考察基地。
视冰川面为平面形，以过 A,B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面直
角坐标系（图 6）在直线 x=2 的右侧，考察范围为到点 B 的距离不超过
6 5
5 km 区域；在直线 x=2
的左侧，考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过 4 5 km 区域。
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图 6 所示，设线段 P1P2,P2P3 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融
化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km,以后每年移动的距
离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。
EMBED
Equation.DS
MT4
3(8,6)
（4，0）（-4,0）
5 3 ，-1）P1
88.（2010 湖北理）19(本小题满分 12 分)
已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都
是 1.
(Ⅰ)求曲线 C 的方程；
（Ⅱ）是否存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都有
0FA FB
？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
89.（2010 安徽理数）19、（本小题满分 13 分）
已知椭圆 E 经过点 2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点
1 2,F F 在 x 轴上，离心率
1
2e
。
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程；
(Ⅱ)求 1 2F AF 的角平分线所在直线l 的方程；
(Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？
若存在，请找出；若不存在，说明理由。
90.（2010 江苏卷）18、（本小题满分 16 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆
159
22
yx
的左、右顶点为 A、B，右焦点为 F。
设 过 点 T （ mt, ） 的 直 线 TA 、 TB 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M ),( 11 yx 、 ),( 22 yxN ， 其 中
m>0, 0,0 21 yy 。
（1）设动点 P 满足 422 PBPF ,求点 P 的轨迹；
（2）设 3
1,2 21 xx
，求点 T 的坐标；
（3）设 9t ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关）。
[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算
求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。
（1）设点 P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由 422 PBPF ，得
2 2 2 2( 2) [( 3) ] 4,x y x y 化简得
9
2x
。
故所求点 P 的轨迹为直线
9
2x
。
（2）将 3
1,2 21 xx
分别代入椭圆方程，以及 0,0 21 yy 得：M（2，
5
3 ）、N（
1
3 ，
20
9
）
直线 MTA 方程为：
0 3
5 2 303
y x
，即
1 13y x
，
直线 NTB 方程为：
0 3
20 10 39 3
y x
，即
5 5
6 2y x
。
联立方程组，解得：
7
10
3
x
y
，
所以点 T 的坐标为
10(7, )3 。
（3）点 T 的坐标为 (9, )m
直线 MTA 方程为：
0 3
0 9 3
y x
m
，即
( 3)12
my x
，
直线 NTB 方程为：
0 3
0 9 3
y x
m
，即
( 3)6
my x
。
分别与椭圆
159
22
yx
联立方程组，同时考虑到 1 23, 3x x ，
解得：
2
2 2
3(80 ) 40( , )80 80
m mM m m
、
2
2 2
3( 20) 20( , )20 20
m mN m m
。
（方法一）当 1 2x x 时，直线 MN 方程为：
2
2 2
2 2
2 2 2 2
20 3( 20)
20 20
40 20 3(80 ) 3( 20)
80 20 80 20
m my xm m
m m m m
m m m m
令 0y ，解得： 1x 。此时必过点 D（1，0）；
当 1 2x x 时，直线 MN 方程为： 1x ，与 x 轴交点为 D（1，0）。
所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0）。
（方法二）若 1 2x x ，则由
2 2
2 2
240 3 3 60
80 20
m m
m m
及 0m ，得 2 10m ，
此时直线 MN 的方程为 1x ，过点 D（1，0）。
若 1 2x x ，则 2 10m ，直线 MD 的斜率
2
2 2
2
40
1080
240 3 40180
MD
m
mmk m m
m
，
直线 ND 的斜率
2
2 2
2
20
1020
3 60 40120
ND
m
mmk m m
m
，得 MD NDk k ，所以直线 MN 过 D 点。
因此，直线 MN 必过 x 轴上的点（1，0）。
第二部分 两年模拟题
全国各地市 2012 年模拟试题：直线与圆
【2012 江西师大附中高三下学期开学考卷文】“ 3a ”是“直线 022 ayax 和直线
07)1(3 ayax 平行”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】本题主要考查平面解析几何中的直线与直线的位置关系（平行）. 属于基础知识、
基本运算的考查.
3a 代入， 直线 022 ayax 和直线 07)1(3 ayax 平行，反之
直线 022 ayax 和 07)1(3 ayax 平行 ( 1) 2 3 2 ( 7)a a a a
3a 或 2a ，所以“ 3a ”是“直线 022 ayax 和直线 07)1(3 ayax
平行”的充分而不必要条件
【2012 江西师大附中高三下学期开学考卷文】已知 P 是直线 0843 yx 上的动点，
PA PB、 是圆 012222 yxyx 的切线，A B、 是切点， C 是圆心，那么四边形 PACB
面积的最小值是( ).
A． 2 B． 2
C． 22 D． 4
【答案】C
【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置
关系、点到直线的距离的基本运算. 属于基础知识、
基本运算、基本你能力的考查.
由题意，圆 012222 yxyx 的圆心是 C
（1，1），半径为 1，PA=PB 易知四边形 PACB面积
＝ 1 ( )2 PA PB PA ,故 PA 最小时，四边形 PACB面积最小。
由于 2| | | | 1PA PC ,故 PC 最小时 PA 最小垂直此时 CP 常这样直线直线 0843 yx
23 4 8|| | 3,| | | | 1 2 25PC PA PC ∴ 四边形 PACB 面积的最小值是 2 2 .
【2012 厦门期末质检理 4】直线 x＋y－1＝0 被圆(x＋1)2＋y2＝3 截得的弦长等于
A. 2 B. 2 C.2 2 D. 4
【答案】B
【解析】求圆的弦长利用勾股定理，弦心距 232,4,3,2
2
22 lldrrd =2，
选 B;
【2012 粤西北九校联考理 12】点 )1,2( P 为圆 25)3( 22 yx 的弦的中点，则该弦所在
直线的方程是__ __;
【答案】 01 yx
【解析】点 )1,2( P 为圆 25)3( 22 yx 的弦的中点，则该弦所在直线与 PC 垂直，弦方
程 01 yx ；
【2012 海南嘉积中学期末理 2】直线l 与直线 1y = ，直线 7x = 分别交于 ,P Q 两点， PQ 中
点为 (1, 1)M - ，则直线l 的斜率是（ ）
A、 1
3
B、 2
3
C、 3
2- D、 1
3-
【答案】D
【解析】因为直线 l 与直线 1y = ，直线 7x = 分别交于 ,P Q 两点， PQ 中点为 (1, 1)M - ，
P(-5,1),Q(7，-3), 1
2K
【2012 海南嘉积中学期末理 7】直线 3 2 3 0x y+ - = 与圆 2 2: 4O x y+ = 交于 A 、 B 两
点，则OA OB× =
（ ）
A、2 B、-2 C、4 D、-4
【答案】A
【解析】直线 3 2 3 0x y+ - = 与圆 2 2: 4O x y+ = 交于 A （1， 3 ），B（2，0），
OA OB× =
2
【2012黑龙江绥化市一模理10】若圆C: 2 2 2 4 3 0x y x y 关于直线 2 6 0ax by 对
称，则由点 ( , )a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.6
【答案】C
【解析】直线 2 6 0ax by 过圆心 C（-1,2）， 03 ba ，当点 M ( , )a b 到圆心距离最小
时，切线长最短； 2,2682)2()1( 222 aaabaMC 时最小， 1b ，此
时切线长等于 4；
【2012 浙江瑞安期末质检理 7】已知点 ),( yxP 是直线 )0(04 kykx 上一动点，
PBPA, 是圆C ： 2 2 2 0x y y 的两条切线， BA, 为切点，若四边形 PACB的最小面
积是 2，则 k 的值为（ ）
A．4 B． 2 2 C．2 D． 2
【答案】C
【解析】因为四边形 PACB的最小面积是 2，此时切线长为 2 ，圆心到直线的距离为 5 ，
2,5
1
5
2
k
k
d
【2012 泉州四校二次联考理 8】圆心在曲线 3 0y xx
上，且与直线3 4 3 0x y 相切
的面积最小的圆的方程为（ ）
A．
2
2 32 92x y
B．
2
2 2 163 1 5x y
C．
2
2 2 181 3 5x y
D． 2 2
3 3 9x y
【答案】A
【解析】 35
3123
xx
R ，当且仅当 2x 时取等号；所以半径最小时圆心为 )2
3,2( ，
圆方程为
2
2 32 92x y
【2012 泉州四校二次联考理 14】已知直线 0ax by c 与圆 2 2: 1O x y 相交于 A，B 两
点，且 3AB ，则 OA OB _________．
【答案】
2
1
【解析】因为直线 0ax by c 与圆 2 2: 1O x y 相交于 A，B 两点，且 3AB ，所以
圆心距
222
1
ba
cd
，而OA OB
2
1)()1( 2
2
212212
2
b
cxx
b
acxx
b
a
【2012 延吉市质检理 15】曲线Ｃ： )0,0(||
baax
by 与 y 轴的交点关于原点的对称点
称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线 C 有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则当 a=1，
b=1 时，所有的“望圆”中，面积最小的“望圆”的面积为 ．
【答案】 3
【解析】因为曲线Ｃ： )0,0(||
baax
by 与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，
以“望点”为圆心，凡是与曲线 C 有公共点的圆，皆称之为“望圆”，所以当 1,1 ba 时望
圆的方程可设为 222 )1( ryx ，面积最小的“望圆”的半径为（0,1）到
1
1
xy 上任
意点之间的最小距离，
22222 )1
2()11
1( x
xxxxd
32)1(
2)1(2)1(
1)1( 2
2
xxxx ，所以半径 3r ，最小面积为 3
【2012 金华十校高三上学期期末联考文】已知点 ( 2,0), (1, 3)A B 是圆 2 2 4x y 上的定
点，经过点 B 的直线与该圆交于另一点 C，当 ABC 面积最大时，直线 BC 的方程是 ；
【答案】 1x
【解析】本题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系、三角形的面积公式. 属于基础知识、
基本运算的考查.
AB 的长度恒定，故 ABC 面积最大，只需要 C 到直线 AB 的距离最大即可。此时，C 在 AB 的
中垂线上，AB 的中垂线方程为 3 3 ( 1)2 3y x 代入 2 2 4x y 得 (1, 3)C ，所以直线
BC 的方程是 1x 。
【2012 金华十校高三上学期期末联考文】设 M（1，2）是一个定点，
过 M 作两条相互垂直的直线 1 2,l l 设原点到直线 1 2,l l 的距离分别
为 1 2,d d ，则 1 2d d 的最大值是 。
【答案】 10
【解析】本题主要考查数形结合的思想及均值不等式. 属于基础知识、基本运算的考查.
由题意，设 O 到两条直线的距离为 OC,OD，则四边形 OCMD 是矩形， 2 2 2
1 2 5d d OM ，
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 5 ( ) 5 2d d d d d d d d
因为
2
1 2 1 2
1 2 1 2
( )
2 4
d d d dd d d d
所以
2
2 21 2
1 2 1 2 1 2
( )( ) 5 ( ) 10 102
d dd d d d d d
从而 1 2d d 的最大值是 10
【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】圆心在抛物线 x2=2y 上，与直线 2x+2y+3=0 相
切的圆中，面积最小的圆的方程为 ．
【答案】
2
2 1 11 2 2x y
【解析】本题主要考查直线和圆的位置关系、最值问题的基本运算. 属于基础知识、基本运
算的考查.
圆心在直线 2 2x y 上，设圆心为 21( , )2x x ，直线 2x+2y+3=0 与圆相切
圆心到直线 2x+2y+3=0 的距离为
2 2 2
2 2
| 2 3| | 2 3| | ( 1) 2 | 2 2
22 2 2 2 2 22 2
x x x x xr
当 1x 时， r 最小，从而圆的面积最小，此时圆的圆心为 1(1. )2
圆的方程为
2
2 1 11 2 2x y
【2012 江西师大附中高三下学期开学考卷文】已知圆的半径为 10 ，圆心在直线 2y x 上，
圆被直线 0x y 截得的弦长为 4 2 ，则圆的标准方程为
【答案】 2 22 4 10x y 或 2 22 4 10x y
【解析】本题主要考查圆的标准方程、点到直线的距离，直线与圆的位置关系. 属于基础知
识、基本运算的考查.
圆心在直线 2y x 上，设圆心为 ( ,2 )x x ，圆心到直线 2y x 的距离由 2 2( )2
ld r 得
2 24 2( 10) ( ) 22d ，
2 2
| 2 |2 | | 2
1 1
a a a a
圆的标准方程为 2 22 4 10x y 或 2 22 4 10x y
【2012 三明市普通高中高三上学期联考文】经过点 (2, 3)P 作圆 2 22 24x x y 的弦 AB ，
使得点 P 平分弦 AB ，则弦 AB 所在直线的方程为 ．
【答案】 5 0x y
【解析】本题主要考查直线方程的点斜式、圆的方程、直线与圆的位置关系. 属于基础知识、
基本运算的考查.
点 P 在圆内，则过点 P 且被点 P 平分的弦所在的直线，此直线和圆心与 B 的连线垂直，又
圆心与 B 的连线的斜率是－1，则所求直线的斜率为 1，且过点 P(2，－3)，则所求直线方程
是：x－y－5=0
【2012 黄冈市高三上学期期末考试文】已知直线 2 0ax y 与双曲线
2
2 14
yx 的一条渐
近线平行，则这两条平行直线之间的距离是 。
【答案】 2 5
5
【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质、点到直线的距离公式. 属于基础知识、基本
运算的考查.
双曲线
2
2 14
yx 的渐近线
2
2 04
yx ，不妨设双曲线
2
2 14
yx 的一条渐近线为
2 0x y ,
2 0ax y 与 2 0x y 平行，∴ 2a ，在直线 2 0x y 上取一点 A（1，2）
A 到 2 0ax y 的距离就是这两条平行直线之间的距离为
2 2
| 2 2 2 | 2 5
52 1
【2012广东佛山市质检文】如图，P 为圆O 外一点，由 P 引圆O 的切线 PA 与圆O 切于 A 点，
引圆 O 的割线 PB 与圆 O 交于 C 点.已知 ACAB ， 1,2 PCPA .则圆 O 的面积
为 .
【答案】
4
9
【 解 析 】 由 ACAB 得 BC 为 圆 的 直 径 ， 又 由 切 割 线 定 理 可 得 2PA PC PB , 即
22 1 (1 2 )r ，解得 3
2r ，故圆O 的面积为
4
9 。
【山东省微山一中2012届高三10月月考理】4．过点 (5,2) ，且在y轴上的截距是在x轴上的截
距的2倍的直线方程是 （ ）
A． 2 12 0x y B． 2 12 0x y 或 2 5 0x y
C． 2 1 0x y D． 2 1 0x y 或 2 5 0x y
答案: B
解析:考查直线方程的截距式以及截距是0的易漏点,当直线过原点时方程为 2 5 0x y ,不过
原点时,可设出其截距式为 12
x y
a a
再由过点 (5,2) 即可解出.
【山东省微山一中 2012 届高三 10 月月考理】7．直线 y x b 与曲线 21x y 有且仅有一
个公共点，则 b 的取值范围是 （ ）
A．| | 2b B． 1 1b 或 2b C． 1 2b D． 2 1b
答案:B
解析: y x b 是斜率为 1 的直线,曲线 21x y 是以原点为圆心 1 为半径的圆的右半圆,
画出他们的图像如右图, 由图可以看出:两种情况两个曲线有且仅有一个公共点, 当 2b
时相切,当 1 1b 时,相交且有唯一公共点;这里考查直线与圆位置关系,数形结合,是中档
题.
【山东省日照市 2012 届高三上学期期末理】（9）如果不等式组
01
,2
,0
ykx
xy
x
表示的平面区
域是一个直角三角形，则该三角形的面积为
（A）
5
1
2
1 或 （B）
3
1
2
1 或 （C）
4
1
5
1 或 （D）
2
1
4
1 或
【答案】C 解析：有两种情形：（1）直角由 xy 2 与 01 ykx 形成，则
2
1k ，三角
形的三个顶点为（0，0），（0，1），（
5
4,5
2 ），面积为
5
1 ；（2）直角由 0x 与 01 ykx 形
成，则 0k ，三角形的三个顶点为（0，0），（0，1），（ 1,2
1 ），面积为
4
1 。
【山东实验中学 2012 届高三第一次诊断性考试理】16. 以抛物线. 的焦点为圆心，
且与双曲线- 的两条渐近线都相切的圆的方程为_______
【 答 案 】 2 2( 5) 9x y
【解析】解：由已知可以知道，抛物线的焦点坐标为（5,0），双曲线的渐近线方程为 3
4y x
则所求的圆的圆心为（5,0），利用圆心到直线 3x-4y=0 的距离为半径 r，则有
2 2
| 3 5 4 0 | 3
3 4
r
,故圆的方程为 2 2( 5) 9x y
【山东省微山一中 2012 届高三 10 月月考数学（文）】8．若直线 x y a 过圆
x y x y 的圆心,则 a 的值为 （ ）
A． 1 B．1 C． 3 D． 3
【答案】B
【 解析 】 因 为圆 x y x y 的 圆心 为 （-1,2）， 由直 线 x y a 过 圆
x y x y 的圆心得：a=1.该题简单的考查直线与圆的位置关系，是简单题。
【山东省青岛市 2012 届高三期末检测 理】22．（本小题满分 14 分）
已知圆 1C 的圆心在坐标原点O ,且恰好与直线 1 :l 2 2 0x y 相切.
(Ⅰ) 求圆的标准方程；
（Ⅱ）设点 0, 0( )A x y 为圆上任意一点, AN x 轴于 N ,若动点Q 满足
OQ mOA nON ,(其中 1, , 0,m n m n m 为常数),试求动点Q 的轨迹方程 2C ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当 3
2m 时,得到曲线C ，问是否存在与 1l 垂直的一条直线l 与
曲线C 交于 B 、 D 两点,且 BOD 为钝角，请说明理由.
【答案】22．（本小题满分 14 分）
解: (Ⅰ)设圆的半径为 r ,圆心到直线 1l 距离为 d ，则
2 2
| 2 2 | 2
1 1
d
…………2 分
所以圆 1C 的方程为 2 2 4x y ……………………………………………………3 分
（Ⅱ）设动点 ( , )Q x y , 0, 0( )A x y , AN x 轴于 N , 0( ,0)N x
由题意, 0 0 0( , ) ( , ) ( ,0)x y m x y n x ，所以 0 0
0
( )x m n x x
y my
………………5 分
即:
0
0
1
x x
y ym
，将 1( , )A x ym
代入 2 2 4x y ,得
2 2
2 14 4
x y
m
………………7 分
（Ⅲ） 3
2m 时,曲线C 方程为
2 2
14 3
x y ，假设存在直线l 与直线 1 :l 2 2 0x y 垂
2
2
直,设直线l 的方程为 y x b ………………………………………………8 分
设直线l 与椭圆
2 2
14 3
x y 交点 1 1 2 2( , ), ( , )B x y D x y
联立得: 2 23 4 12
y x b
x y
，得 2 27 8 4 12 0x bx b ………………………9 分
因为 248(7 ) 0b ，解得 2 7b ，且
2
1 2 1 2
8 4 12,7 7
b bx x x x ……10 分
1 2 1 2 1 2 1 2( )( )OD OB x x y y x x b x b x 2
1 2 1 22 ( )x x b x x b
2 2
28 24 8
7 7
b b b
27 24
7
b ………………………………………………12 分
因为 BOD 为钝角，所以
27 24 07
b ，
解得 2 24
7b 满足 2 7b
2 42 2 42- 7 7b
所以存在直线l 满足题意……………………………………………………………14 分
全国各地市2012年模拟试题：圆锥曲线
【江西省泰和中学 2012 届高三 12 月周考】已知抛物线 2 2y px 上一点 M（1，m）到其焦点
的距离为 5，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．x=8 B．x=-8 C．x=4 D．x=-4
【答案】D
【解析】由题意得 52
p1 ，故 8p ,所以准线方程为 4x
【山东省微山一中 2012 届高三 10 月月考数学（文）】10．设 M（ 0x ， 0y ）为抛物线 C： 2 8x y
上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、 FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，
则 0y 的取值范围是 （ ）
A．（0，2） B．[0，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【答案】C
【解析】由题意只要 4FM 即可，而 0 02, 2,FM y y 所以，简单考查抛物线的方
程、直线与圆的位置关系、抛物线的定义及几何性质，是简单题。
【山东实验中学 2012 届高三第一次诊断性考试理】12. 点 P 在双曲线
上•， 是这条双曲线的两个焦点，
，且 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是
(A) .2 (B) .3 (C) .4 (D) .5
【 答 案 】 D
【解析】解：设|PF2|,|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为 m-d,m,m+d,则由双曲线定义和
勾股定理可知：m-(m-d)=2a,m+d=2c, (m-d)2+m2=(m+d)2,解得 m=4d=8a,
5
2 5
2
d
ce da
故选项为 D
【山东省微山一中2012届高三10月月考理】8. 若双曲线
2 2
2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b
上不存在点P
使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围
为 （ ）
A． ( 2, ) B．[ 2, ) C． (1, 2] D． (1, 2)
答案:C
解析:这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为
双曲线的中心）的对称点在y轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P使得OP斜率为1即可,所以只要渐进
线的斜率大于1,也就是离心率大于 2 ,求其在大于1的补集;该题通过否定形式考查反证法的思想,又
考查数形结合、双曲线的方程及其几何性质,是中档题.
【2012 江西师大附中高三下学期开学考卷文】设 1 2F F、 分别是椭圆
2
2
2: 1(0 1)yE x bb
的左、右焦点，过 1F 的直线 与 E 相交于 A B、 两点，且 2 2,AF AB BF， 成等差数列，
则 AB 的长为（ ）
A．
3
2 B．1 C．
3
4 D．
3
5
【答案】C
【解析】本题主要考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系，等差中项的计算. 属
于基础知识、基本运算的考查.
椭圆
2
2
2: 1(0 1)yE x bb
， 1a ，∵ 1 1 2 22 1, 1AF BF a AF BF ，相加得
1 1 2 2 2AF BF AF BF
2 2 1 12 2 | |AF BF AF BF AB
2 2,AF AB BF， 成等差数列， 2 22 2 1AB AF BF a
于是 2 2AB AB ，∴ 2
3AB
【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】曲线 y=x3 在点(1，1)处的切线方程是
A．x+y-2=0 B．3x+y-2=0 C．3x-y-2=0 D．x-y+2=0
【答案 C
【解析】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系、导数. 属于基础知识、基本运
算的考查. 点(1，1)在曲线 y=x3 上，切线的斜率就是曲线的导数， 23y x ，斜率 k＝3
由点斜式方程得切线方程为 1 3( 1)y x ，即 3x-y-2=0
【2012 唐山市高三上学期期末统一考试文】已知双曲线的渐近线为 3y x ，焦点坐标为
（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）
A．
2 2
18 24
x y B．
2 2
112 4
x y C．
2 2
124 8
x y D．
2 2
14 12
x y
【答案】 D
【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.
双曲线的渐近线为 3y x ，焦点在 x 轴上，双曲线方程设为
2
2 ( 0)3
yx
即
2 2
13
x y
， 2 2, 3a b ，∵焦点坐标为（-4，0），（4，0）∴ 4c
2 2 2 4 16 4c a b ∴双曲线方程为
2 2
14 12
x y
【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】双曲线 2
2
4 yx =1 的离心率是
A．
2
1 B．
2
3 C．
2
5 D． 3
【答案】C
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.
双曲线 2
2
4 yx =1 中， 2 2 2 2 24, 1 5a b c a b ，
双曲线 2
2
4 yx =1 的离心率是 5
2
ce a
【2012 金华十校高三上学期期末联考文】过双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左焦点
( ,0)( 0)F c c ，作圆
2
2 2
4
ax y 的切线，切点为 E，延长 FE 交曲线右支于点 P，若
1
2OE OF OP ，则双曲线的离心率为 （ ）
A． 10 B． 10
5
C． 10
2
D． 2
【答案】 C
【解析】本题主要考查双曲线的定义、直线与圆的位置关
系、中点公式、双曲线的简单几何性质. 属于基础知
识、基本运算的考查.
圆的
2
2 2
4
ax y 半径为
2
a ，由 1
2OE OF OP 知，
E 是 FP 的 中 点 ， 如 图 ， 设 ( ,0)F c ， 由 于 O 是 FF 的 中 点 ， 所 以 ，
1, 22OE PF OE PF PF OE a
由双曲线定义， 3FP a ，因为 FP 是圆的切线，切点为 E，所以 FP OE ，从而 90FPF ，
由勾股定理 2 2 2 2 2 2 109 4 2FP F P FF a a c e
【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】已知抛物线 y2=2px，直线 l 经过其焦点且与 x
轴垂直，并交抛物线于 A、B 两点，若|AB|=10，P 为抛物线的准线上一点，则△ABP 的面积为
A．20 B．25 C．30 D．50
【答案】B
【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、通径的概念、抛物线的简单几何性质. 属
于基础知识、基本运算的考查.
抛物线 y2=2px，直线 l 经过其焦点且与 x 轴垂直，并交抛物线于 A、B 两点，则|AB|＝2p，
|AB|=10，所以抛物线方程为 y2=10x，P 为抛物线的准线上一点，P 到直线 AB 的距离为 p＝5，
则△ABP 的面积为 1 10 5 252
【2012 三明市普通高中高三上学期联考文】若双曲线 1124
22
yx 上的一点 P 到它的右焦点的
距离为 8,则点 P 到它的左焦点的距离是
A．4 B．12 C．4 或 12 D．6
【答案】C
【解析】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的标准方程，属于基础知识、基本方法的考查.
设双曲线的两个焦点分别 A,B，由定义，
|| | | || 4PA PB ，|8 | || 4PB ，| | 4PB 或者| | 12PB
【2012 黄冈市高三上学期期末考试文】设 F 为抛物线 2 4y x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上
三点，若 0FA FB FC ，则| | | | | |FA FB FC = （ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【解析】本题主要考查抛物线的定义和标准方程、向量共线的知识. 属于基础知识、基本运
算的考查.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，抛物线焦点坐标 F(1，0)，准线方程：x=-1
∵ 0FA FB FC ∴点 F 是△ABC 重心
则 x1+x2+x3=3， y1+y2+y3=0
而|FA|=x1－(－1)=x1＋1 |FB|=x2－(－1)=x2＋1
|FC|=x3－(－1))=x3+1
∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=(x1+x2+x3)+3=3+3=6
【2012 武 昌区 高 三 年级 元 月调 研 文 】 已 知抛 物 线 方程 为 2 4y x ， 直线 l 的 方程 为
4 0x y ，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 1d ，P 到直线l 的距离为 2d ，则
1 2d d 的最小值为 （ ）
A． 5 2 22
B． 5 2 12
C． 5 2 22
D． 5 2 12
【答案】D
【解析】本题主要考查抛物线定义以及点到直线的距离公式以及最值问题以及转化的思想.
属于基础知识、基本运算、基本能力的考查.
由抛物线的定义，PF＝ 1 1d ， 1 1d PF
1 2 2 1d d d PF ，显然当 PF 垂直于直线
4 0x y 时， 1 2d d 最小。此时 2d PF 为 F 到
直线 4 0x y 的距离为
2 2
|1 0 4 | 5 221 1
∴ 1 2d d 的最小值为 5 2 12
【2012 厦门市高三上学期期末质检文】已知双曲线方
程为
2 2
14 3
x y ，则此双曲线的右焦点坐标为
A.(1,0) B. (5,0) C. (7,0) D. ( 7 ,0)
【答案】D
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.
双曲线方程为
2 2
14 3
x y ，双曲线 2 24, 3a b ， 2 2 7c a b ,焦点在 x 轴上，此双
曲线的右焦点坐标为( 7 ,0)
【2012 厦门市高三上学期期末质检文】抛物线 y2＝mx 的焦点为 F，点 P（2 , 2 2 ）在此抛
物线上，M 为线段 PF 的中点，则点 M 到该抛物线准线的距离为
A.1 B.
2
3 C.2 D.
2
5
【答案】D
【解析】本题主要考查抛物线的标准方程和简单几何性质、中点坐标公式. 属于基础知识、
基本运算的考查. 点 P（2 , 2 2 ）在此抛物线 y2＝mx 上，m＝4，抛物线的准线为 x＝－1
∴抛物线 y2＝mx 的焦点为 F（1，0），M 为线段 PF 的中点，∴M 的坐标为(
2
3 , 2 )
∴M 到抛物线的准线为 x＝－1 的距离为
2
5 。
【2012 年西安市高三年级第一次质检文】过抛物线 的焦点 F 垂直于对称轴的直
线交抛物线于 A,B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 P 的值为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单几何性质. 属于基础知识、基本运
算的考查.
抛物线 的焦点 F ( ,0)2
p ，对称轴为 x 轴，过抛物线 的焦点 F 垂直于
对称轴的直线为
2
px ，交抛物线于 A ( , )2
p p ,B ( , )2
p p 两点，线段 AB 的长为 8，故
2 8 4p p
【2012 厦门期末质检理 9】点 A 是抛物线 C1：y2=2px(p>0)与双曲线 C2： 1
22
b
y
a
x (a>0，b>0)
的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p，则双曲线 C2 的离心率等于
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】求抛物线 C1：y2=2px(p>0)与双曲线 C2： 1
22
b
y
a
x (a>0，b>0)的一条渐近线的交点
,, 2
2
2
2
2
2
b
pax
b
pay
pxy
x
a
by
所以 ,2
2
2
2 p
b
pa 2 25 , 5c a e ，选 C;
【2012 粤西北九校联考理 8】已知抛物线的一条过焦点 F 的弦 PQ，点 R 在直线
PQ 上，且满足 1 ( )2OR OP OQ ，R 在抛物线准线上的射影为 S ，设 、 是 PQS 中
的两个锐角，则下列四个式子中不一定．．．正确的是（ ）
A． tan tan 1 B．sin sin 2
C． cos cos 1 D．| tan( ) | tan 2
【答案】D
【解析】由题意 ,2
PSQ 2
，所以 A． tan tan 1 ． B sin sin 2
C． cos cos 1 都正确；
【2012 宁德质检理 4】双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的离心率为 5
2
，实轴长 4，则双曲
线的焦距等于 （ ）
A． 2 5 B． 4 5 C． 2 3 D． 4 3
【答案】A
【解析】因为离心率为 5
2
，实轴长 4，所以
2
5
42
a
c
a ， 522,5 cc
【2012 宁德质检理 6】已知方程
2 2
1( )1 3
x y k Rk k
表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 k 的
取值范围是 （ ）
A． 1 3k k 或 B．1 3k C． 1k D． 3k
【答案】B
【 解 析 】 因 为 方 程
2 2
1( )1 3
x y k Rk k
表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 ， 所 以
1 0
1 3
3 0 ,1 3k
k k
k k
【2012 韶关第一次调研理 11】已知 1 2( 1,0), (1,0)F F 的椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
的两个焦点，若椭
圆上一点 P 满足 1 2 4PF PF ，则椭圆的离心率 e
【答案】 1
2
，
【解析】由椭圆定义得 1 2 4PF PF 1,2 4, 2, 1, 2a a c e
【2012 海南嘉积中学期末理 9】设椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b+ = > > 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，
A 是椭圆上的一点， 2 1AF AF^ ,原点O 到直线 1AF 的距离为 1
1
2 OF ，则椭圆的离心率为
（ ）
A、 1
3
B、 3 1- C、 2
2
D、 2 1-
【答案】B
【解析】由条件得 2 1, 3 ,2 (1 3) , 3 1AF c AF c a c e
【2012 浙江瑞安期末质检理 14】设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 B ,如果直
A
B C
D
线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ▲ .
【答案】
2
51
【解析】因为直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，所以
2
15,1)( ec
b
a
b
【2012·泉州四校二次联考理 4】双曲线 2 22 8x y－ ＝ 的实轴长是（ ）
A．2 B． 2 2 C．4 D． 4 2
【答案】C
【解析】双曲线 2 22 8x y－ ＝ 方程化为 184
22
yx ， ,2a 实轴长 42 a
【2012·泉州四校二次联考理 10】已知椭圆 C1 ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
与双曲线 C2 ：
2
2 14
yx 有公共的焦点，C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A、B 两点．若
C1 恰好将线段 AB 三等分，则（ ）
A． 2 13a B． 2 13
2a C． 2 2b D． 2 1
2b
【答案】D
【解析】因为椭圆 C1 ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
与双曲线 C2：
2
2 14
yx 有公共的焦点，
,52 c 522 ba ；因为 C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A、B 两点．若 C1
恰好将线段 AB 三等分，所以 ,
55
255
4
5
9 2
24
22
222
2
a
aa
ab
baaOB ;2
1,2
11 22 ba
【2012 延吉市质检理 9】若双曲线 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的左右焦点分别为 1F 、 2F ，线段
21FF 被抛物线 2 2y bx 的焦点分成 5:7 的两段，则此双曲线的离心率为（ ）
A． 9
8
B． 6 37
37
C． 3 2
4
D． 3 10
10
【答案】C
【 解 析 】 因 为 线 段 21FF 被 抛 物 线 2 2y bx 的 焦 点 分 成 5:7 的 两 段 ， 所 以
4
23,4036,436,62
2222 ecacbcb
【2012 延吉市质检理 13】已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程是 xy 4 ，则该双曲
线的离心率为（ ）．
【答案】 17
【 解 析 】 因 为 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 是 xy 4 ， 所 以
17,17,4 22 eacab
【2012 唐山市高三上学期期末统一考试文】F 是抛物线 2 2y x 的焦点，A、B 是抛物线上的
两点，|AF|+|BF|=6，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 。
【答案】 5
2
【解析】本题主要考查抛物线的定义. 属于基础知识、基本运算的考查.
|AF|+|BF|=6,由抛物线的定义即AD+BE＝6，又线段AB的中点到y轴的距离为 1 ( ) 32 AD BE ,
抛物线的准线为 1
2y ，所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 5
2
【2012 金华十校高三上学期期末联考文】已知抛物线 2 2y px 上任一点到焦点的距离比到 y
轴距离大 1。
（1）求抛物线的方程；
（2）设 A，B 为抛物线上两点，且 AB 不与 x 轴垂直，若线段 AB 的垂直平分线恰过点 M
（4，0），求 MAB 的面积的最大值。
【答案】
【解析】本题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查
数形结合、化归与转化等数学思想方法.
【2012 唐山市高三上学期期末统一考试文】过椭圆
2
2 12
x y 的左焦点 F 作斜率为
( 0)k k 的直线交椭圆于 A，B 两点，使得 AB 的中点 M 在直线 2 0x y 上。
（1）求 k 的值；
（2）设 C（-2，0），求 tan .ACB
【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考
查数形结合、化归与转化等数学思想方法.
解：（Ⅰ）由椭圆方程，a＝ 2，b＝1，c＝1，则点 F 为(－1，0)．
直线 AB 方程为 y＝k(x＋1)，代入椭圆方程，得
(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0． ①
设 A (x1，y1)，B (x2，y2)，M (x0，y0)，则
x0＝x1＋x2
2
＝－ 2k2
2k2＋1
，y0＝k(x0＋1)＝ k
2k2＋1
，
由点 M 在直线 x＋2y＝0 上，知－2k2＋2k＝0，
∵k≠0，∴k＝1． …6 分
（Ⅱ）将 k＝1 代入①式，得 3x2＋4x＝0，
不妨设 x1＞x2，则 x1＝0，x2＝－ 4
3
， …8 分
记α＝∠ACF，β＝∠BCF，则
tan α＝ y1
x1＋2
＝x1＋1
x1＋2
＝ 1
2
，tan β＝－ y2
x2＋2
＝－x2＋1
x2＋2
＝ 1
2
，
∴α＝β，
∴tan ∠ACB＝tan 2α＝ 2tan α
1－tan2α
＝ 4
3
． …12 分
【2012 武昌区高三年级元月调研文】如图， DP x 轴，点 M 在 DP 的延长线上，且
| | 2 | |DM DP ．当点 P 在圆 2 2 1x y 上运动时。
（I）求点 M 的轨迹 C 的方程；
（Ⅱ）过点 2 2(0, ) 1T t y 作圆x 的切线l 交曲线 C 于 A，B 两点，求△AOB 面积 S 的最大
值和相应的点 T 的坐标。
【解析】本题主要考查了轨迹方程的求法、直线和圆的位置关系、弦长公式、均值不等式的
应用. 属于难题。考查了基础知识、基本运算、参数法、恒等变换能力.
解:设点 M 的坐标为 yx, ，点 P 的坐标为 00 , yx ，
则 0xx ， 02yy ，所以 xx 0 ，
20
yy ， ①
因为 00 , yxP 在圆 122 yx 上，所以 12
0
2
0 yx ②
将①代入②，得点 M 的轨迹方程 C 的方程为 14
2
2 yx ．
（Ⅱ）由题意知， 1|| t ．
当 1t 时，切线l 的方程为 1y ，点 A、B 的坐标分别为 ),1,2
3(),1,2
3(
此时 3|| AB ，当 1t 时，同理可得 3|| AB ；
当 1t 时，设切线l 的方程为 ,mkxy Rk
由
,14
,
2
2 yx
tkxy
得 042)4( 222 tktxxk ③
设 A、B 两点的坐标分别为 ),(),,( 2211 yxyx ，则由③得：
2
2
21221 4
4,
4
2
k
txx
k
ktxx
．
又由 l 与圆 122 yx 相切，得 ,1
1
||
2
k
t 即 .122 kt
所以 2
12
2
12 )()(|| yyxxAB ]
4
)4(4
)4(
4)[1( 2
2
22
2
2
k
t
k
tkk
.
3
||34
2
t
t
因为 ,2
||
3||
34
3
||34|| 2
ttt
tAB 且当 3t 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为 2
依 题 意 ， 圆 心 O 到 直 线 AB 的 距 离 为 圆 122 yx 的 半 径 ， 所 以 AOB 面 积
112
1 ABS ，当且仅当 3t 时， AOB 面积 S 的最大值为 1，相应的T 的坐
标为 3,0 或者 3,0 ．
【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】 已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1： 2
2
2
2
b
x
a
y =1 经
过 A(1，0)点，且离心率为
2
3 ．
(I)求椭圆 C1 的方程；
(Ⅱ)过抛物线 C2： hxy 2 (h∈R)上 P 点的切线与椭圆 C1 交于两点 M、N，记线段 MN 与
PA 的中点分别为 G、H，当 GH 与 y 轴平行时，求 h 的最小值．
【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程和简单几何性质、直线和椭圆的位置关系、中点公
式、均值不等式的应用. 属于难题。考查了基础知识、基本运算、参数法、恒等变换能力.
解：（Ⅰ）由题意可得
2
2 2 2
1 1,
3 ,2
.
b
c
a
a b c
，……………2 分
解得 2, 1a b ，
所以椭圆 1C 的方程为
2
2 14
yx .………………4 分
（Ⅱ）设 2,P t t h ，由 2y x ，
抛物线 2C 在点 P 处的切线的斜率为 2x tk y t ,
所以 MN 的方程为 22y tx t h ,……………5 分
代入椭圆方程得 22 24 2 4 0x tx t h ,
化简得 22 2 2 24 1 4 4 0t x t t h x t h
又 MN 与椭圆 1C 有两个交点，故
4 2 216 2 2 4 0t h t h ①
设 1 1 2 2, , ,M x y N x y ， MN 中点横坐标为 0x ，则
2
1 2
0 22 2 1
t t hx xx
t
, …………………8 分
设线段 PA 的中点横坐标为 3
1
2
tx ,
由已知得 0 3x x 即
2
2
1
22 1
t t h t
t
， ②………………10 分
显然 0t , 1 1h t t
③
当 0t 时， 1 2t t
，当且仅当 1t 时取得等号，此时 3h 不符合①式，故舍去；
当 0t 时， 1 2t t
，当且仅当 1t 时取得等号，此时 1h ，满足①式。
综上， h 的最小值为 1.………………12 分
【2012 黄 冈市 高三 上 学期 期 末考 试 文】 已 知 ABC 中 ，点 A 、 B 的 坐标 分 别为
( 2,0), ( 2,0)B ，点 C 在 x 轴上方。
（1）若点 C 坐标为 ( 2,1) ，求以 A、B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程；
（2）过点 P（m，0）作倾角为 3
4
的直线l 交（1）中曲线于 M、N 两点，若点 Q（1，0）
恰在以线段 MN 为直径的圆上，求实数 m 的值。
【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考
查数形结合、化归与转化等数学思想方法.
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
2 2
2 2 1x y
a b
，c= 2 ,2a= 4AC BC ,b= 2 ,椭圆方程为
2 2
14 2
x y ……………………………5 分
（Ⅱ）直线 l 的方程为 ( ),y x m 1 1 2 2令M(x ,y ),N(x ,y )，联立方程解得
2 23 4 2 4 0x mx m ，
1 2
2
1 2
4+ 3
2 4
3
mx x
mx x
，若 Q 恰在 以 MN 为直径的圆上,
则 1 2
1 2
11 1
y y
x x
，即 2
1 2 1 21 ( 1)( ) 2 0m m x x x x ，
2 2 193 4 5 0, 3m m m 解得 ． ……………………………14 分
【2012 江西师大附中高三下学期开学考卷文】已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的离心率为
2
2
，其中左焦点 2,0F
①求椭圆 C 的方程
②若直线 y x m 与椭圆 C 交于不同的两点 ,A B ，且线段 AB 的中点 M 关于直线 1y x 的
对称点在圆 2 2 1x y 上，求 m 的值
【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线和椭圆的位置关系、
中点公式、对称问题的应用. 属于难题。考查了基础知识、基本运算、参数法、恒等变换能
力.解：①
2 22
12 8 42
c x y
a
c
②设 1 1 2 2, , , ,A x y B x y 3 3 4 4, , ,M x y V x y
由
2 2
18 4
x y
y x m
2 23 4 2 8 0x mx m
296 8 0 2 3 2 3m m
1 2
3 3 3
2 ,2 3 3
x x m mx y x m
又
3 4 3 4
4
4 3
4
4 3
1 12 2 3
21 1 3
y y x x mx
y y myx x
在 2 2 1x y 上
2 2 2 22 2 4 41 1 1 1 03 3 9 3 1 3
m m m m m m
25 18 9 0 5 3 3 0m m m m 3
5m 或 3m
经检验解题 3
5m 或 3m
【2012浙江宁波市期末文科】已知抛物线 )0(2: 2 ppyxC 的焦点为 F ，抛物线上一点 A
的横坐标为 1x )0( 1 x ，过点 A 作抛物线C 的切线 1l 交 x 轴于点 D ，交 y 轴于点Q ，交直
线 : 2
pl y 于点 M ，当 2|| FD 时， 60AFD ．
（Ⅰ）求证： AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若 B 位于 y 轴左侧的抛物线C 上，过点 B 作抛物线C 的切线 2l 交直线 1l 于点 P ，交直
线l 于点 N ，求 PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的 1x 值．
【解析】(1)设 ),( 11 yxA ，则切线 AD 的方程为
p
xxp
xy 2
2
11 ，
所以 ),0(),0,2( 1
1 yQxD ， 12|| ypFQ ， 12|| ypFA ，所以 |||| FAFQ ，
所以 AFQ 为等腰三角形 …………3分
且 D 为 AQ 中点，所以 AQDF ， 60,2|| AFDDF ， 12,60 pQFD ，
得 2p ，抛物线方程为 yx 42 …………7分
（II）设 )0(),( 222 xyxB ，则 B 处的切线方程为
22
2
22 xxxy
由 )4,2(
42
42 2121
2
22
2
11
xxxxP
xxxy
xxxy
， )1,2
2(
1
42
1
1
2
11
x
xM
y
xxxy
同理 )1,2
2(
2
2
x
xN ，
所以面积
21
2
211221
2
2
1
1
16
)4)(()41)(2
2
2
2(2
1
xx
xxxxxx
x
x
x
xS ……①
设 AB 的方程为 bkxy ，则 0b
由 044
4
2
2
bkxx
yx
bkxy ，得
bxx
kxx
4
4
21
21 代入①得：
b
bkb
b
bbkS
2222 )1(
64
)44(1616 ，使面积最小，则 0k
得到
b
bbS
2)1( …………② 令 tb ，
②得
tttt
ttS 12)1()( 3
22
，
2
22 )1)(13()(
t
tttS ，
所以当 )3
3,0(t 时 )(tS 单调递减；当 ),3
3( t )(tS 单调递增，
所以当
3
3t 时， S 取到最小值为
9
316 ，此时
3
12 tb ， 0k ，
所以
3
1
1 y ，即
3
32
1 x …………15分
【2012 三明市普通高中高三上学期联考文】已知点 )2,1(A 是离心率为
2
2 的椭圆 C：
)0(12
2
2
2
baa
y
b
x 上的一点。斜率为 2 直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点，且 A、B、D 三
点不重合。
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ） ABD 面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线和椭圆的位置关系、
点到直线的距离、最值问题的应用. 属于难题。考查了基础知识、基本运算、参数法、恒等
变换能
又点 )2,1( 在椭圆上 12
21
22
cc
， 22 c
2a ， 2b ， 椭圆方程为 142
22
yx ……………………4 分
0648 2 b 2222 b
,2
2
21 bxx
4
42
21
bxx ……………………7 分
设 d 为点 A 到直线 bxy 2 的距离，
3
bd ……………9 分
22 )8(4
2
2
1 bbdBDS ABD ……………………10 分
2011 届高三模拟题
题组一
一、选择题
1．（北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考）直线 x-y+1=0 与圆（x+1）2+y2=1 的
位置关系是 （ ）
A．相切 B．直线过圆心
C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离
答案 B.
2．（北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理）若过定点 )0,1(M 且斜率为 k 的直线与
圆 054 22 yxx 在第一象限内的部分有交点，则 k 的取值范围是( )
)(A 50 k )(B 05 k )(C 130 k )(D 50 k
答案 A.
3、（福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理）两圆 042 222 aaxyx 和
0414 222 bbyyx 恰有三条公切线，若 RbRa , ，且 0ab ，则 22
11
ba
的最
小值为 （ ）
A． 9
1
B． 9
4
C．1 D．3
答案 C.
3．（福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理）已知点 P 是曲线 C:
3 2 1y x x= + + 上
的一点，过点 P 与此曲线相切的直线l 平行于直线 2 3y x= - ，则切线l 的方程是（ ）
A． 12 xy B．y=
12
1 x
C． 2y x= D． 2 1y x= + 或 2y x=
答案 A.
4.（福 建省厦 门双十 中学 2011 届高 三 12 月月 考题理 ）设斜 率为 1 的直 线 l 与椭 圆
124:
22
yxC
相交于不同的两点 A、B，则使 || AB 为整数的直线l 共有（ ）
A．4 条 B．5 条 C．6 条 D．7 条
答案 C.
5.（福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理） 已知圆
2 2 6 7 0x y x 与抛物线
2 2 ( 0)y px p 的准线相切，则 p＝ （ ▲ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
答案 B.
6 ．（ 甘 肃 省 天 水 一 中 2011 届 高 三 上 学 期 第 三 次 月 考 试 题 理 ） 过 点 M( 1,5) 作 圆
2 2( 1) ( 2) 4x y 的切线,则切线方程为（ ）
A． 1x B．5 12 55 0x y
C． 1 5 12 55 0x x y 或 D． 1 5 55 0x x y 或12
答案 C.
7．（甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理）已知圆
2 2 2 4 1 0x y x y
关于直线
2 2 0ax by
4 1( 0, 0) ,a b a b
对称 则
的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
答案 D.
8．（广东省惠州三中 2011 届高三上学期第三次考试理）已知直线 x y a 与圆
2 2 4x y 交
于 A、B 两点，O 是坐标原点，向量OA
、 OB
满足
| | | |OA OB OA OB
，则实数 a 的值是（ ）
（A）2 （B） 2 （C） 6 或 6 （D）2 或 2
答案 D.
9.（广东省清远市清城区 2011 届高三第一次模拟考试理）曲线
32 1y x x x 在 处的切线
方程为（ ）
A． 2 0x y B． 2 0x y
C． 2 0x y D． 2 0x y
答案 C.
10.（贵州省遵义四中 2011 届高三第四次月考理）若直线 02 cyx 按向量 )1,1( a 平
移后与圆 522 yx 相切，则 c 的值为（ ）
A．8 或－2 B．6 或－4 C．4 或－6 D．2 或－8
答案 A.
11. （ 黑 龙 江 大 庆 实 验 中 学 2011 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 理 ） 若 直 线 y x 是 曲 线
3 22y x x ax 的切线，则 a =（ ）
.1A .2B . 1C .1D 或 2
答案 D.
12．（黑龙江哈九中 2011 届高三 12 月月考理）“ 3a ”是“直线 012 yax ”与“直
线 046 cyx 平行”的 （ ）
A．充分不必要条件 C．必要不充分条件
D．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B.
13．（湖北省南漳县一中 2010 年高三第四次月考文）已知α∥β，a α，B∈β，则在β内
过点 B 的所有直线中
A．不一定存在与 a 平行的直线 B．只有两条与 a 平行的直线
C．存在无数条与 a 平行的直线 D．存在唯一一条与 a 平行的直线
答案 D.
14．（重庆市南开中学 2011 届高三 12 月月考文）已知圆 C 与直线 0 4 0x y x y 及 都
相切，圆心在直线 0x y 上，则圆 C 的方程为 （ ）
A．
2 2( 1) ( 1) 2x y B．
2 2( 1) ( 1) 2x y
C．
2 2( 1) ( 1) 2x y D．
2 2( 1) ( 1) 2x y
答案 B.
14．（北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理）一根竹竿长 2 米，竖直放在广场的水平
地面上，在 1t 时刻测得它的影长为 4 米，在 2t 时刻的影长为 1 米。这个广场上有一个球形物
体，它在地面上的影子是椭圆，问在 1t 、 2t 这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子
的离心率之比为（ ）
)(A 1：1 )(B 2 ：1 )(C 3 ：1 )(D 2：1
答案 A.
15.（广东省中山市桂山中学 2011 届高三第二次模拟考试文） 设 x,y 是关于 m 的方程
m22am+a+6=0 的两个实根，则(x1)2+(y1)2 的最小值是
(A)1225 (B)18
(C) 8 (D)无最小值
答案 C.
16．（甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理）与圆(x-2)2+(y+1)2=1 关于直线
x-y+3=0 成轴对称的曲线的方程是（ ）
A.(x-4)2+(y+5)2=1 B.(x-4)2+(y-5)2=1 C.(x+4)2+(y+5)2=1
D.(x+4)2+(y-5)2=1
答案 D.
17．（甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理）把直线 x－2y＋λ＝0 向左平移
1 个单位，再向下平移 2 个单位后，与曲线 x2＋y2＋2x－4y＝0 正好相切，则实数λ的值为
( )
A．－13 或 3 B．13 或－3 C．13 或 3 D．－13 或－3
答案 C.
18.（广东省华附、中山附中 2011 届高三 11 月月考理） 椭圆
2 2 1x my 的焦点在 y 轴上，
长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（ ）
A．
1
4 B．
1
2 C． 2 D．4
答案 A.
19．（广东省新兴惠能中学 2011 届高三第四次月考理）已知双曲线
12
2
2
2
b
y
a
x
的一个焦点与
抛物线 xy 42 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 5 ，则该双曲线的方程为 （ ）
A．
15
45
2
2 yx
B． 145
22
yx
C．
145
22
xy
D．
14
55
2
2 yx
答案 D.
20．（广东省中山市桂山中学 2011 届高三第二次模拟考试文）如图，设 D 是图中边长为 4 的
正方形区域，E 是 D 内函数
2xy = 图象下方的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则该点落入
E 中的概率为
A． 2
1
B． 3
1
C． 4
1
D 5
1
答案 B.
21．（福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理）过双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的
右顶点 A 作斜率为 1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ,B C ．若
1
2AB BC
，则双曲线的离心率是 ( )
A． 2 B． 3 C． 5 D． 10
答案 C.
22.（河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文）若曲线
2y x ax b 在点 (0, )b 处
的切线方程是 1 0x y ，则
（A） 1, 1a b （B） 1, 1a b
（C） 1, 1a b （D） 1, 1a b
答案 D.
23．（湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考理）若抛物线
2 1
2y xp
的焦点与椭圆
2 2
16 2
x y
的右焦点重合，则 p 的值为 （ ）
A．
1
16 B．
1
8 C． 4 D．4
答案 A.
24．（湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考）设抛物线
2 4y x 的焦点为 F，过点 M（-1，0）
的直线在第一象限交抛物线于 A、B，使 0AF BF
，则直线 AB 的斜率 k
（ ）
A． 2 B．
2
2 C． 3 D．
3
3
答案 B.
二、填空题
25．（湖北省南漳县一中 2010 年高三第四次月考文）已知两点 (4, 9) ( 2,3)P Q , ，则直线 PQ
与 y 轴的交点分有向线段 PQ
的比为 ．
答案 2.
26.（福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点
在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点的直线交椭圆于 A、B 两点， )1,3( aOBOA 与 共线，
求椭圆的离心率▲▲.
答案 3
6e
.
27．（甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理）设直线 3 0ax y 与圆
2 2( 1) ( 2) 4x y 相交于 A 、 B 两点，且弦 AB 的长为 2 3 ，则 a
答案 0.
28.（广东省中山市桂山中学 2011 届高三第二次模拟考试文） 在极坐标中，圆 4cos 的
圆心C 到直线
sin( ) 2 24
的距离为 .
29．（河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文）如下图，直线 PC 与圆O 相切于点C ，
割线 PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥ AB 于点 E ， 4PC ， 8PB ，则CE .
答案
12
5
30.（黑龙江省哈尔滨市第 162 中学 2011 届高三第三次模拟理）已知函数 xf 的图象关于直
线 2x 和 4x 都对称，且当 10 x 时， xxf .求
5.19f =_____________。
答案 0.5
31．（湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考）设圆
2 2 2: 2 2 0(C x y ax y a a 为常数）
被 y 轴所截得弦为 AB，若弦 AB 所对圆心角为 2
，则实数 a 。
答案
2
2
32．（福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理）下图展示了一个由角的区间(0, )
到实数集 R 的映射过程：区间(0, )中的角 始边落在 OA 上,则终边对应半圆弧 AB 上的点 M，
如图 1；将半圆弧 AB 围成一个椭圆，使两端点 A、B 恰好重合，如图 2；再将这个椭圆放在平
面直角坐标系中，使其椭圆中心在 y 轴上，点 A 的坐标为( )0,1 ，如图 3 中直线 AM 与 x 轴交
于点 ( ),0N n ，则 的象就是 n，记作 nf )( ．
O E
D
C
B A P
第 3 题
下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)
①
1 14f ； ② f x 是奇函数； ③ f x 是定义域上的单调函数；
④ f x 的图象关于点
)0,2(
对称 ; ⑤ f x 的图象关于 y 轴对称
答案 ③④
33.（福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理）
已 知
1),0,0(121
2
2
2
2
n
y
m
xmnnmnm
取得最小值时，椭圆则当
的 离 心 率
是 .
答案 2
3
34. （福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理） 已知 F 是双曲线
22
14 12
yx
的左焦
点，定点 A（1，4），P 是双曲线右支上的动点，则| | | |PF PA 的最小值为_________.
答案 9.
35. （贵州省遵义四中 2011 届高三第四次月考理）直线
1
2y x b
是曲线 ln 0y x x 的
一条切线，则实数 b＝ ．
答案 ln2－1.
36．（黑龙江哈九中 2011 届高三 12 月月考理）过椭圆
1
2
2
2
b
y
a
x
的左焦点 1F 的弦 AB 的长
为 3， 42 AF 且 02 AFAB ，则该
椭圆的离心率为 。
答案 3
5
三、简答题
37.（甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理）（12 分）已知圆 C 经过 P（4，
– 2），Q（– 1，3）两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ，半径小于 5．
（1）求直线 PQ 与圆 C 的方程．
（2）若直线 l∥PQ，且 l 与圆 C 交于点 A、B， 90AOB ，求直线 l 的方程．
答案 （12 分）
解：(1) PQ 为
3 23 ( 1) 2 01 4y x x y
即
C 在 PQ 的中垂线
3 2 4 11 ( )2 2y x
即 y = x – 1 上
设 C（n，n – 1），则
2 2 2 2| | ( 1) ( 4)r CQ n n
由题意，有
2 2 2(2 3) | |r n ∴ 2 212 2 6 17n n n ∴ n = 1 或 5，r 2 = 13 或 37（舍）
∴圆 C 为
2 2( 1) 13x y
解法二：设所求圆的方程为
2 2 0x y Dx Ey F
由已知得
2
4 2 20
3 10
4 48
D E F
D E F
E F
解得
2 10
0 8
12 4
D D
E E
F F
或
当
2
0
12
D
E
F
时， 13 5r ；当
10
8
4
D
E
F
时， 37 5r （舍）
∴ 所求圆的方程为
2 2 2 12 0x y x
(2) 设 l 为 0x y m
由
2 2
0
( 1) 13
x y m
x y
，得
2 22 (2 2) 12 0x m x m
设 A（x1，y1），B（x2，y2），则
2
1 2 1 2
121 2
mx x m x x ，
∵ 90AOB ， ∴ 1 2 1 2 0x x y y
∴ 1 2 1 2( )( ) 0x x x m x m
∴ 2 12 0m m ∴ m = 3 或 – 4（均满足 0 ）
∴ l 为 3 0 4 0x y x y 或
38．（福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理）
4y=－x2 y=－x2
x
y
O
A B C D-1
（13 分）如图，求由两条曲线 y=－x2，4y=－x2
及直线 y=－1 所围成图形的面积.
答案 （13 分）如图，求由两条曲线 y=－x2，4y=－x2
及直线 y=－1 所围成图形的面积.
解：（理）由对称性，所求图形面积为位于 y 轴在侧图形面积
的 2 倍…2 分由
1
2
y
xy
得 C（1，－1）同理得 D（2，－1）……5 分
∴所求图形的面积 1
0
2
1
2
2
2
})]1(4[)](4[{2 dxxdxxxS ……8 分
1
0
2
1
2
1
22
)44
3(2 dxdxxdxx
3
4)|124(2 2
1
2
1
3
1
0
3
xxx
……13 分
39. （福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理）（本小题满分 14 分）已知圆 O：
122 yx ， 点 O 为 坐 标 原 点 , 一 条 直 线 l ： )0( bbkxy 与 圆 O 相 切 并 与 椭 圆
12
2
2
yx
交于不同的两点 A、B
（1）设 )(kfb ,求 )(kf 的表达式；
（2）若 3
2OBOA
，求直线 l 的方程；
（3）若
)4
3
3
2( mmOBOA
，求三角形 OAB 面积的取值范围.
答案 解（1） ( 0)y kx b b 与圆
2 2 1x y 相切,则 2
| | 1
1
b
k
,
即
2 2 1( 0)b k k ,
所以. 12 kb ……………………………4 分
（2）设 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y 则由
2
2 12
y kx b
x y
，消去 y
（理科图）
4y=－x2 y=－x2
x
y
O
A B C D-1
得:
2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x kbx b
又
28 0 ( 0)k k ，所以
2
1 2 1 22 2
4 2 2, .2 1 2 1
kb bx x x xk k
…………6 分
则 1 2 1 2OA OB x x y y
2
2
1 .2 1
k
k
由
2
3OA OB
, 所 以 2 1.k 所
2 2.b 0, 2,b b ……………………8 分
所以 : 2, 2l y x y x . …………………9 分
（3）由（2）知：
2
2
1 2 3. ,2 1 3 4
k m mk
所以
2
2
2 1 3 ,3 2 1 4
k
k
21 1,2 k
………………………12 分
由弦长公式得
2
2
2
2 2| | 1 ,2 1
kAB k k
所以
2 2
2
2 ( 1)1 | | ,2 2 1
k kS AB k
解得
6 2 .4 3S
………………………14 分
40．（黑龙江哈九中 2011 届高三 12 月月考理）（12 分）已知圆 36)5(: 22 yxM 及
定点 )0,5(N ，点 P 是圆 M 上的动点，
点Q 在 NP 上，点G 在 MP 上，且满足 NQNP 2 ， 0 NPGQ ．
（1）求G 的轨迹C 的方程；
（ 2 ） 过 点 )0,2(K 作 直 线 l ， 与 曲 线 C 交 于 BA, 两 点 ， O 为 坐 标 原 点 ， 设
OBOAOS ，是否存在这样的直线 l ，使四边形OASB 的对角线相等？若存在，求出直
线 l 的方程；若不存在，说明理由．
答案 （1） 6|||||| MPGNGM ，所以椭圆方程为
149
22
yx
（2） ,OBOAOS 四边形OASB 为平行四边形，又其对角线相等，则 OBOA
当直线的斜率不存在时，四边形的对角线不相等；
当直线的斜率存在时，设直线 ),(),,(),2(: 2211 yxByxAxkyl ，联立
3694
)2(
22 yx
xky
0)1(3636)94( 2222 kxkxk
2
2
212
2
21 94
)1(36,
94
36
k
kxx
k
kxx
0)2)(2( 21
2
212121 xxkxxyyxx ，
整理得 04)(2)1( 2
21
2
21
2 kxxkxxk （*）
代入得 2
3,4
9,04
94
72
94
)1(36 22
2
4
2
4
kkk
k
k
k
k
所以存在直线
)2(2
3; xyl
41．（黑龙江哈九中 2011 届高三 12 月月考理）（12 分）已知直线 )22(: xkyl 与圆
4: 22 yxO 相交于 BA, 两点，O 为坐标原点， AOB 的面积为 S ．
（1）试将 S 表示成 k 的函数 )(kS ，并求出其定义域；
（2）求 S 的最大值，并求取得最大时 k 的值．
答 案 （ 1 ） 设 圆 心 O 到 直 线 l 的 距 离 为 d ， 则 1
|22|
2
k
kd
， 所 以
1
84)2
||( 2
2
222
k
kdrAB
， 故
2 2
2
4 2(1 )1( ) | | , ( 1,0) (0,1)2 1
k kS k AB d kk
（2）
2 2
2
4 2(1 )( ) , ( 1,0) (0,1)1
k kS k kk
4
)1()2
21(2)1(
22
2
22
22 kkkkk
当且仅当 3
3k
时取等号，此时
2max S
42.（福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理）已知曲线 1C 的参数方程为
sin10
cos102
y
x
（ 为参数），曲线 2C 的极坐标方程为 sin6cos2 ．问曲线 1C ，
2C 是否相交，若相交请求出公共弦的方程，若不相交，请说明理由．
答案 解：（1）由
sin10
cos102
y
x
得 10)2( 22 yx
∴曲线 1C 的普通方程为 10)2( 22 yx ①………2 分
由 sin6cos2 可得 sin6cos22
∴曲线 2C 的直角坐标方程为 10)3()1( 22 yx ②……………………4 分
∵圆 1C 的圆心为 )0,2( ，圆 2C 的圆心为 )3,1(
∴ 10223)30()12(C 22
21 C ∴两圆相交…………6 分
由①－②可得两圆的公共弦方程为 x+y=1 …………7 分
43.（北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理）已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心
率为
6
3 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3 ，直线 :l y kx m 交椭圆于不同的两点 A ，
B
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）若坐标原点O到直线l 的距离为
3
2 ，求 AOB 面积的最大值
答案 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c ，依题意
6
3
3
c
a
a
，解得 2c .
2 2 2a b c 由 得， b=1.
所求椭圆方程为
2
2 1.3
x y
（Ⅱ） 2
3 ,21
m
k
由已知
可得
2 23 ( 1)4m k
.
y kx m 将 代入椭圆方程，
2 2 2(1 3 ) 6 3 3 0k x kmx m 整理得 .
2 2 26 4 1 3 3 3 0 ( )km k m
2
1 2 1 22 2
6 3 3,1 3 1 3
km mx x x xk k
.
2 2 2
2 2 2 2
2 1 2 2 2
36 12( 1)(1 )( ) (1 )[ ](3 1) 3 1
k m mAB k x x k k k
2 2 2 2 2
2 2 2 2
12( 1)(3 1 ) 3( 1)(9 1)
(3 1) (3 1)
k k m k k
k k
2
4 2
2
2
12 12 123 3 3 4 ( 0)19 6 1 2 3 69 6
k kk k k k
2
2
19k k
当且仅当
，
3
3k 即 时等号成立
.
3
3k 经检验 满足(*)式，
.
0 3 .k AB 当 时，
max 2AB 综上可知 ，
1 3 322 2 2AB AOB S 当 最大时 的面积取最大值，
.
44.（福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理）(本题满分 14 分)
已知点 P 是⊙ O ：
2 2 9x y 上的任意一点，过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D ,动点 Q 满足
2
3DQ DP
。
（1）求动点Q 的轨迹方程； （2）已知点 (1,1)E ，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合
的两点 M 、 N ，使
1 ( )2OE OM ON
(O 是坐标原点)，若存在，求出直线 MN 的方程，
若不存在，请说明理由。
答案 (本题满分 14 分) 解：（1）设 0 0( , ), ,P x y Q x y ，依题意，则点 D 的坐标为 0( ,0)D x ……
1 分
∴ 0 0( , ), (0, )DQ x x y DP y
………………………2 分
又
2
3DQ DP
∴
0 0
0 0
0
2 3
3 2
x x x x
y y y y
即
………………………4 分
∵ P 在⊙O 上，故
2 2
0 0 9x y ∴
2 2
19 4
x y
………………………5 分
∴ 点Q 的轨迹方程为
2 2
19 4
x y
………………………6 分
（2）假设椭圆
2 2
19 4
x y
上存在两个不重合的两点 1 1 2 2( , ), ,M x y N x y 满足
1 ( )2OE OM ON
，则 (1,1)E 是线段 MN 的中点，且有
1 2
1 2
1 2 1 2
1 22
212
x x
x x
y y y y
即
…9 分
又 1 1 2 2( , ), ,M x y N x y 在椭圆
2 2
19 4
x y
上
∴
2 2
1 1
2 2
2 2
19 4
19 4
x y
x y
两式相减，得
1 2 1 2 1 2 1 2 09 4
x x x x y y y y
……12 分
∴
1 2
1 2
4
9MN
y yk x x
∴ 直线 MN 的方程为 4 9 13 0x y
∴ 椭 圆 上 存 在 点 M 、 N 满 足
1 ( )2OE OM ON
， 此 时 直 线 MN 的 方 程 为
4 9 13 0x y …………………………14 分
45．（福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理）（本小题满分 14 分）椭圆
14
2
2 yx
短轴的左右两个端点分别为 A，B，直线 1: kxyl 与 x 轴、y 轴分别交于
两点 E，F，交椭圆于两点 C，D。
（I）若 FDCE ，求直线l 的方程：
EMBED PBrush
（II）设直线 AD，CB 的斜率分别为 21,kk ，若 1:2: 21 kk ，求 k 的值。
答案 解：（I）设 1 1 2 2( , ), ( , ),C x y D x y
2 2
2 2
2 2 2
4 4, (4 ) 2 3 0,
1
4 12(4 ) 16 48,
x y k x kx
y kx
k k k
由 得
1 2 1 22 2
2 3, ,4 4
kx x x xk k
…………3 分
由已知
1( ,0), (0,1).E Fk
所以 1 2 2 1
1 1,x x x xk k
即
…………5 分
所以 2
2 1
4
k
kk
,解得k= 2
， …………6 分
符合题意，
所以，所求直线 l 的方程为 2 1 0 2 1 0x y x y 或 …………7 分
（II）
2 1
1 2 1 2
1 1
, , : 2 :11 1
y yk k k kx x
，
所以
2 1
1 2
( 1) 2 ,( 1) 1
y x
y x
…………8 分
平方得
2 2
2 1
2 2
1 2
( 1) 4,
( 1)
y x
y x
…………9 分
2
2 2 2 2 21
1 1 1 2 21, 4(1 ), 4(1 ),4
yx y x y x 又 所以 同理
代入上式，
计算得
2 1
1 2 1 2
1 2
(1 )(1 ) 4, 3 5( ) 3 0,(1 )(1 )
x x x x x xx x
即
…………11 分
所以
2 13 10 3 0, 3 ,3k k k k 解得 或
…………13 分
因为
2 1
1 2 1 2
1 2
( 1) 2 1, , ( 1,1), , , ,( 1) 1 3
y x x x y y ky x
所以 异号 故舍去
所以 k=3 …………14 分
46．（甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理）（12 分）（本小题满分 14 分）已
知圆 O： ,122 yx 直线
)4(3
3: xyl
。
（I）求圆 O 上的点到直线l 的最小距离。
（II）设圆 O 与 x 轴的两交点是 F1、F2，若从 F1 发出的光线经l 上的点 M 反射后过点 F2，
求以 F1、F2 为焦点且经过点 M 的椭圆方程。
答案 （12 分）
（１）ｄｍｉｎ＝１
（２）
32
5,2
3'
1F
ＭＦ１／＋ＭＦ２＝Ｆ１＇Ｆ２＝５＝２ａ
则
19
4
25
4 22
yx
为所求轨迹方程
47．（广东省华附、中山附中 2011 届高三 11 月月考理）（14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，
经过点 (0 2)， 且斜率为 k 的直线l 与椭圆
2
2 12
x y
有两个不同的交点 P 和Q ．
（1）求 k 的取值范围；
（2）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A B， ，是否存在常数 k ，使得向量
OP OQ
与 AB
共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．
答案 解：（1）由已知条件，直线l 的方程为 2y kx ，
代入椭圆方程得
2
2( 2) 12
x kx
．
整理得
2 21 2 2 1 02 k x kx ① …………………………3 分
直线l 与椭圆有两个不同的交点 P 和Q 等价于
2 2 218 4 4 2 02k k k ，
2
解得
2
2k
或
2
2k
．即 k 的取值范围为
2 2
2 2
， ，∞ ∞
，……6 分
（2）设 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ， ，则 1 2 1 2( )OP OQ x x y y ， ，………………７分
由方程①， 1 2 2
4 2
1 2
kx x k
． ②
又 1 2 1 2( ) 2 2y y k x x ． ③
而 ( 2 0) (01) ( 21)A B AB ，， ，， ， ．
所以OP OQ
与 AB
共线等价于 1 2 1 22( )x x y y ，………………12 分
将②③代入上式，解得
2
2k
．
由（1）知
2
2k
或
2
2k
，故没有符合题意的常数 k ．………………14 分
48.（广东省惠州三中 2011 届高三上学期第三次考试理）（本小题满分 14 分）如图，已知椭
圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M（2，1），平行于 OM 的直
线l 在 y 轴上的截距为 m（m≠0），l 交椭圆于 A、B 两个不同点。
（1）求椭圆的方程；
（2）求 m 的取值范围；
（3）求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。
答案 解：（1）设椭圆方程为
)0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x
……………………………1 分
则
2
8
114
2
2
2
22 b
a
ba
ba
解得
…………………………………………3 分
∴椭圆方程为
128
22
yx
………………………………………………4 分
（2）∵直线 l 平行于 OM，且在 y 轴上的截距为 m
又 KOM= 2
1
mxyl
2
1的方程为：
……………………………………………………5 分
由
0422
128
2
1
22
22
mmxx
yx
mxy
……………………………………6 分
∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点，
分且解得 8...........................................................0,22
,0)42(4)2( 22
mm
mm
（3）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1+k2=0 即可…………9 分
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
则
1
1
1
1
2
yk x
,
2
2
2
1
2
yk x
由 2 22 2 4 0x mx m
2
1 2 1 22 , 2 4x x m x x m ……………………………………………………10 分
而
1 2 1 2 2 1
1 2
1 2 1 2
1 1 ( 1) ( 2) ( 1)( 2)
2 2 ( 2)( 2)
y y y x y xk k x x x x
)2)(2(
)1(4)2)(2(42
)2)(2(
)1(4))(2(
)2)(2(
)2)(12
1()2)(12
1(
21
2
21
2121
21
1221
xx
mmmm
xx
mxxmxx
xx
xmxxmx
0
13......................................................0)2)(2(
444242
21
21
22
kk
xx
mmmm 分
故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.…………………………14 分
49.（广东省新兴惠能中学 2011 届高三第四次月考理） (本小题满分 14 分)
（Ⅰ） 已知动点 ( , )P x y 到点 (0,1)F 与到直线 1y 的距离相等，求点 P 的轨迹 L 的方程；
（Ⅱ） 若正方形 ABCD 的三个顶点 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 3 3( , )C x y ( 1 2 30x x x ≤ )在(Ⅰ)
中的曲线 L 上，设 BC 的斜率为 k ， | |l BC ，求 l 关于 k 的函数解析式 ( )l f k ；
（Ⅲ） 求(2)中正方形 ABCD 面积 S 的最小值。
答案
类似地，可设直线 AB 的方程为：
2
2
2
1 ( ) 4
xy x xk
，………………7 分
从而得
2
22
2 1| | (2 )kAB kxk
， ……………………8 分
由| | | |AB BC ，得
2
2 2(2 ) (2 )k k x kx ，解得
3
2 2
2( 1)kx k k
，
2 24 1 ( 1)( ) ( 1)
k kl f k k k
( 0)k ． ……………………10 分
（Ⅲ）因为
2
2 2
(1 )4 24 1 ( 1) 2( ) 4 2( 1) ( 1)
k kk kl f k k k k k
≥
，……………12 分
所以 2 32S l ≥ ，即 S 的最小值为 32，当且仅当 1k 时取得最小值．……14 分
50.（贵州省遵义四中 2011 届高三第四次月考理）
（12 分）已知圆 4
1)2(,4
25)2( 2222 yxMyx 圆的圆心为
的圆心为 N ，一动圆
与这两圆都外切。
（1）求动圆圆心 P 的轨迹方程；（4 分）
（2）若过点 N 的直线l 与（1）中所求轨迹有两个交点 A 、B ，求 BMAM 的取值范围。（8
分）
答案 解答：（1）设动圆 P 的半径为 r,则 2
1||,2
5|| rPNrPM
相减得|PM|—|PN|=2
由双曲线定义知，点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点，焦距为 4，实轴长为 2 的双曲线右支
其双曲线方程为
)1(13
2
2 xyx
（2）当
时
2
a
，设直线 l 的斜率为 k
0344)3(
33
)2( 2222
22
kxkxk
yx
xky
由
0
30
0
21
2
21
xx
kxx
设 ),(),,( 2211 yxByxA
则 ),2(),,2( 2211 yxBMyxAM
2121 )2)(2( yyxxBMAM )2)(2()(24 21
2
2121 xxkxxxx
7
3
127
3
97
22
2
kk
k
当
.3,32,2 2121 yyxx时
7)3,4(),3,4( BMAMBMAM
综合得 7 BMAM
51．（河南省长葛第三实验高中 2011 届高三期中考试理）（本小题满分 12 分）
设 函 数
( ) bf x ax x
， 曲 线 ( )y f x 在 点 M ( 3 ( 3))f， 处 的 切 线 方 程 为
2 3 2 3 0x y ．
（Ⅰ）求 ( )f x 的解析式；
（Ⅱ）求函数 ( )f x 的单调递减区间；
（Ⅲ）证明：曲线 ( )y f x 上任一点处的切线与直线 0x 和直线 y x 所围成的三角形面积
为定值，并求此定值．
答案 解：（Ⅰ）∵切点在切线上∴将点 M 代入切线方程解得
4 3( 3) 3f
………1 分
由
'
2( ) ba xf x
，………2 分
根据题意得关于 a,b 的方程组：
2
3 3
4 33 33
ba
ba
解得：a=1,b=1………3 分
所以 ( )f x 的解析式的解析式为：
1( )f x x x
………4 分
（Ⅱ）由
'
2
11( ) xf x
（ 0x ） ……5 分
令
'
0( )f x ，解得： 1 0 0 1x x 或 ………7 分
所以 ( )f x 的单调减区间为 ( 1,0),(0,1) ……8 分
（Ⅲ）（Ⅱ）设 0 0( )P x y， 为曲线上任一点，
由 2
11y x
知曲线在点 0 0( )P x y， 处的切线方程为
0 02
0
11 ( )y y x xx
，
即
0 02
0 0
1 11 ( )y x x xx x
．
令 0x 得 0
2y x
，从而得切线与直线 0x 的交点坐标为 0
20 x
，
．
令 y x 得 02y x x ，
从而得切线与直线 y x 的交点坐标为 0 0(2 2 )x x， ． 10 分
所以点 0 0( )P x y， 处的切线与直线 0x ，
y x 所围成的三角形面积为
0
0
1 2 2 22 xx
． 12 分
52.（河南省辉县市第一中学 2011 届高三 11 月月考理）
( 本 题 14 分 ) 若 椭 圆 1C ：
)20( 14 2
22
b
b
yx
的 离 心 率 等 于 2
3
， 抛 物 线 2C ：
)0( 22 ppyx 的焦点在椭圆的顶点上。
（Ⅰ）求抛物线 2C 的方程；
（Ⅱ）过 )0,1(M 的直线l 与抛物线 2C 交 P 、Q 两点，又过 P 、Q 作抛物线 2C 的切线 1l 、 2l ，
当 21 ll 时，求直线l 的方程
答案 解：(1)由椭圆方程得 2a ， 2
3
a
ce
，所以 3c ， 122 cab …2 分
由题意得：抛物线的焦点应为椭圆的上顶点，即 )1,0( …………………3 分
所以 2p 抛物线方程为 yx 42 …………………5 分
(2) 可判断直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 )1( xky
设 P 、Q 坐标为 ),,(),,( 2211 yxyx …………………6 分
联立
yx
xky
4
)1(
2
整理得 0442 kkxx ………………8 分
所以 kxxkxx 4,4 2121 ………………10 分
由 yx 42 得 2
/ xy
所以 2,2
21
21
xkxk ll
………………12 分
由
122
21
21
kxxkk ll 所以直线l 的方程为 1 xy ……………14 分
53．（福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理）（本小题满分 13 分）
已知椭圆 T 的中心在原点 O，焦点在菇轴上，直线 :l x 3 3 0y 与 T 交于 A、B 两点，
|AB| =2，且
.2AOB
（1）求椭圆 T 的方程；
（2）若 M，N 是椭圆 T 上两点，满足 0MO ON
，求|MN|的最小值.
答案
题组二
选择题
1．（广东省河源市龙川一中 2011 届高三理）
平面内称横坐标为整数的点为“次整点”.过函数
29y x 图象上任意两个次整点作直线，
则倾斜角大于 45°的直线条数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
答案 B.
2．(江西省上高二中 2011 届高三理）函数 y＝x2－2x 在区间[a，b]上的值域是[－1，3]，则
点(a，b)的轨迹是图中的
A．线段 AB 和线段 AD B．线段 AB 和线段 CD
C．线段 AD 和线段 BC D．线段 AC 和线段 BD
答案 A.
3．（浙江省桐乡一中 2011 届高三文）已知点 P 的双曲线
12
2
2
2
b
y
a
x
（a＞0，b＞0）右支上一
点，F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF1F2 的内
心，若 2121 FIFIPFIPF SSS 成立，则 的值为（ ）
（A） a
ba
2
22
（B） 22 ba
a
（C） a
b
（D） b
a
答案 B.
4. 山西省四校 2011 届高三文）设曲线 y=xn+1( *Nn ),
在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 nx ,则 log 2011 1x +log 2011 2x +…+ log 2011 2010x
的值为（ ）
A. -log 2011 2010 B.-1 C. log 2011 2010-1 D.1
答案 B.
5．(浙江省桐乡一中 2011 届高三文)椭圆 1216
22 yx
＝1 的长轴为 A1A2，短轴为 B1B2，将椭圆
沿 y 轴折成一个二面角，使得 A1 点在平面 B1A2B2 上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面
角的大小为（ ）
（A）75° （B）60° （C）45° （D）30°
答案 B.
6.（福建省福州八中 2011 届高三理）在点（0，1）处作抛物线
2 1y x x 的切线，切线方
程为
A. 2 2 0x y B.3 3 0x y C. 1 0x y D. 1 0x y
答案 D.
7.（河北省唐山一中 2011 届高三文）
已知双曲线
13 2
22
b
yx
的右焦点到一条渐近线的距离为 1，则该双曲线的离心率为
（ ）
A. 2 B. 3 C. 3
32
D. 2
23
答案 C.
8．( 河南信阳市 2011 届高三理）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆
心角的弧度数为 （ ）
A． 3
B． 2
C． 3 D．2
答案 C.
9．（浙江省桐乡一中 2011 届高三文）椭圆 1216
22 yx
＝1 的长轴为 A1A2，短轴为 B1B2，将椭圆
沿 y 轴折成一个二面角，使得 A1 点在平面 B1A2B2 上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面
角的大小为（ ）
（A）75° （B）60° （C）45° （D）30°
答案 B.
二、填空题
10．（江苏泰兴市重点中学 2011 届高三理）函数 y x a 的图象关于直线 3x 对称．则
a _____________．
答案 2.
11．（广东省湛江一中 2011 届高三 10 月月考理）
如图， AB 为圆O 的直径，弦 AC 、 BD 交于 P ，若 3AB ， 1CD ，则
_______cos APD ．
答案 3
1
．连结 AD,OD,OC,则 3
12
1
2
1sinsincos
OD
DC
DOCDAPAPD
12．（浙江省桐乡一中 2011 届高三理）已知抛物线 yx 42 上一点 N 到其焦点 F 的距离是 3，
那么点 N 到直线 y＝1 的距离等于
答案 3.
13．（浙江省桐乡一中 2011 届高三文）已知抛物线
24xy 的一条切线与直线 028 yx 垂
直，则切点的坐标是
A B
C
D
O
P
答案 （－1，－ 4）
14．（广东省广州东莞五校 2011 届高三理）抛物线
2 4y x 上一点 M 到焦点的距离为 3，则
点 M 的横坐标 x ．
答案 2.
15．（浙江省桐乡一中 2011 届高三文）已知抛物线 )0(22 ppxy ，过定点（p，0）作两条
互相垂直的直线 l1 和 l2，其中 l1 与抛物线交于 P、Q 两点，l2 与抛物线交于 M、N 两点，l1
斜率为 k．某同学已正确求得弦 PQ 的中点坐标为（ k
pp
k
p ,2
），则弦 MN 的中点坐标
答案 ),( 2 pkppk
三、解答题
16．（2011 湖南嘉禾一中）（本题满分 13 分）
已知椭圆的右焦点 F 与抛物线 y2 = 4x 的焦点重合，短轴长为 2．椭圆的右准线 l 与 x
轴交于 E，过右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点，点 C 在右准线 l 上，BC//x 轴．
（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；
（2）求证：线段 EF 被直线 AC 平分．
答案 解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为
)0(12
3
2
2
ba
b
y
a
x
……1 分
xy 42 的焦点为 F（1，0）
,22,1 bc 又
,2,1 222 cbab ……………………3 分
所以，椭圆的标准方程为
.12
2
2
yx
其离心率为 2
2e
……………………5 分
（2）证明：∵椭圆的右准线 1 的方程为：x=2，
∴点 E 的坐标为（2，0）设 EF 的中点为 M，则
)0,2
3(M
若 AB 垂直于 x 轴，则 A（1，y1），B（1，－y1），C（2，－y1）
∴AC 的中点为
)0,2
3(N
∴线段 EF 的中点与 AC 的中点重合，
∴线段 EF 被直线 AC 平分，…………………………6 分
2
若 AB 不垂直于 x 轴，则可设直线 AB 的方程为
),(),,(,0),1( 2211 yxByxAkxky
则 ),2( 2yC …………………………7 分
把
12)1( 2
2
yxxky 代入
得 .0)1(24)21( 2222 kxkxk ………………8 分
则有 2
2
212
2
21 21
)1(2,
21
4
k
kxx
k
kxx
………………9 分
∴ 2
3
)1(
2
3
1
1
1
1
x
xk
x
yk AM
).1(2
2
32
,32
)1(2
2
2
1
1
xkykx
xk
CM
……………………10 分
∵
)3(232
)1()1(2 1
1
21
xx
xxkkk CMAM
032
42)(32
1
2121
x
xxxxk
∴ ,CMAM kk
∴A、M、C 三点共线，即 AC 过 EF 的中点 M，
∴线段 EF 被直线 AC 平分。………………………………13 分
17．（江苏泰兴 2011 届高三理）（本小题满分 14 分）
已知：在函数的图象上， xmxxf 3)( 以 ),1( nN 为切点的切线的倾斜角为
.4
（I）求 nm, 的值；
（II）是否存在最小的正整数 k ，使得不等式 ]3,1[1993)( xkxf 对于 恒成立？如
果存在，请求出最小的正整数 k ，如果不存在，请说明理由。
答案 依题意，得
.3
2,113,4tan)1( mmf 即
因为
.3
1,)1( nnf 所以
…………6 分
（II）令
.2
2,012)( 2 xxxf 得
…………8 分
当
;012)(,2
21 2 xxfx 时
当
;012)(,2
2
2
2 2 xxfx 时
当
;012)(,32
2 2 xxfx 时
又
.15)3(,3
2)2
2(,3
2)2
2(,3
1)1( ffff
因此， 当
.15)(3
2,]3,1[ xfx 时
…………12 分
要使得不等式 ]3,1[1993)( xkxf 对于 恒成立，则 .2008199315 k
所以，存在最小的正整数 .2008k 使得不等式 ]3,1[1993)( xkxf 对于 恒成立
18．（福建省福州八中 2011 届高三文）（本小题满分 14 分）
已知椭圆
)0(1: 2
2
2
2
ba
b
y
a
xC
经过点（0，1），离心率
.2
3e
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设直线 1 myx 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 A’.试问：当 m
变化时直线 BA' 与 x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不
是，请说明理由。
答案 解：（I）依题意可得
,
,2
3
,1
222 cba
a
c
b
…………2 分
解得 .1,2 ba …………3 分
所以椭圆 C 的方程是
.14
2
2
yx
…………4 分
（II）由
,1
,14
2
2
myx
yx
得 ,44)1( 22 ymy 即 .032)4( 22 myym 且△>0 恒成立.…………6 分
记 ),(),,( 2211 yxByxA ，则 1 1'( , ),A x y
1 2 1 22 2
2 3, .4 4
my y y ym m
且
…………8 分
∴ ',A B 的直线方程为
2 1
1 1
2 1
( ).y yy y x xx x
…………9 分
令 y=0，得
2 1
1 1
2 1
x xx y xy y
…………10 分
又 2 1 2 1= ( )x x m y y ， 1 1= 1x my …………11 分
∴
2 1 2 1 1 2 1
1 1 1
2 1 2 1 2 1
( ) 2= 1= 1x x m y y y my yx y x myy y y y y y
…………12 分
2
2
32 ( )4 1=3 1=42
4
m mx m
m
…………13 分
这说明，当 m 变化时，直线 BA' 与 x 轴交于点 S（4，0） …………14 分
19.（河北省唐山一中 2011 届高三理）已知过点 A（1,1）且斜率为 m （ 0m ）的直线l 与
yx, 轴分别交于 QP, 两点，分别过 QP, 作直线 02 yx 的垂线，垂足分别为 ,,SR 求四边
形 PRSQ 的面积的最小值.
答案 设直线 l 方程为 )1(1 xmy ,则 P（ m
11
）， )1,0( mQ …………2 分
从而 PR 和 QS 的方程分别为
0)1(22012 myxm
myx 和
，……5 分
又 QSPR // 5
123
5
1122
mmmm
RS
，又 5
1,
5
22
mQSmPR
四边形 PRSQ 为梯形………………………………9 分
5
18
80
1)4
92(5
1
80
1)4
91(5
1 22
mmS PRSQ
四边形 PRSQ 的面积的最小值为 5
18
……………… 12 分
20.（福建省四地六校联考 2011 届高三理）（本小题满分 14 分）本题（1）、（2）、（3）三个选
答题，每小题 7 分，任选 2 题作答，满分 14 分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，
先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）(本小题满分 7 分) 选修 4-2:矩阵与变换
已知 ,a b R ，若
1
3
aM b
所对应的变换 MT 把直线 : 2 3L x y 变换为自身，求实数
,a b ，并求 M 的逆矩阵。
（2）（本题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
已知直线 l 的参数方程： 1 2
x t
y t
（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：
2 2 sin( )4
。
①将直线l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
②判断直线l 和圆C 的位置关系。
（3）（本题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 |2|)( xxf
①解不等式 5)( xf ；
②证明：对任意 ]3,2[x ，不等式 5)3()( xfxf 成立.
答案 （1） 设 ),( yxP 为直线 32 yx 上任意一点其在 M 的作用下变为 ),( yx
则
1
3
a
b
3 3
x x ay x x x ay
y bx y y y bx y
代入 32 yx 得： 3)32()2( yaxb ……………3 分
其与 32 yx 完全一样得
1
4
132
22
a
b
a
b
则矩阵
1 1
4 3M
则
1 3 1
4 1M ……………7 分
（2） 解：①消去参数t ，得直线l 的普通方程为 12 xy ……………3 分
2 2 sin( )4
，即 )cos(sin2 ，
两边同乘以 得 )cossin(22 ，
得⊙C 的直角坐标方程为 2)1()1( 22 xx ………5 分
②圆心C 到直线l 的距离
25
52
12
|112|
22
d
，所以直线l 和⊙C 相交…7 分
（3）①由 5|2| x ，解得 73 x
∴原不等式的解集为 }73|{ xx ……………………3 分
②证明： 5)3()( xfxf 即 5|1||2| xx
令 |1||2| xxy 及 5y 由图得
当 ]3,2[x ，不等式成立. ……………………7 分
21．（江苏泰兴市重点中学 2011 届理）（本小题满分 14 分）
已知：在函数的图象上， xmxxf 3)( 以 ),1( nN 为切点的切线的倾斜角为
.4
（I）求 nm, 的值；
（II）是否存在最小的正整数 k ，使得不等式 ]3,1[1993)( xkxf 对于 恒成立？如
果存在，请求出最小的正整数 k ，如果不存在，请说明理由。
答案 依题意，得
.3
2,113,4tan)1( mmf 即
因为
.3
1,)1( nnf 所以
…………6 分
（II）令
.2
2,012)( 2 xxxf 得
…………8 分
当
;012)(,2
21 2 xxfx 时
当
;012)(,2
2
2
2 2 xxfx 时
x
y
0
3
5
3-2
当
;012)(,32
2 2 xxfx 时
又
.15)3(,3
2)2
2(,3
2)2
2(,3
1)1( ffff
因此， 当
.15)(3
2,]3,1[ xfx 时
…………12 分
要使得不等式 ]3,1[1993)( xkxf 对于 恒成立，则 .2008199315 k
所以，存在最小的正整数 .2008k 使得不等式 ]3,1[1993)( xkxf 对于 恒成立
22．（江苏泰兴市重点中学 2011 届理）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什
么曲线。
（1）
ty
tx
2
32
2
11
（t 为参数）；
（2）
ty
tx
2
1 2
（t 为参数）；
答案 （1）由
11 ,2x t
得 2 2t x
32 (2 2)2y x
3 2 3 0x y ，此方程表示直线
（2）由 2y t ，得 2t y
21 ( 2)x y
即
2( 2) 1y x ，此方程表示抛物线
23．（浙江省桐乡一中 2011 届高三理）已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,且抛物线 x2= 24 y 的
焦点是椭圆 M 的一个焦点,又点 A(1, 2 )在椭圆 M 上.
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程;
(Ⅱ)已知直线 l 的方向向量为(1, 2 ),若直线 l 与椭圆 M 交于 B、C 两点,求 ABC 面积的最大
值.
答案 解: (Ⅰ)由已知抛物线的焦点为 (0, 2) ,故设椭圆方程为
2 2
2 2 12
y x
a a
.
将点 (1, 2)A 代入方程得 2 2
2 1 12a a
,整理得 4 25 4 0a a ,
解得 2 4a 或 2 1a (舍).
故所求椭圆方程为
2 2
14 2
y x
. …………………………………………6 分
(Ⅱ)设直线 BC 的方程为 mxy 2 ,设 1 1 2 2( , ), ( , ),B x y C x y
代入椭圆方程并化简得 04224 22 mmxx , ………………9 分
由 0)8(8)4(168 222 mmm ,可得 2 8m . ( )
由 4
4,2
2 2
2121
mxxmxx
,
故
2
1 2
3 16 23 2
mBC x x
.
又点 A 到 BC 的距离为 3
md
, ………………11 分
故
2 2 2 2(16 2 )1 1 2 (16 2 ) 22 4 24 2ABC
m m m mS BC d
,
当且仅当 22 2162 mm ,即 2m 时取等号(满足 式)
所以 ABC 面积的最大值为 2 .
24．（浙江省桐乡一中 2011 届高三理）（本小题满分 15 分）已知函数 f(x)＝ln(2－x)＋ax.
（Ⅰ）设曲线 y= f(x)在点(1, f(1))处的切线为 l，若 l 与圆(x+1)2+y2=1 相切，求 a 的值；
（Ⅱ）求函数的 f(x)单调区间.
答案 解: （Ⅰ）依题意有，
1( ) 2f x a x
.
因此过 (1, (1))f 点的直线的斜率为 1a ，又 (1) ,f a
所以，过 (1, (1))f 点的直线方程为 ( 1)( 1)y a a x .
又已知圆的圆心为 ( 1,0) ，半径为1，依题意，
2
1 1 1
( 1) 1
a
a
，
解得 1a .
（Ⅱ）
1( ) 2f x a x
.
(1)当 a 0 时， ( ) 0f x 恒成立，所以 ( )f x 的单调减区间是（ )2,
（2）当 0a ，所以
12 2a
，又由已知 2x .
令 ( ) 0f x ，解得
12x a
，令 ( ) 0f x ，解得
12 2xa
.
所以, ( )f x 的单调增区间是
1( ,2 )a
, ( )f x 的单调减区间是
1(2 ,2)a
.
25．（四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月文）
（12 分）已知函数
bxaxaxxf )22(2
1
3
1)( 23
。
（1）若曲线 )(xfy 在点 P ))1(,1( f 处的切线方程为 2
1y
，求 ba, 的值；
（2）证明函数 )(xfy 不可能在 R 上的增函数；
（3）若函数 )(xfy 在区间 )0,2( 上存在极值点，求实数 a 的取值范围。
答案 解：（1） )22()(' 2 axaxxf
3
1
1
2
1)1(
0)1('
b
a
f
f
（2）假设 0)(' xf ∴ )22(2 axax 恒成立
∴
01880
0
2 aa
a＞
而 a ＞0 时 188 2 aa ＞0，∴不可能 0)(' xf
（3）①当 0a 时 02)(' xxf ∴ )0,2(2 x 不满足
②当 0a ，则方程
0)22(2
aa
xx
在 )0,2( 有解
设
)22()( 2
aa
xxxg
若 0)0()2( gg 时 1a 或 2a ，此时△＞0。
而 00)(,1 xxga 或 1x 不成立
2a 时 20)( xxg 或 2
3
不成立
∴ ),2()1,( a ， 2 ＜ a
b
2
＜0
若 )0()2( gg 0.5 无解
故 ),2()1,( a
26．（浙江省桐乡一中 2011 届高三文）（本小题满分 15 分）已知圆 O：x 轴于 A，B 两点，曲
线 C 是以 AB 为长轴，离心率为椭圆，其左焦点为 F．若 P 是圆 O 上一点，连结 PF，过原点 P
作直线 PF 的垂线交直线点 Q．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若点 P 的坐标为（1，1），求证：直线 PQ 圆 O 相切；
（3）试探究：当点 P 在圆 O 上运动时（不与 A、B 重合），直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的
位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．
答案 解：（1）因为
则 b=1，即椭圆 C 的标准方程为
（2）因为 P（1，1），所以所以所以直线 OQ 的方程为 y= —2x.
又 Q 在直线，所以点 Q（—2，4）
即 PQ⊥OQ，故直线 PQ 与圆 O 相切，
（3）当点 P 在圆 O 上运动时，直线 PQ 与圆 P 保持相切的位置关系.
设
则所以直线 OQ 的方程为所以点 Q
所以所以即 OP⊥PQ（P 不与 A、B 重合），
故直线 PQ 始终与圆 O 相切.
27. (福建省福州八中 2011 届高三文) （本小题满分 12 分）
已知函数 13)( 3 axxxf ， Ra .
（Ⅰ）若函数 )(xfy 的图象在 1x 处的切线与直线 66 xy 平行，求实数 a 的值；
（Ⅱ）设函数 6)()( xfxg ，对任意的 11 x ，都有 0)( xg 成立，求实数 a 的取值
范围；
（Ⅲ）当 0a 时，请问：是否存在整数 a 的值，使方程 15)( xf 有且只有一个实根？若存
在，求出整数 a 的值；否则，请说明理由.
答案 解：（Ⅰ） axxf 33)(' 2 ………………1 分
∴ '(1) 3 3 =6f a ………………2 分
∴ =1a ………………3 分
（Ⅱ）
2( ) 3 3 6g x x a
∴
2( ) 3 3 6<0g x x a 在(-1,1)上恒成立. ………………4 分
∴ 2< 2a x 在(-1,1)上恒成立. ………………5 分
而 2 2>1x 在(-1, 1)上恒成立.
∴ 1a ………………6 分
（Ⅲ）存在 ………………7 分
理由如下：
方程 15)( xf 有且只有一个实根，
即为函数 )(xfy 的图象与直线 15y 有且只有一个公共点.
由
2'( ) 3 3f x x a
（1）若 0a ,则 0)(' xf , )(xf 在实数集 R 上单调递增
此时,函数 )(xfy 的图象与直线 15y 有且只有一个公共点.………8 分
（2）若 0a ，则 ))((3)(' axaxxf ..…………………9 分
列表如下：
x
(- ,- - )a - -a (- - , - )a a -a ( - , )a
'( )f x + 0 - 0 +
( )f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴( ( ) 15) ( ( ) 15)>0f x f x 极小值 极大值 ，得：
3 3[( ) 8][( ) 8]<0a a …10 分
∴
30<( ) <8a ，解得 4< <0a ………..11 分
综上所述， 4< 0a 又 Za ，即 a 为-3、-2、-1、0 ………..12 分
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