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- 2021-05-13 发布
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(理科)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至第2页,第II卷第3至第4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10个小题;每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的。
(1)设是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )
(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
【答案】B
【解析】由
其对应点的坐标为在第二象限,故选B.
(2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】选项中A,D都是偶函数,排除B,C. 而D选项与 轴没有交点,故选A.
(3)设 则p是q成立的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由解得,可知由能推出,但不能推出,故是成立的充分不必要条件,
故选A.
(4)下列双曲线中,焦点在轴上且渐近线方程为的是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】选项A和B中的双曲线的交点都在上,可排除。D选项中的双曲线的 其
渐近线方程为,故也可排除。因此答案选C.
(5)已知,是两条不同直线,,是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
(A)若,垂直于同一平面,则与平行
(B)若,平行于同一平面,则与平行
(C)若,不平行,则在内不存在与平行的直线
(D)若,不平行,则与不可能垂直于同一平面
【答案】D
【解析】选项A中垂直于同一平面,关系可能相交,故排除。
选项B中平行于同一平面,关系无法确定,故排除。
选项C中不平行,在中可以存在与平行的直线,故排除。
因此,答案选D。
(6)若样本数据,,……,的标准差为,则数据,,,的
标准差为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】设样本数据的平均数为 ,其标准差为8,则方差为64,
数据,,,的平均数为,
根据方差计算公式知方差为256,故其标准差为16。因此答案选C。
(7)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】由题意知该四面体的直观图如图所示:
,,
,
因此该四面体的表面积为,因此答案选B。
(8)是边长为的等边三角形,已知向量,满足,,则下列结论正确的是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】由题意,故 ,故选项A错。又且,所以,
,所以,故B,C错。
因此答案选D.
(9)函数的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
(A),, (B),,
(C),, (D),,
【答案】C
【解析】由题中图形可知易知,所以。当时,,所以。当时, 所以 ,所以。因此,答案选C。
(10)已知函数(,,均为正的常数)的最小正周期为,当时,函数取得最小值,则下列结论正确的是( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】由题意,
又,知,即
所以可求出函数的一个解析式为,可以判断,因此答案选A。
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
(11)的展开式中的系数是 (用数字填写答案)
【答案】35
【解析】由
令得,所以所求的系数.
(12)在极坐标系中,圆上的点到直线距离的最大值是
【答案】6
【解析】由,得圆的方程为,化为标准方程为,直线方程为,可求得圆心到直线的距离为2,因此所求最大值为6.
(13)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的为
【答案】4
【解析】当时,;当时,;当时,
当时,,由于,故输出的值为4.
(14)已知数列是递增的等比数列,,则数列的前项和等于
【答案】
【解析】由题意可得方程和,解得,
所以。
(15)设,其中均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个
实根的是 (写出所有正确条件的编号)
; ; ;
; .
【答案】⑴ ⑶ ⑷ ⑸
【解析】设,则。当时,,此时单调递增,
若方程有一个实根,⑷ ⑸正确;当时,由于选项中,此时可求
得,由于方程仅有一根,须满足或,因此
⑴ ⑶正确。综上可得本题正确选项是⑴ ⑶ ⑷ ⑸。
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(16)(本小题满分12分)
在中,,点D在边上,,求的长。
【答案】
【解析】设的内角所对边的长分别是,
由余弦定理得
所以 ………………………………4分
又由正弦定理得
由题设知所以
在中,由正弦定理得 ……………12分
(17)(本小题满分12分)
已知2件次品和3件正品混
放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束。
(Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望)
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) =350
【解析】(Ⅰ)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品概率.……5分
(Ⅱ)由题意知的可能取值为200,300,400三种情况,
则
……………10分
所以的分布列如下
所以=350 ……………12分
(18)(本小题满分12分)
设,是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,证明:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析。
【解析】(Ⅰ)由题意,
所以曲线在点处的切线方程为
当时,.……………5分
(Ⅱ)由题设中和(1)中的计算结果知
当时,
当时,,
所以 .
综上可得对任意的 均有 ……………12分
(19)(本小题满分13分)
如图所示,在多面体,四边形,均为正方形,为的中点,过的平面交于F
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)求二面角余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)证明:, 平面, 平面
平面 ……………3分
又平面平面
而
……………6分
(Ⅱ)如图所示,将原图形补全为正方体,过作
取的中点,连结,则
所以是二面角的平面角……………9分
设正方体的边长为,所以,
所以
故所求二面角的余弦值为 ……………13分
(20)(本小题满分13分)
设椭圆E的方程为,点O为坐标原点,点A的坐标为,点B的坐标为,点M在线段AB上,满足,直线OM的斜率为.
(I)求E的离心率 ;
(II)设点C的坐标为,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由得
因为可得
所以,可得椭圆的离心率。……………5分
(Ⅱ)设点关于对称的点为,的中点为,
由题意知,所以点的坐标为
所以 可求直线的方程为
由及点在直线上得到
①
② ……………10分
由①解得代入②并且由(Ⅰ)中可求得
,故椭圆方程为 ……………13分
(21)(本小题满分13分)
设函数.
(Ⅰ)讨论函数内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;
(Ⅱ)记上的最大值D;
(Ⅲ)在中(Ⅱ)取
【答案】(Ⅰ)①当时,,单调递减,无极值;
②当时,,单调递增,无极值
③当时,在内存在唯一的,使得,
时,函数单调递减, 时,函数单调递增,
因此,,时,有极小值为
有极小值为 ;
(Ⅱ);(Ⅲ)最大值为1.
【解析】(Ⅰ),令
可求得=
因为,所以 ,因此的符号决定的符号,
①当时,,单调递减,无极值;
②当时,,单调递增,无极值
③当时,在内存在唯一的,使得,
时,函数单调递减, 时,函数单调递增,
因此,,时,有极小值为
……………4分
(Ⅱ)时,
当时,取等号成立,
当时,取等号成立。
由此可知,在上的最大值为
……………8分
(Ⅲ)即为,此时从而.
取则,并且.
由此可知,满足条件的最大值为1. ……………13分