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  • 2021-05-13 发布

2015安徽高考数学理科真题及解析

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‎ 2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)‎ 数学(理科)‎ ‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至第2页,第II卷第3至第4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 一、选择题:本大题共10个小题;每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)设是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )‎ ‎(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】由 ‎ ‎ 其对应点的坐标为在第二象限,故选B.‎ ‎(2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】选项中A,D都是偶函数,排除B,C. 而D选项与 轴没有交点,故选A.‎ ‎(3)设 则p是q成立的( )‎ ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 ‎ ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由解得,可知由能推出,但不能推出,故是成立的充分不必要条件,‎ ‎ 故选A.‎ ‎(4)下列双曲线中,焦点在轴上且渐近线方程为的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】选项A和B中的双曲线的交点都在上,可排除。D选项中的双曲线的 其 ‎ 渐近线方程为,故也可排除。因此答案选C.‎ ‎(5)已知,是两条不同直线,,是两个不同平面,则下列命题正确的是( )‎ ‎(A)若,垂直于同一平面,则与平行 ‎(B)若,平行于同一平面,则与平行 ‎(C)若,不平行,则在内不存在与平行的直线 ‎(D)若,不平行,则与不可能垂直于同一平面 ‎【答案】D ‎【解析】选项A中垂直于同一平面,关系可能相交,故排除。‎ ‎ 选项B中平行于同一平面,关系无法确定,故排除。‎ ‎ 选项C中不平行,在中可以存在与平行的直线,故排除。‎ 因此,答案选D。‎ ‎(6)若样本数据,,……,的标准差为,则数据,,,的 标准差为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】设样本数据的平均数为 ,其标准差为8,则方差为64,‎ 数据,,,的平均数为,‎ 根据方差计算公式知方差为256,故其标准差为16。因此答案选C。‎ ‎(7)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知该四面体的直观图如图所示:‎ ‎ ,,‎ ‎ ,‎ 因此该四面体的表面积为,因此答案选B。‎ ‎(8)是边长为的等边三角形,已知向量,满足,,则下列结论正确的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,故 ,故选项A错。又且,所以,‎ ‎ ,所以,故B,C错。‎ ‎ 因此答案选D.‎ ‎(9)函数的图象如图所示,则下列结论成立的是( )‎ ‎(A),, (B),,‎ ‎(C),, (D),,‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题中图形可知易知,所以。当时,,所以。当时, 所以 ,所以。因此,答案选C。‎ ‎(10)已知函数(,,均为正的常数)的最小正周期为,当时,函数取得最小值,则下列结论正确的是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,‎ ‎ 又,知,即 所以可求出函数的一个解析式为,可以判断,因此答案选A。‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)‎ 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。‎ ‎(11)的展开式中的系数是 (用数字填写答案)‎ ‎【答案】35‎ ‎【解析】由 ‎ 令得,所以所求的系数.‎ ‎(12)在极坐标系中,圆上的点到直线距离的最大值是 ‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由,得圆的方程为,化为标准方程为,直线方程为,可求得圆心到直线的距离为2,因此所求最大值为6.‎ ‎(13)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的为 ‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】当时,;当时,;当时,‎ ‎ 当时,,由于,故输出的值为4.‎ ‎(14)已知数列是递增的等比数列,,则数列的前项和等于 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得方程和,解得,‎ ‎ 所以。‎ ‎(15)设,其中均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个 实根的是 (写出所有正确条件的编号)‎ ‎; ; ;‎ ‎; .‎ ‎【答案】⑴ ⑶ ⑷ ⑸‎ ‎【解析】设,则。当时,,此时单调递增,‎ ‎ 若方程有一个实根,⑷ ⑸正确;当时,由于选项中,此时可求 得,由于方程仅有一根,须满足或,因此 ‎⑴ ⑶正确。综上可得本题正确选项是⑴ ⑶ ⑷ ⑸。‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎(16)(本小题满分12分)‎ 在中,,点D在边上,,求的长。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设的内角所对边的长分别是,‎ ‎ 由余弦定理得 ‎ 所以 ………………………………4分 又由正弦定理得 由题设知所以 在中,由正弦定理得 ……………12分 ‎(17)(本小题满分12分)‎ 已知2件次品和3件正品混 放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束。‎ ‎ (Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;‎ ‎ (Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望)‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) =350‎ ‎【解析】(Ⅰ)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品概率.……5分 ‎ (Ⅱ)由题意知的可能取值为200,300,400三种情况,‎ ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ……………10分 所以的分布列如下 所以=350 ……………12分 ‎(18)(本小题满分12分)‎ 设,是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标,‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记,证明:.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析。‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意,‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎ 当时,.……………5分 ‎ (Ⅱ)由题设中和(1)中的计算结果知 ‎ ‎ 当时,‎ ‎ 当时,,‎ ‎ 所以 .‎ ‎ 综上可得对任意的 均有 ……………12分 ‎(19)(本小题满分13分)‎ 如图所示,在多面体,四边形,均为正方形,为的中点,过的平面交于F ‎(Ⅰ)证明:‎ ‎(Ⅱ)求二面角余弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)证明:, 平面, 平面 ‎ 平面 ……………3分 ‎ 又平面平面 ‎ 而 ‎ ……………6分 ‎ (Ⅱ)如图所示,将原图形补全为正方体,过作 ‎ 取的中点,连结,则 ‎ 所以是二面角的平面角……………9分 ‎ 设正方体的边长为,所以,‎ ‎ 所以 ‎ 故所求二面角的余弦值为 ……………13分 ‎(20)(本小题满分13分)‎ 设椭圆E的方程为,点O为坐标原点,点A的坐标为,点B的坐标为,点M在线段AB上,满足,直线OM的斜率为.‎ ‎(I)求E的离心率 ;‎ ‎(II)设点C的坐标为,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)由得 ‎ 因为可得 ‎ 所以,可得椭圆的离心率。……………5分 ‎(Ⅱ)设点关于对称的点为,的中点为, ‎ 由题意知,所以点的坐标为 所以 可求直线的方程为 ‎ 由及点在直线上得到 ‎ ①‎ ‎ ② ……………10分 ‎ 由①解得代入②并且由(Ⅰ)中可求得 ‎ ,故椭圆方程为 ……………13分 ‎(21)(本小题满分13分)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;‎ ‎(Ⅱ)记上的最大值D;‎ ‎(Ⅲ)在中(Ⅱ)取 ‎【答案】(Ⅰ)①当时,,单调递减,无极值;‎ ‎②当时,,单调递增,无极值 ‎ ③当时,在内存在唯一的,使得,‎ ‎ 时,函数单调递减, 时,函数单调递增,‎ ‎ 因此,,时,有极小值为 ‎ 有极小值为 ;‎ ‎(Ⅱ);(Ⅲ)最大值为1.‎ ‎【解析】(Ⅰ),令 ‎ 可求得=‎ ‎ 因为,所以 ,因此的符号决定的符号,‎ ‎①当时,,单调递减,无极值;‎ ‎②当时,,单调递增,无极值 ‎ ③当时,在内存在唯一的,使得,‎ ‎ 时,函数单调递减, 时,函数单调递增,‎ ‎ 因此,,时,有极小值为 ‎ ‎ ……………4分 ‎(Ⅱ)时, ‎ ‎ 当时,取等号成立,‎ ‎ 当时,取等号成立。‎ 由此可知,在上的最大值为 ‎ ……………8分 ‎(Ⅲ)即为,此时从而.‎ ‎ 取则,并且.‎ ‎ 由此可知,满足条件的最大值为1. ……………13分