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  • 2021-05-13 发布

2015高考数学(文)(空间的平行关系)一轮复习学案

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学案43 空间的平行关系 导学目标: 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系.‎ 自主梳理 ‎1.直线a和平面α的位置关系有________、________、__________,其中________与________统称直线在平面外.‎ ‎2.直线和平面平行的判定:‎ ‎(1)定义:直线和平面没有____________,则称直线和平面平行.‎ ‎(2)判定定理:a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒________;‎ ‎(3)其他判定方法:α∥β,a⊂α⇒________.‎ ‎3.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=l⇒________.‎ ‎4.两个平面的位置关系有________、________.‎ ‎5.两个平面平行的判定:‎ ‎(1)定义:两个平面没有________,称这两个平面平行;‎ ‎(2)判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α;‎ ‎(3)推论:a∩b=P,a,b⊂α,a′∩b′=P′,a′,b′⊂β,a∥a′,b∥b′⇒________.‎ ‎6.两个平面平行的性质定理:‎ α∥β,a⊂α⇒________;‎ α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒________.‎ ‎7.与垂直相关的平行的判定:‎ ‎(1)a⊥α,b⊥α⇒________;(2)a⊥α,a⊥β⇒________.‎ 自我检测 ‎1.(2011·湖南四县调研)平面α∥平面β的一个充分条件是(  )‎ A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,a∥β,b⊂β,b∥α D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α ‎2.(2011·烟台模拟)一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是(  )‎ A.l∥α B.l⊥α C.l与α相交但不垂直 D.l∥α或l⊂α ‎3.下列各命题中:‎ ‎①平行于同一直线的两个平面平行;‎ ‎②平行于同一平面的两个平面平行;‎ ‎③一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个相交;‎ ‎④垂直于同一直线的两个平面平行.‎ 不正确的命题个数是(  )‎ A.1 B.‎2 ‎ C.3 D.4‎ ‎4.经过平面外的两点作该平面的平行平面,可以作(  )‎ A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.1个或2个 ‎5.(2011·南京模拟)在四面体ABCD中,M、N分别是△ACD、△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________________.‎ 探究点一 线面平行的判定 例1 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内,P、Q分别是对角线AE、BD上的点,且AP=DQ.求证:PQ∥平面CBE.‎ 变式迁移1 (2011·长沙调研)在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M、N分别是AB、PC的中点,求证:MN∥平面PAD.‎ 探究点二 面面平行的判定 例2 在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中,M、N、P分别是C‎1C、B‎1C1、C1D1的中点,求证:平面MNP∥平面A1BD.‎ 变式迁移2 已知P为△ABC所在平面外一点,G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心.‎ ‎(1)求证:平面G‎1G2G3∥平面ABC;‎ ‎(2)求S△G‎1G2G3∶S△ABC.‎ 探究点三 平行中的探索性问题 例3 (2011·惠州月考)如图所示,在四棱锥P—ABCD中,CD∥AB,AD⊥AB,‎ AD=DC=AB,BC⊥PC.‎ ‎(1)求证:PA⊥BC;‎ ‎(2)试在线段PB上找一点M,使CM∥平面PAD,并说明理由.‎ 变式迁移3 ‎ 如图所示,在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?‎ 转化与化归思想综合应用 例 (12分)一个多面体的三视图和直观图如图所示,其中M、N分别是AB、SC的中点,P是SD上的一动点.‎ ‎(1)求证:BP⊥AC;‎ ‎(2)当点P落在什么位置时,AP∥平面SMC?‎ ‎(3)求三棱锥B—NMC的体积.‎ 多角度审题 第(1)问的关键是根据三视图得到SD⊥平面ABCD,第(2)问是一个开放型问题,可有两种思维方式:一是猜想P是SD的中点,二是从结论“AP平行于平面SMC”出发找P满足的条件.‎ ‎【答题模板】‎ ‎(1)证明 连接BD,∵ABCD为正方形,‎ ‎∴BD⊥AC,又SD⊥底面ABCD,‎ ‎∴SD⊥AC,∵BD∩SD=D,∴AC⊥平面SDB,∵BP⊂平面SDB,‎ ‎∴AC⊥BP,即BP⊥AC.[4分]‎ ‎(2)解 取SD的中点P,连接PN,AP,MN.‎ 则PN∥DC且PN=DC.[6分]‎ ‎∵底面ABCD为正方形,∴AM∥DC且AM=DC,‎ ‎∴四边形AMNP为平行四边形,∴AP∥MN.‎ 又AP⊄平面SMC,MN⊂平面SMC,∴AP∥平面SMC.[8分]‎ ‎(3)解 VB—NMC=VN—MBC=S△MBC·SD=··BC·MB·SD=×1×××2=.[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ ‎1.本题综合考查三视图、体积计算及线面平行、垂直等位置关系,首先要根据三视图想象直观图,尤其是其中的平行、垂直及长度关系,第(1)问的关键是根据三视图得到SD⊥平面ABCD,第(2)问是一个开放型问题,开放型问题能充分考查学生的思维能力和创新精神,近年来在高考试题中频繁出现这类题目.结合空间平行关系,利用平行的性质,设计开放型试题是新课标高考命题的一个动向.‎ ‎2.线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法.‎ ‎1.直线与平面平行的重要判定方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质定理.‎ ‎2.平面与平面平行的重要判定方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3)利用结论:a⊥α,a⊥β⇒α∥β.‎ ‎3.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化:‎ ‎(满分:75分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2011·开封月考)下列命题中真命题的个数为(  )‎ ‎①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;‎ ‎②若直线a在平面α外,则a∥α;‎ ‎③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;‎ ‎④若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.‎ A.1 B.‎2 ‎ C.3 D.4‎ ‎2.已知直线a、b、c和平面m,则直线a∥直线b的一个必要不充分的条件是(  )‎ A.a⊥m且b⊥m B.a∥m且b∥m C.a∥c且b∥c D.a,b与m所成的角相等 ‎3.在空间中,下列命题正确的是(  )‎ A.若a∥α,b∥a,则b∥α B.若a∥α,b∥α,a⊂β,b⊂β,则β∥α C.若α∥β,b∥α,则b∥β D.若α∥β,a⊂α,则a∥β ‎4.设l1、l2是两条直线,α、β是两个平面,A为一点,有下列四个命题,其中正确命题的个数是(  )‎ ‎①若l1⊂α,l2∩α=A,则l1与l2必为异面直线;‎ ‎②若l1∥α,l2∥l1,则l2∥α;‎ ‎③若l1⊂α,l2⊂β,l1∥β,l2∥α,则α∥β;‎ ‎④若α⊥β,l1⊂α,则l1⊥β.‎ A.0 B.‎1 ‎ C.2 D.3‎ ‎5.若直线a,b为异面直线,则分别经过直线a,b的平面中,相互平行的有(  )‎ A.1对 B.2对 C.无数对 D.1或2对 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎6.(2011·秦皇岛月考)下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).‎ ‎,‎ ‎7.(2011·大连模拟)过三棱柱ABC—A1B‎1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB‎1A1平行的有______条.‎ ‎8.‎ 如图所示,ABCD—A1B‎1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B‎1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9.(12分)‎ 如图所示,在三棱柱ABC—A1B‎1C1中,M、N分别是BC和A1B1的中点.‎ 求证:MN∥平面AA‎1C1C.‎ ‎10.(12分)(2010·湖南改编)‎ 如图所示,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E是棱DD1的中点.‎ 在棱C1D1上是否存在一点F,使B‎1F∥平面A1BE?证明你的结论.‎ ‎11.(14分)‎ ‎(2011·济宁模拟)如图,四边形ABCD为矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,BF⊥平面ACE,且点F在CE上.‎ ‎(1)求证:AE⊥BE;‎ ‎(2)求三棱锥D—AEC的体积;‎ ‎(3)设点M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.‎ 学案43 空间的平行关系 自主梳理 ‎1.平行 相交 在平面内 平行 相交 2.(1)公共点 (2)a∥α (3)a∥β 3.a∥l 4.平行 相交 5.(1)公共点 ‎(3)α∥β 6.a∥β a∥b 7.(1)a∥b (2)α∥β 自我检测 ‎1.D 2.D 3.A 4.C ‎5.面ABC和面ABD 课堂活动区 例1 解题导引 证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行,要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化.‎ 证明 ‎ 如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN.‎ ‎∵矩形ABCD和矩形ABEF全等且有公共边AB,∴AE=BD.‎ 又∵AP=DQ,∴PE=QB,‎ 又∵PM∥AB∥QN,‎ ‎∴=,=,∴=.‎ ‎∴PM綊QN,∴四边形PQNM为平行四边形,‎ ‎∴PQ∥MN 又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE,‎ ‎∴PQ∥平面BCE.‎ 变式迁移1 证明 取PD中点F,连接AF、NF、NM.‎ ‎∵M、N分别为AB、PC的中点,‎ ‎∴NF綊CD,AM綊CD,∴AM綊NF.‎ ‎∴四边形AMNF为平行四边形,∴MN∥AF.‎ 又AF⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,‎ ‎∴MN∥平面PAD.‎ 例2 解题导引 面面平行的常用判断方法有:‎ ‎(1)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;‎ ‎(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;关键是利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.‎ 证明 方法一 ‎ 如图所示,连接B1D1、B‎1C.‎ ‎∵P、N分别是D‎1C1、B‎1C1的中点,‎ ‎∴PN∥B1D1.‎ 又B1D1∥BD,‎ ‎∴PN∥BD.‎ 又PN⊄面A1BD,‎ ‎∴PN∥平面A1BD.‎ 同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N,‎ ‎∴平面MNP∥平面A1BD.‎ 方法二 ‎ 如图所示,连接AC1、AC.‎ ‎∵ABCD—A1B‎1C1D1为正方体,‎ ‎∴AC⊥BD.‎ 又CC1⊥面ABCD,‎ BD⊂面ABCD,‎ ‎∴CC1⊥BD,∴BD⊥面ACC1,‎ 又∵AC1⊂面ACC1,∴AC1⊥BD.‎ 同理可证AC1⊥A1B,‎ ‎∴AC1⊥平面A1BD.‎ 同理可证AC1⊥平面PMN,‎ ‎∴平面PMN∥平面A1BD.‎ 变式迁移2 ‎ ‎(1)证明 如图所示,连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F,连接DE、EF、FD,则有PG1∶PD=2∶3,‎ PG2∶PE=2∶3,∴G‎1G2∥DE.‎ 又G‎1G2不在平面ABC内,DE在平面ABC内,‎ ‎∴G‎1G2∥平面ABC.‎ 同理G‎2G3∥平面ABC.‎ 又因为G‎1G2∩G‎2G3=G2,‎ ‎∴平面G‎1G2G3∥平面ABC.‎ ‎(2)解 由(1)知==,∴G‎1G2=DE.‎ 又DE=AC,∴G‎1G2=AC.‎ 同理G‎2G3=AB,G‎1G3=BC.‎ ‎∴△G‎1G2G3∽△CAB,其相似比为1∶3,‎ ‎∴S△G‎1G2G3∶S△ABC=1∶9.‎ 例3 解题导引 近几年探索性问题在高考中时有出现,解答此类问题时先以特殊位置尝试探究,找到符合要求的点后再给出严格证明.‎ ‎(1)证明 连接AC,过点C作CE⊥AB,垂足为E.‎ 在四边形ABCD中,AD⊥AB,CD∥AB,AD=DC,‎ ‎∴四边形ADCE为正方形.‎ ‎∴∠ACD=∠ACE=45°.‎ ‎∵AE=CD=AB,∴BE=AE=CE.∴∠BCE=45°.‎ ‎∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=45°+45°=90°.‎ ‎∴AC⊥BC.‎ 又∵BC⊥PC,AC⊂平面PAC,PC⊂平面PAC,AC∩PC=C,‎ ‎∴BC⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC,∴PA⊥BC.‎ ‎(2)解 当M为PB的中点时,CM∥平面PAD.‎ 取AP的中点F,连接CM,FM,DF.‎ 则FM綊AB.‎ ‎∵CD∥AB,CD=AB,‎ ‎∴FM綊CD.‎ ‎∴四边形CDFM为平行四边形.∴CM∥DF.‎ ‎∵DF⊂平面PAD,CM⊄平面PAD,‎ ‎∴CM∥平面PAD.‎ 变式迁移3 解 当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.‎ ‎∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.‎ ‎∵P、O为DD1、DB的中点,‎ ‎∴D1B∥PO.‎ 又PO∩PA=P,D1B∩QB=B,D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,‎ ‎∴平面D1BQ∥平面PAO.‎ 课后练习区 ‎1.A [①、②、③错,④对.]‎ ‎2.D [注意命题之间的相互推出关系;易知选项D中,若两直线平行,则其与m所成的角相等,反之却不一定成立,故a、b与m所成的角相等是两直线平行的必要不充分条件.]‎ ‎3.D [A不正确,由直线与平面平行的判定定理的条件知缺少条件b⊄α;B不正确,由两个平面平行的判定定理的条件,因a、b未必相交,而可能为两条平行直线,则α、β未必平行;C不正确,因有可能b⊂β;D正确,由两个平面平行的定义及直线与平面平行的定义知正确.]‎ ‎4.A [①错,l1⊂α,l2∩α=A,l1与l2可能相交.‎ ‎②错,l2有可能在平面α内.‎ ‎③错,α有可能与β相交.‎ ‎④错,l1有可能与平面β相交或平行或在平面内.]‎ ‎5.A ‎ [如图,a,b为异面直线,过b上一点作a′∥a,直线a′,b确定一个平面β,过a上一点作b′∥b,b与b′确定一个平面α,则α∥β.因为α,β是惟一的,所以相互平行的平面仅有一对.]‎ ‎6.①③‎ 解析 ①∵面AB∥面MNP,∴AB∥面MNP,‎ ‎②过N作AB的平行线交于底面正方形的中心O,‎ NO⊄面MNP,‎ ‎∴AB与面MNP不平行.‎ ‎③易知AB∥MP,‎ ‎∴AB∥面MNP;‎ ‎④过点P作PC∥AB,‎ ‎∵PC⊄面MNP,‎ ‎∴AB与面MNP不平行.‎ ‎7.‎ ‎6‎ 解析 如图,EF∥E‎1F1∥AB,‎ EE1∥FF1∥BB1,F1E∥A1D,‎ E‎1F∥B1D,‎ ‎∴EF、E‎1F1、EE1、FF1、F1E、E‎1F都平行于平面ABB‎1A1,共6条.‎ ‎8.a 解析 ‎ 如图所示,连接AC,‎ 易知MN∥平面ABCD,‎ 又∵PQ为平面ABCD与平面MNQP的交线,‎ ‎∴MN∥PQ.‎ 又∵MN∥AC,∴PQ∥AC,‎ 又∵AP=,‎ ‎∴===,∴PQ=AC=a.‎ ‎9.证明 设A‎1C1中点为F,连接NF,FC,‎ ‎∵N为A1B1中点,‎ ‎∴NF∥B‎1C1,且NF=B‎1C1,‎ 又由棱柱性质知B‎1C1綊BC,(4分)‎ 又M是BC的中点,‎ ‎∴NF綊MC,‎ ‎∴四边形NFCM为平行四边形.‎ ‎∴MN∥CF,(8分)‎ 又CF⊂平面AA‎1C1C,‎ MN⊄平面AA‎1C1C,‎ ‎∴MN∥平面AA‎1C1C.(12分)‎ ‎10.解 在棱C1D1上存在点F,使B‎1F∥平面A1BE.证明如下:‎ 如图所示,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接B‎1F,EG,BG,CD1,FG.因为A1D1∥B‎1C1∥BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四 边形,因此D‎1C∥A1B.又E,G分别为D1D,CD的中点,所以EG∥D‎1C,从而EG∥A1B.这说明A1,B,G,E四点共面,所以BG⊂平面A1BE.(6分)‎ 因为四边形C1CDD1与B1BCC1都是正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,所以FG∥C‎1C∥B1B,且FG=C‎1C=B1B,因此四边形B1BGF是平行四边形,所以B‎1F∥BG.而B‎1F⊄平面A1BE,BG⊂平面A1BE,故B‎1F∥平面A1BE.(12分)‎ ‎11.(1)证明 由AD⊥平面ABE及AD∥BC,‎ 得BC⊥平面ABE,BC⊥AE,(1分)‎ 而BF⊥平面ACE,所以BF⊥AE,(2分)‎ 又BC∩BF=B,所以AE⊥平面BCE,‎ 又BE⊂平面BCE,故AE⊥BE.(4分)‎ ‎(2)解 在△ABE中,过点E作EH⊥AB于点H,‎ 则EH⊥平面ACD.‎ 由已知及(1)得EH=AB=,S△ADC=2.‎ ‎(6分)‎ 故VD—AEC=VE—ADC=×2×=.(8分)‎ ‎(3)解 在△ABE中,过点M作MG∥AE交BE于点G,在△BEC中过点G作GN∥BC交EC于点N,‎ 连接MN,则由===,得CN=CE.‎ 由MG∥AE,AE⊂平面ADE,‎ MG⊄平面ADE,则MG∥平面ADE.(10分)‎ 再由GN∥BC,BC∥AD,AD⊂平面ADE,GN⊄平面ADE,‎ 得GN∥平面ADE,所以平面MGN∥平面ADE.‎ 又MN⊂平面MGN,则MN∥平面ADE.(12分)‎ 故当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时,‎ MN∥平面ADE.(14分)‎