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  • 2021-05-13 发布

高考文理科数学大题专题训练之几何证明三

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专题训练<三>‎ ‎1、如图,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E分别是棱AD、AA的中点.‎ ‎(Ⅰ)设F是AB的中点, 证明:直线EE//平面FCC;‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ ‎(Ⅱ)证明:平面⊥平面 ‎1、【解析】(Ⅰ)(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中,‎ 取A1B1的中点F1,连结,‎ 由于∥∥,所以平面,‎ 因此平面即为平面,连结A1D,CF1,‎ 由于CDA1F1CD,‎ 所以四边形A1F1CD为平行四边形,因此CF1//A1D,‎ 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点,所以EE1//A1D,‎ 所以CF1//EE1,又因为平面FCC,平面FCC,‎ 所以直线EE//平面FCC.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)证明:连结AC,在中,FC=BC=FB, 又F为AB的中点,所以AF=FC=FB,‎ 所以AC⊥BC,又AC⊥,且,‎ 所以AC⊥平面,又平面,‎ 故平面⊥平面.‎ ‎2、如图所示,正方形与梯形所在的平面互相垂直, .‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)在上找一点,使得平面,请确定点的位置,并给出证明.‎ ‎2、证明: (Ⅰ)因为正方形与梯形所在的平面互相垂直,‎ 所以平面………………………………………1分 因为,所以 取中点,连接 则由题意知:四边形为正方形 所以,‎ E B A C N D F M 则为等腰直角三角形 则…………5分 则平面 则………………7分 ‎ (Ⅱ)取中点,则有 平面…………8分 证明如下:连接 由(Ⅰ)知,所以 平面 又因为、分别为、的中点,‎ 所以 则平面……10分 则平面平面,所以平面……………………12分 如图所示,平面⊥平面,为正方形, ,且分别是线段的中点。‎ ‎(1)求证://平面 ;‎ ‎(2)求三棱锥的体积。[‎ ‎3、【解析】(1)证明:分别是线段PA、PD的中点, …………2分 又∵ABCD为正方形,∴BC//AD,∴BC//EF。 …………4分 又平面EFG,EF平面EFG,∴BC//平面EFG …………6分 ‎(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD,即GD⊥平面AEF。 ……8分 又∵EF//AD,PA⊥AD,∴EF⊥AE。 …………10分 又 ‎ …………12分 ‎4、如图3,在圆锥中,已知的直径的中点.‎ ‎(I)证明:‎ ‎(II)求直线和平面所成角的正弦值.‎ ‎4、【解析】(I)因为 又内的两条相交直线,所以 ‎(II)由(I)知,又所以平面在平面中,过作则连结,则是上的射影,所以是直线和平面所成的角.在 在 E B C D A ‎5、如图,在四棱锥A—BCDE中,底面BCDE是直角梯形,,BE∥CD,AB=6,BC=5,,侧面ABE⊥底面BCDE,.‎ ‎⑴求证:平面ADE⊥平面ABE;‎ ‎⑵过点D作面∥平面ABC,分别于BE,AE交于点F,G,求的面积.‎ E B C D A G F ‎5、(1)证明:因为侧面ABE⊥底面BCDE,‎ 侧面ABE∩底面BCDE=BE,‎ DE底面BCDE,‎ DE⊥BE,‎ 所以DE⊥平面ABE,‎ 所以AB⊥DE,‎ 又因为,‎ 所以AB⊥平面ADE,‎ 所以平面ADE⊥平面ABE;…………………7‎ ‎(2)因为平面∥平面ABC,‎ 所以∥ ,同理∥ ………………………9‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 所以,‎ 因为,所以 所以 …………………………………………………11‎ 由⑴易证:平面ADE,所以,所以 所以的面积. ……………………………………………………14‎ ‎6、在边长为的正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,M、N分别为AB、CF的中点,现沿AE、AF、EF折叠,使B、C、D三点重合,构成一个三棱锥.‎ ‎(1)判别MN与平面AEF的位置关系,并给出证明;‎ ‎(2)求多面体E-AFMN的体积.‎ ‎6、 (1)因翻折后B、C、D重合(如图),‎ 所以MN应是的一条中位线,………………3分 则.………7分 ‎(2)因为平面BEF,……………9分 且,‎ ‎∴,………………………………………11分 又 ∴.……………………………………14分 ‎7、如图,在直四棱柱中,,分别是的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ A1‎ B1‎ C1‎ A B C D1‎ D E F ‎(Ⅱ)求证:平面平面.‎ 7. 解:(Ⅰ)连接AC,则AC∥,而分别是的中点,‎ 所以EF∥AC,‎ 则EF∥,故平面………………………………………………………7分 ‎(Ⅱ)因为平面,所以,又,‎ 则平面 ………………………………………………………………12分 又平面,所以平面平面…………………………14分 ‎8. 如图5-2-6,弧AEC是半径为的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=‎ ‎(1)证明:EBFD ‎(2)求点B到平面FED的距离. ‎ ‎8.设法证明平面即可 ‎(1)证明 : ∵点E为的中点,且为直径 ∴‎ ‎,且∴‎ ‎∵FC∩AC=C ∴BE⊥平面FBD ∵FD∈平面FBD ∴EB⊥FD ‎ (2)解:∵,且 ∴‎ ‎ 又∵,∴‎ ‎∴‎ 则点B到平面FED的距离 ‎9.如图5-2-8是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)‎ 被削去上底后的直观图与三视图的左视图.俯视图,在直观图中,M是BD的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.‎ ‎(1)求出该几何体的体积.‎ ‎(2)若N是BC的中点,求证:平面;‎ ‎(3)求证:平面平面.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9解:(1)由题意可知:四棱锥中,‎ 平面平面,‎ 所以,平面,又,‎ 则四棱锥的体积为:‎ ‎(2)连接,则 ‎ 又,所以四边形为平行四边形,‎ 平面,平面,所以,平面;‎ ‎(3) ,是的中点,,又平面平面平面 由(2)知:平面又平面所以,平面平面.‎ B E A D C ‎10.如图,在长方体中,点在棱的延长线上,‎ 且.‎ ‎(Ⅰ) 求证://平面 ;‎ ‎(Ⅱ) 求证:平面平面; ‎ ‎(Ⅲ)求四面体的体积.‎ ‎10解:(Ⅰ)证明:连 ‎ 四边形是平行四边形 ………2分 则 ‎ ‎ 又平面,平面 ‎//平面    ………5分 ‎(Ⅱ) 由已知得 则 ………6分 由长方体的特征可知:平面 而平面, 则 ………9分 平面 又平面 平面平面 ………10分 ‎(Ⅲ)四面体D1B1AC的体积 ‎ ………14分 ‎11. 如图,在四棱锥中,,,‎ ‎,平面平面,是线段 上一点,,,.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)设三棱锥与四棱锥的体积 分别为与,求的值.‎ ‎11【解析】(1) 平面平面,平面平面,‎ M S D C B A 平面,‎ 平面,…………………1分 平面 ‎ ‎ …………………2分 四边形是直角梯形,,‎ 都是等腰直角三角形,‎ ‎………………4分 平面,平面,,‎ 平面…………………………………………6分 ‎(2)三棱锥与三棱锥的体积相等,‎ 由( 1 ) 知平面,‎ 得,……………………………………………9分 设由,‎ 得 从而 ……………………………12分 ‎12. 如图,已知四棱锥,底面是边长为2的菱形,平面,分别是的中点。‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(II)若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求四棱锥的体积。‎