高考文理科数学大题专题训练之几何证明三 13页

专题训练<三>‎ ‎1、如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E分别是棱AD、AA的中点.‎ ‎(Ⅰ)设F是AB的中点, 证明：直线EE//平面FCC；‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ ‎(Ⅱ)证明:平面⊥平面 ‎1、【解析】（Ⅰ）（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，‎ 取A1B1的中点F1，连结，‎ 由于∥∥,所以平面,‎ 因此平面即为平面,连结A1D，CF1，‎ 由于CDA1F1CD,‎ 所以四边形A1F1CD为平行四边形，因此CF1//A1D，‎ 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，‎ 所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，‎ 所以直线EE//平面FCC.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)证明:连结AC,在中,FC=BC=FB, 又F为AB的中点,所以AF=FC=FB,‎ 所以AC⊥BC,又AC⊥,且,‎ 所以AC⊥平面,又平面,‎ 故平面⊥平面.‎ ‎2、如图所示,正方形与梯形所在的平面互相垂直, .‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)在上找一点,使得平面,请确定点的位置,并给出证明．‎ ‎2、证明： (Ⅰ)因为正方形与梯形所在的平面互相垂直，‎ 所以平面………………………………………1分 因为，所以 取中点，连接 则由题意知：四边形为正方形 所以，‎ E B A C N D F M 则为等腰直角三角形 则…………5分 则平面 则………………7分 ‎ (Ⅱ)取中点，则有 平面…………8分 证明如下：连接 由(Ⅰ)知，所以 平面 又因为、分别为、的中点，‎ 所以 则平面……10分 则平面平面，所以平面……………………12分 如图所示，平面⊥平面，为正方形， ，且分别是线段的中点。‎ ‎（1）求证：//平面 ；‎ ‎（2）求三棱锥的体积。[‎ ‎3、【解析】（1）证明：分别是线段PA、PD的中点， …………2分 又∵ABCD为正方形，∴BC//AD，∴BC//EF。 …………4分 又平面EFG，EF平面EFG，∴BC//平面EFG …………6分 ‎（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，即GD⊥平面AEF。 ……8分 又∵EF//AD，PA⊥AD，∴EF⊥AE。 …………10分 又 ‎ …………12分 ‎4、如图3，在圆锥中，已知的直径的中点．‎ ‎（I）证明：‎ ‎（II）求直线和平面所成角的正弦值．‎ ‎4、【解析】（I）因为 又内的两条相交直线，所以 ‎（II）由（I）知，又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角．在 在 E B C D A ‎5、如图，在四棱锥A—BCDE中，底面BCDE是直角梯形，，BE∥CD，AB=6，BC=5，，侧面ABE⊥底面BCDE，．‎ ‎⑴求证：平面ADE⊥平面ABE；‎ ‎⑵过点D作面∥平面ABC，分别于BE，AE交于点F，G，求的面积．‎ E B C D A G F ‎5、（1）证明：因为侧面ABE⊥底面BCDE，‎ 侧面ABE∩底面BCDE=BE，‎ DE底面BCDE，‎ DE⊥BE，‎ 所以DE⊥平面ABE，‎ 所以AB⊥DE，‎ 又因为，‎ 所以AB⊥平面ADE，‎ 所以平面ADE⊥平面ABE；…………………7‎ ‎（2）因为平面∥平面ABC，‎ 所以∥ ，同理∥ ………………………9‎ 所以四边形为平行四边形．‎ 所以，‎ 因为，所以 所以 …………………………………………………11‎ 由⑴易证：平面ADE，所以，所以 所以的面积． ……………………………………………………14‎ ‎6、在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．‎ ‎（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；‎ ‎（2）求多面体E-AFMN的体积．‎ ‎6、 （1）因翻折后B、C、D重合（如图），‎ 所以MN应是的一条中位线，………………3分 则．………7分 ‎（2）因为平面BEF，……………9分 且，‎ ‎∴，………………………………………11分 又　∴．……………………………………14分 ‎7、如图，在直四棱柱中，，分别是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ A1‎ B1‎ C1‎ A B C D1‎ D E F ‎（Ⅱ）求证：平面平面.‎ 7． 解：（Ⅰ）连接AC，则AC∥，而分别是的中点，‎ 所以EF∥AC，‎ 则EF∥，故平面………………………………………………………7分 ‎（Ⅱ）因为平面，所以，又，‎ 则平面 ………………………………………………………………12分 又平面，所以平面平面…………………………14分 ‎8. 如图5-2-6，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=‎ ‎（1）证明：EBFD ‎（2）求点B到平面FED的距离. ‎ ‎8.设法证明平面即可 ‎（1）证明 ： ∵点E为的中点，且为直径 ∴‎ ‎，且∴‎ ‎∵FC∩AC=C ∴BE⊥平面FBD ∵FD∈平面FBD ∴EB⊥FD ‎ （2）解：∵，且 ∴‎ ‎ 又∵，∴‎ ‎∴‎ 则点B到平面FED的距离 ‎9.如图5-2-8是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）‎ 被削去上底后的直观图与三视图的左视图.俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.‎ ‎(1)求出该几何体的体积.‎ ‎(2)若N是BC的中点，求证：平面；‎ ‎(3)求证：平面平面.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9解：(1)由题意可知：四棱锥中，‎ 平面平面，‎ 所以，平面，又，‎ 则四棱锥的体积为：‎ ‎(2)连接，则 ‎ 又，所以四边形为平行四边形，‎ 平面,平面,所以，平面；‎ ‎(3) ,是的中点,，又平面平面平面 由(2)知：平面又平面所以，平面平面.‎ B E A D C ‎10.如图，在长方体中，点在棱的延长线上，‎ 且．‎ ‎(Ⅰ) 求证：//平面 ；‎ ‎(Ⅱ) 求证：平面平面； ‎ ‎（Ⅲ）求四面体的体积．‎ ‎10解：（Ⅰ）证明：连 ‎ 四边形是平行四边形 ………2分 则 ‎ ‎ 又平面，平面 ‎//平面    ………5分 ‎（Ⅱ） 由已知得 则 ………6分 由长方体的特征可知：平面 而平面， 则 ………9分 平面 又平面 平面平面 ………10分 ‎（Ⅲ）四面体D1B1AC的体积 ‎ ………14分 ‎11. 如图，在四棱锥中，，，‎ ‎，平面平面，是线段 上一点，，，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设三棱锥与四棱锥的体积 分别为与，求的值．‎ ‎11【解析】（1） 平面平面,平面平面,‎ M S D C B A 平面，‎ 平面,…………………1分 平面 ‎ ‎ …………………2分 四边形是直角梯形，,‎ 都是等腰直角三角形,‎ ‎………………4分 平面，平面，,‎ 平面…………………………………………6分 ‎（2）三棱锥与三棱锥的体积相等,‎ 由( 1 ) 知平面,‎ 得,……………………………………………9分 设由,‎ 得 从而 ……………………………12分 ‎12. 如图，已知四棱锥，底面是边长为2的菱形，平面，分别是的中点。‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（II）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求四棱锥的体积。‎