高考二轮复习专题应用题 11页

高考二轮复习专题——应用题题型分析与解题方法研究 一、求解应用题的一般步骤是（四步法）： 1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系； 2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； 3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； 4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证. 在高考中，经常涉及的数学模型有以下一些类型：函数模型、不等式模型、三角模型、数列模型等 二、题型分类解析： ①二次函数与分段函数模型 1.某地区的农产品第天 的销售价格 （元∕百斤），一农户在第天 农产品的销售量 （百斤）。 （1）求该农户在第7天销售农产品的收入； （2）问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？ 2. 某地区的农产品第天 的销售价格 （元∕百斤），一农户在第天 农产品的销售量 （百斤）。 （1）求该农户在第7天销售农产品的收入； （2）问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？ 3. 经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和销售价格均为时间(天)的函数，且日销售量近似的满足 (1≤≤100， ※)，前40天价格为 (1≤≤40， ※)，后60天价格为 (41≤≤100，N※).试求该商品的日销售额 的最大值和最小值。 ( )201 ≤≤ x 650 −−= xp ( )201 ≤≤ x 840 −+= xq ( )201 ≤≤ x 650 −−= xp ( )201 ≤≤ x 840 −+= xq 3 112 3 1)( +−= ttg N∈ 224 1)( += ttf N∈ 522 1)( += ttf )(tS ②不等式模型 1. 某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成=10%），售出商品数量就增 加 成，要求售价不能低于成本价． （1）设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式 ，并写出定义域； （2）若再要求该商品一天营业额至少10260元，求x的取值范围． 2.某商场在促销期间规定：商场内所在商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费一定金额后 ，按以下方案获得相应金额的奖券： 消费金额（元）的 范围 …… 获得奖券的金 额（元） 30 60 100 130 …… 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如：购买标价为400元的商品，则消费 金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）。设购买商品得到的优惠率= ，试问 （1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于 的优惠率？ 3. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建 房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离 的关系为： ，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已 知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设 为建造宿舍与修路费用之和． （I）求 的表达式； （II）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用 最小，并求最小值． x5 8 )(xfy = ( )x km (0 8)3 5 kp xx = ≤ ≤+ ( )f x ( )f x ( )f x )400,200[ )500,400[ )700,500[ )900,700[ 商品的标价 购买商品得到的优惠额 3 1 4.某森林出现火灾，火势正以每分钟 的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队 员在现场平均每人每分钟灭火 ，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备 等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元． （1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式； （2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？ （总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费） 5.有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距 与车速 和车长 的关系满足： （为正的常数），假定车身长为，当车速为 时，车距为2.66个车身长。 （1）写出车距关于车速的函数关系式; （2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？ ③几何模型 1.如图所示，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花园 ，要求B在 上，D在 上，且对角线 过C点，已知AB=3米，AD=2米， （1）要使矩形 的面积大于32平方米，则 的长应在什么范围内? (2)当 的长度是多少时，矩形 的面积最小?并求最小面积； (3)若 的长度不少于6米，则当 的长度是多少时，矩形 的面积最小？并求出最小面积。 2m100 2m50 ( )d m ( / )v km h ( )l m llkvd 2 12 += 60( / )km h ABCD AMPN AM AN MN AMPN AN AN AMPN AN AN AMPN 2.如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为m，m．某广告公 司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 ， ．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（ m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)． (1)用x的代数式表示AM； （2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义域； （3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？ 3.现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料 利用率为100%，不考虑焊接处损失。如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面 ，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x (cm),高为y (cm),体积为V （cm3） (1) 求出x 与 y 的关系式； (2) 求该铁皮盒体积V的最大值； ④三角函数模型 1.已知矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=12，将矩形纸片的 右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN 的两端点，M、N分别位于边AB、BC上，设 。 （1）试将表示成的函数； （2）求的最小值 MNEF : 16:9MN NE = ,MNB MN lθ∠ = = N M P F E D C BA D C BA A B CD M N 2.如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF，它的宽为1米。 直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q； ⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠ ，试求平板面的长 (用表示)； ⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米? 3.已知A、B两地相距，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草 坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花 坛的面积为，草坪的面积为，取 ． （1） 用及R表示和； （2） 求 的最小值． 4. 如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一 个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要 在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 ， ， 与 之间的夹角为. （1）将图书馆底面矩形 的面积表示成的函数. （2）若 ，求当为何值时，矩形 的面积有最大值？ 其最大值是多少？(精确到0.01m2) θ=CAB ABC θ∠ = 1 2 S S OM R= 45MOP∠ =  OB OM ABCD 45R m= ABCD A B 2m 2m M N E D F P Q CC l A B C D M O P Q F 5.如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数 ， 时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）。赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD// EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧． （1）求的值和 的大小； （2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形 的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上， 且 ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值． 6.在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化. 现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数 可近似地用函数 来刻画. 其中：正整数表示月份且 ，例如 时表示1月份；和是正整数； . 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同； ②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； ③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的 的表达式； （2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”. 那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由. 2πsin( )3y A xω= + ( )0, 0A ω> > [ ]4,0x∈ − DOE∠ POE θ∠ = ( )f n ( )( )( ) 100 cos 2f n A n kω= ⋅ + + [ ]1,12n∈ 1n = 0ω > ( )f n 7.某企业有两个生产车间分别在．两个位置，车间有100名员工，车间有400名员工，现要在公路 上找一点，修一条公路 ，并在处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知．．中任意两点间的距离均是1，设 ，所有员工从车间到食堂步行的总路程为. （1）写出关于的函数表达式，并指出的取值范围； （2）问食堂建在距离多远时，可使总路程最少？ 8.如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD,在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角 始终为(其中点P，Q分别在边BC，CD上),设 . (1) 用t表示出PQ的长度,并探求 的周长l是否为定值. (2) 问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(平方百米)? ⑤数列模型 1. 某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产个月 的累计产量为 吨，但如果产量超过96吨，将会给环境造成危害. （1）请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期； （2）若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳万元的环保税，已知每吨产品售价万元，第个月 的工人工资为 万元，若每月都赢利，求出的范围. AC BD BDC α∠ = PAQ∠ ,tanPAB tθ θ∠ = = CPQ∆ 1( ) ( 1)(2 1)2f n n n n= + − 28 2( ) 15 5g n n n= − − Q CD A B P 45 θ 2. 某县为了贯彻落实党中央国务院关于农村医疗保险(简称“医保”)政策，制定了如下实施方案：2009年底通 过农民个人投保和政府财政投入，共集资1000万元作为全县农村医保基金，从2010年起，每年报销农民 的医保费都为上一年底医保基金余额的10%，并且每年底县财政再向医保基金注资m万元(m为正常数). （1）以2009年为第一年，求第n年底该县农村医保基金有多少万元？ （2）根据该县农村人口数量和财政状况，县政府决定每年年底的医保基金要逐年增加，同时不超过1500 万元，求每年新增医保基金m(单位：万元)应控制在什么范围内。 3.假设A型进口车关税税率在2003年是100%，在2008年是25%，在2003年A型进口车每辆价格为64万元（ 其中含32万元关税税款） （1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2003年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的 影响，为了保证2008年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车价格要逐年等额降低，问每年至少下 降多少万元？ （2）某人在2003年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8%（5年内不变），且每年按 复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到期时这笔钱连本带利息是否一定够买按（1） 中所述降价后的B型车一辆？（参考数据：1.0185≈1.093） ⑥导数相关 1.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解 析式可以表示为： 已知甲、乙两地相距100千米。 （1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 31 3 8(0 120).128000 80y x x x= − + < ≤ 2. 据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常 数为 ．现已知相距18的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点C处的污染指数等 于两化工厂对该处的污染指数之和．设 （）． （1）试将表示为的函数； （2）若 ，且 时，取得最小值，试求的值． 3.某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a元（1≤a≤3）的管理费 ，预计当每件商品的售价为元（8≤x≤9）时，一年的销售量为(10－x)2万件． （1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L(x)； （2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值M(a)． 4. 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经 预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （Ⅰ）试写出关于的函数关系式； （Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？ ( 0)k > AC x= 1a = 6x = (2 )x x+ ⑦函数的拟合 1.某学校需要一批一个锐角为θ的直角三角形硬纸板作为教学用具(5π 24≤θ≤π 3 )，现准备定制长与宽分别为a、b(a>b)的硬纸板截成三个符合要求的△AED、△BAE、△EBC．(如图所示) (1)当θ= 时，求定制的硬纸板的长与宽的比值； (2)现有三种规格的硬纸板可供选择，A规格长80cm，宽30cm，B规格长60cm，宽40cm，C规格长72cm， 宽32cm，可以选择哪种规格的硬纸板使用． 2.在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中 矩形 的三边 、 、 由长6分米的材料弯折而成, 边的长为分米( )；曲线 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为 ),此时记门的最高点到 边的距离为 ；曲线是一段抛物线,其焦点到准线的距离为 ,此时记门的最高点到 边的距离为 . (1)试分别求出函数 、 的表达式； (2)要使得点到 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少? 6 π ABCD AB BC CD BC 31 2t≤ ≤ AOD cos 1y x= − BC 1( )h t 9 8 BC 2 ( )h t 1( )h t 2 ( )h t BC A B CD θ E 第17题 A D CB O x y