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  • 2021-05-13 发布

高考文科数学福建卷含详细答案

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‎---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------‎ 绝密★启用前 ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)‎ 数学(文史类)‎ 姓名________________ 准考证号_____________‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 复数(为虚数单位)在复平面内对应的点位于 (  )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2. 设点,则“且”是“点在直线上”的 (  )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎3. 若集合,,则的子集个数为 (  )‎ A. 2 B. 3‎ C. 4 D. 16 ‎ ‎4. 双曲线的顶点到其渐进线的距离等于 (  )‎ A. B. ‎ C. 1 D. ‎ ‎5. 函数的图象大致是 (  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6. 若变量,满足约束条件则的最大值和最小值分别为 (  )‎ A. 4和3 B. 4和2 C. 3和2 D. 2和0‎ ‎7. 若,则的取值范围是 (  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.如果输入某个正整数后,输出的,那么的值为 (  )‎ A. 3 B. 4‎ C. 5 D. 6 ‎ ‎9. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若,的图象都经过点,则的值可以是 (  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10. 在四边形中,,,则该四边形的面积为 (  )‎ A. B. ‎ C. 5 D. 10‎ ‎11. 已知与之间的几组数据如下表:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为,则以下结论正确的是 (  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12. 设函数的定义域为,是的极大值点,以下结论一定正确的是 (  )‎ A. , B. 是的极小值点 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13. 已知函数则________.‎ ‎14. 利用计算机产生0~1之间的均匀随机数,则事件“”发生的概率为________.‎ ‎15. 椭圆的左、右焦点分别为,,焦距为.若直线与椭圆的一个交点M满足,则该椭圆的离心率等于_________.‎ ‎16. 设,是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足:‎ ‎(ⅰ);(ⅱ)对任意,当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合:‎ ‎①,;‎ ‎②,;‎ ‎③,.‎ 其中,“保序同构”的集合对的序号是_________.(写出所有“保序同构”的集合对的序号)‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列的公差,前项和为.‎ ‎(Ⅰ)若1,,成等比数列,求;‎ ‎(Ⅱ)若,求的取值范围.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,平面,,,,,,.‎ ‎(Ⅰ)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);‎ ‎(Ⅱ)若M为的中点,求证:平面;‎ ‎(Ⅲ)求三棱锥的体积.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分为5组:,,,,分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(Ⅰ)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;‎ ‎(Ⅱ)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附:‎ ‎(注:此公式也可以写成)‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 如图,抛物线的焦点为F,准线与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,为半径作圆,设圆C与准线交于不同的两点M,N.‎ ‎(Ⅰ)若点C的纵坐标为2,求;‎ ‎(Ⅱ)若,求圆C的半径.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图,在等腰直角中,,,点M在线段上.‎ ‎(Ⅰ)若,求的长;‎ ‎(Ⅱ)若点N在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小值.‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ 已知函数(,为自然对数的底数).‎ ‎(Ⅰ)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数的极值;‎ ‎(Ⅲ)当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)‎ 数学(文史类)答案解析 第Ⅰ卷 一、选择题 ‎1.【答案】C ‎【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义.由几何意义可知复数在第三象限.‎ ‎2.【答案】A ‎【解析】本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定.因为点代入直线方程,符合方程,即“且”可推出“点在直线上”;而点在直线上,不一定就是点,即“点在直线上”推不出“且”.故“且”是“点在直线上”的充分而不必要条件.‎ ‎3.【答案】C ‎【解析】本题考查的是集合的交集和子集.因为,有2个元素,所以子集个数为个.‎ ‎4.【答案】B ‎【解析】本题考查的是双曲线的性质.因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为,取一条渐近线为,所以点到直线的距离为.‎ ‎5.【答案】A ‎【解析】本题考查的是对数函数的图象.由函数解析式可知,即函数为偶函数,排除C;由函数过点,排除B,D.‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】本题考查的简单线性规划.如图,可知目标函数最大值和最小值分别为4和2.‎ ‎7.【答案】D ‎【解析】本题考查的是均值不等式.因为,即,所以,当且仅当,即时取等号.‎ ‎8.【答案】B ‎【解析】本题考查的是程序框图.循环前:;第1次判断后循环:;第2次判断后循环:;第3次判断后循环:.故.‎ ‎9.【答案】B ‎【解析】本题考查的三角函数的图像的平移.把代入,解得,所以,把代入得,或,观察选项,故选B ‎10.【答案】C ‎【解析】本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长.因为,所以,所以四边形的面积为,故选C ‎11.【答案】C ‎【解析】本题考查的是线性回归方程.画出散点图,可大致的画出两条直线(如下图),由两条直线的相对位置关系可判断.故选C ‎12.【答案】D ‎【解析】本题考查的是函数的极值.函数的极值不是最值,A错误;因为和关于原点对称,故是的极小值点,D正确.‎ 二、填空题 ‎13.【答案】‎ ‎【解析】本题考查的是分段函数求值..‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】本题考查的是几何概型求概率.,即,所以.‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率.由题意可知,中,‎ ‎,所以有,整理得,故答案为.‎ ‎16.【答案】①②③‎ ‎【解析】本题考查的函数的性质.由题意可知为函数的一个定义域,为其所对应的值域,且函数为单调递增函数.对于集合对①,可取函数,是“保序同构”;对于集合对②,可取函数,是“保序同构”;对于集合对③,可取函数,是“保序同构”.故答案为①②③.‎ 三、解答题 ‎17.【答案】(1)因为数列的公差,且成等比数列,所以,即,解得或.‎ ‎(2)因为数列的公差,且,所以;‎ 即,解得 ‎18.【答案】(1)在梯形中,过点作,垂足为,由已知得,四边形为矩形,‎ 在中,由,,依勾股定理得:,‎ 从而又由平面得,‎ 从而在中,由,,得 正视图如图所示:‎ ‎(2)取中点,连结,在中,是中点,∴,,‎ 又,∴,‎ ‎∴四边形为平行四边形,∴‎ 又平面,平面∴平面 ‎(3)又,,所以 ‎19.【答案】(Ⅰ)由已知得,样本中有周岁以上组工人名,周岁以下组工人名 所以,样本中日平均生产件数不足件的工人中,周岁以上组工人有(人),‎ 记为,,;周岁以下组工人有(人),记为,‎ 从中随机抽取名工人,所有可能的结果共有种,‎ 他们是:,,,,,,,,,‎ 其中,至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种,‎ 它们是:,,,,,,.‎ 故所求的概率:‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的名工人中,“周岁以上组”中的生产能手(人),“周岁以下组”中的生产能手(人),据此可得列联表如下:‎ 生产能手 非生产能手 合计 周岁以上组 周岁以下组 合计 所以得:‎ 因为,所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”‎ ‎20.【答案】(Ⅰ)抛物线的准线的方程为,由点的纵坐标为,得点的坐标为 所以点到准线的距离,又.‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)设,则圆的方程为,即.‎ 由,得 设,,则:‎ 由,得 所以,解得,此时 所以圆心的坐标为或 从而,,即圆的半径为 ‎21.【答案】(Ⅰ)在中,,,,由余弦定理得,‎ ‎,得,解得或.‎ ‎(Ⅱ)设,,在中,由正弦定理,得,所以,同理 故 因为,,所以当时,的最大值为,此时的面积取到最小值.即2时,的面积的最小值为.‎ ‎22.【答案】(1)由,得.‎ 又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得.‎ ‎(2),①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.‎ ‎②当时,令,得,.‎ ‎,;,.‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.‎ 综上,当时,函数无极小值;‎ 当,在处取得极小值,无极大值.‎ ‎(3)当时,令,‎ 则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.‎ 假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.‎ 又时,,知方程在上没有实数解.‎ 所以的最大值为.‎