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- 2021-05-13 发布
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---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数学(文史类)
姓名________________ 准考证号_____________
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 复数(为虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设点,则“且”是“点在直线上”的 ( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若集合,,则的子集个数为 ( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 16
4. 双曲线的顶点到其渐进线的距离等于 ( )
A. B.
C. 1 D.
5. 函数的图象大致是 ( )
A. B.
C. D.
6. 若变量,满足约束条件则的最大值和最小值分别为 ( )
A. 4和3 B. 4和2 C. 3和2 D. 2和0
7. 若,则的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.如果输入某个正整数后,输出的,那么的值为 ( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
9. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若,的图象都经过点,则的值可以是 ( )
A. B.
C. D.
10. 在四边形中,,,则该四边形的面积为 ( )
A. B.
C. 5 D. 10
11. 已知与之间的几组数据如下表:
1
2
3
4
5
6
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为,则以下结论正确的是 ( )
A. B.
C. D.
12. 设函数的定义域为,是的极大值点,以下结论一定正确的是 ( )
A. , B. 是的极小值点
C. 是的极小值点 D. 是的极小值点
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
13. 已知函数则________.
14. 利用计算机产生0~1之间的均匀随机数,则事件“”发生的概率为________.
15. 椭圆的左、右焦点分别为,,焦距为.若直线与椭圆的一个交点M满足,则该椭圆的离心率等于_________.
16. 设,是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足:
(ⅰ);(ⅱ)对任意,当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合:
①,;
②,;
③,.
其中,“保序同构”的集合对的序号是_________.(写出所有“保序同构”的集合对的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知等差数列的公差,前项和为.
(Ⅰ)若1,,成等比数列,求;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,平面,,,,,,.
(Ⅰ)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);
(Ⅱ)若M为的中点,求证:平面;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
19.(本小题满分12分)
某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分为5组:,,,,分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;
(Ⅱ)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
附:
(注:此公式也可以写成)
20.(本小题满分12分)
如图,抛物线的焦点为F,准线与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,为半径作圆,设圆C与准线交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)若点C的纵坐标为2,求;
(Ⅱ)若,求圆C的半径.
21.(本小题满分12分)
如图,在等腰直角中,,,点M在线段上.
(Ⅰ)若,求的长;
(Ⅱ)若点N在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小值.
22.(本小题满分14分)
已知函数(,为自然对数的底数).
(Ⅰ)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(Ⅱ)求函数的极值;
(Ⅲ)当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.
2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数学(文史类)答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】C
【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义.由几何意义可知复数在第三象限.
2.【答案】A
【解析】本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定.因为点代入直线方程,符合方程,即“且”可推出“点在直线上”;而点在直线上,不一定就是点,即“点在直线上”推不出“且”.故“且”是“点在直线上”的充分而不必要条件.
3.【答案】C
【解析】本题考查的是集合的交集和子集.因为,有2个元素,所以子集个数为个.
4.【答案】B
【解析】本题考查的是双曲线的性质.因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为,取一条渐近线为,所以点到直线的距离为.
5.【答案】A
【解析】本题考查的是对数函数的图象.由函数解析式可知,即函数为偶函数,排除C;由函数过点,排除B,D.
6.【答案】B
【解析】本题考查的简单线性规划.如图,可知目标函数最大值和最小值分别为4和2.
7.【答案】D
【解析】本题考查的是均值不等式.因为,即,所以,当且仅当,即时取等号.
8.【答案】B
【解析】本题考查的是程序框图.循环前:;第1次判断后循环:;第2次判断后循环:;第3次判断后循环:.故.
9.【答案】B
【解析】本题考查的三角函数的图像的平移.把代入,解得,所以,把代入得,或,观察选项,故选B
10.【答案】C
【解析】本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长.因为,所以,所以四边形的面积为,故选C
11.【答案】C
【解析】本题考查的是线性回归方程.画出散点图,可大致的画出两条直线(如下图),由两条直线的相对位置关系可判断.故选C
12.【答案】D
【解析】本题考查的是函数的极值.函数的极值不是最值,A错误;因为和关于原点对称,故是的极小值点,D正确.
二、填空题
13.【答案】
【解析】本题考查的是分段函数求值..
14.【答案】
【解析】本题考查的是几何概型求概率.,即,所以.
15.【答案】
【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率.由题意可知,中,
,所以有,整理得,故答案为.
16.【答案】①②③
【解析】本题考查的函数的性质.由题意可知为函数的一个定义域,为其所对应的值域,且函数为单调递增函数.对于集合对①,可取函数,是“保序同构”;对于集合对②,可取函数,是“保序同构”;对于集合对③,可取函数,是“保序同构”.故答案为①②③.
三、解答题
17.【答案】(1)因为数列的公差,且成等比数列,所以,即,解得或.
(2)因为数列的公差,且,所以;
即,解得
18.【答案】(1)在梯形中,过点作,垂足为,由已知得,四边形为矩形,
在中,由,,依勾股定理得:,
从而又由平面得,
从而在中,由,,得
正视图如图所示:
(2)取中点,连结,在中,是中点,∴,,
又,∴,
∴四边形为平行四边形,∴
又平面,平面∴平面
(3)又,,所以
19.【答案】(Ⅰ)由已知得,样本中有周岁以上组工人名,周岁以下组工人名
所以,样本中日平均生产件数不足件的工人中,周岁以上组工人有(人),
记为,,;周岁以下组工人有(人),记为,
从中随机抽取名工人,所有可能的结果共有种,
他们是:,,,,,,,,,
其中,至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种,
它们是:,,,,,,.
故所求的概率:
(Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的名工人中,“周岁以上组”中的生产能手(人),“周岁以下组”中的生产能手(人),据此可得列联表如下:
生产能手
非生产能手
合计
周岁以上组
周岁以下组
合计
所以得:
因为,所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”
20.【答案】(Ⅰ)抛物线的准线的方程为,由点的纵坐标为,得点的坐标为
所以点到准线的距离,又.
所以.
(Ⅱ)设,则圆的方程为,即.
由,得
设,,则:
由,得
所以,解得,此时
所以圆心的坐标为或
从而,,即圆的半径为
21.【答案】(Ⅰ)在中,,,,由余弦定理得,
,得,解得或.
(Ⅱ)设,,在中,由正弦定理,得,所以,同理
故
因为,,所以当时,的最大值为,此时的面积取到最小值.即2时,的面积的最小值为.
22.【答案】(1)由,得.
又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得.
(2),①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.
②当时,令,得,.
,;,.
所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上,当时,函数无极小值;
当,在处取得极小值,无极大值.
(3)当时,令,
则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.
假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.
又时,,知方程在上没有实数解.
所以的最大值为.