高考数学真题重庆卷文科 21页

‎2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题卷（文史类）‎ 数学试题（文史类）共5页。满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫擦干净后，在选涂其他答案标号。‎ ‎3．答非选择题时，必须用0.5mm黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。‎ ‎4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。‎ ‎5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么 如果事件相互独立，那么 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率：‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合，，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）在等差数列中，若且，的值为 ‎（A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ ‎（3）以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）若是平面外一点，则下列命题正确的是 ‎（A）过只能作一条直线与平面相交 （B）过可作无数条直线与平面垂直 ‎（C）过只能作一条直线与平面平行 （D）过可作无数条直线与平面平行 ‎（5）的展开式中的系数为 ‎（A）－2160 （B）－1080 （C）1080 （D）2160‎ ‎（6）设函数的反函数为，且的图像过点，则 的图像必过 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是 ‎（A）2 （B）3 （C）5 （D）13‎ ‎（8）已知三点，其中为常数。若，则与的夹角为 ‎（A） （B）或 ‎ ‎（C） （D）或 ‎（9）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 ‎（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040‎ ‎（10）若，,，则的值等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的 ‎（A）充要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要 ‎（12）若且，则的最小值是 ‎（A） （B）3 （C）2 （D）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上。‎ ‎（13）已知，，则 。‎ ‎（14）在数列中，若，，则该数列的通项 。‎ ‎（15）设，函数有最小值，则不等式的解集为 。‎ ‎（16）已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 。‎ 三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：‎ ‎（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；‎ ‎（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；‎ ‎（18）（本小题满分13分）‎ 设函数（其中）。且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值；‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 设函数的图像与直线相切于点。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性。‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 如图，在增四棱柱中，，为上使的点。平面交于，交的延长线于，求：‎ ‎（Ⅰ）异面直线与所成角的大小；‎ ‎（Ⅱ）二面角的正切值；‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知定义域为的函数是奇函数。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线角抛物线于另一点。‎ ‎（Ⅰ）试证：；‎ ‎（Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：；‎ ‎　2006年普通高等学校招生全国统一考试 ‎（重庆卷）数学（文史类）‎ 参考答案 ‎（1）—（12）DDCDB CCDBB AA ‎(13) -2 (14) 2n – 1 (15)‎ 三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、‎ 证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：‎ ‎（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；‎ ‎（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；‎ ‎ 解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，‎ ‎ 所求概率为：‎ ‎ （Ⅱ）这是n=3，p= 的独立重复试验，故所求概率为：‎ ‎ ‎ ‎（18）（本小题满分13分）设函数 ‎（其中）。且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值；‎ ‎ 解：（I）‎ ‎　　　　 依题意得 ．‎ ‎　（II）由（I）知，．又当时，‎ ‎　　　　，故，从而在区间 上的最小值为，故 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 设函数的图像与直线相切于点。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性。‎ ‎ 解：（Ⅰ）求导得。‎ ‎ 由于 的图像与直线相切于点，‎ ‎ 所以，即： ‎ ‎ 1-3a+3b = -11 解得: ．‎ ‎ 3-6a+3b=-12‎ ‎（Ⅱ）由得：‎ ‎ 令f′（x）＞0，解得 x＜-1或x＞3；又令f′（x）< 0，解得 -1＜x＜3.‎ 故当x（, -1）时，f(x)是增函数，当 x（3,）时，f(x)也是增函数，‎ 但当x（-1 ，3）时，f(x)是减函数.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 如图，在正四棱柱中，‎ ‎ ，为上使的点。‎ 平面交于，交的延长线于，求：‎ ‎（Ⅰ）异面直线与所成角的大小；‎ ‎（Ⅱ）二面角的正切值；‎ 解法一：（Ⅰ）由为异面直线与所成角．（如图1）‎ 连接．因为ＡＥ和分别是平行平面，‎ 所以AE//,由此得 ‎（Ⅱ）作于H,由三垂线定理知 即二面角的平面角.‎ ‎.‎ ‎ 从而.‎ 解法二：（Ⅰ）由为异面直线与所成角．（如图2）‎ 因为和AF是平行平面，‎ 所以,由此得 ‎（Ⅱ）为钝角。‎ 作的延长线于H,连接AH，由三垂线定理知 的平面角.‎ ‎ .‎ ‎ 从而.‎ 解法三：（Ⅰ）以为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x、y、z轴建立如图3所示的空间直角坐标系，于是，‎ 因为和AF是平行平面 ‎，所以．设Ｇ（0,y,0）,则 ‎,于是.‎ 故.设异面直线与所成的角的大小为,则:‎ ‎ ,从而 ‎ ‎（Ⅱ）作 H,由三垂线定理知的平面角. 设H（a,b,0）,则:.由得:‎ ‎……① ‎ ‎ 又由,于是 ‎ ……② ‎ 联立①②得:,‎ 由 得:‎ ‎.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知定义域为的函数是奇函数。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，‎ 求的取值范围；‎ 解：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即 ‎ 又由f（1）= -f（-1）知 ‎ （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在 上 为减函数。又因是奇函数，从而不等式： ‎ 等价于，因为减函数，由上式推得：‎ ‎．即对一切有：，‎ 从而判别式 ‎　　　　　解法二：由（Ⅰ）知．又由题设条件得：‎ ‎　　　　　　　　　，‎ ‎　　　　　　　　　即　：，‎ ‎　　　　　　　　　整理得　‎ 上式对一切均成立，从而判别式 ‎（22）（本小题满分12分）‎ 如图，对每个正整数，是抛物线上的点，‎ 过焦点的直线交抛物线于另一点。‎ ‎（Ⅰ）试证：；‎ ‎（Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：；‎ ‎　　证明：（Ⅰ）对任意固定的因为焦点F（0,1）,所以可设直线的方程为 ‎ 将它与抛物线方程联立得:‎ ‎ ,由一元二次方程根与系数的关系得．‎ ‎（Ⅱ）对任意固定的利用导数知识易得抛物线在处 的切线的斜率故在处的切线的方程为：‎ ‎　　　　　　　　　，……①‎ ‎　　　类似地，可求得在处的切线的方程为：‎ ‎　　　　　　　　　，……②‎ ‎　　　由②－①得：，‎ ‎　　　　……③‎ ‎　　将③代入①并注意得交点的坐标为．‎ ‎　　由两点间的距离公式得：‎ ‎　　　．‎ 现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：‎ ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 ‎（重庆卷）数学（文史类）（编辑：ahuazi）‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么 如果事件相互独立，那么 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率：‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题 给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则（　D　）‎ ‎（A） （B） （C） 　（D）‎ 解：｛1，3，6｝È｛1，2，6，7｝＝｛1，2，3，6，7｝故选D ‎（2）在等差数列中，若且，的值为( D )‎ ‎（A）2 　　（B）4 　　 （C）6 　　　　　　（D）8‎ 解：a3a7＝a52＝64，又，所以的值为8，故选D ‎（3）以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为( C )‎ ‎（A） 　（B）‎ ‎（C） 　（D）‎ 解：r＝＝3，故选C ‎（4）若是平面外一点，则下列命题正确的是( D )‎ ‎（A）过只能作一条直线与平面相交 （B）过可作无数条直线与平面垂直 ‎（C）过只能作一条直线与平面平行 （D）过可作无数条直线与平面平行 解：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。故选D ‎（5）的展开式中的系数为( B )‎ ‎（A）－2160 　（B）－1080 （C）1080 　　　　（D）2160‎ 解：，由5－r＝2解得r＝3，故所求系数为＝－1080故选B ‎ ‎（6）设函数的反函数为，且的图像过点，‎ 则的图像必过( C )‎ ‎（A） 　　 （B） （C） 　　　 （D）‎ 解：当x＝时，2x－1＝0，即y＝f（x）的图象过点（0，1），所以的图像必过（1，0）故选C ‎（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店 有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。‎ 若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是( C )‎ ‎（A）2 　　 （B）3 　　 （C）5 　　　（D）13‎ 解：各层次之比为：30:75:195＝2:5:13，所抽取的中型商店数是5，故选C ‎（8）已知三点，其中为常数。‎ 若，则与的夹角为 ( D )‎ ‎（A） 　　　　　 （B）或 ‎ ‎（C） 　　　　　　　 （D）或 解：由解得k＝0或6，当k＝0时，与的夹角为，当k＝6时，与的夹角为，故选D ‎（9）高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目 的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( B )‎ ‎（A）1800 　　 （B）3600 （C）4320 　（D）5040‎ 解：不同排法的种数为＝3600，故选B ‎（10）若，,，则的值等于( B )‎ ‎（A） 　　 （B） （C） 　（D）‎ 解：由，则，，又 ‎ ‎，，所以，‎ 解得，所以 ＝，故选B ‎（11）设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是 “”的( A )‎ ‎（A）充要条件 　　　　　（B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充分不必要条件 　　　　　（D）既非充分也非必要 解：a＝5，b＝3，c＝4，e＝，F（4，0），由焦半径公式可得|AF|＝5－x1，‎ ‎|BF|＝5－×4＝，|CF|＝5－x2，故成等差数列Û（5－x1）＋（5－x2）＝2×Û故选A ‎（12）若且，则的最小值是( A )‎ ‎（A） 　　　　 （B）3 　（C）2 　　（D）‎ 解：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝12＋（b－c）2³12，当且仅当b ‎＝c时取等号，故选A 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。‎ 把答案填写在答题卡相应位置上。‎ ‎（13）已知，，则 -2 。‎ 解：由，Þcosa＝－，所以－2‎ ‎（14）在数列中，若，，则该数列的通项 2n-1 。‎ 解：由可得数列为公差为2的等差数列，又，所以 ‎2n－1‎ ‎（15）设，函数有最小值，‎ 则不等式的解集为 。‎ 解：由，函数有最小值可知a>1，所以 不等式可化为x－1>1，即x>2.‎ ‎（16）已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 。‎ 解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），‎ C（1，1），D（0，1），若目标函数取 得最大值，必在B，C，D三点处取得，故有 ‎3a>a＋1且3a>1，解得a> ‎：‎ 三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、‎ 证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：‎ ‎（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；‎ ‎（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；‎ ‎ 解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，‎ ‎ 所求概率为：‎ ‎ （Ⅱ）这是n=3，p= 的独立重复试验，故所求概率为：‎ ‎ ‎ ‎（18）（本小题满分13分）设函数 ‎（其中）。且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值；‎ ‎ 解：（I）‎ ‎　　　　 依题意得 ．‎ ‎　（II）由（I）知，．又当时，‎ ‎　　　　，故，从而在区间 上的最小值为，故 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 设函数的图像与直线相切于点。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性。‎ ‎ 解：（Ⅰ）求导得。‎ ‎ 由于 的图像与直线相切于点，‎ ‎ 所以，即： ‎ ‎ 1-3a+3b = -11 解得: ．‎ ‎ 3-6a+3b=-12‎ ‎（Ⅱ）由得：‎ ‎ 令f′（x）＞0，解得 x＜-1或x＞3；又令f′（x）< 0，解得 -1＜x＜3.‎ 故当x（, -1）时，f(x)是增函数，当 x（3,）时，f(x)也是增函数，‎ 但当x（-1 ，3）时，f(x)是减函数.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 如图，在正四棱柱中，‎ ‎ ，为上使的点。‎ 平面交于，交的延长线于，求：‎ ‎（Ⅰ）异面直线与所成角的大小；‎ ‎（Ⅱ）二面角的正切值；‎ 解法一：（Ⅰ）由为异面直线与所成角．（如图1）‎ 连接．因为ＡＥ和分别是平行平面，‎ 所以AE//,由此得 ‎（Ⅱ）作于H,由三垂线定理知 即二面角的平面角.‎ ‎.‎ ‎ 从而.‎ 解法二：（Ⅰ）由为异面直线与所成角．（如图2）‎ 因为和AF是平行平面，‎ 所以,由此得 ‎（Ⅱ）为钝角。‎ 作的延长线于H,连接AH，由三垂线定理知 的平面角.‎ ‎ .‎ ‎ 从而.‎ 解法三：（Ⅰ）以为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x、y、z轴建立如图3所示的空间直角坐标系，于是，‎ 因为和AF是平行平面 ‎，所以．设Ｇ（0,y,0）,则 ‎,于是.‎ 故.设异面直线与所成的角的大小为,则:‎ ‎ ,从而 ‎ ‎（Ⅱ）作 H,由三垂线定理知的平面角. 设H（a,b,0）,则:.由得:‎ ‎……① ‎ ‎ 又由,于是 ‎ ……② ‎ 联立①②得:,‎ 由 得:‎ ‎.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知定义域为的函数是奇函数。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，‎ 求的取值范围；‎ 解：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即 ‎ 又由f（1）= -f（-1）知 ‎ （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在上 为减函数。又因是奇函数，从而不等式： ‎ 等价于，因为减函数，由上式推得：‎ ‎．即对一切有：，‎ 从而判别式 ‎　　　　　解法二：由（Ⅰ）知．又由题设条件得：‎ ‎　　　　　　　　　，‎ ‎　　　　　　　　　即　：，‎ ‎　　　　　　　　　整理得　‎ 上式对一切均成立，从而判别式 ‎（22）（本小题满分12分）‎ 如图，对每个正整数，是抛物线上的点，‎ 过焦点的直线交抛物线于另一点。‎ ‎（Ⅰ）试证：；‎ ‎（Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：；‎ ‎　　证明：（Ⅰ）对任意固定的因为焦点F（0,1）,所以可设直线的方程为 ‎ 将它与抛物线方程联立得:‎ ‎ ,由一元二次方程根与系数的关系得．‎ ‎（Ⅱ）对任意固定的利用导数知识易得抛物线在处 的切线的斜率故在处的切线的方程为：‎ ‎　　　　　　　　　，……①‎ ‎　　　类似地，可求得在处的切线的方程为：‎ ‎　　　　　　　　　，……②‎ ‎　　　由②－①得：，‎ ‎　　　　……③‎ ‎　　将③代入①并注意得交点的坐标为．‎ ‎　　由两点间的距离公式得：‎ ‎　　　．‎ 现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：‎