上海高考数学理科卷带详解 13页

‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）‎ 数学（理科）‎ ‎ ‎ 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1.不等式的解集是 .‎ ‎【测量目标】解一元二次不等式.‎ ‎【考查方式】考查分式不等式的解法.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】等价于,.‎ ‎2.若复数（为虚数单位），则 .‎ ‎【测量目标】复数代数形式的四则运算.‎ ‎【考查方式】考查共轭复数的概念及复数的基本运算.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】.‎ ‎3.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 .‎ ‎【测量目标】抛物线的定义.‎ ‎【考查方式】利用抛物线定义求解标准方程.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，所以其方程为.‎ ‎4.行列式的值是 .‎ ‎【测量目标】行列式.‎ ‎【考查方式】考查行列式运算法则.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】=.‎ ‎5.的圆心到直线:的距离 .‎ ‎【测量目标】三种距离公式.‎ ‎【考查方式】考查点到直线距离公式.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】(步骤1)‎ 圆心到直线距离为.(步骤2)‎ ‎6.随机变量的概率分布列由下图给出：‎ 则随机变量的均值是 .‎ ‎【测量目标】离散型随机变量的分布列.‎ ‎【考查方式】考查期望定义式.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】.‎ ‎7.年上海世博会园区每天开园，停止入园.在右边的框图中，表示 上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人 数，则空白的执行框内应填入 .‎ 第7题图 ‎ ‎【测量目标】循环结构的程序框图.‎ ‎【考查方式】给出部分程序框图，根据题意将程序框图补充完整.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】 ‎ ‎【试题解析】由题意可知表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示 整点报道前1个小时内入园人数，随的变化而变化，故空白的执行框内应填入 ‎.‎ ‎8.对任意不等于1的正数，函数的反函数的图象都经过点，则点 的坐标是 ‎ ‎【测量目标】反函数.‎ ‎【考查方式】给出某一函数解析式，研究其反函数的图象所经过的定点.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】 的图象过定点，所以其反函数的图象过定点.‎ ‎9.从一副混合后的扑克牌（张）中随机抽取张，事件为“抽得红桃”，事件为“抽得为黑桃”，则概率 (结果用最简分数表示）.‎ ‎【测量目标】随机事件与概率.‎ ‎【考查方式】考查随机事件概率公式.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】 .‎ ‎ 10.在行列矩阵中，记位于第行第列的数 为.当时， .‎ ‎【测量目标】矩阵与行列式初步.‎ ‎【考查方式】利用矩阵基本知识直接求解.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】.‎ ‎11.将直线、（，）轴、轴 围成的封闭图形的面积记为，则 .‎ 第11题图 ‎ ‎【测量目标】极限及其运算.‎ ‎【考查方式】给出直线方程，画出图象，根据微积分基本定理直接求定积分. ‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】联立直线和直线，得 ‎ ，直线过点，直线过点，（步骤1）‎ ‎，‎ ‎=, .（步骤2）‎ ‎12.如图所示，在边长为的正方形纸片中，与相交于,剪去,将剩余部分沿折叠，使重合，则以、、、、为顶点的四面体的体积为 ‎ 第12题图 ‎ ‎【测量目标】平面图形的折叠问题.‎ ‎【考查方式】考查了平面图形的折叠问题及三棱锥的体积公式. ‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】翻折后的几何体为底面边长为，侧棱长为的正三棱锥，‎ 高为所以该四面体的体积为.‎ ‎13.如图所示，直线与双曲线的渐近线交于,两点，‎ 记，，任取双曲线上的点，若、，‎ 则、满足的一个等式是 ‎ 第13题图 ‎ ‎【测量目标】双曲线的简单几何性质. ‎ ‎【考查方式】利用直线与双曲线之间的位置关系及平面向量的坐标运算直接求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】，点在双曲线上，‎ ‎，化简得. ‎ ‎14.从集合的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：‎ ‎（1）、都要选出；‎ ‎（2）对选出的任意两个子集和，必有或，那么共有 种不同的选法.‎ ‎【测量目标】排列组合及其应用.‎ ‎【考查方式】利用列举法直接求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】列举法，共有36种 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎15．“”是“”成立的 （ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【测量目标】充分、必要条件.‎ ‎【考查方式】给出两个等式，判断它们之间的关系.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】，所以充分；‎ 但反之不成立，如，所以不必要.‎ ‎16.直线的参数方程是，则的方向向量可以是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】参数方程.‎ ‎【考查方式】参数方程与直角坐标方程之间的互化.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】直线的一般方程是，，所以C正确.‎ ‎17.若是方程的解，则属于区间 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【测量目标】函数的定义域.‎ ‎【考查方式】给出方程的一个解，求其取值范围.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】，∴属于区间(,).‎ ‎18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能 （ ）‎ A.不能作出这样的三角形 B.作出一个锐角三角形 C.作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形 ‎【测量目标】利用余弦定理判断三角形的形状.‎ ‎【考查方式】给出三角形的三条高的长度，利用面积相等及余弦定理判断三角形的形状.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】设三边分别为，利用面积相等可知，‎ 由余弦定理得，为钝角.‎ 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 已知，化简：.‎ ‎【测量目标】诱导公式及同角三角函数的基本关系，二倍角.‎ ‎【考查方式】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系，二倍角对函数进行化简.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】，‎ ‎20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分.‎ 已知数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）证明：是等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由.‎ ‎【测量目标】数列的通项公式与前项和的关系.‎ ‎【考查方式】给出数列的通项公式与前项和之间的关系，求证是等比数列及求数列的通项公式，并通过判断其单调性来求最值.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（1）当时，；当时，，，（步骤1） 又，数列是等比数列；（步骤2） （2）由(1)知：，得，（步骤3）‎ 从而；（步骤4） 解不等式，得，，（步骤5）‎ 当时，数列单调递增；（步骤6） 同理可得，当时，数列单调递减；‎ 故当时，取得最小值．（步骤7）‎ ‎21.（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.‎ 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.‎ ‎(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到）； （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为时，‎ 求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小.（结果用反三角函数表示） ‎ 第21题图 ‎ ‎【测量目标】利用函数的单调性求最值，异面直线所成的角.‎ ‎【考查方式】先利用函数的单调性求最值，再通过利用平面向量的数量积运算解决平面向量的夹角问题.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】 (1) 设圆柱形灯笼的母线长为，则，‎ ‎，（步骤1） 当时，取得最大值约为；（步骤2） (2) 当时，，建立空间直角坐标系，可得，‎ ‎，（步骤3） 设向量与的夹角为，则，（步骤4） 、所在异面直线所成角的大小为．（步骤5）‎ 第21题图 ‎ ‎22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分.‎ 若实数、、满足，则称比远离.‎ ‎（1）若比1远离0，求的取值范围；‎ ‎（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；‎ ‎（3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.‎ ‎【测量目标】解绝对值不等式，基本不等式证明不等式.‎ ‎【考查方式】考查对三角函数的基本性质的了解程度以及利用基本不等式证明绝对值不等式的能力. ‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】（1），或（舍去）（步骤1）‎ ‎；（步骤2） （2）对任意两个不相等的正数、，有，，‎ ‎（步骤3） ， ，即比远离；‎ ‎（步骤4） ‎ ‎（3），（步骤5） 性质：1° 是偶函数，图象关于轴对称；2° 是周期函数，最小正周期； 3°函数在区间（）单调递增，在区间（）单调递减； 4°函数的值域为．（步骤6）‎ ‎23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.‎ 已知椭圆的方程为，点的坐标为.‎ ‎（1）若直角坐标平面上的点满足,求点的坐标；‎ ‎（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；‎ ‎（3）对于椭圆上的点，如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的的取值范围.‎ ‎【测量目标】向量的坐标运算，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的范围问题.‎ ‎【考查方式】给出直线与椭圆的方程，联立方程组，用消元法解方程组，求证为的中点并求出的取值范围.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】 (1)设点的坐标为，由题意可知，‎ ‎，，（步骤1）‎ ‎，（步骤2）‎ ‎，；（步骤3） (2)由方程组，消得方程，‎ ‎（步骤4） 直线交椭圆于、两点， ，即，（步骤5） 设、，中点坐标为， 则，（步骤6） 由方程组，消得方程，（步骤7） 又，，（步骤8） 故为的中点；（步骤9） (3) 求作点、的步骤：1°求出的中点， 2°求出直线的斜率， 3°由知为的中点，根据(2)可得的斜率 ‎ ‎， 4°从而得直线的方程：， 5°将直线与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点、的坐标．（步骤10） 欲使、存在，必须点在椭圆内， ，化简得，（步骤11） 又，即，，（步骤12） 故q 的取值范围是．（步骤13）‎