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- 2021-05-13 发布
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2017年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.(5分)已知复数z,满足(z﹣1)i=i﹣1,则|z|=( )
A. B. C.2+i D.
2.(5分)已知集合A={x|log2x≤1},B={x|>1},则A∩(∁RB)=( )
A.(﹣∞,2] B.(0,1] C.[1,2] D.(2,+∞)
3.(5分)已知=(2,m),=(1,﹣2),若∥(+2),则m的值是( )
A.﹣4 B.4 C.0 D.﹣2
4.(5分)已知直线y=k(x+1)与不等式组表示的区域有公共点,则k的取值范围为( )
A.[0,+∞) B.[0,] C.(0,] D.(,+∞)
5.(5分)执行如图程序,输出的结果为( )
A.513 B.1023 C.1025 D.2047
6.(5分)平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸13边形的对角线条数为( )
A.42 B.65 C.143 D.169
7.(5分)刘徽的《九章算术注》中有这样的记载:“邪解立方有两堑堵,邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.”意思是说:把一块立方体沿斜线分成相同的两块,这两块叫做堑堵,再把一块堑堵沿斜线分成两块,大的叫阳马,小的叫鳖臑,两者体积比为2:1,这个比率是不变的,如图是一个阳马的三视图,则其表面积为( )
A.2 B.2+ C.3+ D.3+
8.(5分)已知f(x)=asinx+b+4,若f(lg3)=3,则f(lg)=( )
A. B.﹣ C.5 D.8
9.(5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列说法错误的是( )
A.ω=π
B.φ=
C.f(x)的单调减区间为(2k﹣,2k+),k∈Z
D.f(x)的对称中心是(k+,0),k∈Z
10.(5分)设函数f(0)x=sinx,定义f(1)x=f′[f(0)(x)],f(2)(x)=f′[f(1)(x)],…,f(n)(x)=f′[f(n﹣1)(x)],则f(1)(150)+f(2)(150)+f(3)(150)+…+f(2017)(150)的值是( )
A. B. C.0 D.1
11.(5分)将一个底面半径为1,高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体,能切割出的圆柱最大体积为( )
A. B. C. D.
12.(5分)已知P(x,y)(其中x≠0)为双曲线﹣x2=1上任一点,过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线,垂足分别为A、B,则△PAB的面积为( )
A. B.
C. D.与点P的位置有关
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.(5分)已知点M(2,0)、N(0,4),以MN为直径的圆的标准方程为 .
14.(5分)在等差数列{an}中,an>0,a7=a4+4,Sn为数列{an}的前n项和,S19= .
15.(5分)已知点P(a,b)在函数y=上,且a>1,b>1,则alnb的最大值为 .
16.(5分)已知双曲线C2与椭圆C1:+=1具有相同的焦点,则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为 .
三、解答题(共5小题,满分60分)
17.(12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知B=2C,2b=3c.
(1)求cosC;
(2)若c=4,求△ABC的面积.
18.(12分)经国务院批复同意,郑州成功入围国家中心城市,某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分(满分100分),得到如图1所示茎叶图.
(Ⅰ)分别计算男生女生打分的平均分,并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况;
(Ⅱ)如图2按照打分区间[0,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]绘制的直方图中,求最高矩形的高;
(Ⅲ)从打分在70分以下(不含70分)的同学中抽取3人,求有女生被抽中的概率.
19.(12分)如图,高为1的等腰梯形ABCD中,AM=CD=AB=1,M为AB的三等分点,现将△AMD沿MD折起,使平面AMD⊥平面MBCD,连接AB、AC.
(Ⅰ)在AB边上是否存在点P,使AD∥平面MPC?
(Ⅱ)当点P为AB边中点时,求点B到平面MPC的距离.
20.(12分)已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=﹣1相切.
(1)求圆心M的轨迹方程;
(2)动直线l过点P(0,﹣2),且与点M的轨迹交于A、B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.
21.(12分)已知函数f(x)=ax+lnx.
(Ⅰ)若f(x)在区间(0,1)上单调递增,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)设函数h(x)=﹣x2﹣f(x)有两个极值点x1、x2,且x1∈[,1),求证:|h(x1)﹣h(x2)|<2﹣ln2.
请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4:坐标系与参数方程】
22.(10分)已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1,在以极点O为原点,极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中,将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍,得到曲线C2.
(Ⅰ)求曲线C2的参数方程;
(Ⅱ)直线l过点M(1,0),倾斜角为,与曲线C2交于A、B两点,求|MA|•|MB|的值.
【选修4-5:不等式选讲】
23.已知不等式|2x﹣3|<x与不等式x2﹣mx+n<0的解集相同.
(Ⅰ)求m﹣n;
(Ⅱ)若a、b、c∈(0,1),且ab+bc+ac=m﹣n,求a+b+c的最小值.
2017年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.(5分)已知复数z,满足(z﹣1)i=i﹣1,则|z|=( )
A. B. C.2+i D.
【解答】解:(z﹣1)i=i﹣1,∴﹣i•(z﹣1)i=﹣i•(i﹣1),∴z﹣1=1+i,∴z=2+i.
则|z|==.
故选:D.
2.(5分)已知集合A={x|log2x≤1},B={x|>1},则A∩(∁RB)=( )
A.(﹣∞,2] B.(0,1] C.[1,2] D.(2,+∞)
【解答】解:集合A={x|log2x≤1}={x|0<x≤2},
B={x|>1}={x|﹣1>0}={x|0<x<1},
∴∁RB={x|x≤0或x≥1},
∴A∩(∁RB)={x|1≤x≤2}=[1,2].
故选:C.
3.(5分)已知=(2,m),=(1,﹣2),若∥(+2),则m的值是( )
A.﹣4 B.4 C.0 D.﹣2
【解答】解:根据题意,=(2,m),=(1,﹣2),
则+2=(4,m﹣4),
若∥(+2),则有4×m=2×(m﹣4),即m﹣4=2m,
解可得m=﹣4;
故选:A.
4.(5分)已知直线y=k(x+1)与不等式组表示的区域有公共点,则k的取值范围为( )
A.[0,+∞) B.[0,] C.(0,] D.(,+∞)
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域阴影部分,
∵直线y=k(x+1)过定点D(﹣1,0),
∴由图象可知要使直线y=k(x+1)与区域Ω有公共点,
则直线的斜率k≤kBD,
由,得B(1,3),
此时kBD=,
故0<k,
故选:C.
5.(5分)执行如图程序,输出的结果为( )
A.513 B.1023 C.1025 D.2047
【解答】第一次循环,x=3,i=2<10,
第二次循环,x=7,i=3<10,
第三次循环,x=15,i=4<10,
第四次循环,x=31,i=5<10,
第五次循环,x=63,i=6<10,
第六次循环,x=127,i=7<10,
第七次循环,x=255,i=8<10,
第八次循环,x=511,i=9<10,
第九次循环,x=1023,i=10≤10,
第十次循环,x=2047,i=11>10,
输出x=2047,
故选:D.
6.(5分)平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸13边形的对角线条数为( )
A.42 B.65 C.143 D.169
【解答】解:可以通过列表归纳分析得到;
多边形
4
5
6
7
8
对角线
2
2+3
2+3+4
2+3+4+5
2+3+4+5+6
13边形有2+3+4+…+11==65条对角线.
故选B.
7.(5分)刘徽的《九章算术注》中有这样的记载:“邪解立方有两堑堵,邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.”意思是说:把一块立方体沿斜线分成相同的两块,这两块叫做堑堵,再把一块堑堵沿斜线分成两块,大的叫阳马,小的叫鳖臑,两者体积比为2:1,这个比率是不变的,如图是一个阳马的三视图,则其表面积为( )
A.2 B.2+ C.3+ D.3+
【解答】解:根据几何体的三视图知,该几何体是底面为正方形,
且一侧棱垂直于底面的四棱锥,如图所示;
根据图中数据,计算其表面积为
S=S正方形ABCD+S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD
=12+×1×1+×1×+×1×+×1×1
=2+.
故选:B.
8.(5分)已知f(x)=asinx+b+4,若f(lg3)=3,则f(lg)=( )
A. B.﹣ C.5 D.8
【解答】解:∵f(x)=asinx+b+4,
∴f(x)+f(﹣x)=8,
∵lg=﹣lg3,f(lg3)=3,
∴f(lg3)+f(lg)=8,
∴f(lg)=5,
故选:C
9.(5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列说法错误的是( )
A.ω=π
B.φ=
C.f(x)的单调减区间为(2k﹣,2k+),k∈Z
D.f(x)的对称中心是(k+,0),k∈Z
【解答】解:由图象得,A=1,T==1,则T=2,
由 得,ω=π,则A正确;
因为过点(,0),所以sin(π+φ)=0,
则π+φ=kπ(k∈Z),φ=+kπ(k∈Z),
又|φ|<π,则φ=或,所以f(x)=sin(πx
)或f(x)=sin(πx+),则B错误;
当f(x)=sin(πx+)时,
由得,,
所以函数的递减区间是(2k﹣,2k+),k∈Z,则C正确;
当f(x)=sin(πx)时,由πx=kπ(k∈Z)得,x=k+(k∈Z),
所以f(x)的对称中心是(k+,0),k∈Z,则D正确;
故选B.
10.(5分)设函数f(0)x=sinx,定义f(1)x=f′[f(0)(x)],f(2)(x)=f′[f(1)(x)],…,f(n)(x)=f′[f(n﹣1)(x)],则f(1)(150)+f(2)(150)+f(3)(150)+…+f(2017)(150)的值是( )
A. B. C.0 D.1
【解答】解:f(0)x=sinx,则f(1)x=cosx,f(2)(x)=﹣sinx,f(3)(x)=﹣cosx,
f(5)x=cosx,则f(5)x=f(1)(x),即f(n+4)(x)=f(n)(x),
则f(n)(x)是周期为4的周期函数,
则f(1)(x)+f(2)(x)+f(3)(x)+f(4)(x)=sinx+cosx﹣sinx﹣cosx=0,
则f(1)(150)+f(2)(150)+f(3)(150)+…+f(2017)(150)=f(1)(150)(150)=cos15°=cos(450﹣300)
=cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=,
故选:A.
11.(5分)将一个底面半径为1,高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体,能切割出的圆柱最大体积为( )
A. B. C. D.
【解答】解:设圆柱的半径为r,高为x,体积为V,
则由题意可得,
∴x=2﹣2r,
∴圆柱的体积为V(r)=πr2(2﹣2r)(0<r<1),
则V(r)≤π=
∴圆柱的最大体积为,此时r=,
故选:B.
12.(5分)已知P(x,y)(其中x≠0)为双曲线﹣x2=1上任一点,过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线,垂足分别为A、B,则△PAB的面积为( )
A. B.
C. D.与点P的位置有关
【解答】解:由题意,O,P,A,B四点共圆,∠APB=∠AOB,tan=2,sin∠AOB=,
设P(x,y),双曲线的渐近线方程为y=±2x,则|PA||PB|==,
∴△PAB的面积为•=.
故选C.
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.(5分)已知点M(2,0)、N(0,4),以MN为直径的圆的标准方程为 (x﹣1)2+(y﹣2)2=5 .
【解答】解:根据题意,设要求圆的圆心即点M、N的中点为C(x,y),半径为r,
又由点M(2,0)、N(0,4);则有,解可得,
又有2r=|MN|==,则r2=5;
故要求圆的方程为:(x﹣1)2+(y﹣2)2=5;
故答案为:(x﹣1)2+(y﹣2)2=5.
14.(5分)在等差数列{an}中,an>0,a7=a4+4,Sn为数列{an}的前n项和,S19= 152 .
【解答】解:∵等差数列{an}中,an>0,a7=a4+4,
∴,
解得a1+9d=a10=8,
Sn为数列{an}的前n项和,
则S19=(a1+a19)=19a10=152.
故答案为:152.
15.(5分)已知点P(a,b)在函数y=上,且a>1,b>1,则alnb的最大值为 e .
【解答】解:点P(a,b)在函数y=上,且a>1,b>1,∴,可得lnb=2﹣lna,即lna+lnb=2.(lna>0,lnb>0).
令t=alnb,∴lnt=lna•lnb≤=1,当且仅当lna=lnb=1,即a=b=e时取等号.
∴t≤e.
故答案为:e.
16.(5分)已知双曲线C2与椭圆C1:+=1具有相同的焦点,则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为 .
【解答】解:双曲线C2与椭圆C1:+=1具有相同的焦点,可得c=1,
两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大,设在第一象限的交点为:(m,n),可得S=4mn,
≥2=,当且仅当时,mn≤,此时四边形的面积取得最大值,
解得m=,n=,可得双曲线的实轴长2a=﹣
===,
双曲线的离心率为:=.
故答案为:.
三、解答题(共5小题,满分60分)
17.(12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知B=2C,2b=3c.
(1)求cosC;
(2)若c=4,求△ABC的面积.
【解答】解:(1)∵B=2C,2b=3c,
∴由正弦定理得,,
则,即cosC==;
(2)∵2b=3c,且c=4,∴b=6,
∵0<C<π,cosC=,
∴sinC==,
由余弦定理得,c2=a2+b2﹣2abcosC,
则,
即a2﹣9a+20=0,解得a=4或a=5,
当a=4时,△ABC的面积S===,
当a=5时,△ABC的面积S===.
18.(12分)经国务院批复同意,郑州成功入围国家中心城市,某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分(满分100分),得到如图1所示茎叶图.
(Ⅰ)分别计算男生女生打分的平均分,并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况;
(Ⅱ)如图2按照打分区间[0,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]绘制的直方图中,求最高矩形的高;
(Ⅲ)从打分在70分以下(不含70分)的同学中抽取3人,求有女生被抽中的概率.
【解答】解:(Ⅰ)女生打分的平均分为:
=(68+69+75+76+70+79+78+82+87+96)=78,
男生打分的平均分为:
=(55+53+62+65+71+70+73+74+86+81)=69.
从茎叶图来看,女生打分相对集中,男生打分相对分散.
(Ⅱ)20名学生中,打分区间[0,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]中的学生数分别为:
2人,4人,9人,4人,1人,
打分区间[70,80)的人数最多,有9人,所点频率为:=0.45,
∴最高矩形的高h==0.045.
(Ⅲ)打分在70分以下(不含70分)的同学有6人,其中男生4人,女生2人,
从中抽取3人,基本事件总数n==20,
有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生,
∴有女生被抽中的概率p=1﹣=1﹣=.
19.(12分)如图,高为1的等腰梯形ABCD中,AM=CD=AB=1,M为AB的三等分点,现将△AMD沿MD折起,使平面AMD⊥平面MBCD,连接AB、AC.
(Ⅰ)在AB边上是否存在点P,使AD∥平面MPC?
(Ⅱ)当点P为AB边中点时,求点B到平面MPC的距离.
【解答】解:(Ⅰ)在AB边上存在点P,满足PB=2PA,使AD∥平面MPC.
连接BD,交MC于O,连接OP,则由题意,DC=1,MB=2,∴OB=2OD,
∵PB=2PA,
∴OP∥AD,
∵AD⊄平面MPC,OP⊂平面MPC,
∴AD∥平面MPC;
(Ⅱ)由题意,AM⊥MD,平面AMD⊥平面MBCD,∴AM⊥平面MBCD,
∴P到平面MBC的距离为,
△MBC中,MC=BC=,MB=2,∴MC⊥BC,∴S△MBC==1,
△MPC中,MP==CP,MC=,∴S△MPC==.
设点B到平面MPC的距离为h,则由等体积可得,∴h=.
20.(12分)已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=﹣1相切.
(1)求圆心M的轨迹方程;
(2)动直线l过点P(0,﹣2),且与点M的轨迹交于A、B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.
【解答】解:(1)∵动点M到直线y=﹣1的距离等于到定点C(0,1)的距离,
∴动点M的轨迹为抛物线,且=1,解得:p=2,
∴动点M的轨迹方程为x2=4y;
(2)证明:由题意可知直线l的斜率存在,
设直线l的方程为:y=kx﹣2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(﹣x2,y2).
联立,化为x2﹣4kx+8=0,
△=16k2﹣32>0,
解得k>或k<﹣.
∴x1+x2=4k,x1x2=8.
直线直线AC的方程为:y﹣y2=﹣(x+x2),
又∵y1=kx1﹣2,y2=kx2﹣2,
∴4ky﹣4k(kx2﹣2)=(kx2﹣kx1)x+kx1x2﹣kx22,
化为4y=(x2﹣x1)x+x2(4k﹣x2),
∵x1=4k﹣x2,
∴4y=(x2﹣x1)x+8,
令x=0,则y=2,
∴直线AC恒过一定点(0,2).
21.(12分)已知函数f(x)=ax+lnx.
(Ⅰ)若f(x)在区间(0,1)上单调递增,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)设函数h(x)=﹣x2﹣f(x)有两个极值点x1、x2,且x1∈[,1),求证:|h(x1)﹣h(x2)|<2﹣ln2.
【解答】解:(I)∵f(x)在区间(0,1)上单调递增,
∴f′(x)=a+≥0,x∈(0,1),
即a,
∵x∈(0,1),∴﹣<﹣1,
∴a≥﹣1.
(II)证明:h(x)=﹣﹣ax﹣lnx,h′(x)=﹣x﹣a﹣,x∈(0,+∞).
令h′(x)=0得x2+ax+1=0,
∵函数h(x)=﹣x2﹣f(x)有两个极值点x1、x2,且x1∈[,1),
∴方程x2+ax+1=0有两解x1、x2,且x1∈[,1),
∴x1•x2=1,x1+x2=﹣a,且ax1=﹣1﹣x12,ax2=﹣1﹣x22,x2∈(1,2].
∴当0<x<x1时,h′(x)<0,当x1<x<x2时,h′(x)>0,当x>x2时,h′(x)<0,
∴x1为h(x)的极小值点,x2为h(x)的极大值点,
∴|h(x1)﹣h(x2)|=h(x2)﹣h(x1)=﹣x22﹣ax2﹣lnx2+x12+ax1+lnx1
=x22﹣x12+ln=﹣x12++2lnx1,
令H(x1)=﹣x12++2lnx1,
则H′(x1)=﹣x1﹣+==﹣<0,
∴H(x1)在[,0)上是减函数,
∴H(x1)≤H()=﹣2ln2<2﹣ln2,
即|h(x1)﹣h(x2)|<2﹣ln2.
请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4:坐标系与参数方程】
22.(10分)已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1,在以极点O为原点,极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中,将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍,得到曲线C2.
(Ⅰ)求曲线C2的参数方程;
(Ⅱ)直线l过点M(1,0),倾斜角为,与曲线C2交于A、B两点,求|MA|•|MB|的值.
【解答】解:(Ⅰ)由题意知,曲线C1的极坐标方程是ρ=1,直角坐标方程为x2+y2=1,
曲线C2方程为x2+y2=1,参数方程为(θ为参数).
(Ⅱ)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程x2+y2=1,
化简得5t2+t﹣8=0,
即有t1t2=﹣,
可得|MA|•|MB|=|t1t2|=.
【选修4-5:不等式选讲】
23.已知不等式|2x﹣3|<x与不等式x2﹣mx+n<0的解集相同.
(Ⅰ)求m﹣n;
(Ⅱ)若a、b、c∈(0,1),且ab+bc+ac=m﹣n,求a+b+c的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)当2x﹣3≥0,即x≥时,不等式|2x﹣3|<x可化为2x﹣3<x,
解得x<3,∴≤x<3;
当2x﹣3<0,即x<时,不等式|2x﹣3|<x可化为3﹣2x<x,
解得x>1,∴1<x<;
综上,不等式的解集为{x|1<x<3};
∴不等式x2﹣mx+n<0的解集为{x|1<x<3},
∴方程x2﹣mx+n=0的两实数根为1和3,
∴,
∴m﹣n=4﹣3=1;
(Ⅱ)a、b、c∈(0,1),且ab+bc+ac=m﹣n=1,
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
≥(2ab+2bc+2ac)+2(ab+bc+ac)
=3(ab+bc+ca)=3;
∴a+b+c的最小值是.