高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总 7页

高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总 编者：邬小军 ‎【知识汇编】‎ 参数方程：直线参数方程： 为直线上的定点， 为直线上任一点到定点的数量；‎ 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：(a,b)为圆心，r为半径；‎ 椭圆的参数方程是；‎ 双曲线的参数方程是；‎ 抛物线的参数方程是 极坐标与直角坐标互化公式：‎ 若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，点P的极坐标为，直角坐标为，则, , , 。‎ ‎【题型1】参数方程和极坐标基本概念 ‎1．点的直角坐标是，则点的极坐标为（ C ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．圆的圆心坐标是（ A ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．已知P为半圆C： （为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），‎ O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。‎ ‎1）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；‎ ‎2）求直线AM的参数方程。‎ 解：1）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，‎ 故点M的极坐标为（，）. ‎ ‎2）M点的直角坐标为（），A（0,1），故直线AM的参数方程为 ‎（t为参数） ‎ ‎4．已知曲线C的参数方程为 (为参数)，‎ 以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎1)求曲线c的极坐标方程 ‎2)若直线的极坐标方程为(sinθ+cosθ)=1，求直线被曲线c截得的弦长。‎ 解：(1)∵曲线c的参数方程为 (α为参数)‎ ‎∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5‎ 将 代入并化简得：=4cosθ+2sinθ ‎ 即曲线c的极坐标方程为=4cosθ+2sinθ ‎ (2)∵的直角坐标方程为x+y-1=0‎ ‎∴圆心c到直线的距离为d==∴弦长为2=2 . ‎ ‎5．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sin（θ＋），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＝a（a＞0），射线θ＝，θ＝＋，θ＝－，θ＝＋与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．‎ ‎（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；‎ ‎（2）求｜OA｜·｜OC｜＋｜OB｜·｜OD｜的值．‎ 解：（1）：， ：， ‎ 因为曲线关于曲线对称，，： ‎ ‎（2）；‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【题型2】直线参数方程几何意义的应用 ‎1．已知直线与直线相交于点，又点，则。‎ ‎2．直线被圆所截得的弦长为（ C ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线：交于，两点.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.‎ 解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），‎ 代入曲线C的方程得．‎ 设点A，B对应的参数分别为，则，，‎ 所以． ‎ ‎（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为，‎ 所以点P在直线l上，中点M对应参数为，‎ 由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离． ‎ ‎4．已知直线经过点,倾斜角，‎ ‎（1）写出直线的参数方程。‎ ‎（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。‎ 解：（1）直线的参数方程为，即 ‎ （2）把直线代入得 ‎，则点到两点的距离之积为 ‎5．设经过点的直线交曲线C：(为参数)于A、B两点．‎ ‎（1）写出曲线C的普通方程；‎ ‎（2）当直线的倾斜角时，求与的值．‎ 解：（1）：．‎ ‎（2）设：（t为参数）‎ 联立得：‎ ‎，‎ ‎6．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，为半径． ‎ ‎（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线与圆相交于两点，求．‎ 解：（1）直线的参数方程为，（答案不唯一，可酌情给分）‎ 圆的极坐标方程为. ‎ ‎（2）把代入，得，‎ ‎，设点对应的参数分别为， 则, ‎ ‎7．以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程； (2)设直线与曲线相交于两点，求.‎ 解：(1)由，既 曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)的参数方程为代入，整理的，所以，‎ ‎ 所以.‎ ‎【题型3】两类最值问题 ‎1．已知曲线：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的参数方程，直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设是曲线上任一点，求到直线的距离的最大值.‎ 解：（1）曲线的参数方程为（为参数），‎ 直线的直角坐标方程为 ‎ ‎（2）设，‎ 到直线的距离（其中为锐角，且）‎ 当时，到直线的距离的最大值 ‎ ‎2．已知曲线的极坐标方程为，曲线（为参数）．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）若点在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值．‎ 解：（1）曲线的普通方程是： ‎ ‎（2）曲线的普通方程是： ‎ 设点，由点到直线的距离公式得：‎ 其中 ‎ 时，，此时 ‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为.‎ ‎（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为，试求的值.‎ 解：（1）由，展开化为 ‎， ‎ 将代入,得，‎ 所以，圆C的直角坐标方程是. ‎ ‎（2）把直线的参数方程（t为参数）代入圆的方程并整理，‎ 可得：. ‎ 设A，B两点对应的参数分别为，‎ 则，‎ 所以. ‎ ‎∴. ‎ ‎4．已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，‎ 且依逆时针次序排列，点的极坐标为 ‎（1）求点的直角坐标；‎ ‎（2）设为上任意一点，求的取值范围.‎ 解：（1）点的极坐标为 ‎ 点的直角坐标为 ‎（2）设；则