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- 2021-05-13 发布
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全国高考数学考试客观性试题逐题讲评
一、选择题
(1)设集合,,则集合中元素的个数为( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
讲解:在同一坐标系中,作出单位圆和抛物线的图形,易知它们有两个交点,应选B.
评注:也可通过解如下方程组求解:
(2)函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
讲解:作出函数的图象,易知最小正周期是,应选C.
评注:函数的最小正周期是函数的一半.
(3) 设数列是等差数列,且, 是数列的前项的和,则( )
A. B. C. D.
讲解:由题意得 即于是,应选B.
评注:一般解法是:设等差数列的公差是,则有已知,得
解出 于是
从而 ,应选B.
(4) 圆在点处的切线方程是( )
A. B.
C. D.
讲解:显然,点的坐标不适合方程A, C,从而应否定A, C; 将圆的方程化为,圆心到直线的距离为
,不是圆的半径2,故应选D.
评注:一般解法为:设圆的切线方程是,即,
则圆心到切线的距离为
解出
(5) 函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
讲解: 取,有,否定C, D; 取,有,否定B. 应选A.
评注:一般解法为:由题意得 ,即, 等价于 .
(6) 设复数的幅角的主值为,虚部为,则( )
A. B.
C. D.
讲解:设复数, 则有 ,于是 =.应选A.
评注:也可用代数形式:
(7) 设双曲线的焦点在轴上,两条渐近线为,则双曲线的离心率( )
A. 5 B. C. D.
讲解:设双曲线的方程是,其两条渐近线为,于是,即有,有,,即.应选C.
评注:双曲线对于的两条渐近线为,也就是.
(8) 不等式的解集为( )
A. B. C. D.
讲解:取,适合不等式,否定C; 取,适合不等式,否定A, B. 应选D.
评注:一种直接解法是:由原不等式得 或,即或
(9) 正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
讲解:显然,侧面是等腰直角三角形,其直角边为,于是三棱柱的体积为 应选C.
评注:本题的模型是正方体截下的一个,教室的一个墙角. 当中的体积计算需要转换角度思考问题.
(10) 在中,,则边上的高为( )
A. B. C. D.
讲解:由余弦定理 ,得,有.应选B.
评注:请读者自己补上几何图形.
(11) 设函数则使得的自变量的取值范围为( )
A. B.
C. D.
讲解:取,有成立,否定C, D;取,
有成立,否定B. 应选A.
评注:分段函数常考常新. 本题也可给出直接解法,图象解法.
(12) 将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有( )
A. 12 种 B. 24 种 C 36 种 D. 48 种
讲解: 本题可以给出一种直接解法 应选C.
评注: 请读者用文字语言表述的实际意义. 再想想:解法是否正确?
二、 填空题
(13)用平面截半径为R的球,如果球心到平面的距离为,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为______________.
讲解:设截得小圆的半径是,球的半径是R, 画一个轴截面图形. 在中,显然,,于是
故截得小圆的面积与球的表面积的比值为,应填
评注:题中的就是我们常用的三角板模型,它是高考的热门话题.
(14)函数在区间上的最小值为_____________.
讲解:将函数式变形为. 由,得. 于是,函数的最小值为应填
评注:如果画出函数的图象,就可看出最小值对应的点是函数图象的左端点.
(15)已知函数是奇函数,当时,. 设的反函数是,则________.
讲解:易求得:当时,. 这样由,解得
应填
评注:反函数的定义域是原函数的值域.
(16)设P是曲线上的一个动点,则点P到点的距离与点P到轴的距离之和的最小值是______________.
讲解:显然,轴是抛物线的准线,而是抛物线的焦点,于是.
如图,
应填
评注:如果联想到抛物线的定义,就容易找到解题的开窍点.