高考数学第一轮复习立体几何专题题库26 8页

‎311. 如图，在棱长为a的正方体AC1中，M是CC1的中点，点E在AD上，且AE＝AD，F在AB上，且AF＝AB，求点B到平面MEF的距离.‎ 解法一：设AC与BD交于O点，EF与AC交于R点，由于EF∥BD所以将B点到面MEF的距离转化为O点到面MEF的距离，面MRC⊥面MEF，而MR是交线，所以作OH⊥MR，即OH⊥面MEF，OH即为所求.‎ ‎∵OH·MR＝OR·MC，‎ ‎∴OH＝.‎ 解法二：考察三棱锥B—MEF，由VB-MEF＝VM-BEF可得h.‎ 点评 求点面的距离一般有三种方法：‎ ‎①利用垂直面；‎ ‎②转化为线面距离再用垂直面；‎ ‎③当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.‎ ‎312. 正方体ABCD—A1B‎1C1D1的棱长为a，求A‎1C1和平面AB‎1C间的距离.‎ 解法1 如图所示，A‎1C1∥平面AB‎1C，又平面BB1DD1⊥平面AB‎1C.‎ 故若过O1作O1E⊥OB1于E，则OE1⊥平面AB‎1C，O1E为所求的距离 由O1E·OB1＝O1B1·OO1，‎ 可得：O1E＝‎ 解法2：转化为求C1到平面AB‎1C的距离，也就是求三棱锥C1—AB‎1C的高h.‎ 由 V＝V，可得h＝a.‎ 解法3 因平面AB‎1C∥平面C1DA1，它们间的距离即为所求，连BD1，分别交B1O、DO1与F、G(图中未画出)。易证BD1垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得 FG＝.‎ 点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.‎ ‎313..已知：α∩β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，求证：CD⊥AB.‎ ‎314.求证：两条平行线和同一条平面所成的角相等.‎ 已知：a∥b，a∩α＝A1,b∩β＝B1，∠θ1、∠θ2分别是a、b与α所成的角.如图，求证：∠θ1＝∠θ2.‎ 证：在a、b上分别取点A、B.如图，且AA1＝BB1，连结AB和A1B1.‎ ‎∵AA1∥BB1‎ ‎∴四边形AA1B1B是平行四边形.∴AB∥A1B1‎ 又A1B1α ∴AB∥α. ‎ 设AA2⊥α于A2，BB2⊥α于B2，则AA2＝BB2‎ 在RtΔAA‎1A2与中 AA2＝BB2，AA1＝BB1‎ ‎∴RtΔAA‎1A2≌RtΔBB1B2‎ ‎∴∠AA‎1A2＝∠BB1B2‎ 即 ∠θ1＝∠θ2.‎ ‎315.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.‎ 已知：∠ABCα,Pα,∠PBA＝∠PBC,PQ⊥α，Q∈α，如图.‎ 求证：∠QBA＝∠QBC 证：PR⊥AB于R，PS⊥BC于S.‎ 则：∠PRB＝∠PSB＝90°.‎ ‎∵PB＝PB.∠PBR＝∠PBS ‎∴RtΔPRB≌RtΔPSB ‎∴PR＝PS ‎∵点Q是点P在平面α上的射影.‎ ‎∴QR＝QS 又∵QR⊥AB，QS⊥BC ‎∴∠ABQ＝∠CBQ ‎316. 如图，E、F分别是正方体的面ADD‎1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 (要求：把可能的图的序号都填上)‎ 解 ∵四边形BFD1E在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中点，四边形的投影图形为②，在左右侧面上，E、F的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为③，在前后侧面上四边形投影图形也为②.故应填②③.‎ ‎317. 如图，A1B‎1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A‎1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )‎ A. B. C. D.‎ 解 连D‎1F1，则D‎1F1⊥A‎1C1，又BC⊥CA，所以BD1在平面ACC‎1A1内的射影为CF1，设AC＝‎2a，则BC＝CC1＝‎2a.取BC的中点E，连EF1，则EF∥BD1.‎ ‎∴cosθ1＝cos∠EF‎1C＝＝＝，‎ cosθ2＝cos∠AF‎1C＝＝，‎ ‎∴ cosθ＝cosθ1·cosθ2＝·＝，应选A.‎ ‎318. (1)如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S在底面的射影O在ΔABC内，那么O是ΔABC的( )‎ A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 ‎(2)设P是ΔABC所在平面α外一点，若PA，PB，PC与平面α所成的角都相等，那么P在平面α内的射影是ΔABC的( )‎ A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O到ΔABC的三边的距离相等，因而O是ΔABC的内心，因此选D.‎ ‎(2)如图所示，作PO⊥平面α于O，连OA、OB、OC，那么∠PAO、∠PBO、∠PCO分别是PA、PB、PC与平面α所成的角，且已知它们都相等.‎ ‎∴RtΔPAO≌RtΔPBO≌RtΔPCO.‎ ‎∴OA＝OB＝OC ‎∴应选B.‎ 说明 三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握.‎ ‎319. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.‎ 解析：注意到直线BD∥平面EFG，根据直线和平面的距离在BO中点O的距离等于B到平面EFG的距离.‎ 解 连结AC、BD，设交于O，∵E，F分别是AB、AD的中点.‎ ‎∴EF∥BD ‎∴BD∥平面EFG，设EF∩AC＝M.‎ 则M为OA的中点.‎ 又AB＝4 ∴AC＝4，MO＝AC＝,MC＝AC＝3‎ ‎∵GC⊥平面ABCD ‎∴GC⊥CA，GC⊥EF 又EF⊥AC，GC∩AC＝C.‎ ‎∴EF⊥平面GCM.‎ ‎∴过O作OH⊥GM于H，则OH⊥EF.‎ 又OH⊥GM 故OH⊥平面EFG.‎ 在RtΔGCM中，GM＝＝＝.‎ 又∵OH⊥GM.∴sin∠GMC＝＝sin∠HMO＝＝‎ ‎∴OH＝·＝‎ ‎∴B点到平面GEF的距离为 说明 本题解法甚多，学习两面垂直及简单几何体后，可用两面垂直的性质求解或者用“等体积法”求解.‎ ‎320. 已知两条异面直线a,b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设A1E＝m，AF＝n.求证：EF＝‎ 解 过A作a′∥a.‎ ‎∵AA1⊥a, ∴A‎1A⊥a′‎ ‎∴AA1⊥b,a′∩b＝A ‎∴A‎1A垂直a′、b所确定的平面α.‎ ‎∵a∥a′ ∴a、a′能确定平面β，在β内作EH∥A‎1A，交a′于H.‎ ‎∵a∥a′，∴A1AME为平行四边形.‎ ‎∴A‎1A＝EH＝d,AH＝A1E＝m ‎∵A‎1A⊥α ∴EH⊥α.‎ ‎∵FHα， ∴EH⊥FH.‎ 在RtΔFHE中，EF＝＝‎ ‎∵a′∥a ∴a′与b的夹角为θ.‎ 即∠HAF＝θ，此时AH＝m,AF＝n.‎ 由余弦定理得 FH2＝m2+n2-2mncosθ ‎∴EF＝‎ 当F(或E)在A(或A1)的另一侧时，同理可得 EF＝＝‎ 综上所述，EF＝‎