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  • 2021-05-13 发布

高考文科数学第一轮复习测试题10

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命题要点:(1)综合法(′11年2考,′10年2考);(2)分析法;(3)反证法(′11年1考).)‎ A级 ‎(时间:40分钟 满分:60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.下列各式中对x∈R都成立的是(  ).‎ A.lg(x2+1)≥lg(2x) B.x2+1>2x C.≤1 D.x+≥2‎ 解析 A、D中x必须大于0,故A、D排除,B中应x2+1≥ 2x,故B不正确.‎ 答案 C ‎2.用反证法证明命题:“已知a,b∈N,若ab可被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除”时,反设正确的是(  ).‎ A.a,b都不能被5整除 B.a,b都能被5整除 C.a,b中有一个不能被5整除 D.a,b中有一个能被5整除 解析 由反证法的定义得,反设即否定结论.‎ 答案 A ‎3.(2011·福州调研)下列命题中的假命题是(  ).‎ A.三角形中至少有一个内角不小于60°‎ B.四面体的三组对棱都是异面直线 C.闭区间[a,b]上的单调函数f(x)至多有一个零点 D.设a,b∈Z,若a+b是奇数,则a,b中至少有一个为奇数 解析 a+b为奇数⇔a,b中有一个为奇数,另一个为偶数,故D错误.‎ 答案 D ‎4.命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”‎ 是否成立(  ).‎ A.不成立 B.成立 C.不能断定 D.能断定 解析 ∵Sn=2n2-3n,‎ ‎∴Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)(n≥2),‎ ‎∴an=Sn-Sn-1=4n-5(n=1时,a1=S1=-1符合上式).‎ 又∵an+1-an=4(n≥1),‎ ‎∴{an}是等差数列.‎ 答案 B ‎5.设a、b、c均为正实数,则三个数a+、b+、c+(  ).‎ A.都大于2 B.都小于2‎ C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2‎ 解析 ∵a>0,b>0,c>0,‎ ‎∴++=++‎ ≥6,当且仅当a=b=c时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.‎ 答案 D 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎6.用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时,假设应该是___________________________________________________________.‎ 解析 用反证法证明命题时,假设结论不成立,即否定命题的结论.‎ 答案 三角形的三个内角都大于60°‎ ‎7.要证明“+<‎2‎”可选择的方法有以下几种,其中最合理的是________(填序号).‎ ‎①反证法,②分析法,③综合法.‎ 答案 ②‎ ‎8.(2011·韶关模拟)下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的条件的个数是________.‎ 解析 要使+≥2,只要>0且>0,即a,b不为0且同号即可,故有3个.‎ 答案 3‎ 三、解答题(共23分)‎ ‎9.(11分)设a>0,b>0,a+b=1,求证:++≥8.‎ 证明 ∵a+b=1,‎ ‎∴++=++ ‎=1++1++≥2+2+ ‎=2+2+4=8,当且仅当a=b=时等号成立.‎ ‎10.(12分)已知非零向量a,b,且a⊥b,求证:≤.‎ 证明 a⊥b⇔a·b=0,‎ 要证≤.‎ 只需证|a|+|b|≤|a+b|,‎ 只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+‎2a·b+b2),‎ 只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤‎2a2+2b2,‎ 只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,‎ 即(|a|-|b|)2≥0,‎ 上式显然成立,故原不等式得证.‎ B级 ‎(时间:30分钟 满分:40分)‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.已知函数f(x)=x,a,b是正实数,A=f,B=f(),C=f,则A、B、C的大小关系为(  ).‎ A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A 解析 ∵≥≥,‎ 又f(x)=x在R上是减函数.‎ ‎∴f≤f()≤f.‎ 答案 A ‎2.定义一种运算“*”:对于自然数n满足以下运算性质:‎ ‎①1](  ).‎ A.n B.n+‎1 C.n-1 D.n2‎ 解析 由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=…=1]‎ 答案 A 二、填空题(每小题4分,共8分)‎ ‎3.如果a+b>a+b,则a、b应满足的条件是 ‎________.‎ 解析 首先a≥0,b≥0且a与b不同为0.‎ 要使a+b>a+b,只需(a+b)2>(a+b)2,即a3+b3>a2b+ab2,只需(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),只需a2-ab+b2>ab,即(a-b)2>0,只需a≠b.故a,b应满足a≥0,b≥0且a≠b.‎ 答案 a≥0,b≥0且a≠b ‎4.设x,y,z是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条件中能保证“若x⊥z,且y⊥z,则x∥y”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号).‎ ‎①x为直线,y,z为平面;②x,y,z为平面;③x,y为直线,z为平面;④x,y为平面,z为直线;⑤x,y,z为直线.‎ 解析 ①中x⊥平面z,平面y⊥平面z,‎ ‎∴x∥平面y或x⊂平面y.‎ 又∵x⊄平面y,故x∥y成立.‎ ‎②中若x,y,z均为平面,则x可与y相交,故②不成立.‎ ‎③x⊥z,y⊥z,x,y为不同直线,故x∥y成立.‎ ‎④z⊥x,z⊥y,z为直线,x,y为平面可得x∥y,④成立.‎ ‎⑤x,y,z均为直线,x,y可平行、异面、相交,故⑤不成立.‎ 答案 ①③④‎ 三、解答题(共22分)‎ ‎5.(10分)若a、b、c是不全相等的正数,求证:‎ lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.‎ 证明 ∵a,b,c∈(0,+∞),‎ ‎∴≥>0,≥>0,≥>0.‎ 又上述三个不等式中等号不能同时成立.‎ ‎∴··>abc成立.‎ 上式两边同时取常用对数,‎ 得lg>lg abc,‎ ‎∴lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.‎ ‎6.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且0<x<c时,f(x)>0.‎ ‎(1)证明:是f(x)=0的一个根;‎ ‎(2)试比较与c的大小;‎ ‎(3)证明:-2<b<-1.‎ ‎(1)证明 ∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,‎ ‎∴f(x)=0有两个不等实根x1,x2,‎ ‎∵f(c)=0,∴x1=c是f(x)=0的根,‎ 又x1x2=,∴x2=,‎ ‎∴是f(x)=0的一个根.‎ ‎(2)解 假设<c,又>0,‎ 由0<x<c时,f(x)>0,‎ 知f>0与f=0矛盾,‎ ‎∴≥c,‎ 又∵≠c,∴>c.‎ ‎(3)证明 由f(c)=0,得ac+b+1=0,‎ ‎∴b=-1-ac.‎ 又a>0,c>0,∴b<-1.‎ 二次函数f(x)的图象的对称轴方程为 x=-=<=x2=,‎ 即-<.又a>0,‎ ‎∴b>-2,∴-2<b<-1.‎