高考数学模拟题一 23页

‎2019高考数学模拟题一 一、选择题（共12小题，共60分）‎ ‎1．从集合中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知，则的值为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知圆上到直线的距离等于的点至少有个，则的取值范围为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若函数的图象过点，则该函数图像的一条对称轴方程是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．的展开式中常数项为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为的等腰直角三角形，俯视图的边长为的正方形，则此四面体的四个面中最大面积是（ ）．‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“的饱和函数”．给出下列四个函数：‎ ‎①；②；③；④．‎ 其中是“的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）．‎ ‎ A．①③ B．②④ C．①② D．③④‎ ‎10．点、、、在半径为的同一球面上，点的平面的距离为，，则点与中心的距离为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．过点的直线与直线与双曲线的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线的右支上的点到直线的距离恒大于，则双曲线的离心率为取值范围是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（共4小题，共20分）‎ ‎13．下列结论：‎ ‎①若命题存在，使得；命题对任意，，则命题“且”为假命题；‎ ‎②已知直线，，则的充要条件为；‎ ‎③命题“若，则”的逆否命题为“若则”．‎ 其中正确结论的序号为___________．‎ ‎14．若椭圆于直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值等于___________．‎ ‎15．过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，若弦的垂直平分弦经过点，则等于___________．‎ ‎16．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为___________．‎ 三、解答题（共6小题70分）‎ ‎17．（分）已知在中，三边长，，依次成等差数列．‎ ‎（）若，求三个内角中最大角的度数．‎ ‎（）若且，求的面积．‎ ‎18．（分）设数列的前项和，点均在函数的图象上．‎ ‎（）求证：数列为等差数列．‎ ‎（）是数列的前项和，求使对所有都成立的最小正整数．‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分分）‎ 如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，．‎ ‎ ‎ ‎（）求证：平面平面．‎ ‎（）若，求二面角的余弦值．‎ ‎20．（分）已知椭圆的离心率为，且过点，直线交椭圆于，（不与点重合）两点．‎ ‎（）求椭圆方程．‎ ‎（）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（分）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点．‎ ‎（）求椭圆的方程．‎ ‎（）直线被圆截得的弦长为，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值．‎ ‎22．（分）函数．‎ ‎（）函数在点处的切线与直线垂直，求的值．‎ ‎（）讨论函数的单调性．‎ ‎（）不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎2018高考数学模拟题一参考答案 一、选择题（共12小题，共60分）‎ ‎1．从集合中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】公比时，有，，；，，．‎ 公比时，有，，．‎ 公比时，有，，．‎ 以上共个．‎ 反过来也是个，即，，；，，；，，；，，．‎ ‎∴等比数列个数为．‎ 故选．‎ ‎2．复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，，故其共轭复数为．‎ 故选．‎ ‎3．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题函数定义域是，则函数的定义域为，．‎ 故选．‎ ‎4．已知，则的值为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 则．‎ 因此，本题正确答案是．‎ 故选．‎ ‎5．已知圆上到直线的距离等于的点至少有个，则的取值范围为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由圆的方程可知圆心为，半径为．‎ 因为圆上的点到直线的距离等于的点至少有个，‎ 所以圆心到直线的距离，‎ 即，‎ 解得．‎ 故正确．‎ ‎6．若函数的图象过点，则该函数图像的一条对称轴方程是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将代入函数得．‎ 得到，‎ 得到或．‎ 又因为，‎ 所以，再求对称轴，，‎ 解得．‎ 故选．‎ ‎7．的展开式中常数项为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】的通项公式，，‎ 令或，计算得出或．‎ ‎∴的展开式中常数项．‎ 故选．‎ ‎8．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为的等腰直角三角形，俯视图的边长为的正方形，则此四面体的四个面中最大面积是（ ）．‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ‎ 由已知可得该几何体的立体图为三棱锥，‎ 作出辅助顶点点，为左视图中点，在平面上的投影．‎ 则是该四面体中面积最大的面，‎ 由已知条件可知，所以其面积为．‎ 故选．‎ ‎9．若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“的饱和函数”．给出下列四个函数：‎ ‎①；②；③；④．‎ 其中是“的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）．‎ ‎ A．①③ B．②④ C．①② D．③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于①，若存在实数，满足，‎ 则，所以，（且），该方程无实根，因此①不是“的饱和函数”；对于②，若存在实数，满足，‎ 则，计算得出，因此②是“的饱和函数”；‎ 对于③，若存在实数，满足，‎ 则，化简得，‎ 该方程无实根，因此③不是“饱和函数”；‎ 对于④，注意到，，‎ 即，因此是“的饱和函数”．‎ 综上可以知道，其中是“的饱和函数”的所有函数的序号是②④．‎ 故选．‎ ‎10．点、、、在半径为的同一球面上，点的平面的距离为，，则点与中心的距离为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图：‎ ‎ ‎ ‎∵点、、、在半径为的同一球面上．‎ 点到平面的距离为，，‎ 设的外接圆的圆心为，过作平面，交于，‎ 连结，，过作的垂线，交于点，‎ ‎∴半径，∴．‎ ‎∵，，∴是矩形，∴，‎ ‎∴,‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎11．过点的直线与直线与双曲线的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线的右支上的点到直线的距离恒大于，则双曲线的离心率为取值范围是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，直线的方程为，即，‎ 因为双曲线的右支上点到直线的距离恒大于，‎ 所以直线与的距离恒大于，‎ 所以，所以，‎ 因为，所以．‎ 故选．‎ ‎12．函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数有两个不同零点，‎ 不妨令，，‎ 将零点问题转化为两个函数交点的问题，‎ 又函数，‎ 当时，和只有一个交点，不满足题意，‎ 当时，由，得；‎ 令，则，‎ 当时，，是单调增函数，‎ 当时，，是单调减函数，且，∴；‎ 或当时，作出两函数，的图象，如图所示：‎ ‎ ‎ 交轴于点，‎ 交轴于点和点．‎ 要使方程有两个零点，应满足两函数有两个交点，‎ 即，计算得出．‎ ‎∴的取值范围是．‎ 故选．‎ 二、填空题（共4小题，共20分）‎ ‎13．下列结论：‎ ‎①若命题存在，使得；命题对任意，，则命题“且”为假命题；‎ ‎②已知直线，，则的充要条件为；‎ ‎③命题“若，则”的逆否命题为“若则”．‎ 其中正确结论的序号为___________．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】对于①，当时，，∴命题是真命题，‎ ‎，命题是真命题，‎ ‎∴是假命题，∴“且”是假命题，①正确；‎ 对于②，∵直线，，∴的充要条件，∴②错误；‎ 对于③，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，∴③正确．‎ 综上，以上正确的命题是①③．‎ ‎14．若椭圆于直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值等于___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设椭圆与直线交于，两点，‎ ‎，点在椭圆上：‎ ‎，，‎ 两式相减：，‎ ‎，‎ ‎，也在直线上，所以：直线斜率，．‎ 令，的中点为，‎ ‎，，‎ 中点到原点直线的斜率的倒数．‎ ‎15．过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，若弦的垂直平分弦经过点，则等于___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，过焦点且倾斜角为的直线方程为，设，，‎ 由得，．‎ ‎∴，，‎ ‎∴弦的中点坐标为，‎ 弦的垂直平分线方程为，弦的中点在该直线上，‎ ‎∴．‎ 计算得出．‎ ‎16．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设点在曲线上，‎ 则，两边取对数化简得到，‎ 即点在曲线上，‎ 则函数与函数互为反函数，‎ 且关于直线对称，要使最小，‎ 则点与点关于直线对称，‎ 设，点到直线的距离为，‎ 则，‎ 令，，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以，‎ 所以．‎ 三、解答题（共6小题70分）‎ ‎17．（分）已知在中，三边长，，依次成等差数列．‎ ‎（）若，求三个内角中最大角的度数．‎ ‎（）若且，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（），，依次成等差数列，得，‎ 又，‎ ‎∴．‎ 设，，则，‎ ‎∴最大角为．‎ 由，得．‎ ‎（）由，，‎ 又，‎ 得．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴的面积为．‎ ‎18．（分）设数列的前项和，点均在函数的图象上．‎ ‎（）求证：数列为等差数列．‎ ‎（）是数列的前项和，求使对所有都成立的最小正整数．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（）根据题意即，‎ 时，．‎ 当时，符合上式，‎ 所以．‎ 又∵，‎ ‎∴是一个以为首项，为公差的等差数列．‎ ‎（）由（）知 ‎．‎ 故．‎ 因此使得成立的必须且仅需满足．‎ 即．故满足要求的最小正整数为．‎ ‎19．（本小题满分分）‎ 如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，．‎ ‎ ‎ ‎（）求证：平面平面．‎ ‎（）若，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎（）证明：取的中点，连接，，，‎ 由是边长为的菱形，可得．‎ 又，可得为等边三角形，‎ 即有，，‎ 由，可得，而．‎ 由，‎ 可得．‎ 而，为相交二直线，可得平面，‎ 又平面，‎ 即有平面平面．‎ ‎（）由，可得，‎ 又平面平面，则平面，‎ 直线，，两两垂直，‎ 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，‎ 建立空间直角坐标系．‎ 则，，，，，．‎ 可得，，．‎ 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，‎ 由可得，取，可得．‎ 由，可得，取，可得．‎ 根据题意可得二面角为锐角二面角，记为，‎ 则．‎ 即有二面角的余弦值为．‎ ‎20．（分）已知椭圆的离心率为，且过点，直线交椭圆于，（不与点重合）两点．‎ ‎（）求椭圆方程．‎ ‎（）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（）根据题意可得，计算得出，‎ 椭圆的方程为．‎ ‎（）设，．‎ 由消去得到．‎ ‎∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴，计算得出．‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ 点到直线的距离，‎ ‎∴．‎ 当且仅当时取等号．‎ ‎∴当时，的面积取得最大值．‎ ‎21．（分）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点．‎ ‎（）求椭圆的方程．‎ ‎（）直线被圆截得的弦长为，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（）得，即，∴，‎ 则椭圆方程为．‎ 联立，消去得，，‎ 由，计算得出．‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（）∵直线被圆所截得的弦长为，‎ ‎∴原点到直线的距离为．‎ ‎①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，‎ 代入椭圆得，‎ 不妨设，，‎ 则．‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，‎ 由，得．‎ 联立，消去得，，‎ ‎，，‎ ‎∴．‎ 设，‎ 令，则，‎ 当时，可得，符合题意．‎ 当时，由，得且．‎ 综上，．‎ ‎∴当斜率存在时．‎ 综①②可以知道，面积的最大值为．‎ ‎22．（分）函数．‎ ‎（）函数在点处的切线与直线垂直，求的值．‎ ‎（）讨论函数的单调性．‎ ‎（）不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）‎ ‎【解析】（）．‎ ‎∵函数在点处的切线与直线垂直，‎ ‎∴，‎ 计算得出．‎ ‎（），（当且仅当，即时等号成立）．‎ 故（）当，即时，在上恒成立．‎ 故在上是增函数．‎ 当时，解得．‎ 故当时，．‎ 当时，，‎ 故在上是增函数．‎ 在上是减函数．‎ 综上所述，‎ 当时，在上是增函数．‎ 当时，在上是增函数，‎ 在上是减函数．‎ ‎（）∵，‎ ‎∴，‎ 令，则，‎ 故在上是减函数，在上是增函数，‎ 故．‎ 故．‎