高考数学专题轨迹方程问题汇总已可排版打印详细解析新人教A版 12页

轨迹方程问题汇总 ‎11.已知点M(－3，0)、N(3，0)、B(1，0)，⊙O与MN相切于点B，过M、N与⊙O相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为__________.‎ 解析:如图，|PM|－|PN|=|PA|+|AM|－|PC|－|CN|=|MA|－|NC|=|MB|－|NB|=4－2=2.‎ ‎∴P点的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支,c=3,a=1,b2=8.‎ ‎∴方程为－=1(x>1).‎ 答案:x2－=1(x>1)‎ ‎12.点M到一个定点F(0，2)的距离和它到一条定直线y=8的距离之比是1∶2，则M点的轨迹方程是__________.‎ 解析:根据椭圆第二定义可知，椭圆焦点为(0，2)，y==8,e=.‎ 由c=2,=8,得a=4,满足e===.‎ ‎∴椭圆方程为+=1.‎ 答案: +=1‎ ‎16.(本小题满分10分)设F1、F2是双曲线x2－y2=4的左、右两个焦点，P是双曲线上任意一点，过F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程.‎ 解:如图,F1(－2，0)、F2(2，0)、M(x,y)，‎ 延长F‎1M与PF2相交于点N，设N(x0,y0).‎ 由已知可得M为F1N的中点,‎ ‎∴‎ 又|NF2|=|PN|－|PF2|=|PF1|－|PF2|=‎2a=4,‎ ‎∴(x0－2)2+y02=16.‎ ‎∴(2x+2－2)2+(2y)2=16.∴x2+y2=4.‎ 评注:适当运用平面几何知识把条件进行转化，会给我们解题带来方便.‎ ‎17.(本小题满分12分)如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去，已知PA=‎100 m，PB=‎150 m，∠APB=60°.能否在田地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.‎ 解:设M是这种界线上的点，‎ 则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,‎ 即|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50.‎ ‎∴这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支.建立以AB为x轴，AB中点 O为原点的直角坐标系，则曲线为－=1,‎ 其中a=25,c=|AB|.‎ ‎∴c=25,b2=c2－a2=3750.‎ ‎∴所求曲线方程为－=1(x≥25,y≥0).‎ ‎18.(本小题满分12分)已知点F(1，0)，直线l:x=2.设动点P到直线l的距离为d,且|PF|=d,≤d≤.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(2)若·=，求向量与的夹角.‎ 解:(1)根据椭圆的第二定义知，点P的轨迹为椭圆.由条件知c=1,=2,∴a=.‎ e===满足|PF|=d.‎ ‎∴P点的轨迹为+=1.‎ 又d=－x,且≤d≤,‎ ‎∴≤2－x≤.∴≤x≤.‎ ‎∴轨迹方程为+y2=1(≤x≤).‎ ‎(2)由(1)可知，P点的轨迹方程为+y2=1(≤x≤),∴F(1,0)、P(x0,y0).‎ ‎=(1,0),=(x0,y0),=(1－x0,－y0).‎ ‎∵·=,∴1－x0=.‎ ‎∴x0=,y0=±.‎ 又·=||·||·cosθ,‎ ‎∴1·x0+0·y0=·1·cosθ.‎ ‎∴cosθ====.‎ ‎∴θ=arccos.‎ ‎1．【苍山诚信中学·文科】21．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，‎ 点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.‎ ‎ （I）求曲线E的方程；‎ ‎ （II）过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，求|HQ|.‎ ‎【解】（1）‎ ‎∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……2分 又 ‎∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.‎ 且椭圆长轴长为焦距‎2c=2. ……………5分 ‎∴曲线E的方程为………………6分 ‎（2）直线的斜率 ‎∴直线的方程为…………………………8分 由………………10分 设，‎ ‎12分 ‎2．【09届苍山·文科】22．（本小题满分12分）设椭圆过点分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率 ‎ （1）求椭圆C的方程；‎ ‎ （2）已知A为椭圆C的左顶点，直线过右焦点F2与椭圆C交于M、N两点。若AM、AN 的斜率满足求直线的方程；‎ ‎ 【解】（1）由题意椭圆的离心率 ‎∴∴∴‎ ‎∴椭圆方程为………………3分 又点（1，）在椭圆上，∴∴=1‎ ‎∴椭圆的方程为………………6分 ‎ （2）若直线斜率不存在，显然不合题意；‎ 则直线l的斜率存在。……………………7分 设直线为，直线l和椭交于，。‎ 将 依题意：………………………………9分 由韦达定理可知：………………10分 又 而 从而………………13分 求得符合 故所求直线MN的方程为：………………14分 ‎3．【09届济宁·文科】22．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值．‎ ‎【解】 （1）设椭圆C的方程为，‎ ‎ 抛物线方程化为，其焦点为，‎ ‎ 椭圆C的一个顶点为，即， …………………………………………3分 ‎ 由，得，‎ ‎ ∴椭圆C的方程为．……………………………………………………6分 ‎ （2）由（1）得， …………………………………………………………7分 设 ，，显然直线的斜率存在，‎ 设直线的方程为，代入，并整理得 ‎， ………………………………………9分 ‎∴． ………………………………………10分 又，‎ ‎ ，‎ 由，，得 ‎，，‎ ‎∴， ………………………………………………12分 ‎∴． ………………14分 ‎4．【临沂一中·文科】21．(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线 的距离为．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在斜率为，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点，且？若存在，求出直线的方程;若不存在,请说明理由．‎ ‎【解】（Ⅰ）设椭圆的方程为,‎ 由已知得. ……………………………………………………………………1分 ‎ 设右焦点为，由题意得…………………………2分 ‎ ‎.……………………………………………………………………3分 ‎ 椭圆的方程为. ………………………………………………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）直线的方程， ‎ 代入椭圆方程,得 ‎ …………………………………5分 ‎ ‎ 设点 则…………………………………………………………………6分 ‎ 设、的中点为，‎ 则点的坐标为.……………………………………………7分 ‎ 点在线段的中垂线上. ‎ ‎…………………………………………………………8分 ‎ 化简,得.……………………………………………………………………10分 ‎ 由得, ‎ ‎………………………………………………………………11分 ‎ 所以,存在直线满足题意，直线的方程为 ‎ 或.…………………………12分 ‎ ‎5．【临沂高新实验中学】21．（本小题满分12分）已知，椭圆的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点。‎ ‎ （1）求椭圆C的方程；‎ ‎ （2）若直线与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以线段MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。‎ ‎【解】（1）椭圆方程为（4分）‎ ‎（2）设M，将代入椭圆方程得 ‎∴（6分）‎ ‎∵‎ 又以MN为直径的圆过点A（2，0），‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴且满足，（9分）‎ 若，直线l恒过定点（2，0）不合题意舍去，‎ 若 例1： 已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，其中F1又是抛物线 y2 = 4 x的一个焦点，且点A(-1, 2)，B(3, 2)在双曲线上．‎ ‎(1)求点F2的轨迹; ‎ ‎(2)是否存在直线y = x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．‎ 解 (1) 由题意知F1(1, 0)，设F2(x , y)，则 | |AF1|-|AF2| | = | |BF1|-|BF2| | = ‎2a > 0．……………………………①‎ ‎∵ A(-1, 2)，B(3, 2) 在已知双曲线上，且 |AF1| = | BF1| =．于是 ‎(ⅰ) 当 | AF1|-|AF2| = |BF1|-|BF2|时，有 |AF2| = |BF2| , 再代入①得：‎ F2的轨迹为直线 x = 1除去两个点F1(1, 0), D(1, 4)．‎ ‎(ⅱ) ∵ 当 | AF1|-|AF2| = - ( |BF1|-|BF2| ) 时，有 | AF2| + |BF2| = |AF1| + |BF1| => 4 = |AB| ,‎ ‎∴ 点F2的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆Q，且除去F1(1, 0)，D(1, 4)两点，‎ 故所求的轨迹方程为 l：x = 1与Q：( y≠0，y≠ 4 )．‎ ‎(2) 设存在直线L：y = x+ m满足条件．(ⅰ) 若L过点F1或点D，‎ ‎∵ F1、D两点既在直线l：x = 1上，又在椭圆Q上，但不在F2的轨迹上，‎ ‎∴ L与F2的轨迹只有一个公共点，不合题意．‎ ‎(ⅱ) )若L不过点F1和D两点，(m≠-1, m≠3)，则L与l必有一个公共点E，且E点不在椭圆Q上，‎ ‎∴ 要使L与F2的轨迹有且只有两个公共点，则L必与Q有且只有一个公共点．‎ 由 得 3x2 - (10 - ‎4m) x +‎2m2‎- ‎8m +1= 0, ‎ 从而，有 △= (10 - ‎4m) 2- 12(‎2m2‎- ‎8m+1) = - 8 ( m2‎-2m-11) , ‎ 当△= 0时，有．即存在符合条件的直线 y = x+．‎ 点评 这是“定义法”求轨迹的问题．对于轨迹问题的求解，务必要注意轨迹的纯粹性与完备性，这是我们最易忽略的．‎ 考点二：交轨法求轨迹 ‎ 例2.已知常数a > 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，经过原点O，以c +λi为方向向量的直线与经过定点A(0 , a)，以i - 2λc为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E , F，使得 | PF | + | PF | 为定值，若存在，求出E, F的坐标，若不存在，说明理由．‎ 解 ∵ c +λi = (λ, a)，i - 2λc = (1, - 2λa) , ‎ 由向量平行关系得 OP与AP的方程分别为λy = ax，y- a = - 2λax．…………………………………… ①‎ 由此消去参数λ，得 点P(x ,y)满足方程为, …………………………………………… ②‎ ‎∵ a > 0 , 从而，有(1) 当时，方程②表示的是圆，不存在符合题意的两个定点 E，F ；‎ ‎(2) 当0<时，方程②表示的是椭圆，故存在符合题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：； ‎ ‎(3) 当时，方程②表示的是椭圆，故存在合乎题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：．‎ 点评 这是“交轨法”求轨迹的问题．将向量c +λi与i- 2λc分别用坐标表出是解题的关键．回答问题时必须要分别回答，这是题目的要求．对于①也可用直线的点斜式方程求得，读者不妨试一试．‎ 考点三：代入法(相关点法)‎ 例3 如图, 两点分别在射线OS,OT上移动,‎ 且,O为坐标原点,动点P满足.‎ ‎(1)求的值 ‎(2)求点P的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线.‎ ‎【解析】(1)由已知得 ‎(2)设点P坐标为,得 ‎,它表示以坐标原点为中心,焦点在轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支.‎ ‎【点评】 (1)的结果表示点轨迹在曲线上,为解决(2),利用,建立与参数的关系,然后解出(用表示),代入即得所求轨迹,这就是代入法.‎ 考点四：与轨迹有关的综合题 例4 O为坐标原点, 和两点分别在射线 上移动,且,动点P满足,记点P的轨迹为C.‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(II)求P点的轨迹C的方程,并说明它表示怎样的曲线?‎ ‎(III)设点G(－1,0),若直线与曲线C交于M、N两点,且M、N两点都在以G为圆心的圆上,求的取值范围.‎ ‎【解析】 (I) ∵,分别在射线上,‎ 即,‎ 又∵‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(II) 设由可得 即 两式相减有: .‎ ‎∵、不同时为0,‎ 轨迹C的方程为,它表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎(III) ‎ 消去,整理得: .‎ ‎∵直线与曲线C交于M、N两点,‎ 设 即 由(1)整理得: ‎ 由(3)有: ‎ 由(2)有.‎ 又∵M、N在以点G为圆心的圆上,‎ 设MN的中点为Q,则 ‎∵,‎ ‎∵‎ 又∵‎ ‎.‎ 整理得 把(6)代入(4)中有: ‎ 由 又由(6)有 ‎∵‎ 于是 解得 再由.‎ 综合得的取值范围为