北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑一 10页

学科：数学 教学内容：导数与微分经点答疑（一）‎ ‎【学法旨要】‎ ‎1．本章的学习目标是什么？‎ ‎（1）掌握导数的定义，灵活运用导数的定义计算函数在某一点的导数．‎ ‎（2）掌握函数在某点的可导性与连续性的关系，即函数在某点可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导．‎ ‎（3）掌握求导法则，尤其是复合函数的求导法则；能熟练地应用求导法则与基本公式求初等函数的导数；会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数；并熟练地计算某些简单的初等函数的高阶导数．‎ ‎（4）理解中值定理特别是拉格朗日中值定理，初步具有应用中值定理论证问题的能力．‎ ‎（5）能熟练地运用洛必达法则准确地计算各种不定式的极限．‎ ‎（6）理解泰勒公式的意义，能熟练地写出泰勒公式与马克劳林公式．‎ ‎2．学好本章知识的关键是什么？‎ 由于导数是从许多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，正确理解导数概念；知道导数是一种特殊类型的极限，即函数f（x）在点处的函数的增量与相应的自变量的增量的比值 当自变量的增量△x→0时的极限值．‎ 复合函数的求导是本章的重点，同时也是难点，熟练掌握和运用复合函数的求导法则对学好本章的知识具有重要作用．复合函数求导的关键在于搞清复合函数的结构，明确复合次数，把一个初等函数由外向内分解成基本初等函数，以便利用导数公式（基本初等函数的导数）．在求导过程中，比如，函数可看作y＝f（u）几个基本初等函数复合而成，顺次先将最外层的f关于u求导，再将次外层的关于求导，后将第三层的关于t求导，即逐次由外向内关于相应的中间变量求导，直至最内层的函数g关于自量x求导为止，并把这些所求得的导数顺次相乘即得．‎ ‎【经点答疑】‎ ‎1．怎样理解导数概念？‎ 在生产实践和科学实验中，常常需要研究函数相对于自变量的变化快慢程度．例如，要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间，就需要知道卫星的飞行速度；要研究轴和梁的弯曲变形问题，就必须会求曲线的切线斜率等等．求速度和曲线的切线斜率问题，叫做求变化率问题，数学上称为求导数．下面，我们将从几个实际问题入手，引入导数的概念．‎ 引例1 求变速直线运动的瞬时速度．‎ 解 设有一质点M在直线AB上自O点开始作直线运动（如图3-1）．经过时间t后，该质点离O点的距离是t的函数s＝s（t）．求质点M在时刻的瞬时速度．‎ 设在到一段时间内距离从变到，在△t这段时间内质点M所走的距离为 因此在△t时间内，质点M的平均速度为 若质点作等速运动，平均速度就是质点M在时刻的瞬时速度．若质点M的运动是变速的，则一般不会正好是的瞬时速度，但△t愈小，就愈接近的瞬时速度，所以当△t→0时，就可较精确的表示出时刻的瞬时速度．‎ 因此，我们用极限 来定义质点M在时刻的瞬时速度．‎ 瞬时速度v反映了路程函数s（t）相对时间t变化的快慢程度，称为函数s(t)对于自变量t的变化率．‎ 引例2 切线的斜率．‎ 解 如图3-2，求曲线y＝f（x）在其上一点处的切线PT的斜率．‎ 点P处的切线不是孤立的概念，它与已知的割线联系着．在曲线上任意另取一点Q，设它的坐标是，其中，则过点与的割线斜率（即△y对△x的平均变化率）是 当△x变化时，即点Q在曲线上变化时，割线PQ的斜率也随之变化．当|△x|较小时，取割线PQ的斜率作为点P的切线斜率的近似值．当|△x|越小，这个近似程度也就越好．于是，当△x无限趋于0时，即点Q沿着曲线无限趋于P时，割线PQ的极限位置就是曲线过点P的切线，同时，割线PQ的斜率的极限k就是曲线过点P的切线斜率（即y＝f（x）在点处变化率）即 这样就把求曲线在点P处的斜率问题转化成求上面的极限问题．‎ 引例3 求电流强度．‎ 解 设电流通过导线的横截面的电量是Q（t）,它是时间t的函数，求任一时刻的电流强度．‎ 我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即 在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求时刻的电流强度．我们可通过以下方法得到：‎ 设在到一段时间内通过导线的电量是 易知，△t取得越小，就越接近时刻的电流强度I．若当△t→0时，的极限存在，则平均电流强度的极限就是时刻的电流强度．因此，我们定义：‎ ．‎ 这样，我们又把求瞬时电流强度问题归结为求上面的极限问题．‎ 通过以上三个实际问题，我们可以看到，虽然三个问题的实际意义完全不同，但解决实际问题的数学结构是完全相同的，即只从数学结构来考虑，它们可归结为（完全相同的数学结构）函数f（x）在某点处函数的增量与相应的自变量的增量△x（△x≠0）的比值当自变量△x无限趋于0时的极限．即 ．‎ 在实际问题中，还有许多其他的问题也可归结为上面的极限来解决．我们把这些问题中出现的共同的数学结构抽象出来，就是我们的导数的概念，即导数是从这些实际问题中抽象出来的一个数学概念．‎ 设函数y＝f（x）在点的某邻域内有定义，当自变量有增量△x（△x≠0）时（△x可正可负）函数有相应增量．‎ 若极限存在，则称函数f（x）在点可导，并称该极限值为函数f（x）在点（对x）的导数，记作，即 也可记作 若上面的极限不存在，则称函数f（x）在点不可导．‎ 有时，我们把记作x，于是，当△x→0时，有,则上面的极限可改为 导数定义的这两种表示法，在以后的应用中都要用到．‎ 引入了导数概念之后，上面开始的三个引例都可用导数来描述，即要求质点在时刻的瞬时速度，只要求出路程函数s（t）在的导数即可；要求曲线y＝f（x）在点 处的切线斜率，只要求出函数f（x）在点处的导数即可；要求时刻的电流强度，只要求出电量函数Q（t）在的导数即为所求时刻的电流强度．‎ 很明显，函数增量与自变量增量之比是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数y＝f（x）在点处的变化率，它反映了函数f（x）在点处随自变量的变化而变化的快慢程度．‎ ‎[注：从导数的定义中可以看出，导数实质上就是一种特殊的极限值，即函数f（x）在点处函数的增量与相应的自变量的增量△t（△x≠0）的比值，当自变量的增量△x无限趋于0时的极限但极限值并不一定是导数，如．]‎ 若只讨论函数在点的左邻域（或右邻域）上的变化率，我们需引入单侧导数的概念．‎ 存在，则称f（x）在点右可导，并称该极限为f（x）在点的右导数，记作 若极限不存在，则称f（x）在点右不可导．‎ 右导数与左导数统称为单侧导数．‎ 由左、右极限与极限的关系，我们很容易得到函数f（x）在点可导的充要条件是f（x）在点既是左可导又是右可导且左、右导数相等．即 由导数的定义可知，要用定义求y＝f（x）的导数，可以分为以下三个步骤：‎ 利用导数定义求导数的难点是有一些比值的解析式不便于取极限，还需将其变形或化简，使极限成为已知极限的形式，以便于计算．‎ 例1 求函数在点x＝3的导数．‎ 思路启迪 利用导数定义求函数的某点的导数时，应先求出当自变量在某点有增量△x（△x≠0）时对应的函数的增量△y,然后计算△y与△x的比值的极限．‎ 规范解法 ‎（2）算比值．‎ ‎（3）取极限．‎ 点评 求函数在某点处的导数，首先应判断函数在点处是否可导，即极限是否存在且有限．若极限存在且有限，则函数在该点可导，此时，极限即为所求的导数；若极限不存在或极限为∞则函数在该点不可导．‎ 例2 证明函数f（x）＝|x|在点x＝0处不可导．‎ 思路启迪 首先要求函数f（x）在点x＝0处的左、右导数是否存在，若都存在且相等，则f（x）在x＝0处的可导，若至少有一个单侧导数不存在，或两两个单侧导数都存在但不相等，则函数f（x）在点x＝0处不可导．‎ 规范证法 点评 判别分段函数在分段点处的导数是否存在时，由于在分段点的两侧函数的表达式不相同，故函数的增量△y的结构在分段点的两侧也不相同，此时不能直接计算极限，而应首先分别判断f（x）在分段点的两个单侧导数是否存在，即首先判断极限与极限的存在性，并由此而确定函数在分断点的可导性．‎ 例3 思路启迪 已知存在，也即是极限存在且等于，只要紧扣导数的定义，并把等式中的左端化成f（x）在点处的导数的结构，该题的证明将容易得到．‎ 规范证法 点评 在导数的结构（定义）中，函数的增量与自变量的增量△x是相应的，即自变量有增量△x 时，相应的函数的增量是，而在上面第二个极限中，函数的增量所对应的自变量的增量是－△x（而非△x），这一点是至关重要的．因此应该有（易知△x→0时，－△x→0）．‎ 例4 证明：若函数f（x）与g（x）当x＝0时等于零，并且存在导数，且则 思路启迪 由已知条件，我们有，又与存在且，故上面分式当时分子与分母的极限存在且分母的极限不为零．于是由极限的四则运算即可给出证明．‎ 规范证法 由已知有 例5 设 思路启迪 直接利用导数的定义和正弦函数 规范解法 例6 设 思路启迪 求，即是求极限即，注意到函数在x＝a处是连续的，即，即可得出结果．‎ 规范解法 例7 此函数在点a没有导数．‎ 思路启迪 这里f（x）是一个分段函数，点a是f（x）的分段点，讨论分段点的可导性，需要利用函数在某点的可导性与该点的两个单侧导数的存在性的关系．‎ 规范证法 取△x≠0，‎ 例8 设为了使函数f（x）于点处连续而且可导，应当如何选取系数a和b？‎ 思路启迪 由于是分段函数f（x）的分段点，要使分段函数在分段点处连续且可导，须考虑使如下等式成立：‎ 规范解法