2001年全国Ⅱ高考数学试题(理) 8页

‎2001年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）‎ 理科数学 参考公式：‎ 三角函数的积化和差公式：‎ 正棱台、圆台的侧面积公式 ‎ 其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长．‎ 球的体积公式：，其中表示球的半径．‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若，则在 A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 ‎2．过点，且圆心在直线上的圆的标准方程是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 A．1 B．2 C．4 D．6‎ ‎4．若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ O x ‎1‎ O x ‎1‎ O x ‎1‎ O x ‎1‎ ‎5．极坐标方程的图形是 A． B． C． D．‎ ‎6．函数的反函数是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．若椭圆经过原点，且焦点为，，则其离心率为 A． B． C． D．‎ ‎8．若，，，则 A． B． C． D．‎ ‎9．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为 A．60° B．90° C．105° D．75°‎ ‎10．设，都是单调函数，有如下四个命题：‎ ‎①若单调递增，单调递增，则单调递增；‎ ‎②若单调递增，单调递减，则单调递增；‎ ‎③若单调递减，单调递增，则单调递减；‎ ‎④若单调递减，单调递减，则单调递减．‎ 其中，正确的命题是 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为，，．若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则 A． B． C． D．‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎12．‎ 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 ‎ A．26 B．24 C．20 D．19‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上．‎ ‎13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是 ．‎ ‎14．双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上．若，则点到的距离为 ．‎ ‎15．设数列是公比为的等比数列，是它的前项和．若是等差数列，则＝ ．‎ ‎16．圆周上有个等分点，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ S A D C B ‎17．（本小题满分10分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，，面，，．‎ ‎（1）求四棱锥的体积；‎ ‎（2）求面与面所成的二面角的正切值．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知复数．‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）当复数满足，求的最大值．‎ ‎19．（本小题满分12分）设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于，两点，点在抛物线的准线上，且∥轴．证明：直线经过原点．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知，，是正整数，且．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎21．（本小题满分12分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年会比上年增加．‎ ‎（1）设年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元．写出，的表达式；‎ ‎（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？‎ ‎22．（本小题满分12分）设是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称，对任意，都有．‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）证明是周期函数；‎ ‎（3）记，求．‎ 数学试题参考答案 一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力 题号 ‎１‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．‎ 数学试题(理工农医类)参考答案及评分标准 一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ ‎ (1)B (2)C (3)B (4)A (5)C ‎ (6)A (7)C (8)A (9)B (10)C ‎ (11)D (12)D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分．满分16分．‎ ‎ (13)2π (14) (15)1 (16)2n(n－1)‎ 三．解答题．‎ ‎ (17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．‎ ‎ 解：(I)直角梯形ABCD的面积是 ‎ M底面= ( BC+AD)AB＝ ……2分 ‎ ∴四棱推S-ABCD的体积是 ‎ ……4分 ‎(II)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 ……6分 ‎∵AD∥BC，BC=2AD ∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB ‎∵SA⊥面ABCD，得面ASB⊥面ESC，EB是交线，‎ 又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，‎ 故SB是CS在面SEB上的射影，‎ ‎∴CS⊥SE，‎ 所以∠BSC是所求二面角的平面角． ……10分 即所求二面角的正切值为． ……12分 ‎(18)本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．‎ ‎ (19)本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．‎ ‎ 证明一：‎ 因为抛物线y2=2pc(p>0)的焦点为F()，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+‎ 代人抛物线方程得 y2-2pcmy-p2=0‎ ‎ 若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，y2是该方程的两个根，所以 y1y2= -p2‎ ‎ 因为BC∥x轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标 ‎ 为(-，y2)，故直线CO的斜率为 即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．‎ 证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，‎ 过A作AD⊥l，D是垂足．则 AD∥FE∥BC． ……2分 连结AC，与EF相交手点N，则 根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC| ……8分 ‎ 即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O． ……12分 ‎(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．‎ ‎ ‎ ‎(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．‎ 解．(I)第1年投入为800万元．第2年投入为800×(1-)万元，……，第n年投入为 ‎800×(1-)n-1万元.‎ 所以，n年的总收入为 第 1年旅游业收入为 400万元，第 2年旅游业收入为 400 ×(1+)万元，……，第n年旅游 业收人为400×(1+)n-1 万元．所以，n年内的旅游业总收入为 ‎(11)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 ‎ 答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入 …12分 ‎(22)本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力，满分14分．‎