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  • 2021-05-13 发布

2017高考真题解答题专项训练圆锥曲线理科教师版

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2017--2018 年高考真题解答题专项训练:圆锥曲线(理科)教师版 1.(2017.上海卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 , 为 的上顶点, 为 上异于 上、下顶点的动点, 为 x 正半轴上的动点. (1)若 在第一象限,且 ,求 的坐标; (2)设 ,若以 A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形,求 M 的横坐标; (3)若 ,直线 AQ 与 交于另一点 C,且 , , 求直线 的方程. 试题分析: (1)联立 与 ,可得 (2)设 TF , T T T T F T 或 T T T F T F(3)设 FF ,线段 的中垂线与 轴的交点即 FF ,∵ , ∴ F F ,∵ ,∴ F F ,代入并联立椭圆方程, 解得 F , F ,∴ ,∴直线 的方程为 F 2.(2017.新课标 3 卷)已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A,B 两点, 圆 M 是以线段 AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上; (2)设圆 M 过点  4, 2P  ,求直线 l 与圆 M 的方程. 试题解析:(1)设    1 1 2 2, , ,A x y B x y , : 2l x my  . 由 2 2,{ 2 x my y x    可得 2 2 4 0y my   ,则 1 2 4y y   . 又 2 2 1 2 1 2,2 2 y yx x  ,故  2 1 2 1 2 44 y yx x   . 因此OA的斜率与OB 的斜率之积为 1 2 1 2 4 14 y y x x     ,所以OA OB . 故坐标原点O在圆 M 上. (2)由(1)可得   2 1 2 1 2 1 22 , 4 2 4y y m x x m y y m        . 故圆心 M 的坐标为 2 2,m m ,圆 M 的半径  22 22r m m   . 由 于 圆 M 过 点  4, 2P  , 因 此 0AP BP   , 故      1 2 1 24 4 2 2 0x x y y      , 即    1 2 1 2 1 2 1 24 2 20 0x x x x y y y y       , 由(1)可得 1 2 1 24, 4y y x x   . 所以 22 1 0m m   ,解得 1m  或 1 2m   . 当 1m  时,直线l 的方程为 2 0x y   ,圆心 M 的坐标为 3,1 ,圆 M 的半 径为 10 ,圆 M 的方程为   2 23 1 10x y    . 当 1 2m   时,直线l 的方程为 2 4 0x y   ,圆心 M 的坐标为 9 1,4 2     ,圆 M 的半径为 85 4 ,圆 M 的方程为 2 29 1 85 4 2 16x y             . 3.(2017.浙江卷)如图,已知抛物线x y.点 A - , , , ,抛物线上的点 P (x,y) - <x< ,过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q (I)求直线 AP 斜率的取值范围; (II)求 PA PQ 的最大值 试题解析: (Ⅰ)设直线 AP 的斜率为 k, , 因为 ,所以直线 AP 斜率的取值范围是 . (Ⅱ)联立直线 AP 与 BQ 的方程 F F 解得点 Q 的横坐标是 . 因为|PA|= = , |PQ|= , 所以 . 令 , 因为 ̵ , 所以 f(k)在区间 上单调递增, 上单调递减, 因此当 k= 时, 取得最大值 . 4.(2017.北京卷)已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1).过点 10, 2      作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点. (1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A 为线段 BM 的中点. 试题解析:(Ⅰ)由抛物线 C: 2 2y px 过点 P(1,1),得 1 2p  . 所以抛物线 C 的方程为 2y x . 抛物线 C 的焦点坐标为( 1 4 ,0),准线方程为 1 4x   . (Ⅱ)由题意,设直线 l 的方程为 1 2y kx  ( 0k  ),l 与抛物线 C 的交点为  1 1,M x y ,  2 2,N x y . 由 2 1 { 2y kx y x    ,得  2 24 4 4 1 0k x k x    . 则 1 2 2 1 kx x k   , 1 2 2 1 4x x k  . 因为点 P 的坐标为(1,1),所以直线 OP 的方程为 y x ,点 A 的坐标为 1 1,x y . 直线 ON 的方程为 2 2 yy xx  ,点 B 的坐标为 2 1 1 2 , y yx x       . 因为 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 22y y y y y y x xy xx x     1 2 2 1 1 2 2 1 1 22 2kx x kx x x x x                 1 2 2 1 2 12 2 2k x x x x x       2 2 2 1 12 2 4 2 kk k k x     0 , 所以 2 1 1 1 2 2y yy xx   . 故 A 为线段 BM 的中点. 5.(2017.山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E : 2 2 2 2 1x y a b    0a b  的 离心率为 2 2 ,焦距为 2 . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)如图,动直线 l : 1 3 2y k x  交椭圆 E 于 ,A B 两点, C 是椭圆 E 上一点, 直 线 OC 的 斜 率 为 2k , 且 1 2 2 4k k  , M 是 线 段 OC 延 长 线 上 一 点 , 且 : 2:3MC AB  , M 的半径为 MC , ,OS OT 是 M 的两条切线,切点分别为 ,S T .求 SOT 的最大值,并求取得最大值时直线l 的斜率. 试题解析:(I)由题意知 2 2 ce a   , 2 2c  , 所以 2, 1a b  , 因此 椭圆 E 的方程为 2 2 12 x y  . (Ⅱ)设    1 1 2 2, , ,A x y B x y , 联立方程 2 2 1 1,2{ 3 ,2 x y y k x     得 2 2 1 14 2 4 3 1 0k x k x    , 由题意知 0  , 且   1 1 2 1 22 2 1 1 2 3 1,2 1 2 2 1 kx x x xk k      , 所以 2 2 1 12 1 1 2 2 1 1 1 81 2 2 1 k kAB k x x k       . 由题意可知圆 M 的半径 r 为 2 2 1 1 2 1 1 1 82 2 3 2 1 k kr k    由题设知 1 2 2 4k k  , 所以 2 1 2 4k k  因此直线OC 的方程为 1 2 4y xk  . 联立方程 2 2 1 1,2{ 2 ,4 x y y xk    得 2 2 21 2 2 1 1 8 1,1 4 1 4 kx yk k    , 因此 2 2 2 1 2 1 1 8 1 4 kOC x y k     . 由题意可知 1sin 2 1 SOT r OCr OC r     , 而 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 8 1 4 1 1 82 2 3 2 1 k OC k r k k k      2 1 2 2 1 1 1 23 2 4 1 4 1 k k k    , 令 2 11 2t k  , 则  11, 0,1t t   , 因此 2 2 2 3 3 1 3 1 12 2 21 12 1 1 1 92 2 4 OC t r t t t t t               , 当且仅当 1 1 2t  ,即 2t  时等号成立,此时 1 2 2k   , 所以 1sin 2 2 SOT  , 因此 2 6 SOT   , 所以 SOT 最大值为 3  . 综上所述: SOT 的最大值为 3  ,取得最大值时直线l 的斜率为 1 2 2k   . 6.(2017 新课标全国Ⅱ)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足 . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 在直线 上,且 .证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 过 C 的左焦点 F. 试题解析:解:(1)设 P(x,y),M( FF ),则 N( FF ), NP x F MN ( FF ) 由 NP NM 得 F F , F . 因为 M( FF )在 C 上,所以 x . 因此点 P 的轨迹为 . 由题意知 F(-1,0),设 Q(-3,t),P(m,n),则 OQ , t , PF m , n , OQ PF m tn , OP m , n , PQ ( m , t n ). 由 OP PQ 得-3m- T +tn- =1,学&科网又由(1)知 T ,故 3+3m-tn=0. 所以 OQ PF F ,即, OQ PF .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直 于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 7.(2017.天津卷)设椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点为 F ,右顶点为 A ,离心率 为 1 2 .已知 A 是抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点, F 到抛物线的准线l 的距离为 1 2 . (I)求椭圆的方程和抛物线的方程; (II)设l 上两点 P , Q 关于 x 轴对称,直线 AP 与椭圆相交于点 B ( B 异于点 A ), 直线 BQ 与 x 轴相交于点 D .若 APD 的面积为 6 2 ,求直线 AP 的方程. 试题解析:(Ⅰ)解:设 F 的坐标为 ,0c .依题意, 1 2 c a  , 2 p a , 1 2a c  , 解得 1a  , 1 2c  , 2p  ,于是 2 2 2 3 4b a c   . 所以,椭圆的方程为 2 2 4 13 yx   ,抛物线的方程为 2 4y x . (Ⅱ)解:设直线 AP 的方程为  1 0x my m   ,与直线l 的方程 1x   联立,可得 点 21,P m      ,故 21,Q m     .将 1x my  与 2 2 4 13 yx   联立,消去 x ,整理得  2 23 4 6 0m y my   ,解得 0y  ,或 2 6 3 4 my m   .由点 B 异于点 A ,可得点 2 2 2 3 4 6,3 4 3 4 m mB m m         . 由 21,Q m     , 可 学 * 科 . 网 得 直 线 BQ 的 方 程 为   2 2 2 6 2 3 4 21 1 03 4 3 4 m mx ym m m m                      ,令 0y  ,解得 2 2 2 3 3 2 mx m   , 故 2 2 2 3 ,03 2 mD m      .所以 2 2 2 2 2 3 61 3 2 3 2 m mAD m m     .又因为 APD 的面积为 6 2 , 故 2 2 1 6 2 6 2 3 2 2 m m m    , 整理 得 23 2 6 2 0m m   , 解得 6 3m  , 所以 6 3m   . 所以,直线 AP 的方程为3 6 3 0x y   ,或3 6 3 0x y   . 8.(2017.江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆   2 2 2 2: 1 0x yE a ba b   > > 的 左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 1 2 ,两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上,且 位于第一象限,过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1,过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若直线 l1,l2 的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标. 试题解析:解:(1)设椭圆的半焦距为 c. 因为椭圆 E 的离心率为 1 2 ,两准线之间的距离为 8,所以 1 2 c a  , 22 8a c  , 解得 2, 1a c  ,于是 2 2 3b a c   , 因此椭圆 E 的标准方程是 2 2 14 3 x y  . (2)由(1)知,  1 1,0F  ,  2 1,0F . 设  0 0,P x y ,因为点 P 为第一象限的点,故 0 00, 0x y  . 当 0 1x  时, 2l 与 1l 相交于 1F ,与题设不符. 当 0 1x  时,直线 1PF 的斜率为 0 0 1 y x  ,直线 2PF 的斜率为 0 0 1 y x  . 因为 1 1l PF , 2 2l PF ,所以直线 1l 的斜率为 0 0 1x y   ,直线 2l 的斜率为 0 0 1x y  , 从而直线 1l 的方程:  0 0 1 1xy xy    , ① 直线 2l 的方程:  0 0 1 1xy xy    . ② 由①②,解得 2 0 0 0 1, xx x y y    ,所以 2 0 0 0 1, xQ x y      . 因为点Q 在椭圆上,由对称性,得 2 0 0 0 1 x yy    ,即 2 2 0 0 1x y  或 2 2 0 0 1x y  . 又 P 在椭圆 E 上,故 2 2 0 0 14 3 x y  . 由 2 2 0 0 2 2 0 0 1 { 14 3 x y x y     ,解得 0 0 4 7 3 7,7 7x y  ; 2 2 0 0 2 2 0 0 1 { 14 3 x y x y     ,无解. 因此点 P 的坐标为 4 7 3 7,7 7       . 9.(2017.新课标 1 卷)已知椭圆 C: = (a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1), P3(–1, ),P4(1, )中恰有三点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的 和为–1,证明:l 过定点. P 试题解析:(1)由于 , 两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过 , 两点. 又由 知,C 不经过点 P1,所以点 P2 在 C 上. 因此 ,解得 . 故 C 的方程为 . (2)设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2, 如果 l 与 x 轴垂直,设 l:x=t,由题设知 F ,且 ,可得 A,B 的坐标分别为(t, ),(t, ). 则 ,得 ,不符合题设. 从而可设 l: T ( T ).将 T 代入 得 T T F由题设可知 = T F . 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= T ,x1x2= T . 而 T T T . 由题设 ,故 T F . 即 T T T F . 解得 T . 当且仅当 T 时, F ,欲使 l: T T ,即 T , 所以 l 过定点(2, ) 10.(2018 年浙江卷)如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点,抛物线 C:y2=4x 上存在不同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上. (Ⅰ)设 AB 中点为 M,证明:PM 垂直于 y 轴; (Ⅱ)若 P 是半椭圆 x2+ =1(x<0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围. 详解:(Ⅰ)设 FF , , . 因为 , 的中点在抛物线上,所以 , 为方程 F F 即 F F F F 的两个不同的实数根. 所以 F . 因此, 垂直于 轴. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 F F F 所以 F F F , F F . 因此, 的面积 F F . 因为 F F F F ,所以 F F F F . 因此, 面积的取值范围是 F . 11.(2018 年天津卷)设椭圆 2 2 2 2 1x x a b   (a>b>0)的左焦点为 F,上顶点为 B. 已知椭 圆的离心率为 5 3 ,点 A 的坐标为  ,0b ,且 6 2FB AB  . (I)求椭圆的方程; (II)设直线 l: ( 0)y kx k  与椭圆在第一象限的交点为 P,且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若 5 2 sin4 AQ AOQPQ   (O 为原点) ,求 k 的值. 详解:(Ⅰ)设椭圆的焦距为 2c,由已知有 2 2 5 9 c a  , 又由 a2=b2+c2,可得 2a=3b.由已知可得, FB a , 2AB b , 由 6 2FB AB  ,可得 ab=6,从而 a=3,b=2. 所以,椭圆的方程为 2 2 19 4 x y  . (Ⅱ)设点 P 的坐标为(x1,y1),点 Q 的坐标为(x2,y2). 由已知有 y1>y2>0,故 1 2PQ sin AOQ y y   . 又因为 2yAQ sin OAB   ,而∠OAB= π 4 ,故 22AQ y . 由 5 2 4 AQ sin AOQPQ   ,可得 5y1=9y2. 由方程组 2 2{ 19 4 y kx x y    , , 消去 x,可得 1 2 6 9 4 ky k   . 易知直线 AB 的方程为 x+y–2=0, 由方程组{ 2 0 y kx x y     , ,消去 x,可得 2 2 1 ky k   . 由 5y1=9y2,可得 5(k+1)= 23 9 4k  , 两边平方,整理得 256 50 11 0k k   , 解得 1 2k  ,或 11 28k  . 所以,k 的值为 1 2 或 11 28 . 12.(2018 年北京卷)已知抛物线 C: =2px 经过点 (1,2).过点 Q(0,1)的直 线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N. (Ⅰ)求直线 l 的斜率的取值范围; (Ⅱ)设 O 为原点, , ,求证: 为定值. 详解:解:(Ⅰ)因为抛物线 y2=2px 经过点 P(1,2), 所以 4=2p,解得 p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x. 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0, 设直线 l 的方程为 y=kx+1(k≠0). 由 得 F . 依题意 F ,解得 k<0 或 00). 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得 F . F ,故 . 所以 . 由题设知 ,解得 k=–1(舍去),k=1. 因此 l 的方程为 y=x–1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 ,即 . 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 F F , F FF ㄍ 解得 F , F 或 F , F ㄍ因此所求圆的方程为 或 .