- 272.63 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2017--2018 年高考真题解答题专项训练:圆锥曲线(理科)教师版
1.(2017.上海卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆
,
为
的上顶点,
为
上异于
上、下顶点的动点,
为 x 正半轴上的动点.
(1)若
在第一象限,且
,求
的坐标;
(2)设
,若以 A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形,求 M 的横坐标;
(3)若
,直线 AQ 与
交于另一点 C,且
,
,
求直线
的方程.
试题分析:
(1)联立
与
,可得
(2)设
T F
,
T
T
T
T
F T
或
T
T
T
F T
F(3)设
F F
,线段
的中垂线与
轴的交点即
F F
,∵
,
∴
F F
,∵
,∴
F
F
,代入并联立椭圆方程,
解得
F
,
F
,∴
,∴直线
的方程为
F 2.(2017.新课标 3 卷)已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A,B 两点,
圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.
(1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上;
(2)设圆 M 过点 4, 2P ,求直线 l 与圆 M 的方程.
试题解析:(1)设 1 1 2 2, , ,A x y B x y , : 2l x my .
由 2
2,{ 2
x my
y x
可得 2 2 4 0y my ,则 1 2 4y y .
又
2 2
1 2
1 2,2 2
y yx x ,故 2
1 2
1 2 44
y yx x .
因此OA的斜率与OB 的斜率之积为 1 2
1 2
4 14
y y
x x
,所以OA OB .
故坐标原点O在圆 M 上.
(2)由(1)可得 2
1 2 1 2 1 22 , 4 2 4y y m x x m y y m .
故圆心 M 的坐标为 2 2,m m ,圆 M 的半径 22 22r m m .
由 于 圆 M 过 点 4, 2P , 因 此 0AP BP , 故
1 2 1 24 4 2 2 0x x y y ,
即 1 2 1 2 1 2 1 24 2 20 0x x x x y y y y ,
由(1)可得 1 2 1 24, 4y y x x .
所以 22 1 0m m ,解得 1m 或 1
2m .
当 1m 时,直线l 的方程为 2 0x y ,圆心 M 的坐标为 3,1 ,圆 M 的半
径为 10 ,圆 M 的方程为 2 23 1 10x y .
当 1
2m 时,直线l 的方程为 2 4 0x y ,圆心 M 的坐标为 9 1,4 2
,圆 M
的半径为 85
4
,圆 M 的方程为
2 29 1 85
4 2 16x y
.
3.(2017.浙江卷)如图,已知抛物线x
y.点 A -
,
,
,
,抛物线上的点 P
(x,y) -
<x<
,过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q
(I)求直线 AP 斜率的取值范围;
(II)求 PA
PQ 的最大值
试题解析:
(Ⅰ)设直线 AP 的斜率为 k,
,
因为
,所以直线 AP 斜率的取值范围是
.
(Ⅱ)联立直线 AP 与 BQ 的方程
F
F
解得点 Q 的横坐标是
.
因为|PA|=
=
,
|PQ|=
,
所以
.
令
,
因为
̵
,
所以 f(k)在区间
上单调递增,
上单调递减,
因此当 k=
时,
取得最大值
.
4.(2017.北京卷)已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1).过点 10, 2
作直线 l 与抛物线
C 交于不同的两点 M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O
为原点.
(1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(2)求证:A 为线段 BM 的中点.
试题解析:(Ⅰ)由抛物线 C: 2 2y px 过点 P(1,1),得 1
2p .
所以抛物线 C 的方程为 2y x .
抛物线 C 的焦点坐标为( 1
4
,0),准线方程为 1
4x .
(Ⅱ)由题意,设直线 l 的方程为 1
2y kx ( 0k ),l 与抛物线 C 的交点为 1 1,M x y ,
2 2,N x y .
由
2
1
{ 2y kx
y x
,得 2 24 4 4 1 0k x k x .
则 1 2 2
1 kx x k
, 1 2 2
1
4x x k
.
因为点 P 的坐标为(1,1),所以直线 OP 的方程为 y x ,点 A 的坐标为 1 1,x y .
直线 ON 的方程为 2
2
yy xx
,点 B 的坐标为 2 1
1
2
, y yx x
.
因为
2 1 1 2 2 1 1 2
1 1
2 2
22y y y y y y x xy xx x
1 2 2 1 1 2
2
1 1 22 2kx x kx x x x
x
1 2 2 1
2
12 2 2k x x x x
x
2 2
2
1 12 2 4 2
kk k k
x
0 ,
所以 2 1
1 1
2
2y yy xx
.
故 A 为线段 BM 的中点.
5.(2017.山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :
2 2
2 2 1x y
a b
0a b 的
离心率为 2
2
,焦距为 2 .
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
(Ⅱ)如图,动直线 l : 1
3
2y k x 交椭圆 E 于 ,A B 两点, C 是椭圆 E 上一点,
直 线 OC 的 斜 率 为 2k , 且 1 2
2
4k k , M 是 线 段 OC 延 长 线 上 一 点 , 且
: 2:3MC AB , M 的半径为 MC , ,OS OT 是 M 的两条切线,切点分别为
,S T .求 SOT 的最大值,并求取得最大值时直线l 的斜率.
试题解析:(I)由题意知 2
2
ce a
, 2 2c ,
所以 2, 1a b ,
因此 椭圆 E 的方程为
2
2 12
x y .
(Ⅱ)设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ,
联立方程
2
2
1
1,2{
3 ,2
x y
y k x
得 2 2
1 14 2 4 3 1 0k x k x ,
由题意知 0 ,
且
1
1 2 1 22 2
1 1
2 3 1,2 1 2 2 1
kx x x xk k
,
所以
2 2
1 12
1 1 2 2
1
1 1 81 2 2 1
k kAB k x x k
.
由题意可知圆 M 的半径 r 为
2 2
1 1
2
1
1 1 82 2
3 2 1
k kr k
由题设知 1 2
2
4k k ,
所以 2
1
2
4k k
因此直线OC 的方程为
1
2
4y xk
.
联立方程
2
2
1
1,2{
2 ,4
x y
y xk
得
2
2 21
2 2
1 1
8 1,1 4 1 4
kx yk k
,
因此
2
2 2 1
2
1
1 8
1 4
kOC x y k
.
由题意可知 1sin 2 1
SOT r
OCr OC
r
,
而
2
1
2
1
2 2
1 1
2
1
1 8
1 4
1 1 82 2
3 2 1
k
OC k
r k k
k
2
1
2 2
1 1
1 23 2
4 1 4 1
k
k k
,
令 2
11 2t k ,
则 11, 0,1t t
,
因此
2 2
2
3 3 1 3 1 12 2 21 12 1 1 1 92
2 4
OC t
r t t
t t t
,
当且仅当 1 1
2t
,即 2t 时等号成立,此时 1
2
2k ,
所以 1sin 2 2
SOT ,
因此
2 6
SOT ,
所以 SOT 最大值为
3
.
综上所述: SOT 的最大值为
3
,取得最大值时直线l 的斜率为 1
2
2k .
6.(2017 新课标全国Ⅱ)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C
上,过 M 作
x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足
.
(1)求点 P 的轨迹方程;
(2)设点
在直线
上,且
.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线
过
C 的左焦点 F.
试题解析:解:(1)设 P(x,y),M(
F F
),则 N(
F F
),
NP x F MN
(
F F
)
由
NP NM
得
F F
,
F
.
因为 M(
F F
)在 C 上,所以
x
.
因此点 P 的轨迹为
.
由题意知 F(-1,0),设 Q(-3,t),P(m,n),则
OQ
,
t
,
PF m
,
n
,
OQ PF m tn
,
OP m
,
n
,
PQ
(
m
,
t n
).
由
OP PQ
得-3m-
T
+tn-
=1,学&科网又由(1)知
T
,故
3+3m-tn=0.
所以
OQ PF F
,即,
OQ PF
.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直
于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
7.(2017.天津卷)设椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左焦点为 F ,右顶点为 A ,离心率
为 1
2
.已知 A 是抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点, F 到抛物线的准线l 的距离为 1
2
.
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II)设l 上两点 P , Q 关于 x 轴对称,直线 AP 与椭圆相交于点 B ( B 异于点 A ),
直线 BQ 与 x 轴相交于点 D .若 APD 的面积为 6
2
,求直线 AP 的方程.
试题解析:(Ⅰ)解:设 F 的坐标为 ,0c .依题意, 1
2
c
a
,
2
p a , 1
2a c ,
解得 1a , 1
2c , 2p ,于是 2 2 2 3
4b a c .
所以,椭圆的方程为
2
2 4 13
yx ,抛物线的方程为 2 4y x .
(Ⅱ)解:设直线 AP 的方程为 1 0x my m ,与直线l 的方程 1x 联立,可得
点 21,P m
,故 21,Q m
.将 1x my 与
2
2 4 13
yx 联立,消去 x ,整理得
2 23 4 6 0m y my ,解得 0y ,或 2
6
3 4
my m
.由点 B 异于点 A ,可得点
2
2 2
3 4 6,3 4 3 4
m mB m m
. 由 21,Q m
, 可 学 * 科 . 网 得 直 线 BQ 的 方 程 为
2
2 2
6 2 3 4 21 1 03 4 3 4
m mx ym m m m
,令 0y ,解得
2
2
2 3
3 2
mx m
,
故
2
2
2 3 ,03 2
mD m
.所以
2 2
2 2
2 3 61 3 2 3 2
m mAD m m
.又因为 APD 的面积为 6
2
,
故
2
2
1 6 2 6
2 3 2 2
m
m m
, 整理 得 23 2 6 2 0m m , 解得 6
3m , 所以
6
3m .
所以,直线 AP 的方程为3 6 3 0x y ,或3 6 3 0x y .
8.(2017.江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆
2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
> > 的
左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 1
2
,两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上,且
位于第一象限,过点 F1 作直线 PF1 的垂线 l1,过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2.
(1)求椭圆 E 的标准方程;
(2)若直线 l1,l2 的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标.
试题解析:解:(1)设椭圆的半焦距为 c.
因为椭圆 E 的离心率为 1
2
,两准线之间的距离为 8,所以 1
2
c
a
,
22 8a
c
,
解得 2, 1a c ,于是 2 2 3b a c ,
因此椭圆 E 的标准方程是
2 2
14 3
x y .
(2)由(1)知, 1 1,0F , 2 1,0F .
设 0 0,P x y ,因为点 P 为第一象限的点,故 0 00, 0x y .
当 0 1x 时, 2l 与 1l 相交于 1F ,与题设不符.
当 0 1x 时,直线 1PF 的斜率为 0
0 1
y
x
,直线 2PF 的斜率为 0
0 1
y
x
.
因为 1 1l PF , 2 2l PF ,所以直线 1l 的斜率为 0
0
1x
y
,直线 2l 的斜率为 0
0
1x
y
,
从而直线 1l 的方程: 0
0
1 1xy xy
, ①
直线 2l 的方程: 0
0
1 1xy xy
. ②
由①②,解得
2
0
0
0
1, xx x y y
,所以
2
0
0
0
1, xQ x y
.
因为点Q 在椭圆上,由对称性,得
2
0
0
0
1 x yy
,即 2 2
0 0 1x y 或 2 2
0 0 1x y .
又 P 在椭圆 E 上,故
2 2
0 0 14 3
x y .
由
2 2
0 0
2 2
0 0
1
{
14 3
x y
x y
,解得 0 0
4 7 3 7,7 7x y ;
2 2
0 0
2 2
0 0
1
{
14 3
x y
x y
,无解.
因此点 P 的坐标为 4 7 3 7,7 7
.
9.(2017.新课标 1 卷)已知椭圆 C:
=
(a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1),
P3(–1,
),P4(1,
)中恰有三点在椭圆 C 上.
(Ⅰ)求 C 的方程;
(Ⅱ)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的
和为–1,证明:l 过定点.
P 试题解析:(1)由于
,
两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过
,
两点.
又由
知,C 不经过点 P1,所以点 P2 在 C 上.
因此
,解得
.
故 C 的方程为
.
(2)设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2,
如果 l 与 x 轴垂直,设 l:x=t,由题设知
F
,且
,可得 A,B 的坐标分别为(t,
),(t,
).
则
,得
,不符合题设.
从而可设 l:
T
(
T
).将
T
代入
得
T T
F由题设可知
=
T
F
.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=
T
,x1x2=
T
.
而
T
T
T
.
由题设
,故
T F
.
即
T
T
T
F
.
解得
T
.
当且仅当
T
时,
F
,欲使 l:
T
T
,即
T
,
所以 l 过定点(2,
)
10.(2018 年浙江卷)如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点,抛物线 C:y2=4x
上存在不同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上.
(Ⅰ)设 AB 中点为 M,证明:PM 垂直于 y 轴;
(Ⅱ)若 P 是半椭圆 x2+
=1(x<0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围.
详解:(Ⅰ)设
F F
,
,
.
因为
,
的中点在抛物线上,所以
,
为方程
F
F
即
F F F
F
的两个不同的实数根.
所以
F
.
因此,
垂直于
轴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
F
F F
所以
F
F
F
,
F
F
.
因此,
的面积
F
F
.
因为
F
F
F F
,所以
F
F F
F
.
因此,
面积的取值范围是
F
.
11.(2018 年天津卷)设椭圆
2 2
2 2 1x x
a b
(a>b>0)的左焦点为 F,上顶点为 B. 已知椭
圆的离心率为 5
3
,点 A 的坐标为 ,0b ,且 6 2FB AB .
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线 l: ( 0)y kx k 与椭圆在第一象限的交点为 P,且 l 与直线 AB 交于点 Q.
若 5 2 sin4
AQ AOQPQ
(O 为原点) ,求 k 的值.
详解:(Ⅰ)设椭圆的焦距为 2c,由已知有
2
2
5
9
c
a
,
又由 a2=b2+c2,可得 2a=3b.由已知可得, FB a , 2AB b ,
由 6 2FB AB ,可得 ab=6,从而 a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为
2 2
19 4
x y .
(Ⅱ)设点 P 的坐标为(x1,y1),点 Q 的坐标为(x2,y2).
由已知有 y1>y2>0,故 1 2PQ sin AOQ y y .
又因为 2yAQ sin OAB
,而∠OAB= π
4
,故 22AQ y .
由 5 2
4
AQ sin AOQPQ
,可得 5y1=9y2.
由方程组 2 2{
19 4
y kx
x y
,
,
消去 x,可得 1 2
6
9 4
ky
k
.
易知直线 AB 的方程为 x+y–2=0,
由方程组{ 2 0
y kx
x y
,
,消去 x,可得 2
2
1
ky k
.
由 5y1=9y2,可得 5(k+1)= 23 9 4k ,
两边平方,整理得 256 50 11 0k k ,
解得 1
2k ,或 11
28k .
所以,k 的值为 1
2
或 11
28
.
12.(2018 年北京卷)已知抛物线 C:
=2px 经过点
(1,2).过点 Q(0,1)的直
线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N.
(Ⅰ)求直线 l 的斜率的取值范围;
(Ⅱ)设 O 为原点,
,
,求证:
为定值.
详解:解:(Ⅰ)因为抛物线 y2=2px 经过点 P(1,2),
所以 4=2p,解得 p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x.
由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0,
设直线 l 的方程为 y=kx+1(k≠0).
由
得
F
.
依题意
F
,解得 k<0 或 0