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- 2021-05-13 发布
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解析几何
一、填空题
1.(2007年)在平面直角坐标系xOY中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆上,则 。
2.(2008年)在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2c,以O为圆心,为半径作圆,若过作圆的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为
3.(2009年)如图,在平面直角坐标系中,为椭圆的四个顶点,为其右焦点,直线与直线相交于点T,线段与椭圆的交点恰为线段的中点,则该椭圆的离心率为 .
4.(2011年)在平面直角坐标系中,已知点P是函数的图象上的动点,该图象在P处的切线交y轴于点M,过点P作的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是_____________
12
5.(2012年)在平面直角坐标系中,圆C的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 .
二、解答题
1.(2007年)(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于AB两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线交于P,Q。
(1)若,求c的值;(5分)
(2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;(5分)
(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。(4分)
2.(2008年)在平面直角坐标系中,记二次函数()与两坐标轴有
三个交点.经过三个交点的圆记为.
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆的方程;
(3)问圆是否经过定点(其坐标与的无关)?请证明你的结论.
3.(2009年)(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,已知圆和圆.
12
(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。
4.(2010年)(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m>0,。
(1)设动点P满足,求点P的轨迹;
(2)设,求点T的坐标;
(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。
5.(2011年)(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,M、N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k
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(1)当直线PA平分线段MN时,求k的值;
(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;
(3)对任意k>0,求证:PA⊥PB
6.(2012年)(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线
与直线平行,与交于点P.
(i)若,求直线的斜率;
(ii)求证:是定值.
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答案
一、填空题
1.
2.
解析:设切线PA、PB 互相垂直,又半径OA 垂直于PA,所以△OAP 是等腰直角三角形,故,解得.
3.
解析: 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等。以及直线的方程。
直线的方程为:;
直线的方程为:。二者联立解得:,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则在椭圆上,
,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解得:
4.
解析:设则,过点P作的垂线
,
12
,所以,t在上单调增,在单调减,。
5.
解析:圆C的圆心为,半径为1;由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点;故存在,使得成立,即;而即为点C到直线的距离,故,解得,即k的最大值是.
二、解答题
1.(1)设直线AB的方程为y=kx+c,将该方程代入y=x2得x2-kx-c=0
令A(a,a2),B(b,b2),则ab=﹣c
因为,解得c=2,或c=﹣1(舍去)故c=2
(2)由题意知,直线AQ的斜率为
又r=x2的导数为r′=2x,所以点A处切线的斜率为2a
因此,AQ为该抛物线的切线
(3)(2)的逆命题成立,证明如下:
设Q(x0,﹣c)若AQ为该抛物线的切线,则kAQ=2a
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又直线AQ的斜率为,所以
得2ax0=a2+ab,因a≠0,有
2.本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.
(Ⅰ)令=0,得抛物线与轴交点是(0,b);
令,由题意b≠0 且Δ>0,解得b<1 且b≠0.
(Ⅱ)设所求圆的一般方程为
令=0 得这与=0 是同一个方程,故D=2,F=.
令=0 得=0,此方程有一个根为b,代入得出E=―b―1.
所以圆C 的方程为.
(Ⅲ)圆C 必过定点,证明如下:
假设圆C过定点 ,将该点的坐标代入圆C的方程,
并变形为 (*)
为使(*)式对所有满足的都成立,必须有,结合(*)式得
,解得
经检验知,点均在圆C上,因此圆C 过定点。
3.本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。
(1)设直线的方程为:,即
由垂径定理,得:圆心到直线的距离,
结合点到直线距离公式,得: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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化简得:
求直线的方程为:或,即或
(2) 设点P坐标为,直线、的方程分别为:
,即:
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得::圆心到直线与直线的距离相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故有:,
化简得:
关于的方程有无穷多解,有: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解之得:点P坐标为或。
4.本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
(1)设点P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。
由,得 化简得。
故所求点P的轨迹为直线。
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(2)将分别代入椭圆方程,以及得:M(2,)、N(,)
直线MTA方程为:,即,
直线NTB 方程为:,即。
联立方程组,解得:,
所以点T的坐标为。
(3)点T的坐标为
直线MTA方程为:,即,
直线NTB 方程为:,即。
分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,
解得:、。
(方法一)当时,直线MN方程为:
令,解得:。此时必过点D(1,0);
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当时,直线MN方程为:,与x轴交点为D(1,0)。
所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。
(方法二)若,则由及,得,
此时直线MN的方程为,过点D(1,0)。
若,则,直线MD的斜率,
直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点。
因此,直线MN必过轴上的点(1,0)。
5.(1)M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以
(2)由得,,AC方程:即:
所以点P到直线AB的距离
(3)法一:由题意设,
A、C、B三点共线,又因为点P、B在椭圆上,
,两式相减得:
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法二:设,
A、C、B三点共线,又因为点A、B在椭圆上,
,两式相减得:,
,
6.【命题意图】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.
【解析】(1)设题设知,,由点(1,)在椭圆上,
得=1,解得=1,于是,
又点(,)在椭圆上,∴=1,即,解得=2,
∴所求椭圆方程的方程是=1;
(2)由(1)知(-1,0),(1,0), ∵∥,
∴可设直线的方程为:,直线的方程为:,
设,,
由,得,解得,
故===, ①
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同理,=, ②
(ⅰ)由①②得-=,解得=得=2,
∵,∴,∴直线的斜率为.
(ⅱ)∵∥, ∴, ∴, ∴,
由B点在椭圆知,∴,同理,
∴==
由①②知,+=,×=,
∴==,∴是定值.
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