解析几何江苏高考 12页

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  • 2021-05-13 发布

解析几何江苏高考

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解析几何 一、填空题 ‎1.(2007年)在平面直角坐标系xOY中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆上,则 。‎ ‎2.(2008年)在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2c,以O为圆心,为半径作圆,若过作圆的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为 ‎ ‎3.(2009年)如图,在平面直角坐标系中,为椭圆的四个顶点,为其右焦点,直线与直线相交于点T,线段与椭圆的交点恰为线段的中点,则该椭圆的离心率为 . ‎ ‎4.(2011年)在平面直角坐标系中,已知点P是函数的图象上的动点,该图象在P处的切线交y轴于点M,过点P作的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是_____________‎ 12‎ ‎5.(2012年)在平面直角坐标系中,圆C的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 .‎ 二、解答题 ‎1.(2007年)(本小题满分14分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于AB两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线交于P,Q。‎ ‎(1)若,求c的值;(5分)‎ ‎(2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;(5分)‎ ‎(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。(4分)‎ ‎2.(2008年)在平面直角坐标系中,记二次函数()与两坐标轴有 三个交点.经过三个交点的圆记为.‎ ‎(1)求实数b的取值范围;‎ ‎(2)求圆的方程;‎ ‎(3)问圆是否经过定点(其坐标与的无关)?请证明你的结论.‎ ‎3.(2009年)(本小题满分16分) ‎ 在平面直角坐标系中,已知圆和圆.‎ 12‎ ‎(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;‎ ‎(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。‎ ‎4.(2010年)(本小题满分16分)‎ 在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m>0,。‎ ‎(1)设动点P满足,求点P的轨迹;‎ ‎(2)设,求点T的坐标;‎ ‎(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。‎ ‎5.(2011年)(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,M、N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k 12‎ ‎(1)当直线PA平分线段MN时,求k的值;‎ ‎(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;‎ ‎(3)对任意k>0,求证:PA⊥PB ‎ ‎ ‎6.(2012年)(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线 与直线平行,与交于点P.‎ ‎(i)若,求直线的斜率;‎ ‎(ii)求证:是定值.‎ 12‎ 答案 一、填空题 ‎1.‎ ‎2.‎ 解析:设切线PA、PB 互相垂直,又半径OA 垂直于PA,所以△OAP 是等腰直角三角形,故,解得.‎ ‎3.‎ 解析: 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等。以及直线的方程。‎ 直线的方程为:;‎ 直线的方程为:。二者联立解得:,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 则在椭圆上,‎ ‎,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解得:‎ ‎4.‎ 解析:设则,过点P作的垂线 ‎,‎ 12‎ ‎,所以,t在上单调增,在单调减,。‎ ‎5.‎ 解析:圆C的圆心为,半径为1;由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点;故存在,使得成立,即;而即为点C到直线的距离,故,解得,即k的最大值是.‎ 二、解答题 ‎1.(1)设直线AB的方程为y=kx+c,将该方程代入y=x2得x2-kx-c=0‎ 令A(a,a2),B(b,b2),则ab=﹣c ‎ 因为,解得c=2,或c=﹣1(舍去)故c=2‎ ‎(2)由题意知,直线AQ的斜率为 又r=x2的导数为r′=2x,所以点A处切线的斜率为2a 因此,AQ为该抛物线的切线 ‎(3)(2)的逆命题成立,证明如下:‎ 设Q(x0,﹣c)若AQ为该抛物线的切线,则kAQ=2a 12‎ 又直线AQ的斜率为,所以 得2ax0=a2+ab,因a≠0,有 ‎2.本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.‎ ‎(Ⅰ)令=0,得抛物线与轴交点是(0,b);‎ 令,由题意b≠0 且Δ>0,解得b<1 且b≠0.‎ ‎(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 令=0 得这与=0 是同一个方程,故D=2,F=.‎ 令=0 得=0,此方程有一个根为b,代入得出E=―b―1.‎ 所以圆C 的方程为.‎ ‎(Ⅲ)圆C 必过定点,证明如下:‎ 假设圆C过定点 ,将该点的坐标代入圆C的方程,‎ 并变形为 (*)‎ 为使(*)式对所有满足的都成立,必须有,结合(*)式得 ‎,解得 经检验知,点均在圆C上,因此圆C 过定点。‎ ‎3.本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。‎ ‎(1)设直线的方程为:,即 由垂径定理,得:圆心到直线的距离,‎ 结合点到直线距离公式,得: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 12‎ 化简得:‎ 求直线的方程为:或,即或 ‎(2) 设点P坐标为,直线、的方程分别为:‎ ‎,即:‎ 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得::圆心到直线与直线的距离相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故有:,‎ 化简得:‎ 关于的方程有无穷多解,有: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解之得:点P坐标为或。‎ ‎4.本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。‎ ‎(1)设点P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。‎ 由,得 化简得。‎ 故所求点P的轨迹为直线。‎ 12‎ ‎(2)将分别代入椭圆方程,以及得:M(2,)、N(,)‎ 直线MTA方程为:,即,‎ 直线NTB 方程为:,即。‎ 联立方程组,解得:,‎ 所以点T的坐标为。‎ ‎(3)点T的坐标为 直线MTA方程为:,即,‎ 直线NTB 方程为:,即。‎ 分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,‎ 解得:、。‎ ‎(方法一)当时,直线MN方程为:‎ ‎ 令,解得:。此时必过点D(1,0);‎ 12‎ 当时,直线MN方程为:,与x轴交点为D(1,0)。‎ 所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。‎ ‎(方法二)若,则由及,得,‎ 此时直线MN的方程为,过点D(1,0)。‎ 若,则,直线MD的斜率,‎ 直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点。‎ 因此,直线MN必过轴上的点(1,0)。‎ ‎5.(1)M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以 ‎(2)由得,,AC方程:即:‎ 所以点P到直线AB的距离 ‎(3)法一:由题意设,‎ A、C、B三点共线,又因为点P、B在椭圆上,‎ ‎,两式相减得:‎ 12‎ 法二:设,‎ A、C、B三点共线,又因为点A、B在椭圆上,‎ ‎,两式相减得:,‎ ‎,‎ ‎6.【命题意图】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎【解析】(1)设题设知,,由点(1,)在椭圆上,‎ 得=1,解得=1,于是,‎ 又点(,)在椭圆上,∴=1,即,解得=2,‎ ‎∴所求椭圆方程的方程是=1;‎ ‎(2)由(1)知(-1,0),(1,0), ∵∥, ‎ ‎ ∴可设直线的方程为:,直线的方程为:,‎ 设,,‎ 由,得,解得,‎ 故===, ①‎ 12‎ 同理,=, ②‎ ‎(ⅰ)由①②得-=,解得=得=2,‎ ‎∵,∴,∴直线的斜率为.‎ ‎(ⅱ)∵∥, ∴, ∴, ∴,‎ 由B点在椭圆知,∴,同理,‎ ‎∴==‎ 由①②知,+=,×=,‎ ‎∴==,∴是定值.‎ 12‎