高考全国卷一理科数学含答案 17页

绝密★启用前 ‎ 2018年普通高等学校招生全国统一考试 ‎ ‎(新课标Ⅰ卷)‎ 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设，则（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎2．已知集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：‎ 则下面结论中不正确的是（ ）‎ A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎4．记为等差数列的前项和．若，，则（ ）‎ A． B． C． D．12‎ ‎5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，‎ 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（ ）‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若满足约束条件，则的最大值为________．‎ ‎14．记为数列的前项和．若，则________．‎ ‎15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）‎ ‎16．已知函数，则的最小值是________．‎ 三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 在平面四边形中，，，，．‎ ‎⑴求；‎ ‎⑵若，求．‎ ‎18．（12分）‎ 如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．‎ ‎⑴证明：平面平面；‎ ‎⑵求与平面所成角的正弦值．‎ ‎19．（12分）‎ 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．‎ ‎⑴当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎⑵设为坐标原点，证明：．‎ ‎20．（12分）‎ 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．‎ ‎⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；‎ ‎⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．‎ ‎（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；‎ ‎（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎⑴讨论的单调性；‎ ‎⑵若存在两个极值点，，证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎⑴求的直角坐标方程；‎ ‎⑵若与有且仅有三个公共点，求的方程．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知．‎ ‎⑴当时，求不等式的解集；‎ ‎⑵若时不等式成立，求的取值范围．‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 ‎ ‎(新课标Ⅰ卷)‎ 理 数 答 案 一、选择题 ‎1.答案：‎ C 解答：‎ ‎，∴，∴选C.‎ ‎2.答案：‎ B 解答：‎ 或，则.‎ ‎3.答案：‎ A 解答：‎ 假设建设前收入为，则建设后收入为，所以种植收入在新农村建设前为%，新农村建设后为；其他收入在新农村建设前为，新农村建设后为，养殖收入在新农村建设前为，新农村建设后为 故不正确的是A.‎ ‎4.答案：‎ B 解答：‎ ‎，∴.‎ ‎5.答案：‎ D 解答：‎ ‎∵为奇函数，∴，即，∴，∴，∴切线方程为：，∴选D.‎ ‎6.答案：‎ A 解答：‎ ‎.‎ ‎7.答案：‎ B 解答：‎ 三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为连线的距离，所以，所以选B.‎ ‎8.答案：‎ D 解答：‎ 由题意知直线的方程为，设，与抛物线方程联立有，可得或，‎ ‎∴，∴.‎ ‎9.答案：‎ C 解答：‎ ‎∵存在个零点，即与有两个交点，的图象如下：‎ 要使得与有两个交点，则有即，∴选C.‎ ‎10.答案：‎ A 解答：‎ 取,则，‎ ‎∴区域Ⅰ的面积为，区域Ⅲ的面积为，‎ 区域Ⅱ的面积为，故.‎ ‎11.答案：‎ B 解答：‎ 渐近线方程为：，即，∵为直角三角形，假设，如图，∴，直线方程为.联立∴，即，∴，∴，故选B.‎ ‎12.答案：‎ A 解答：‎ 由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面中存在平面与平面平行（如图），而在与平面平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面，而平面的面积.‎ 二、填空题 ‎13.答案：‎ 解答：‎ 画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最大值，.‎ ‎14.答案：‎ 解答：‎ 依题意，作差得，所以为公比为的等比数列，又因为，所以，所以，所以.‎ ‎15.答案：‎ 解答：‎ 恰有位女生，有种；‎ 恰有位女生，有种，∴不同的选法共有种.‎ ‎16.答案：‎ 解答：‎ ‎∵，∴最小正周期为，∴，令，即，∴或.‎ ‎∴当，为函数的极小值点，即或,‎ 当 ‎∴.，，‎ ‎∴最小值为.‎ 三、解答题 ‎17.‎ 答案：‎ ‎（1）；（2）5.‎ 解答：‎ ‎（1）在中，由正弦定理得：,∴, ∵,∴.‎ ‎（2）,∴，∴,∴,∴.∴.‎ ‎18.‎ 答案：‎ ‎（1）略；（2）.‎ 解答：‎ ‎（1）分别为的中点，则，∴，‎ 又，，∴平面，‎ 平面，∴平面平面.‎ ‎（2），，∴，‎ 又，，∴平面，∴，‎ 设，则，，∴，‎ 过作交于点，‎ 由平面平面，‎ ‎∴平面，连结，‎ 则即为直线与平面所成的角，‎ 由，∴，‎ 而，∴，‎ ‎∴与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.‎ 答案：‎ ‎（1）；（2）略.‎ 解答：‎ ‎（1）如图所示，将代入椭圆方程得，得，∴，∴，∴直线的方程为：.‎ ‎（2）证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当 斜率存在时，设其方程为，，联立椭圆方程有即，∴，，，∴，∴.‎ ‎20. ‎ 答案：‎ 略 解答：‎ ‎（1）由题可知（）.‎ ‎∴‎ ‎∴当时，，即在上递增；当时，，即在上递减.‎ ‎∴在点处取得最大值，即.‎ ‎（2）（i）设余下产品中不合格品数量为，则，由题可知，∴.‎ ‎∴（元）.‎ ‎（ii）由（i）可知一箱产品若全部检验只需花费元，若余下的不检验则要元，所以应该对余下的产品作检验.‎ ‎21.‎ 答案：‎ ‎（1）见解析；（2）见解析.‎ 解答：‎ ‎（1）①∵，∴，∴当时，，，∴此时在上为单调递增.‎ ‎②∵，即或，此时方程两根为，当时，此时两根均为负，∴在上单调递减.当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.∴综上可得，时，在上单调递减；时，在，上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）由（1）可得，两根得，，令，∴，.∴，要证成立，即要证成立，∴，‎ 即要证()‎ 令，可得在上为增函数，∴，∴成立，即成立.‎ ‎22.‎ 答案：‎ ‎（1）；（2）‎ 解答：‎ ‎（1）由可得：，化为.‎ ‎（2）与有且仅有三个公共点，说明直线与圆相切，圆圆心为，半径为，则，解得，故的方程为.‎ ‎23.‎ 答案：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ 解答：‎ ‎（1）当时，，‎ ‎∴的解集为.‎ ‎（2）当时，，当时，不成立.‎ 当时，，∴，不符合题意.‎ 当时，，成立.‎ 当时，，∴，即.‎ 综上所述，的取值范围为.‎