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- 2021-05-13 发布
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2011年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)
本试卷共5页,150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.已知集合P={x︱x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是
A.(-∞, -1] B.[1, +∞)
C.[-1,1] D.(-∞,-1] ∪[1,+∞)
2.复数
A.i B.-i C. D.
3.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A. B.
C. (1,0) D.(1,)
4.执行如图所示的程序框图,输出的s值为
A.-3
B.-
C.
D.2
5.如图,AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F,
延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论:
①AD+AE=AB+BC+CA;
②AF·AG=AD·AE
③△AFB ~△ADG
其中正确结论的序号是
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
6.根据统计,一名工作组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为 (A,C为常数)。已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么C和A的值分别是
A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16
7.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是
A.8 B. C.10 D.
8.设,,,.记为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数的值域为
A. B.
C. D.
第二部分 (非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
9.在中。若b=5,,tanA=2,则sinA=____________;a=_______________。
10.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,)。若a-2b与c共线,则k=___________________。
11.在等比数列{an}中,a1=,a4=-4,则公比q=______________;____________。
12.用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有__________个。(用数字作答)
13.已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根,则数k的取值范围是_______
14.曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F¬2(1,0)的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论:
① 曲线C过坐标原点;
② 曲线C关于坐标原点对称;
③若点P在曲线C上,则△FPF的面积大于a。
其中,所有正确结论的序号是 。
三、解答题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
15.(本小题共13分)
已知函数。
(Ⅰ)求的最小正周期:
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值。
16.(本小题共14分)
如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,.
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)若求与所成角的余弦值;
(Ⅲ)当平面与平面垂直时,求的长.
17.本小题共13分
以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示。
(Ⅰ)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;
(Ⅱ)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
(注:方差,其中为,,…… 的平均数)
18.(本小题共13分)
已知函数。
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若对于任意的,都有≤,求的取值范围。
19.(本小题共14分)
已知椭圆.过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A,B两点.
(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(II)将表示为m的函数,并求的最大值.
20.(本小题共13分)
若数列满足,数列为数列,记=.
(Ⅰ)写出一个满足,且〉0的数列;
(Ⅱ)若,n=2000,证明:E数列是递增数列的充要条件是=2011;
(Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列,使得=0?如果存在,写出一个满足条件的E数列;如果不存在,说明理由。
参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)C (2)A (3)B (4)D
(5)A (6)D (7)C (8)C
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9) (10)1
(11)—2 (12)14
(13)(0,1) (14)②③
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:(Ⅰ)因为
所以的最小正周期为
(Ⅱ)因为
于是,当时,取得最大值2;
当取得最小值—1.
(16)(共14分)
证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形,
所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD.
所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面PAC.
(Ⅱ)设AC∩BD=O.
因为∠BAD=60°,PA=PB=2,
所以BO=1,AO=CO=.
如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O—xyz,则
P(0,—,2),A(0,—,0),B(1,0,0),C(0,,0).
所以
设PB与AC所成角为,则
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
设P(0,-,t)(t>0),
则
设平面PBC的法向量,
则
所以
令则
所以
同理,平面PDC的法向量
因为平面PCB⊥平面PDC,
所以=0,即
解得
所以PA=
(17)(共13分)
解(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,
所以平均数为
方差为
(Ⅱ)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)=
同理可得
所以随机变量Y的分布列为:
Y
17
18
19
20
21
P
EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)=17×+18×+19×+20×+21×
=19
(18)(共13分)
解:(Ⅰ)
令,得.
当k>0时,的情况如下
x
()
(,k)
k
+
0
—
0
+
↗
↘
0
↗
所以,的单调递减区间是()和;单高层区间是当k<0时,的情况如下
x
()
(,k)
k
—
0
+
0
—
↘
0
↗
↘
所以,的单调递减区间是()和;单高层区间是
(Ⅱ)当k>0时,因为,所以不会有
当k<0时,由(Ⅰ)知在(0,+)上的最大值是
所以等价于
解得.
故当时,k的取值范围是
(19)(共14分)
解:(Ⅰ)由已知得
所以
所以椭圆G的焦点坐标为
离心率为
(Ⅱ)由题意知,.
当时,切线l的方程,点A、B的坐标分别为
此时
当m=-1时,同理可得
当时,设切线l的方程为
由
设A、B两点的坐标分别为,则
又由l与圆
所以
由于当时,
所以.
因为
且当时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.
(20)(共13分)
解:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。
(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)
(Ⅱ)必要性:因为E数列A5是递增数列,
所以.
所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.
所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.
充分性,由于a2000—a1000≤1,
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999.
又因为a1=12,a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故是递增数列.
综上,结论得证。
(Ⅲ)令
因为
……
所以
因为
所以为偶数,
所以要使为偶数,
即4整除.
当
时,有
当的项满足,
当不能被4整除,此时不存在E数列An,
使得