2011高考数学数列专题突破 89页

‎ 第一部分 等差数列、等比数列的概念及求和 一、选择题 ‎1.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= ‎ A. B. C. D.2 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B ‎2.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7‎ ‎【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B。‎ ‎【答案】B ‎3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 ‎ A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得得,再由得 则,所以,.故选C ‎4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于( )‎ A．13 B．35 C．49 D． 63 ‎ ‎【解析】故选C.‎ 或由, ‎ ‎ 所以故选C.‎ ‎5.（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于 A．1 B C.- 2 D 3‎ ‎【答案】：C ‎[解析]∵且.故选C ‎ ‎6.（2009辽宁卷文）已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝‎ A.－2 B.－ C. D.2‎ ‎【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－‎ ‎【答案】B ‎7.（2009四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 ‎ A. 90 B. 100 C. 145 D. 190‎ ‎【答案】B ‎【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝100‎ ‎8.（2009宁夏海南卷文）等差数列的前n项和为，已知，,则 A.38 B.20 C.10 D.9 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。‎ ‎9..（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和 二、填空题 ‎10.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则= ‎ 答案 24‎ 解析 是等差数列,由,得 ‎. ‎ ‎11.（2009浙江理）设等比数列的公比，前项和为，则 ．‎ 答案：15‎ 解析 对于 ‎12.（2009北京文）若数列满足：，则 ；前8项的和 .（用数字作答）‎ 答案 225‎ ‎.解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎，‎ 易知，∴应填255.‎ ‎13.（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{}的前n项和为。若，则= × ‎ 答案：3‎ 解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=3‎ ‎14.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列的前项和为，若则 ‎ 解析 为等差数列，‎ 答案 9‎ ‎15.（2009辽宁卷理）等差数列的前项和为，且则 ‎ 解析 ∵Sn＝na1＋n(n－1)d ‎ ‎ ∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d ‎ ∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎16.（2009浙江文）设为数列的前项和，，，其中是常数．‎ ‎ （I） 求及；‎ ‎ （II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．‎ 解（Ⅰ）当，‎ ‎（）‎ ‎ 经验，（）式成立， ‎ ‎（Ⅱ）成等比数列，，‎ 即，整理得：，‎ 对任意的成立， ‎ ‎17.（2009北京文）设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；‎ ‎（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、‎ 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.‎ 解（Ⅰ）由题意，得，解，得. ‎ ‎∴成立的所有n中的最小整数为7，即.‎ ‎（Ⅱ）由题意，得，‎ 对于正整数，由，得.‎ 根据的定义可知 当时，；当时，.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.‎ ‎∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有 ‎，即对任意的正整数m都成立.‎ ‎ 当（或）时，得（或），‎ ‎ 这与上述结论矛盾！‎ 当，即时，得，解得.‎ ‎∴ 存在p和q，使得；‎ p和q的取值范围分别是，..‎ ‎18.(2009山东卷文)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. ‎ ‎（1）求r的值； ‎ ‎（11）当b=2时，记 求数列的前项和 解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,‎ 当时,, ‎ 当时,,‎ 又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以 ‎（2）当b=2时，, ‎ 则 ‎ ‎ 相减,得 所以 ‎【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.‎ ‎19.（2009全国卷Ⅱ文）已知等差数列{}中，求{}前n项和. ‎ 解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。‎ 解：设的公差为，则 ‎ 即 解得 因此 ‎20.（2009安徽卷文）已知数列{} 的前n项和，数列{}的前n项和 ‎（Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：当且仅当n≥3时，＜ ‎ ‎【思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。‎ ‎【解析】(1)由于 当时, ‎ 又当时 数列项与等比数列,其首项为1,公比为 ‎ ‎(2)由(1)知 由即即 又时成立,即由于恒成立. ‎ 因此,当且仅当时, ‎ ‎21.（2009江西卷文）数列的通项，其前n项和为. ‎ ‎(1) 求; ‎ ‎(2) 求数列｛｝的前n项和.‎ 解: (1) 由于,故 ‎,‎ 故 ()‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ 两式相减得 故 ‎ ‎22. （2009天津卷文）已知等差数列的公差d不为0，设 ‎（Ⅰ）若 ,求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若成等比数列，求q的值。‎ ‎（Ⅲ）若 ‎（1）解：由题设，‎ 代入解得，所以 ‎ ‎（2）解：当成等比数列，所以，即，注意到，整理得 ‎（3）证明：由题设，可得，则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①-②得，‎ ‎①+②得，‎ ‎ ③‎ ‎③式两边同乘以 q，得 所以 ‎（3）证明：‎ ‎=‎ 因为，所以 若，取i=n，‎ 若，取i满足，且，‎ 由（1）（2）及题设知，，且 ‎ ‎ ① 当时，，由，‎ 即，‎ 所以 因此 ① 当时，同理可得因此 ‎ 综上，‎ ‎【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。‎ ‎23. （2009全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为 已知 ‎（I）设，证明数列是等比数列 ‎ ‎（II）求数列的通项公式。‎ 解：（I）由及，有 由，．．．① 　则当时，有．．．．．②‎ ‎②－①得 又，是首项，公比为２的等比数列．‎ ‎（II）由（I）可得，‎ 数列是首项为，公差为的等比数列．‎ ‎， ‎ 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找．‎ 第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．‎ 总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I 还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。‎ ‎24. （2009辽宁卷文）等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 ‎（1）求{}的公比q；‎ ‎（2）求－＝3，求 ‎ 解：（Ⅰ）依题意有 ‎ ‎ 由于 ，故 ‎ ‎ ‎ 又，从而 5分 ‎ （Ⅱ）由已知可得 ‎ 故 ‎ 从而 10分 ‎25. （2009陕西卷文）已知数列满足， .‎ 令，证明：是等比数列；‎ ‎ (Ⅱ)求的通项公式。‎ ‎（1）证 当时，‎ 所以是以1为首项，为公比的等比数列。‎ ‎（2）解由（1）知 当时，‎ 当时，。‎ 所以。‎ ‎26.（2009湖北卷文）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，‎ 且满足a3a6＝55, a2+a7＝16.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝，求数列{bn}的前n项和Sn ‎ 解（1）解：设等差数列的公差为d，则依题设d>0 ‎ 由a2+a7＝16.得 ①‎ 由得 ②‎ 由①得将其代入②得。即 ‎ ‎ ‎（2）令 两式相减得 于是 ‎=-4=‎ ‎27. （2009福建卷文）等比数列中，已知 ‎ ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。‎ 解：（I）设的公比为 由已知得，解得 ‎（Ⅱ）由（I）得，，则，‎ ‎ 设的公差为，则有解得 ‎ 从而 ‎ 所以数列的前项和 ‎28（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）‎ 已知．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：；‎ ‎（Ⅲ）求证：．‎ 解：（Ⅰ），所以 ‎（Ⅱ）由得即 所以当时，于是 所以 ‎ ‎（Ⅲ）当时，结论成立 当时，有 所以 ‎ ‎ ‎ ‎2005——2008年高考题 一、选择题 ‎1.（2008天津）若等差数列的前5项和，且，则( )‎ A.12　　 　 　B.13　　　 　　C.14　　 　　 D.15‎ 答案 B ‎2.（2008陕西）已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）‎ A．64 B．100 C．110 D．120‎ 答案 B ‎3.（2008广东）记等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A．16 B．24 C．36 D．48‎ 答案 D ‎ ‎4.（2008浙江）已知是等比数列，，则=（ ）‎ A.16（） B.6（） ‎ C.（） D.（）‎ 答案 C ‎5.（2008四川）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()‎ A.　　　　　 B.　‎ C.　　　　　 D.‎ 答案 D ‎6.（2008福建)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为( )‎ A.63 B.64 C.127 D.128‎ 答案 C ‎7.（2007重庆）在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．8‎ 答案 A ‎ ‎8.（2007安徽）等差数列的前项和为若（　　）‎ A．12 B．10 C．8 D．6‎ 答案 B ‎9.（2007辽宁）设等差数列的前项和为，若，，则（　　）‎ A．63 B．45 C．36 D．27‎ 答案 B ‎10.(2007湖南) 在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案 B ‎11.(2007湖北)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 答案 D ‎12.(2007宁夏)已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．‎ 答案 D ‎13.(2007四川)等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（　　）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ 答案 B ‎14.（2006湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且，则 A．4 B．2 C．－2 D．－4‎ 答案 D 解析 由互不相等的实数成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D ‎15.（2005福建）已知等差数列中，的值是 （ ）‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ 答案 A ‎16.（2005江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=( )‎ A .33 B. 72 C. 84 D .189‎ 答案 C 二、填空题 ‎17.（2008四川）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为______.‎ 答案 4‎ ‎18.（2008重庆)设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .‎ 答案 -72‎ ‎19.(2007全国I) 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．‎ 答案 ‎ ‎20.（2007江西）已知等差数列的前项和为，若，则 ．‎ 答案 7‎ ‎21.（2007北京）若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．‎ 答案 ‎ ‎22.（2006湖南）数列满足：，2，3….则　　　　　　. ‎ 答案 ‎ 解析 数列满足： ，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，‎ ‎∴ .‎ 三、解答题 ‎23.（2008四川卷）． 设数列的前项和为，已知 ‎（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式 解 由题意知，且 两式相减得 即 ①‎ ‎（Ⅰ）当时，由①知 于是 ‎ ‎ 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。‎ ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即 ‎ 当时，由由①得 因此 得 ‎24.（2008江西卷）数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证.‎ 解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，‎ ‎，‎ 依题意有①‎ 由知为正有理数，故为的因子之一，‎ 解①得 故 ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎25..（2008湖北）.已知数列和满足：‎ ‎,其中为实数，为正整数.‎ ‎（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有 ‎?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即 矛盾.‎ 所以｛an｝不是等比数列.‎ ‎(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)‎ ‎=(-1)n·（an-3n+21）=-bn 又b1x-(λ+18),所以 当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：‎ 当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).‎ 故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.‎ ‎(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.‎ ‎∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得 Sn=-‎ 要使a3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.‎ 且…………………………13分 ‎2007——2008年联考题 一、选择题 ‎1.（ 上海市部分重点中学高三第一次联考） 等差数列的前n项和当首项和公差d变化时，若是一个定值，则下列各数中为定值的是―――――――――（ ）‎ ‎ A、 B.S C、 D、‎ 答案 B ‎2.(山东省潍坊市2007—2008学年度高三第一学期期末考试) 各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（ ） ‎ ‎ A． B． C. D．或 答案 C ‎3.(湖南省2008届十二校联考第一次考试)在等比数列 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案 D ‎4. (200８年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）)正项等比数列满足,,,则数列的前10项和是 A．65 　　 B．－65 　 C．25 　　D. －25‎ 答案 D ‎5.. (上海市嘉定一中2007学年第一学期高三年级测试（二）) 等差数列{an}共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为 （ ） ‎ ‎ A．3 B－3 C．－2 D．－1‎ 答案 B 二、填空题 ‎6.（江苏省省阜中2008届高三第三次调研考试数学） 在等差数列中，若它的前n项和有最大值，则使取得最小正数的 . ‎ 答案19‎ ‎7.（2007—2008学年湖北省黄州西湖中学二月月考试卷）为等差数列的前n项和，若，则= ．‎ 答案 4‎ 解析： 由，即 ，得．‎ ‎，．故=4．‎ ‎8.（山东省潍坊市2008年高三教学质量检测） 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则S19=______________．‎ 答案 190‎ ‎9.(江西省临川一中2008届高三模拟试题)等差数列有如下性质，若数列是等差数列，则当 也是等差数列；类比上述性质，相应地是正项等比数列，当数列 时，数列也是等比数列。 ‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎10..（2008江苏省阜中2008届高三第三次调研考试试题）设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①； ② M是与n无关的常数．‎ ‎(1)若{}是等差数列，是其前n项的和，=4，=18，试探究与集合W 之间的关系；‎ ‎(2)设数{}的通项为，求M的取值范围；(4分)‎ 解 (1)设等差数列的公差是d ，则a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d =－2， ‎ 所以，(2分)，‎ 得适合条件①. (4分)；‎ 又，‎ 所以当n = 4或5时，Sn取得最大值20，即Sn ≤ 20，适合条件②， (3分)，‎ 综上，{}. (1分)‎ ‎(2)因为，(2分)，‎ 所以当n≥3时，，此时数列{bn}单调递减；(1分)‎ 当n = 1，2时，，即b1＜b2＜b3，‎ 因此数列{bn}中的最大项是b3=7，所以M≥7．(3分)‎ ‎11.(山东省潍坊市2007—2008学年度高三第一学期期末考试)已知数列，设 ，数列。‎ ‎ （1）求证：是等差数列；‎ ‎ （2）求数列的前n项和Sn；‎ ‎ （3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。‎ 解：（1）由题意知，……………………1分 ‎∴数列的等差数列……………………4分 ‎（2）由（1）知，‎ ‎…………………………5分 于是 两式相减得 ‎……………………8分 ‎（3）‎ ‎∴当n=1时，‎ 当 ‎∴当n=1时，取最大值是 又 即……………………12分 ‎12.(武汉市2008届高中毕业生二月调研测试文科数学试题)设数列的前n项和，。‎ ‎（1）求数列的通项公式；(2)记，求数列前n项和 解：（1）数列的前n项之和 在n=1时，‎ 在时，‎ 而n=1时，满足 故所求数列通项………………………………（7分）‎ ‎（2）∵‎ 因此数列的前n项和………………………（12分）‎ ‎13.(2007届岳阳市一中高三数学能力题训练汇编)已知点都在直线上，为直线与轴的交点，数列成等差数列，公差为1.　（）‎ ‎(1)求数列，的通项公式；‎ ‎(2)若 ， 问是否存在，使得成立；若存在，求出的值，若不存在，说明理由.‎ ‎(3)求证： …… + (2, )‎ 解 (1) ‎ ‎(2) ‎ 假设存在符合条件的 ‎(ⅰ)若为偶数，则为奇数，有 如果，则与为偶数矛盾.不符舍去；‎ ‎(ⅱ) 若为奇数，则为偶数，有 这样的也不存在.‎ 综上所述：不存在符合条件的.‎ ‎(3) ‎ ‎ ‎ 第二节 数列的应用 一、选择题 ‎1.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时， ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】由得，，则， ，选C. ‎ 答案 C ‎2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 = ‎ A. 2 B. C. D.3‎ ‎【解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3 Þ q3＝2‎ ‎ 于是 ‎ ‎【答案】B ‎3.（2009宁夏海南卷理）等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=( )‎ A.7 B.8 C.15 D.16‎ ‎【解析】4，2，成等差数列，,选C.‎ ‎【答案】 C ‎4.（2009湖北卷文）设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，[],‎ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】可分别求得，.则等比数列性质易得三者构成等比数列.‎ ‎5.（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： ‎ ‎ ‎ 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C.‎ ‎6..（2009安徽卷理）已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 ‎ A.21 B.20 C.19 D. 18 ‎ ‎【答案】 B ‎【解析】由++=105得即，由=99得即 ，∴，，由得，选B ‎7.（2009江西卷理）数列的通项，其前项和为，则为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】 A ‎【解析】由于以3 为周期,故 故选A ‎8.（2009四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 ‎ A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝10‎ 二、填空题 ‎9.（2009浙江文）设等比数列的公比，前项和为，则 ．‎ ‎【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前项和的知识联系．‎ 答案 15‎ 解析 对于 ‎ ‎10.（2009浙江文）设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列．‎ ‎【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 答案： ‎ 解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．‎ ‎11.（2009北京理）已知数列满足：则________；=_________.‎ 答案 1，0‎ 解析 本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.‎ 依题意，得，. ‎ ‎∴应填1，0.‎ ‎12..（2009江苏卷）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则 ‎= . ‎ 答案 -9‎ 解析 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 ‎ 有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -9‎ ‎13.(2009山东卷文)在等差数列中,,则.‎ 解析 设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以. ‎ 答案:13.‎ ‎【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.‎ ‎14.(2009湖北卷理)已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。 ‎ 答案 4 5 32‎ 解析 （1）若为偶数，则为偶, 故 ‎①当仍为偶数时， 故 ‎②当为奇数时，‎ 故得m=4。‎ ‎（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数 ‎，所以=1可得m=5‎ ‎15.（2009宁夏海南卷理）等差数列{}前n项和为。已知+-=0，‎ ‎=38,则m=_______‎ 解析由+-=0得到。‎ 答案10‎ ‎16.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则 . ‎ 解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.‎ 答案:2n ‎17.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,若,则 .‎ 答案：1‎ ‎18.（2009宁夏海南卷文）等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和= ‎ 解析 由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。‎ 答案 ‎ ‎19.(2009湖南卷理)将正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿‎ ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2) ‎ 答案 ‎ 解析 当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知 ‎ ‎ 即 进一步可求得。由上知中有三个数，中 有6个数，中共有10个数相加 ，中有15个数相加….，若中有个数相加，可得中有个数相加，且由 可得所以 ‎=‎ ‎20.（2009重庆卷理）设，，，，则数列的通项公式= ． ‎ 解析 由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则 答案 2n+1‎ 三、解答题 ‎21.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）‎ 已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少? ‎ 解（1）, ‎ ‎ ,,‎ ‎ .‎ 又数列成等比数列， ，所以 ；‎ 又公比，所以 ；‎ ‎ ‎ 又,, ；‎ 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， ‎ 当， ；‎ ‎()；‎ ‎（2）‎ ‎ ；‎ ‎ 由得，满足的最小正整数为112.‎ ‎22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，‎ ‎（I）设，求数列的通项公式 ‎（II）求数列的前项和 分析：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()‎ ‎（II）由（I）知,‎ ‎=‎ 而,又是一个典型的错位相减法模型，‎ 易得 =‎ 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。‎ ‎23.（2009北京理）已知数集具有性质；对任意的 ‎，与两数中至少有一个属于.‎ ‎（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）证明：，且；‎ ‎（Ⅲ）证明：当时，成等比数列.‎ ‎【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.‎ ‎（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.‎ ‎ 由于都属于数集，‎ ‎ ∴该数集具有性质P.‎ ‎（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，‎ 由于，∴，故. ‎ 从而，∴.‎ ‎∵， ∴，故.‎ 由A具有性质P可知.‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 从而，‎ ‎∴. ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，‎ ‎ ∵，∴，∴，‎ 由A具有性质P可知.‎ ‎ ，得，且，∴，‎ ‎∴，即是首项为1，公比为成等比数列..k.s.5.‎ ‎24.（2009江苏卷）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。‎ ‎（1）求数列的通项公式及前项和； ‎ ‎（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 ‎ ‎【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。‎ ‎（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,‎ ‎(2) （方法一）=,设， ‎ 则=, 所以为8的约数 ‎（方法二）因为为数列中的项，‎ 故为整数，又由（1）知：为奇数，所以 经检验，符合题意的正整数只有。 ‎ ‎25（2009江苏卷）对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）求证：对任意正整数≥2，有.‎ ‎【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。‎ ‎ ‎ ‎26.（2009山东卷理)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.‎ ‎（1）求r的值； ‎ ‎（11）当b=2时，记 ‎ 证明：对任意的 ，不等式成立 解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,‎ ‎（2）当b=2时，, ‎ 则,所以 ‎ 下面用数学归纳法证明不等式成立.‎ ① 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.‎ ② 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=‎ 所以当时,不等式也成立. ‎ 由①、②可得不等式恒成立.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.‎ ‎27.（2009广东卷理）知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：.‎ 解：（1）设直线：，联立得，则，∴（舍去） ‎ ‎，即，∴‎ ‎（2）证明：∵ ‎ ‎∴‎ 由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，‎ 则有，即. ‎ ‎28（2009安徽卷理）首项为正数的数列满足 ‎ ‎（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；‎ ‎（II）若对一切都有，求的取值范围.‎ 解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。‎ 解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，‎ 则由递推关系得是奇数。 ‎ 根据数学归纳法，对任何，都是奇数。‎ ‎（II）（方法一）由知，当且仅当或。‎ 另一方面，若则；若，则 根据数学归纳法，‎ 综合所述，对一切都有的充要条件是或。‎ ‎（方法二）由得于是或。‎ ‎ ‎ 因为所以所有的均大于0，因此与同号。‎ 根据数学归纳法，，与同号。 ‎ 因此，对一切都有的充要条件是或。‎ ‎29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有 ‎（1）当时，求通项 ‎ ‎（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有 解：（1）由得 将代入化简得 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 故数列为等比数列，从而 即 可验证，满足题设条件.‎ ‎(2) 由题设的值仅与有关,记为则 ‎ 考察函数 ,则在定义域上有 ‎ 故对， 恒成立. ‎ 又 ,‎ 注意到,解上式得 取,即有 . ‎ ‎30. (2009湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）。‎ ‎（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。‎ 解（I）在中，令n=1，可得，即 当时，，‎ ‎.‎ ‎ . ‎ ‎ 又数列是首项和公差均为1的等差数列.‎ ‎ 于是.‎ ‎(II)由（I）得，所以 由①-②得 ‎ 于是确定的大小关系等价于比较的大小 由 ‎ 可猜想当证明如下：‎ 证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。‎ ‎（2）假设时 所以当时猜想也成立 综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有 证法2：当时 综上所述，当，当时 ‎31.（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。 ‎ ‎（I）求数列与数列的通项公式；‎ ‎（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；‎ ‎（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；‎ 解（I）当时， ‎ 又 ‎∴数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴， …………………………………3分 ‎（II）不存在正整数，使得成立。‎ 证明：由（I）知 ‎ ‎∴当n为偶数时，设 ‎ ‎∴‎ 当n为奇数时，设 ‎∴‎ ‎∴对于一切的正整数n，都有 ‎ ‎∴不存在正整数，使得成立。 …………………………………8分 ‎（III）由得 ‎ 又， ‎ 当时，，‎ 当时，‎ ‎32.（2009湖南卷文）对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有 ‎ ‎, 则称数列为数列.‎ ‎（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;‎ ‎（Ⅱ）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：‎ A组：①数列是B-数列, ②数列不是B-数列;‎ B组：③数列是B-数列, ④数列不是B-数列.‎ 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.‎ 判断所给命题的真假，并证明你的结论；‎ ‎(Ⅲ)若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。‎ 解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则.于是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎==‎ 所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 .‎ ‎（Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.‎ 事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n，‎ ‎ .‎ 由n的任意性知，数列不是B-数列。‎ 命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。‎ 事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有 ‎ ,‎ ‎ 即.于是 ‎,‎ 所以数列是B-数列。‎ ‎（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） ‎ ‎ (Ⅲ)若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有 ‎ .‎ 因为 ‎ .‎ 记，则有 ‎ .‎ 因此.‎ 故数列是B-数列.‎ ‎33. (2009陕西卷理) 已知数列满足， .‎ 猜想数列的单调性，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ)证明：。 ‎ 证明（1）由 由猜想：数列是递减数列 下面用数学归纳法证明：‎ ‎（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即 易知，那么 ‎=‎ 即 也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 ‎（2）当n=1时，，结论成立 当时，易知 ‎ ‎ ‎34.（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记 ‎ ‎（I）求数列与数列的通项公式；‎ ‎（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；‎ ‎（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；‎ 解（I）当时， ‎ 又 ‎∴数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴， …………………………………3分 ‎（II）不存在正整数，使得成立。‎ 证明：由（I）知 ‎ ‎∴当n为偶数时，设 ‎ ‎∴‎ 当n为奇数时，设 ‎∴‎ ‎∴对于一切的正整数n，都有 ‎ ‎∴不存在正整数，使得成立。 …………………………………8分 ‎（III）由得 ‎ 又， ‎ 当时，，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………14分 ‎35.（2009天津卷理）已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n ‎ (I) 若== 1，d=2，q=3，求 的值；‎ (II) 若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n； ‎ ‎(Ⅲ) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。‎ 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。‎ ‎（Ⅰ）解：由题设，可得 所以， ‎ ‎（Ⅱ）证明：由题设可得则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ① 式减去②式，得 ‎ ‎ ‎ ① 式加上②式，得 ‎ ③‎ ② 式两边同乘q，得 ‎ ‎ 所以，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)证明： ‎ ‎ ‎ 因为所以 ‎ ‎ （1） 若，取i=n ‎ （2） 若，取i满足且 由（1）,(2)及题设知，且 ‎ ‎ ① 当时，得 即，…，‎ 又所以 ‎ ‎ 因此 ② 当同理可得，因此 ‎ 综上，‎ ‎36.（2009四川卷理）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；‎ ‎（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。‎ 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。‎ 解：（Ⅰ）当时，‎ 又 ‎ 数列成等比数列，其首项，公比是 ‎……………………………………..3分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎ ‎ = ‎ ‎ 又 当 当 ‎ ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知 一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ >‎ 对一切大于1的奇数n恒成立 只对满足的正奇数n成立，矛盾。‎ 另一方面，当时，对一切的正整数n都有 事实上，对任意的正整数k，有 ‎ ‎ ‎ ‎ 当n为偶数时，设 则 ‎ < ‎ 当n为奇数时，设 则 ‎ ‎<‎ 对一切的正整数n，都有 综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分 ‎37.（2009年上海卷理）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。‎ （1） 若，是否存在，有说明理由； ‎ （2） 找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；‎ （3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。‎ ‎[解法一]（1）由，得， ．．．．．．2分 整理后，可得，、，为整数， ‎ 不存在、，使等式成立。 ．．．．．．5分 ‎（2）若，即， （*）‎ ‎（ⅰ）若则。 ‎ 当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。 ．．．．．．7分 ‎（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，，矛盾。‎ 综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分 ‎【解法二】设 ‎ 则 （i） 若d=0，则 ‎ （i） 若（常数）即，则d=0，矛盾 综上所述，有， 10分 ‎（3） ‎ 设.‎ ‎，‎ ‎. 13分 取 15分 由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,‎ ‎ ‎ 故当且仅当p=3s,sN时，命题成立. ‎ 说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）‎ 若p为偶数，则am+1+am+2+……+am+p为偶数，但3k为奇数 故此等式不成立，所以，p一定为奇数。‎ 当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k，‎ 而3k=(4-1)k ‎=‎ 当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立 1分 当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, ‎ 也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1‎ 由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2分 当p=5时，则am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk 也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在 故不是所有奇数都成立. 2分 ‎38.(2009重庆卷理）设个不全相等的正数 依次围成一个圆圈．‎ ‎（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；‎ ‎（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：； ‎ 解：（I）因是公比为d的等比数列，从而 由 ，故 ‎ 解得或（舍去）。因此 ‎ ‎ 又 。解得 从而当时，‎ 当时，由是公比为d的等比数列得 因此 ‎ ‎（II）由题意得 有①得 ④‎ 由①，②，③得， ‎ 故. ⑤‎ 又，故有 ‎.⑥‎ 下面反证法证明：‎ 若不然，设 若取即，则由⑥得，而由③得 得由②得而 ‎④及⑥可推得（）与题设矛盾 同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数 由均值不等式得 由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而 又，由④和⑥得 因此由⑤得 ‎2005——2008年高考题 一、选择题 ‎1.（2008江西卷）在数列中，， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案 A ‎2.（2007福建）数列的前项和为，若，则等于（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ 答案 B ‎3.（2007宁夏）已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　　）‎ Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．‎ 答案 B ‎4．（2006江西卷）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ ）‎ A．100 B. 101 C.200 D.201‎ 解析 依题意，a1＋a200＝1，故选A 答案 A ‎5. (2005重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) ‎ A. 4 B.5.‎ C.6 D.7‎ 答案 C 二、填空题 ‎6.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎1‎ ‎2 3‎ ‎4 5 6‎ ‎7 8 9 10‎ ‎． ． ． ． ． ． ． ‎ 按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．‎ 答案 ‎ ‎7.（2008湖北）观察下列等式：‎ ‎……………………………………‎ 可以推测，当≥2（）时， ‎ ‎ .‎ 答案 0‎ ‎8.（2007重庆）设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则_____.‎ 答案 18‎ ‎9．（2006广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）. ‎ 答案 10，‎ 三、解答题 ‎10.（2008全国I）设函数．数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）设，整数．证明：．‎ ‎（Ⅰ）证明：，‎ 故函数在区间(0,1)上是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，‎ 由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，成立，即 那么当时，由在区间是增函数，得 ‎.而，则，‎ ‎，也就是说当时，也成立；‎ 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.‎ ‎ （Ⅲ）证明：由．可 1， 若存在某满足，则由⑵知：‎ 2， 若对任意都有，则 ‎，即成立.‎ ‎11.（2008山东卷)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：‎ a1‎ a2 a3‎ a4 a5 a6‎ a7 a8 a9 a10‎ ‎……‎ 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足＝1=（n≥2）.‎ ‎(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.‎ ‎12.(2007湖南)已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．‎ ‎（I）证明：数列（）是常数数列；‎ ‎（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；‎ ‎（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增 解：（I）当时，由已知得．‎ 因为，所以． …… ①‎ 于是． ……②‎ 由②－①得． …… ③‎ 于是． …… ④‎ 由④－③得， …… ⑤‎ 所以，即数列是常数数列．‎ ‎（II）由①有，所以．由③有，，所以，．‎ 而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，‎ 所以，，，‎ 数列是单调递增数列且对任意的成立．‎ 且 ‎．‎ 即所求的取值集合是．‎ ‎（III）解法一：弦的斜率为 任取，设函数，则 记，则，‎ 当时，，在上为增函数，‎ 当时，，在上为减函数，‎ 所以时，，从而，所以在和上都是增函数．‎ 由（II）知，时，数列单调递增，‎ 取，因为，所以．‎ 取，因为，所以．‎ 所以，即弦的斜率随单调递增．‎ 解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，‎ 所以，．‎ 故，即弦的斜率随单调递增．‎ ‎13.（2007浙江）已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程 的两个根，且≤　(k ＝1，2，3，…)．‎ ‎(I)求及 (n≥4)(不必证明)；(Ⅱ)求数列{}的前2n项和S2n．‎ ‎(I)解：方程的两个根为．‎ 当k＝1时，，所以；‎ 当k＝2时，，所以；‎ 当k＝3时，，所以；‎ 当k＝4时，，所以；‎ 因为n≥4时，，所以 ‎（Ⅱ）＝．‎ ‎14.（2007四川）已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,N +），其中为正实数.‎ ‎（Ⅰ）用xx表示xn+1；‎ ‎（Ⅱ）若a1=4，记an=lg，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.‎ 解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）由题可得．‎ 所以曲线在点处的切线方程是：．‎ 即．‎ 令，得．‎ 即．‎ 显然，∴．‎ ‎（Ⅱ）由，知，同理．‎ ‎　　　故．‎ 从而，即．所以，数列成等比数列．‎ 故．‎ 即．‎ 从而 所以 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 当时，显然．‎ 当时，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎　　　综上，． ‎ ‎15.（2005湖南）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.‎ ‎ （Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；‎ ‎ （Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）‎ ‎　 （Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的 ‎ 最大允许值是多少？证明你的结论.‎ 解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 ‎ （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得 ‎ ‎ ‎ 因为x1>0，所以a>b.‎ ‎ 猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.‎ ‎ （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*‎ ‎ 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知 ‎ 00.‎ 又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,‎ 所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.‎ 由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).‎ 综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.‎ 第二部分 三年联考题汇编 ‎2009年联考题 一、选择题 ‎ 1.(北京市崇文区2009年3月高三统一考试理)已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数R，等式成立．若数列满足，且(N*)，则的值为( )‎ A． 4016 B．4017 C．4018 D．4019 ‎ 答案 B ‎2.（2009厦门乐安中学）在等差数列等于（ ）‎ ‎ A．55 B．40 C．35 D．70‎ 答案 B ‎3. (湖北省2009年3月高三八校第二次联考理科) 等差数列中，是其前项和，，，则的值为（ ）‎ ‎ ‎ 答案 C ‎4.（2009宁乡一中第三次月考）等差数列中，，，且，为其前项之和，则（ ）‎ A．都小于零，都大于零 B．都小于零，都大于零 C．都小于零，都大于零 D．都小于零，都大于零 答案 C ‎5.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）‎ 数列若 对任意恒成立，则正整数m的最小值 （ ）‎ A．10 B．9 C．8 D．7‎ 答案：A.‎ ‎6.（抚顺一中2009届高三第一次模拟）‎ 数列{an}满足a1+ 3·a2+ 32·a3+…+ 3n-1·an=，则an=‎ A B ‎ C D ‎ 答案：C.‎ ‎7.（抚州一中2009届高三第四次同步考试）‎ 已知数列{an}满足an+1=an–an–1（n≥2），a1=a，a2=b，记Sn=a1+a2+a3+…+an，则下列结论正确的是 A．a2008= – a，S2008=2b – a B．a2008= – b，S2008=2b – a C．a2008= – b，S2008=b – a D．a2008= – a，S2008=b – a 答案：A.‎ 二、填空题 ‎8.(北京市崇文区2009年3月高三统一考试文)对于集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5．当集合N中的n =2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和=1+2+(2–1)=4，则当时，= ______________ ；根据、、，猜想集合N ={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和=__________. ‎ ‎ 答案 12 , ‎ ‎9.（2009广州一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*‎ 都有，且1‎ ‎15.（2009聊城一模）过点P（1，0）作曲线的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1。又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，…。依此下去，得到一系列点M1‎ ‎，M2…，Mn，…，设它们的横坐标a1，a2，…，an，…，构成数列为。‎ ‎ （1）求证数列是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎ （2）求证：；‎ ‎ （3）当的前n项和Sn。‎ 解：（1）对求导数，得的切线方程是 ‎ ‎ 当n=1时，切线过点P（1，0），即0‎ 当n>1时，切线过点，即0‎ 所以数列 所以数列 ‎ ‎ （2）应用二项公式定理，得 ‎ ‎ ‎（3）当 ‎，‎ 同乘以 ‎ 两式相减，得 所以 ‎ ‎16.（2009闵行三中模拟）已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）顺次为一次函数图像上的点，点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn ‎,0)（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形。‎ ‎⑴求数列{yn}的通项公式，并证明{yn}是等差数列；‎ ‎⑵证明xn+2-xn为常数，并求出数列{xn}的通项公式；‎ ‎⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。‎ 解：（1）(nÎN),∵yn+1-yn=,∴{yn}为等差数列 ………………4分 ‎ （2）因为与为等腰三角形.‎ 所以，两式相减得 。………………7分 注：判断得2分，证明得1分 ‎∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6 ，…，x2n都是公差为2的等差数列，………………6分 ‎ ∴ ………………10分 ‎ （3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2=2()Þxn+1-xn=2()‎ ‎ 当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).‎ ‎ Þ2(1-a)=2() Þa=(n为奇数，0＜a＜1) (*)‎ ‎ 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，则(*)无解； ………………14分 ‎ 当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.‎ ‎ ∴2a=2()Þa=(n为偶数，0＜a＜1) (*¢)，‎ 取n=2，得a=,若n≥4，则(*¢)无解.‎ ‎ 综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、. ………………‎ ‎18分 ‎2007——2008年联考题 一、选择题 ‎1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)集合A={1,2,3,4,5,6},从集合A中任选3个不同的元素组成等差数列，这样的等差数列共有（ ） ‎ A、4个 B、8个 C、10个 D、12个 答案：D ‎2.(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)如果数列{an}满足是首项为1，公比为2的等比数列，则a100等于 A．2100 B．299 C．25050 D．24950 ‎ 答案：D ‎3. (北京市东城区2008年高三综合练习一）已知等比数列{}的前n项和为Sn，且S3=7a1则数列{}的公比q的值为（ ）‎ ‎ A．2 B．3 C．2或－3 D．2或3‎ 答案：C ‎4.(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)已知等差数列的前n项和为，若，则等于 ‎ A. 18 B. 36 ‎ ‎ C.54 D. 72‎ 答案：D ‎5.(北京市宣武区2008年高三综合练习一)设等比数列的首相为，公比为q ，则“< 0 且0< q <1”是“对于任意都有”的 （ ）‎ A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分比要条件 D 既不充分又不必要条件 答案：A ‎6.(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：B ‎7.(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)已知等差数列和的前n项和分别为，且，则使得为整数的正整数n的个数是( ）‎ ‎ A．2 B．3 C．4 D．5 ‎ 答案：B ‎8.(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是= 13，那么将二进制数转换成十进制形式是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ 解析：，‎ 答案：C ‎9.(湖北省八校高2008第二次联考)在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”. 下列是对“等差比数列”的判断：‎ ‎①不可能为0 ②等差数列一定是等差比数列 ‎ ‎③等比数列一定是等差比数列 ④等差比数列中可以有无数项为0‎ 其中正确的判断是（ ）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④ ‎ 答案：D ‎10.(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)对于一个有限数列，的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为，其中，若一个99项的数列的蔡查罗和为1000，那么100项数列的蔡查罗和为（ ）‎ A．991 B.992 C.993 D.999‎ 答案：A 二、填空题 ‎11.(2008广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…… ‎ 试用 n表示出第n个图形的边数 .‎ 答案：3×4n－1.‎ ‎12.(2008江苏省启东中学高三综合测试三)如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1,2,3,…)，则第n－2个图形中共有　　　　　　个顶点。‎ ‎ 答案：n2+n ‎13.(北京市十一学校2008届高三数学练习题)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为 颗；第件工艺品所用的宝石数为 颗 (结果用表示).‎ 第3件 第2件 第1件 第4件 答案：66，‎ ‎14.(河南省上蔡一中2008届高三月考)如图，在直角坐标系中,一质点从原点出发,沿图示箭头方向每秒钟移动一个单位,问第2008秒时质点所在的位置坐标是 ‎ 答案：（-31，7）‎ ‎15.(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作，如第2行第4列的数是15，记作a24＝15，则有序数对(a28,a84)是 。‎ ‎ 1 4 5 16 17 36 ……‎ ‎ 2 3 6 15 18 35 ……‎ ‎ 9 8 7 14 19 34 ……‎ ‎ 10 11 12 13 20 33 ……‎ ‎ 25 24 23 22 21 32 ……‎ ‎ 26 27 28 29 30 31 ……‎ ‎ …… …… …… …… ……‎ 答案：（63，53）‎ 三、解答题 ‎16.(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知数列的前n项和为，点在曲线上且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）数列的前n项和为且满足，设定的值使得数 是等差数列；‎ ‎ （3）求证：.‎ 解：(1)‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴数列是等差数列，首项公差d=4‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴…………（4分）‎ ‎(2)由 得 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 若为等差数列，则 ‎∴‎ ‎(3)‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎……………………12分 ‎17.（北省三校联合体高2008届2月测试)已知数列的首项，前项和为，且、、分别是直线上的点A、B、C的横坐标，点B分所成的比为，设。‎ ‎⑴ 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎⑵ 设，证明：。‎ 解 ⑴由题意得……………3分 数列是以为首项，以2为公比的等比数列。………………6分 则（）]‎ ‎⑵由及得 ‎，……………………………………………………………8分 则……………………10分 ‎ ………………12分 ‎18.(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：‎ ‎1‎ ‎3 5‎ ‎7 9 11‎ ‎－ － － －‎ ‎－ － － － －‎ 设是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往右数第个数。‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）已知函数的反函数为，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和。‎ 解：（Ⅰ）∵三角形数表中前行共有个数，‎ ‎∴第行最后一个数应当是所给奇数列中第项，即。‎ 因此，使得的是不等式的最小正整数解。‎ 由得，∴。∴。‎ 第45行第一个数是，∴‎ ‎（Ⅱ）∵，∴。‎ ‎∵第行最后一个数是，且有个数，若将看成第行第一个数，则第行各数成公差为的等差数列，故。∴。‎ 故。用错位相减法可求得 ‎19.(2007江苏省南京市) 14．已知正项数列{ an }满足Sn+Sn－1＝ta+2 (n≥2，t>0)，a1＝1，其中Sn是数列{ an }的前n项和．‎ ‎（Ⅰ）求通项an；‎ ‎（Ⅱ）记数列{}的前n项和为Tn，若Tn＜2对所有的n∈N*都成立．求证：0＜t≤1‎ 解：∵a1＝1 由S2+S1＝ta+2，得a2 ＝ta，∴a2 ＝0（舍）或a2＝，‎ Sn+Sn－1＝ta+2 ① Sn－1+Sn－2＝ta+2 (n≥3) ②‎ ‎①－②得an+an－1＝t（a －a）（n≥3），（an+an－1）[1－t（an－an－1）] ＝0，‎ 由数列{ an }为正项数列，∴an+an－1≠0，故an－an－1＝（n≥3），‎ 即数列{ an }从第二项开始是公差为的等差数列．‎ ‎∴an＝ ‎（2）∵T1＝1＜2，当n≥2时，Tn＝t++++ …+＝t+ t2(1－) ＝t+ t2 ‎ 要使Tn<2,对所有的n∈N*恒成立，只要Tn＝t+ t2 ＜ t+ t2≤2成立，∴0＜t≤1．‎ ‎20.(2007山西实验中学模拟)正项数列 ‎ （1）求；‎ ‎ （2）试确定一个正整数N，使当n>N时，不等式 成立；‎ ‎ （3）求证：‎ 解：（1）‎ ‎………………………………4分 ‎（2）由 ‎ （3）将展开， ‎ ‎…………14‎