2013高考数学理一轮复习教案圆的方程 9页

圆的方程 ‎【2013年高考会这样考】‎ ‎1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程．‎ ‎2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题．‎ ‎【复习指导】‎ ‎1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程．‎ ‎2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．　‎ 基础梳理 ‎1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．‎ ‎2．圆的标准方程 ‎(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程．‎ ‎(2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.‎ ‎3．圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为2＋2＝.故有：‎ ‎(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；‎ ‎(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；‎ ‎(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．‎ ‎4．P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系 ‎(1)若(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，则点P在圆外；‎ ‎(2)若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点P在圆上；‎ ‎(3)若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，则点P在圆内．‎ 一种方法 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：‎ ‎(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；‎ ‎(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；‎ ‎(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．‎ 两个防范 ‎(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．‎ ‎(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．‎ 三个性质 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质 ‎(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；‎ ‎(2)圆心在任一弦的中垂线上；‎ ‎(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．‎ 双基自测 ‎1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为(　　)．‎ A．(x－1)2＋y2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2‎ C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2‎ 答案　C ‎2．(2011·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)．‎ A．(2,3) B．(－2,3)‎ C．(－2，－3) D．(2，－3)‎ 解析　由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)．‎ 答案　D ‎3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)．‎ A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1‎ C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1‎ 解析　因为点(1,1)在圆的内部，‎ ‎∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.‎ 答案　A ‎4．(2011·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)．‎ A．5 B．10 C．15 D．20 解析　由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝2＝2(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|×|BD|＝×2×2＝10，选B.‎ 答案　B ‎5．(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．‎ 解析　设圆的方程为x2＋y2＝r2.则r＝＝.‎ ‎∴圆的方程为：x2＋y2＝2.‎ 答案　x2＋y2＝2　　‎ 考向一　求圆的方程 ‎【例1】►已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)．‎ A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2‎ C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2‎ ‎[审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．‎ 解析　法一　设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可．‎ 设圆心坐标为(a，－a)，则＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ 法二 ‎　题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d＝＝2；圆心是直线x＋y＝0与这两条平行线交点的中点，直线x＋y＝0与直线x－y＝0的交点坐标是(0,0)、与直线x－y－4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ 法三　作为选择题也可以验证解答，圆心在x＋y＝0上，排除选项C、D，再验证选项A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可．‎ 答案　B ‎ 求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．‎ ‎【训练1】 经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．‎ 解析　∵圆经过点A(5,2)，B(3,2)，‎ ‎∴圆心在x＝4上，又圆心在2x－y－3＝0上，‎ ‎∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝r2，‎ 又圆过B(3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r2，‎ ‎∴r2＝10，∴圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.‎ 答案　(x－4)2＋(y－5)2＝10‎ 考向二　与圆有关的最值问题 ‎【例2】►(2012·武汉模拟)已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则的最大值与最小值分别为________．‎ ‎[审题视点] 找出的几何意义，运用几何法求解．‎ 解析　设＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．‎ 由＝1，解得k＝±.‎ 答案　；－ ‎ 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：‎ ‎①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．‎ ‎【训练2】 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(　　)．‎ A．30 B．18 C．6 D．5 解析　由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3.则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为：＋3＝5＋3，最小距离为：5－3，故最大距离与最小距离的差为6.‎ 答案　C 考向三　圆的综合应用 ‎【例3】►已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．‎ ‎[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m的方程求解；(2)OP⊥OQ得到O点在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解．‎ 解　法一　将x＝3－2y，‎ 代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，‎ 得5y2－20y＋12＋m＝0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：‎ y1＋y2＝4，y1y2＝.‎ ‎∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.‎ ‎∵x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝.‎ 故＋＝0，解得m＝3，‎ 此时Δ＞0，圆心坐标为，半径r＝.‎ 法二　如图所示，设弦PQ中点为M，‎ 设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 由法一知，y1＋y2＝4，x1＋x2＝－2，‎ ‎∴x0＝＝－1，y0＝＝2.‎ 解得M的坐标为(－1,2)．‎ 则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋(y－2)2＝r2.‎ ‎∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．‎ ‎∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，‎ 即r2＝5，|MQ|2＝r2.‎ 在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2.‎ ‎∴＝2＋(3－2)2＋5.‎ ‎∴m＝3，∴半径为，圆心为.‎ ‎ (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．‎ ‎(2)本题中两种解法都是用方程思想求m值，即两种解法围绕“列出m的方程”求m值．‎ ‎【训练3】 (2012·广州模拟)在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.‎ ‎(1)求的坐标；‎ ‎(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．‎ 解　(1)设＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，·＝0，‎ 得解得或 若＝(－6，－8)，则yB＝－11与yB＞0矛盾，‎ 所以舍去．‎ 即＝(6,8)．‎ ‎(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝()2，其圆心为C(3，－1)，半径r＝，‎ ‎∵＝＋＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，‎ ‎∴直线OB的方程为y＝x.‎ 设圆心C(3，－1)关于直线y＝x的对称点的坐标为(a，b)，‎ 则解得 则所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.‎ ‎　　‎ 阅卷报告13——选择方程不当或计算失误 ‎【问题诊断】 由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误.‎ ‎【防范措施】 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一般式计算过繁，可以采用标准式.‎ ‎【示例】►(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．‎ 错因　计算失误．实录　(1)令y＝0，则与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)，令x＝0，则与y轴的交点为(0,1)，设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 则 解得：D＝6，E＝27＋12，F＝－28－12，‎ ‎∴x2＋y2＋6x＋(27＋12)y－28－12＝0.‎ 正解　(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2 ‎，0)，(3－2，0)．‎ 故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，‎ 解得t＝1.则圆C的半径为＝3.‎ 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：‎ 消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.‎ 由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.‎ 因此x1,2＝，‎ 从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①‎ 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.‎ 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②‎ 由①，②得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.‎ ‎【试一试】 (2010·全国新课标)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________．‎ ‎[尝试解析]　由已知圆C过A(4,1)，B(2,1)两点，‎ ‎∴直线AB的垂直平分线x＝3过圆心C，‎ 又圆C与直线y＝x－1相切于点B(2,1)，∴kBC＝－1，‎ ‎∴直线BC的方程为y－1＝－(x－2)，得y＝－x＋3，‎ 由解得得圆心C的坐标为(3,0)，‎ ‎∴r＝|BC|＝＝，‎ ‎∴圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.‎ 答案　(x－3)2＋y2＝2‎ 21世纪教育网 ‎21世纪教育网 ‎21世纪教育网 ‎21世纪教育网