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  • 2021-05-13 发布

2013高考数学理一轮复习教案圆的方程

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圆的方程 ‎【2013年高考会这样考】‎ ‎1.考查根据所给的条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程.‎ ‎2.题型既有选择题、填空题,又有解答题.客观题突出小而巧,主要考查圆的方程;主观题往往在知识的交汇点处命题.‎ ‎【复习指导】‎ ‎1.本讲复习时,应熟练掌握圆的方程的各个要素,明确圆的标准方程,一般方程.‎ ‎2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合圆的几何性质解决与圆有关的问题. ‎ 基础梳理 ‎1.圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.‎ ‎2.圆的标准方程 ‎(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程.‎ ‎(2)特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程为x2+y2=r2.‎ ‎3.圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为2+2=.故有:‎ ‎(1)当D2+E2-4F>0时,方程表示以为圆心,以为半径的圆;‎ ‎(2)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;‎ ‎(3)当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.‎ ‎4.P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系 ‎(1)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点P在圆外;‎ ‎(2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点P在圆上;‎ ‎(3)若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点P在圆内.‎ 一种方法 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为:‎ ‎(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;‎ ‎(2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组;‎ ‎(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.‎ 两个防范 ‎(1)求圆的方程需要三个独立条件,所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程.‎ ‎(2)过圆外一定点求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线斜率不存在的情况.‎ 三个性质 确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 ‎(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;‎ ‎(2)圆心在任一弦的中垂线上;‎ ‎(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.‎ 双基自测 ‎1.(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1),半径为2的圆的标准方程为(  ).‎ A.(x-1)2+y2=4 B.x2+(y-1)2=2‎ C.x2+(y-1)2=4 D.(x-1)2+y2=2‎ 答案 C ‎2.(2011·四川)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是(  ).‎ A.(2,3) B.(-2,3)‎ C.(-2,-3) D.(2,-3)‎ 解析 由x2+y2-4x+6y=0得(x-2)2+(y+3)2=13.故圆心坐标为(2,-3).‎ 答案 D ‎3.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是(  ).‎ A.-1<a<1 B.0<a<1‎ C.a>1或a<-1 D.a=±1‎ 解析 因为点(1,1)在圆的内部,‎ ‎∴(1-a)2+(1+a)2<4,∴-1<a<1.‎ 答案 A ‎4.(2011·重庆)在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(  ).‎ A.5 B.10 C.15 D.20 解析 由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3)、半径是,且点E(0,1)位于该圆内,故过点E(0,1)的最短弦长|BD|=2=2(注:过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦),过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即|AC|=2,且AC⊥BD,因此四边形ABCD的面积等于|AC|×|BD|=×2×2=10,选B.‎ 答案 B ‎5.(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为________.‎ 解析 设圆的方程为x2+y2=r2.则r==.‎ ‎∴圆的方程为:x2+y2=2.‎ 答案 x2+y2=2  ‎ 考向一 求圆的方程 ‎【例1】►已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为(  ).‎ A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2‎ C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2‎ ‎[审题视点] 设圆心坐标,根据相切的条件列出等式求圆心及半径;也可以利用圆的几何特征求圆心及半径.‎ 解析 法一 设出圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可.‎ 设圆心坐标为(a,-a),则=,即|a|=|a-2|,解得a=1,故圆心坐标为(1,-1),半径r==,故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.‎ 法二 ‎ 题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d==2;圆心是直线x+y=0与这两条平行线交点的中点,直线x+y=0与直线x-y=0的交点坐标是(0,0)、与直线x-y-4=0的交点坐标是(2,-2),故所求的圆的圆心坐标是(1,-1),所求的圆的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.‎ 法三 作为选择题也可以验证解答,圆心在x+y=0上,排除选项C、D,再验证选项A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.‎ 答案 B ‎ 求具备一定条件的圆的方程时,其关键是寻找确定圆的两个几何要素,即圆心和半径,待定系数法也是经常使用的方法.在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算,如已知一个圆经过两个点时,其圆心一定在这两点的垂直平分线上,解题时要注意平面几何知识的应用.‎ ‎【训练1】 经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为________.‎ 解析 ∵圆经过点A(5,2),B(3,2),‎ ‎∴圆心在x=4上,又圆心在2x-y-3=0上,‎ ‎∴圆心为(4,5),可设圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=r2,‎ 又圆过B(3,2),即(3-4)2+(2-5)2=r2,‎ ‎∴r2=10,∴圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=10.‎ 答案 (x-4)2+(y-5)2=10‎ 考向二 与圆有关的最值问题 ‎【例2】►(2012·武汉模拟)已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,则的最大值与最小值分别为________.‎ ‎[审题视点] 找出的几何意义,运用几何法求解.‎ 解析 设=k,则k表示点P(x,y)与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时,k取得最大值与最小值.‎ 由=1,解得k=±.‎ 答案 ;- ‎ 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:‎ ‎①形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.‎ ‎【训练2】 圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是(  ).‎ A.30 B.18 C.6 D.5 解析 由圆x2+y2-4x-4y-10=0知圆心坐标为(2,2),半径为3.则圆上的点到直线x+y-14=0的最大距离为:+3=5+3,最小距离为:5-3,故最大距离与最小距离的差为6.‎ 答案 C 考向三 圆的综合应用 ‎【例3】►已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.‎ ‎[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系,再化为m的方程求解;(2)OP⊥OQ得到O点在以PQ为直径的圆上,再利用勾股定理求解.‎ 解 法一 将x=3-2y,‎ 代入方程x2+y2+x-6y+m=0,‎ 得5y2-20y+12+m=0.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1、y2满足条件:‎ y1+y2=4,y1y2=.‎ ‎∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.‎ ‎∵x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2=.‎ 故+=0,解得m=3,‎ 此时Δ>0,圆心坐标为,半径r=.‎ 法二 如图所示,设弦PQ中点为M,‎ 设M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 由法一知,y1+y2=4,x1+x2=-2,‎ ‎∴x0==-1,y0==2.‎ 解得M的坐标为(-1,2).‎ 则以PQ为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2.‎ ‎∵OP⊥OQ,∴点O在以PQ为直径的圆上.‎ ‎∴(0+1)2+(0-2)2=r2,‎ 即r2=5,|MQ|2=r2.‎ 在Rt△O1MQ中,|O1Q|2=|O1M|2+|MQ|2.‎ ‎∴=2+(3-2)2+5.‎ ‎∴m=3,∴半径为,圆心为.‎ ‎ (1)在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往会使得思路简捷明了,简化思路,简便运算.‎ ‎(2)本题中两种解法都是用方程思想求m值,即两种解法围绕“列出m的方程”求m值.‎ ‎【训练3】 (2012·广州模拟)在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.‎ ‎(1)求的坐标;‎ ‎(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.‎ 解 (1)设=(x,y),由|AB|=2|OA|,·=0,‎ 得解得或 若=(-6,-8),则yB=-11与yB>0矛盾,‎ 所以舍去.‎ 即=(6,8).‎ ‎(2)圆x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=()2,其圆心为C(3,-1),半径r=,‎ ‎∵=+=(4,-3)+(6,8)=(10,5),‎ ‎∴直线OB的方程为y=x.‎ 设圆心C(3,-1)关于直线y=x的对称点的坐标为(a,b),‎ 则解得 则所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.‎ ‎  ‎ 阅卷报告13——选择方程不当或计算失误 ‎【问题诊断】 由于圆的方程有两种形式:标准方程和一般方程,所以在求圆的方程要合理选用,如果选择不恰当,造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误.‎ ‎【防范措施】 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程,通常选用圆的标准方程;若已知条件为圆经过三点,一般采用一般式,但已知点的坐标较复杂时,采用一般式计算过繁,可以采用标准式.‎ ‎【示例】►(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.‎ 错因 计算失误.实录 (1)令y=0,则与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0),令x=0,则与y轴的交点为(0,1),设圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,‎ 则 解得:D=6,E=27+12,F=-28-12,‎ ‎∴x2+y2+6x+(27+12)y-28-12=0.‎ 正解 (1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2 ‎,0),(3-2,0).‎ 故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,‎ 解得t=1.则圆C的半径为=3.‎ 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:‎ 消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.‎ 由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0.‎ 因此x1,2=,‎ 从而x1+x2=4-a,x1x2=.①‎ 由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.‎ 又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②‎ 由①,②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.‎ ‎【试一试】 (2010·全国新课标)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为________.‎ ‎[尝试解析] 由已知圆C过A(4,1),B(2,1)两点,‎ ‎∴直线AB的垂直平分线x=3过圆心C,‎ 又圆C与直线y=x-1相切于点B(2,1),∴kBC=-1,‎ ‎∴直线BC的方程为y-1=-(x-2),得y=-x+3,‎ 由解得得圆心C的坐标为(3,0),‎ ‎∴r=|BC|==,‎ ‎∴圆的方程为(x-3)2+y2=2.‎ 答案 (x-3)2+y2=2‎ 21世纪教育网 ‎21世纪教育网 ‎21世纪教育网 ‎21世纪教育网