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  • 2021-05-13 发布

高考湖南文科数学试题及全解全析4

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‎2009年高考湖南文科数学试题及全解全析 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,‎ 只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.的值为【 D 】‎ A. B. C. D. ‎ 解:由,易知D正确. ‎ ‎2.抛物线的焦点坐标是【 B 】 ‎ A.(2,0) B.(- 2,0) C.(4,0) D.(- 4,0)‎ 解:由,易知焦点坐标是,故选B. ‎ ‎3.设是等差数列的前n项和,已知,,则等于【 C 】‎ A.13 B.35 C.49 D. 63 ‎ 解: 故选C.‎ 或由, ‎ ‎ 所以故选C.‎ ‎4.如图1, D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则【 A 】‎ A.‎ B.‎ C.‎ D. ‎ 图1‎ 解: 得,故选A.‎ ‎ 或.‎ ‎5.某地政府召集5家企业的负责人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】‎ A.14 B.16 C.20 D.48‎ 解:由间接法得,故选B. ‎ ‎6.平面六面体中,既与共面也与共面的棱的条数为【 C 】‎ A.3 B.4 C.5 D.6 ‎ 解:如图,用列举法知合要求的棱为:‎ ‎、、、、,‎ 故选C.‎ ‎7.若函数的导函数在区间上是增函数,‎ 则函数a b a b a o x o x y b a o x y o x y b 在区间上的图象可能是【 A 】‎ y A . B. C. D.‎ 解: 因为函数的导函数在区间上是增函数,即在区间上 各点处的斜率是递增的,由图易知选A. 注意C中为常数噢.‎ ‎ 8.设函数在内有定义,对于给定的正数K,定义函数 ‎ ‎ 取函数。当=时,函数的单调递增区间为【 C 】‎ A . B. C . D . ‎ 解: 函数,作图易知,‎ 故在上是单调递增的,选C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.‎ 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。‎ ‎9 .某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项 运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 .‎ 解: 设所求人数为,则只喜爱乒乓球运动的人数为,‎ 故. 注:最好作出韦恩图!‎ ‎10.若,则的最小值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解: ,当且仅当时取等号.‎ ‎11.在的展开式中,的系数为 6 (用数字作答).‎ 解: ,故得的系数为 ‎12. 一个总体分为A,B两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。‎ 已知B层中每个个体被抽到的概率都为,则总体中的个体数为 120 .‎ 解: 设总体中的个体数为,则 ‎13.过双曲线C:的一个焦点作圆的两条切线,‎ ‎ 切点分别为A,B,若(O是坐标原点),则双曲线线C的离心率为 2 . ‎ 解: , ‎ ‎14.在锐角中,则的值等于 2 ,‎ 的取值范围为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解: 设由正弦定理得 由锐角得,‎ 又,故,‎ ‎15.如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若,则 ‎ , . ‎ 图2‎ 解:作,设,,‎ 由解得故 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(每小题满分12分)‎ ‎ 已知向量 ‎(Ⅰ)若,求的值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(Ⅱ)若求的值。 ‎ 解:(Ⅰ) 因为,所以 于是,故 ‎(Ⅱ)由知,‎ 所以 从而,即,‎ 于是.又由知,,‎ 所以,或.‎ 因此,或 ‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:‎ ‎(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; ‎ ‎(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.‎ 解: 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i=1,2,3.由题意知相互独立,相互独立,‎ 相互独立,(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,‎ 且 ‎ ‎(Ⅰ)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 ‎ P=‎ ‎(Ⅱ)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ P=‎ ‎ 18.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图3,在正三棱柱中,‎ AB=4, ,点D是BC的中点,‎ 点E在AC上,且DEE.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面平面; ‎ ‎(Ⅱ)求直线AD和平面所成角的正弦值。‎ 解:(Ⅰ)如图所示,由正三棱柱的性质知平面.‎ 又DE平面ABC,所以DE.而DEE,,‎ 所以DE⊥平面.又DE 平面,‎ 故平面⊥平面.‎ ‎ (Ⅱ)解法 1: 过点A作AF垂直于点,‎ 连接DF.由(Ⅰ)知,平面⊥平面,‎ 所以AF平面,故是直线AD和 平面所成的角。 因为DE,‎ 所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形,‎ 于是AD=,AE=4-CE=4-=3.‎ 又因为,所以E= = 4, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ , .‎ 即直线AD和平面所成角的正弦值为 .‎ 解法2 : 如图所示,设O是AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,‎ 则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).‎ 易知=(-3,,-),=(0,-,0),=(-3,,0).‎ 设是平面的一个法向量,则 解得.‎ 故可取.于是 ‎ ‎= . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由此即知,直线AD和平面所成角的正弦值为 .‎ ‎19.(本小题满分13分)‎ 已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.‎ ‎(Ⅰ)求b的值;‎ ‎(Ⅱ)若在处取得最小值,记此极小值为,求的定义域和值域。‎ 解: (Ⅰ).因为函数的图象关于直线x=2对称,‎ 所以,于是 ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,.‎ ‎(ⅰ)当c 12时,,此时无极值。 ‎ ‎(ii)当c<12时,有两个互异实根,.不妨设<,则<2<.‎ 当x<时,, 在区间内为增函数; ‎ 当<x<时,,在区间内为减函数;‎ 当时,,在区间内为增函数. ‎ 所以在处取极大值,在处取极小值.‎ 因此,当且仅当时,函数在处存在唯一极小值,所以.‎ 于是的定义域为.由 得.‎ 于是 .‎ 当时,所以函数 在区间内是减函数,故的值域为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ ‎ 已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q).‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设点P是椭圆C的左准线与轴的交点,过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点,当线段MN的中点落在正方形Q内(包括边界)时,求直线的斜率的取值范围。‎ 解: (Ⅰ)依题意,设椭圆C的方程为焦距为,‎ 由题设条件知, 所以 ‎ 故椭圆C的方程为 .‎ ‎(Ⅱ)椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标,‎ 显然直线的斜率存在,所以直线的方程为。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 如图,设点M,N的坐标分别为线段MN的中点为G,‎ ‎ ‎ ‎ 由得. ……①‎ 由解得. ……②‎ 因为是方程①的两根,所以,于是 ‎ =, .‎ 因为,所以点G不可能在轴的右边,‎ 又直线,方程分别为 所以点在正方形内(包括边界)的充要条件为 ‎ 即 亦即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解得,此时②也成立.‎ 故直线斜率的取值范围是 ‎21.(本小题满分13分)‎ 对于数列,若存在常数M>0,对任意的,恒有 ‎ ‎, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 则称数列为数列.‎ ‎(Ⅰ)首项为1,公比为的等比数列是否为B-数列?请说明理由;‎ ‎(Ⅱ)设是数列的前n项和.给出下列两组判断:‎ A组:①数列是B-数列, ②数列不是B-数列;‎ B组:③数列是B-数列, ④数列不是B-数列.‎ 请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题.‎ 判断所给命题的真假,并证明你的结论;‎ ‎(Ⅲ)若数列是B-数列,证明:数列也是B-数列。‎ 解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为,则.于是 ‎ ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎==‎ 所以首项为1,公比为的等比数列是B-数列 .‎ ‎(Ⅱ)命题1:若数列是B-数列,则数列是B-数列.此命题为假命题.‎ 事实上设=1,,易知数列是B-数列,但=n,‎ ‎ .‎ 由n的任意性知,数列不是B-数列。‎ 命题2:若数列是B-数列,则数列不是B-数列。此命题为真命题。‎ 事实上,因为数列是B-数列,所以存在正数M,对任意的,有 ‎ ,‎ ‎ 即.于是 ‎,‎ 所以数列是B-数列。‎ ‎(注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ (Ⅲ)若数列是B-数列,则存在正数M,对任意的有 ‎ .‎ 因为 ‎ .‎ 记,则有 ‎ .‎ 因此.‎ 故数列是B-数列.‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎