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- 2021-05-13 发布
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2009年高考湖南文科数学试题及全解全析
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的。
1.的值为【 D 】
A. B. C. D.
解:由,易知D正确.
2.抛物线的焦点坐标是【 B 】
A.(2,0) B.(- 2,0) C.(4,0) D.(- 4,0)
解:由,易知焦点坐标是,故选B.
3.设是等差数列的前n项和,已知,,则等于【 C 】
A.13 B.35 C.49 D. 63
解: 故选C.
或由,
所以故选C.
4.如图1, D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则【 A 】
A.
B.
C.
D.
图1
解: 得,故选A.
或.
5.某地政府召集5家企业的负责人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】
A.14 B.16 C.20 D.48
解:由间接法得,故选B.
6.平面六面体中,既与共面也与共面的棱的条数为【 C 】
A.3 B.4 C.5 D.6
解:如图,用列举法知合要求的棱为:
、、、、,
故选C.
7.若函数的导函数在区间上是增函数,
则函数a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b
在区间上的图象可能是【 A 】
y
A . B. C. D.
解: 因为函数的导函数在区间上是增函数,即在区间上
各点处的斜率是递增的,由图易知选A. 注意C中为常数噢.
8.设函数在内有定义,对于给定的正数K,定义函数
取函数。当=时,函数的单调递增区间为【 C 】
A . B. C . D .
解: 函数,作图易知,
故在上是单调递增的,选C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.
把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
9 .某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项
运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 .
解: 设所求人数为,则只喜爱乒乓球运动的人数为,
故. 注:最好作出韦恩图!
10.若,则的最小值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解: ,当且仅当时取等号.
11.在的展开式中,的系数为 6 (用数字作答).
解: ,故得的系数为
12. 一个总体分为A,B两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。
已知B层中每个个体被抽到的概率都为,则总体中的个体数为 120 .
解: 设总体中的个体数为,则
13.过双曲线C:的一个焦点作圆的两条切线,
切点分别为A,B,若(O是坐标原点),则双曲线线C的离心率为 2 .
解: ,
14.在锐角中,则的值等于 2 ,
的取值范围为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解: 设由正弦定理得
由锐角得,
又,故,
15.如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若,则
, .
图2
解:作,设,,
由解得故
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(每小题满分12分)
已知向量
(Ⅰ)若,求的值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)若求的值。
解:(Ⅰ) 因为,所以
于是,故
(Ⅱ)由知,
所以
从而,即,
于是.又由知,,
所以,或.
因此,或
17.(本小题满分12分)
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:
(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率;
(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
解: 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i=1,2,3.由题意知相互独立,相互独立,
相互独立,(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,
且
(Ⅰ)他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=
(Ⅱ)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
P=
18.(本小题满分12分)
如图3,在正三棱柱中,
AB=4, ,点D是BC的中点,
点E在AC上,且DEE.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)求直线AD和平面所成角的正弦值。
解:(Ⅰ)如图所示,由正三棱柱的性质知平面.
又DE平面ABC,所以DE.而DEE,,
所以DE⊥平面.又DE 平面,
故平面⊥平面.
(Ⅱ)解法 1: 过点A作AF垂直于点,
连接DF.由(Ⅰ)知,平面⊥平面,
所以AF平面,故是直线AD和
平面所成的角。 因为DE,
所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形,
于是AD=,AE=4-CE=4-=3.
又因为,所以E= = 4, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
, .
即直线AD和平面所成角的正弦值为 .
解法2 : 如图所示,设O是AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,
则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).
易知=(-3,,-),=(0,-,0),=(-3,,0).
设是平面的一个法向量,则
解得.
故可取.于是
= . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由此即知,直线AD和平面所成角的正弦值为 .
19.(本小题满分13分)
已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)若在处取得最小值,记此极小值为,求的定义域和值域。
解: (Ⅰ).因为函数的图象关于直线x=2对称,
所以,于是
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,.
(ⅰ)当c 12时,,此时无极值。
(ii)当c<12时,有两个互异实根,.不妨设<,则<2<.
当x<时,, 在区间内为增函数;
当<x<时,,在区间内为减函数;
当时,,在区间内为增函数.
所以在处取极大值,在处取极小值.
因此,当且仅当时,函数在处存在唯一极小值,所以.
于是的定义域为.由 得.
于是 .
当时,所以函数
在区间内是减函数,故的值域为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
20.(本小题满分13分)
已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,以两个焦点和短轴的两个端点
为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点P是椭圆C的左准线与轴的交点,过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点,当线段MN的中点落在正方形Q内(包括边界)时,求直线的斜率的取值范围。
解: (Ⅰ)依题意,设椭圆C的方程为焦距为,
由题设条件知, 所以
故椭圆C的方程为 .
(Ⅱ)椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标,
显然直线的斜率存在,所以直线的方程为。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
如图,设点M,N的坐标分别为线段MN的中点为G,
由得. ……①
由解得. ……②
因为是方程①的两根,所以,于是
=, .
因为,所以点G不可能在轴的右边,
又直线,方程分别为
所以点在正方形内(包括边界)的充要条件为
即 亦即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解得,此时②也成立.
故直线斜率的取值范围是
21.(本小题满分13分)
对于数列,若存在常数M>0,对任意的,恒有
, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则称数列为数列.
(Ⅰ)首项为1,公比为的等比数列是否为B-数列?请说明理由;
(Ⅱ)设是数列的前n项和.给出下列两组判断:
A组:①数列是B-数列, ②数列不是B-数列;
B组:③数列是B-数列, ④数列不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题.
判断所给命题的真假,并证明你的结论;
(Ⅲ)若数列是B-数列,证明:数列也是B-数列。
解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为,则.于是
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
==
所以首项为1,公比为的等比数列是B-数列 .
(Ⅱ)命题1:若数列是B-数列,则数列是B-数列.此命题为假命题.
事实上设=1,,易知数列是B-数列,但=n,
.
由n的任意性知,数列不是B-数列。
命题2:若数列是B-数列,则数列不是B-数列。此命题为真命题。
事实上,因为数列是B-数列,所以存在正数M,对任意的,有
,
即.于是
,
所以数列是B-数列。
(注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅲ)若数列是B-数列,则存在正数M,对任意的有
.
因为
.
记,则有
.
因此.
故数列是B-数列.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m